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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS MÉTODOS NUMÉRICOS DERIVACIÓN NUMÉRICA RIOS HIDALGO, Simón Ernesto Ing. José Luis Marcillo DERIVACIÓN NUMÉRICA 1. Escribir una fución MATLAB df(x) que admita como entradas un vector de puntos x y los valores de una función f en los mismos y que calcule el valor de la derivada primera en los mismos utilizando la fórmula de diferencia adelantada. Para calcular el valor en el extremo superior debe usarse la fórmula de diferencia retrasada.
1
2.
Aplicar la fórmula de dos puntos adelantada al cálculo de la derivada
primera de
f (x) = senx
x = 2.13432.
en
Comprobar que al ir reduciendo h el
error se reduce de manera aproximada lineal con h. Valor exacto
f (x) 0
f (x) 0
f (x) 0
f (x) Fórmula a usar
•
0
f (x) =
= senx = cosx = cos(2.13432) = −0.534168
f (x+h)−f (x) h
Con h=0.1
0
f (x) 0
f (x) 0
f (x) 0
f (x)
= = = =
f (x + h) − f (x) h f (2.13432 + 0.1) − f (2.13432) 0.1 0.787827 − 0.845378 0.1 −0.575512
Error
Error
=
Error
=
−0.534168 + 0.575512 · 100% −0.534168 7.73989%
2
•
Con h=0.01
0
f (x) 0
f (x) 0
f (x) 0
f (x)
= = = =
f (x + h) − f (x) h f (2.13432 + 0.01) − f (2.13432) 0.01 0.839994 − 0.845378 0.01 −0.5384
Error
•
Error
=
Error
=
−0.534168 + 0.5384 · 100% −0.534168 0.79226%
Con h=0.001
f (x + h) − f (x) h 0 f (2.13432 + 0.001) − f (2.13432) f (x) = 0.001 0 0.844844 − 0.845378 f (x) = 0.001 0 f (x) = −0.534 0
f (x)
=
Error
Error
=
Error
=
−0.534168 + 0.534 · 100% −0.534168 0.031451%
3
Conclusión
•
Como se puede observar en los cálculos realizados anteriormente con la fórmula de dos puntos adelantada, podemos decir que al ir reduciendo h el error se reduce de manera aproximada lineal con h. Las diferencias de error existentes entre los cálculos y MATLAB se debe a la cantidad de cifras signi cativas apreciadas.
3. Repetir el ejercicio anterior comparando la precisión de la fórmula de diferencia adelantada con la retrasada. Aplicar también ambas fórmulas al cálculo de la derivada de la función PRIMERA PARTE Fórmula a usar
•
0
g(x) = 1/(1 + ex )
en x=1/2.
f (x)−f (x−h) h
f (x) =
Con h=0.1
0
f (x) 0
f (x) 0
f (x) 0
f (x)
= = = =
f (x) − f (x − h) h f (2.13432) − f (2.13432 − 0.1) 0.1 0.845378 − 0.894483 0.1 −0.49105
Error
Error
=
Error
=
−0.534168 + 0.49105 · 100% −0.534168 8.07199%
4
•
Con h=0.01
0
f (x) 0
f (x) 0
f (x) 0
f (x)
= = = =
f (x) − f (x − h) h f (2.13432) − f (2.13432 − 0.01) 0.01 0.845378 − 0.850677 0.01 −0.5299
Error
Error
=
Error
=
−0.534168 + 0.5299 · 100% −0.534168 0.799%
5
•
Con h=0.001
f (x) − f (x − h) h 0 f (2.13432) − f (2.13432 − 0.001) f (x) = 0.001 0 0.845378 − 0.845912 f (x) = 0.001 0 f (x) = −0.534 0
f (x)
=
Error
Error
=
Error
=
−0.534168 + 0.534 · 100% −0.534168 0.031451%
SEGUNDA PARTE
1 1+ex en x=1/2. Valor exacto
g(x) =
f (x) 0
f (x) 0
f (x)
= = =
1 1 + ex −1 4cosh2
x 2
−0.235004
Aplicando la fórmula de diferencia adelantada
•
Con h=0.001
0
f (x) 0
f (x)
= =
f (x + h) − f (x) h f (1/2 + 0.001) − f (1/2) 0.001 6
0
f (x) 0
=
f (x)
=
Error
=
Error
=
0.377306 − 0.377541 0.001 −0.235
Error
−0.235004 + 0.235 · 100% −0.235004 0.001702%
Aplicando la fórmula de diferencia retrasada
•
Con h=0.001
0
f (x) 0
f (x) 0
f (x) 0
= = =
f (x)
=
Error
=
Error
=
f (x) − f (x − h) h f (1/2) − f (1/2 − 0.001) 0.001 0.377541 − 0.377776 0.001 −0.235
Error
−0.235004 + 0.235 · 100% −0.235004 0.001702%
7
Conclusión
•
Mientras menor sea el valor de h el error de cálculo tanto en la fórmula de diferencia adelantada como en la fórmula de diferencia retrasada va a disminuir considerablemente. Usando la fórmula de diferencia retrasada el error porcentual obtenido es menor.
4. Supongamos que se conoce el valor de la derivada mediante la fórmula de diferencia adelantada para tres valores de h diferentes. valor del h óptimo?
en cada uno de los casos?.
f (x) = senx
Es posible estimar el
Es posible estimar el error que se comete en el cálculo Aplicarlo al cálculo de la derivada de la función
en x=0.6 usando h=0.1, h=0.01 y h=0.0000000001.
Valor exacto
f (x) 0
f (x) 0
f (x) Fórmula a usar
•
0
f (x) =
= senx = cosx =
0.825336
f (x+h)−f (x) h
Con h=0.1 0
f (x)
=
0
f (x)
=
0
f (x)
=
0
f (x)
=
f (x + h) − f (x) h f (0.6 + 0.1) − f (0.6) 0.1 0.644218 − 0.564642 0.1 0.79576
Error
Error
=
Error
=
0.825336 − 0.79576 · 100% 0.825336 3.58351% 8
•
Con h=0.01
0
f (x)
=
0
f (x)
=
0
f (x)
=
0
f (x)
=
f (x + h) − f (x) h f (0.6 + 0.01) − f (0.6) 0.01 0.572867 − 0.564642 0.01 0.822546
Error
•
Error
=
Error
=
0.825336 − 0.822546 · 100% 0.825336 0.338044%
Con h=0.0000000001
0
f (x) 0
f (x)
= =
f (x + h) − f (x) h f (0.6 + 0.0000000001) − f (0.6) 0.0000000001 9
0
f (x) 0
f (x)
0.5646424 − 0.564642 0.0000000001 = 0.8253 =
Error
Error
=
Error
=
0.825336 − 0.8253 · 100% 0.825336 0.004362%
Conslusión
•
Si es posible estimar el valor óptimo de h, ya que mientras h es mas pequeño el error obtenido es menor. Por lo tanto, mientras el valor de h sea menor, el error va a aumentar.
5. Calcular la derivada de la funciï¾÷n
f (x) = tanx
en x=3.14 usando h=0.1 y
h=0.01. Comparar el resultado con el valor exacto. Es buena la aproximación? Por qué? Valor exacto
f (x)
= tanx 1 f (x) = cos2 x 0 f (x) = 1 0
Fórmula a usar
•
0
f (x) =
f (x+h)−f (x−h) 2h
Con h=0.1
0
f (x) 0
f (x)
= =
f (x + h) − f (x − h) 2h f (3.14 + 0.1) − f (3.14 − 0.1) 2(0.1) 10
0
f (x) 0
f (x)
= =
0.098726 + 0.101944 0.2 1.00335
Error
•
Error
=
Error
=
1 − 1.00335 · 100% 1 0.335%
Con h=0.01
f (x + h) − f (x − h) 2h 0 f (3.14 + 0.01) − f (3.14 − 0.01) f (x) = 2(0.01) 0 0.008408 + 0.011593 f (x) = 0.02 0 f (x) = 1.00005 0
f (x)
=
Error
Error
=
Error
=
1 − 1.00005 · 100% 1 0.005%
11
Conclusión
•
La aproximación es buena debido a que estamos usando la fórmula centrada.
También decimos que la aproximación es buena ya que estamos
usando valores pequeños de h. 7. Construir una tabla de derivadas primeras de la función g(x) de nida por la siguiente tabla en los puntos
xj
con la mayor precisión posible mediante fórmulas
de tres puntos. x
g(x)
1.0
1.000000
1.2
0.997502
1.4
0.990025
1.8
0.960398
2.0
0.940678
Fórmula a utilizar 0
f (x) =
−f (2)+4f (1)−3f (0) h
Ejemplo de cálculos 0
g (1) =
−0.990025+4(0.997502)−3(1) 0.4
= −4.25x10−5
Tabla de derivadas h x g'(x) 0.4
1
−4.25x10−5
0.4
1.2
0.01794
0.4
1.4
-0.1729025
8.
Usando la fórmula de diferencia centrada calcular la derivada primera
de la función
f (x) = arctanx
en el punto
x =
√
2
(el valor correcto es 1/3).
Utilizar diferentes valores de h y estudiar los efectos de los errores de redondeo y de truncación. Fórmula a usar
0
f (x) =
f (x+h)−f (x−h) 2h
Valor exacto
12
0
f (x)
= arctanx 0 1 f (x) = x2 + 1 0 1 √ f (x) = ( 2)2 + 1 0 1 f (x) = 3 •
Con h=0.1 0
f (x) 0
f (x) 0
f (x) 0
f (x)
= = = =
f (x + h) − f (x − h) 2h √ √ f ( 2 + 0.1) − f ( 2 − 0.1) 2(0.1) 0.987139 − 0.920348 0.2 0.333955
Error
•
Error
=
Error
=
1 3
− 0.333955 1 3
· 100%
0.1865%
Con h=0.01 0
f (x) 0
f (x) 0
f (x) 0
f (x)
= = = =
f (x + h) − f (x − h) 2h √ √ f ( 2 + 0.01) − f ( 2 − 0.01) 2(0.01) 0.958634 − 0.951968 0.02 0.3333 13
Error
Error
=
Error
=
1 3
− 0.3333 1 3
· 100%
0.01%
Conclusión
•
En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos signi cativos, mientras que el redondeo es el proceso mediante el cual se eliminan cifras signi cativas de un número a partir de su representación decimal, para obtener un valor aproximado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.
9. Deducir la fórmula de cinco puntos que utilice valores de la función en los puntos
x − 2h, x − h, x + h, x + 3h
y
x + 2h
f (x0 + h) ≈ f (x0 ) + f (x0 )h +
f
(2)
2
para calcular (3)
3
0
f (x).
4 (x0 )h 0 )h 0 )h + f (x + f (x 2! 3! 4! (2) 2 (3) 3 (4) 4 0 0 )h 0 )h 0 )h f (x0 − h) ≈ f (x0 ) − f (x0 )h + f (x + f (x + f (x 2! 3! 4! (3) 3 (4) 4 (2) 2 0 0 )(2h) 0 )(2h) 0 )(2h) + f (x3! + f (x4! f (x0 + 2h) ≈ f (x0 ) + f (x0 )h + f (x2! (2) 2 (3) 3 (4) 4 0 0 )(2h) 0 )(2h) 0 )(2h) f (x0 + 2h) ≈ f (x0 ) + f (x0 )h + f (x2! + f (x3! + f (x4! Restando la ecuación (2) a (1) (3) 3 0 0 )h f (x0 + h) − f (x0 − h) ≈ 2f (x0 )h + 2 f (x 3! Restando la ecuación (4) a (3) (3) 3 0 0 )(2h) f (x0 + 2h) − f (x0 − 2h) ≈ 2f (x0 )2h + 2 f (x3! Multiplicando 8(5)-(6) 0
(4)
0
8f (x0 + h) − 8f (x0 − h) − f (x0 + 2h) + f (x0 − 2h) ≈ 12f (x0 )h 0 Despejando f (x0 ) 0 (x0 +2h)+f (x0 −2h) f (x0 ) = 8f (x0 +h)−8f (x0 −h)−f 12h
14
INTEGRACIÓN NUMÉRICA 1. Construya programas en MATLAB para las reglas compuestas: rectángulo, trapecio y Simspon. TRAPECIO COMPUESTO
SIMPSON COMPUESTO
15
2. Aproxime cada una de las siguientes integrales, utilizando los programas desarrollados. a)
´1
(1 + x2 )−1 dx
−1 TRAPECIO
SIMPSON
b)
´2 0
2xcos(x)dx
TRAPECIO
16
SIMPSON
c)
´π
sin(2x)e−x dx
0 TRAPECIO
SIMPSON
3. Considere las siguientes funciones. a) b) c)
f (x) = x3 para 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = sin(x) para 0 ≤ x ≤ f (x) = e−x para 0 ≤ x ≤ 1
π 4
Teniendo presente que:
•
Longitud de una curva. La longitud de una curva un intervalo
[a, b]
es
17
y = f (x)
de nida sobre
ˆ
b
longitud =
q
1 + (f 0 (x))2 dx
a
•
Área de una super cie de revolución. El área de la super cie del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje OX la región limitada por la curva
y = f (x)
y el intervalo[a, b], viene dada por:
ˆ a ´rea =
2π
b
q f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx
a Calcular la longitud de la curva y la super cie de revolución de las curvas dadas, utilizando las reglas compuestas. Realice, además, un análisis del error cometido por cada uno de los métodos. Mostrar las grá cas.
Área
p
1p+ (f 0 (x))2 2πf (x) 1 + (f 0 (x))2
Longitud
ˆ
b
Longitud =
g(x)dx a
ˆ ´ Area =
h(x)dx a
a)
f (x) = x3
para
0≤x≤1
18
b
0
f (x) =√3x2 g(x) = 1 + 9x4 √ h(x) = 2πsin(x) ∗ 1 + 9x4 •
Longitud y área con Trapecios
Longitud Ingrese la funcion g(x): 'sqrt(1+9.*x.^4)' Limites de Integracion Limite inferior: 0 Limite superior: 1 Numero de divisiones: 10 La longitud de curva es: 1.552609 y su error relativo es 0.306478 Área Ingrese la funcion: '2*pi.*x.^3.*sqrt(1+9.*x.^4)' Limites de Integracion Limite inferior: 0 Limite superior: 1 Numero de divisiones: 10 El area de revolucion es: 3.642447 y su error relativo es 2.226272
19
•
Longitud y área con Simpson
Longitud Ingrese la funcion f(x)= sqrt(1+9.*x.^4) Ingrese el limite superior de la integral: 1 Ingrese el limite inferior de la integral: 0 Ingrese el numero de intervalos: 10 El valor aproximado de la longitud es: 1.547865560100135 Área Ingrese la funcion f(x)= 2*pi.*x.^3.*sqrt(1+9.*x.^4) Ingrese el limite superior de la integral: 1 Ingrese el limite inferior de la integral: 0 Ingrese el numero de intervalos: 10 El valor aproximado del area de revolucion es: 3.563159826957447 b)
f (x) = sin(x)
para
0≤x≤
π 4
0
f (x) =p cos(x) 2 g(x) = 1 + cos(x) p h(x) = 2πsin(x) ∗ 1 + cos(x)2 •
Longitud y área con Trapecios
Longitud Ingrese la funcion g(x): 'sqrt(1+(cos(x)).^2)'
20
Limites de Integracion Limite inferior: 0 Limite superior: pi/4 Numero de divisiones: 10 La longitud de la curva es 1.057886 y su error relativo es 0.019841 Área Ingrese la funcion h(x): '2*pi.*sin(x).*(sqrt(1+(cos(x)).^2))' Limites de Integracion Limite inferior: 0 Limite superior: pi/4 Numero de divisiones: 10 El area de revolucion es: 2.419724 y su error relativo es 0.111638
•
Longitud y área con Simpson
Longitud Ingrese la funcion f(x)= sqrt(1+(cos(x)).^2) Ingrese el limite superior de la integral: pi/4 Ingrese el limite inferior de la integral: 0 Ingrese el numero de intervalos: 10 El valor aproximado de la longitud es: 1.058095521173557 Área Ingrese la funcion h(x) f(x)=2*pi.*sin(x).*(sqrt(1+(cos(x)).^2)) Ingrese el limite superior de la integral: pi/4 Ingrese el limite inferior de la integral: 0 Ingrese el numero de intervalos: 10 El valor aproximado del area de revolucion es: 2.422428408553643
21
c)
f (x) = e−x
para
0≤x≤1
0
f (x) =p −e−x 2 g(x) = 1 + (−e−x p) h(x) = 2πsin(x) ∗ 1 + (−e−x )2 •
Longitud y área con Trapecios
Longitud Ingrese la funcion g(x): 'sqrt(1+(-exp(-x)).^2)' Limites de Integracion Limite inferior: 0 Limite superior: 1 Numero de divisiones: 10 La longitud de la curva es: 1.193185 y su error relativo es 0.040522 Área Ingrese la funcion h(x): '2*pi*exp(-x).*sqrt(1+(-exp(-x)).^2)' Limites de Integracion Limite inferior: 0 Limite superior: 1 Numero de divisiones: 10 El area de revolucion es: 4.858023 y su error relativo es 0.181555
22
•
Longitud y área con Simpson
Longitud Ingrese la funcion g(x)= sqrt(1+(-exp(-x)).^2) Ingrese el limite superior de la integral: 1 Ingrese el limite inferior de la integral: 0 Ingrese el numero de intervalos: 10 El valor aproximado de la longitud es: 1.192701430270993 Área Ingrese la funcion f(x)= 2*pi*exp(-x).*sqrt(1+(-exp(-x)).^2) Ingrese el limite superior de la integral: 1 Ingrese el limite inferior de la integral: 0 Ingrese el numero de intervalos: 10 El valor aproximado del area de revolucion es: 4.849220017657589 4. Determine las constantes
ˆ
w0 , w1
y
w2
de manera que:
2
g(t)dt
= w0 g(0) + w1 g(1) + w2 g(2)
0 Sea exacta para las funciones
g(t) = 1, g(t) = t,g(t) = t2
• g(t) = 1 Si
g(0) = g(1) = g(2) = 1 ˆ
ˆ
2
g(t)dt
1dt
0
ˆ
2
= 0
2
w0 g(0) + w1 g(1) + w2 g(2)dt
= t |20
0
w0 + w1 + w2
=
2
• g(t) = t Si
g(0) = 0, g(1) = 1, g(2) = 2 ˆ
ˆ
2
g(t)dt ˆ
=
0
w0 g(0) + w1 g(1) + w2 g(2)dt
=
w1 + 2w2
=
0
• g(t) = t2
23
tdt 0 2
2
2
t 2 | 2 0 2
Si
g(0) = 0, g(1) = 1, g(2) = 4 ˆ
ˆ
2
2
t2 dt
g(t)dt = ˆ
0
0 3
2
w0 g(0) + w1 g(1) + w2 g(2)dt = 0
w1 + 4w2
=
t 2 | 3 0 8 3
SOLUCIÓN
5.
Use la relación
dx = hdt [x0 , x2 ]. con
w0
=
w1
=
w2
=
f (x0 + ht) = g(t)
1 3 4 3 1 3 y el cambio de variable
para trasladar la regla de Simpson desde
´2
[0, 2]
x = x0 + ht
hasta el intervalo
g(t)dt
0
g(t)
=
f (x0 + ht)
dx
=
hdt
x =
x0 + ht
Reemplazando
x(0)
= x0 + 0
x(2)
= x0 + 2h
Se obtiene
1 h
´ x0 +2h x0
xdx
6. Determine en cada uno de los siguientes casos, el número m y el tamaño de los subintervalos h de manera que la regla del trapecio y la de Simpson (considerar cada regla por separado) con m subintervalos nos permita obtener la integral dada con una precisión de a)
´ π/6
−π/6
5 × 10−9
cos(x)dx 24
f (x) 0
f (x) 00
f (x) 000
f (x) f
(4)
h= •
=
cos(x)
=
−sin(x)
= −cos(x) = sin(x) = cos(x) b−a n
π/3 n
Método del Trapecio
b − a 2 00 = h f (u) 12 π/3 π/3 2 = ∗ −cos(u) 12 n 3 π = ∗ −cos(u) 2 324n
E E E Con
u=0 π3 324n2 < 5x10−9
E
=
E π3 324n2 n
< 5x10−9 =
4375 2.39x10−4
h = •
=
Método de Simpson
E E Con
4 h (4) = (b − a)f (u) 180 (π/3)4 = (π/3)cos(u) 4 180n
u=0 E E (π/3)5 180n4 n
(π/3)5 180n4 < 5x10−9
=
< 5x10−9 =
h = 25
35 0.0299
b)
´3
1 dx 2 5−x
f (x) 0
f (x)
=
00
f (x)
=
000
f (x)
=
f (4)
=
h= •
b−a n
=
1 n
Método del Trapecio
Con
E
=
E
=
b − a 2 00 h f (u) 12 1 1 2 2 ∗ 12 n (5 − u)3
u = 2.5
E E 4 375n2 n
4 375n2 < 5x10−9
=
< 5x10−9 =
h = •
1 5−x 1 (x − 5)2 2 (5 − x)3 6 (x − 5)4 24 (5 − x)5
=
1461 6.84x10−4
Método de Simpson
E E Con
4 h (4) (b − a)f (u) = 180 2 = 4 5 15n (5 − u)
u = 2.5
26
E
=
< 5x10−9
E 2 15n4 (5 − 2.5)5 n
< 5x10−9 =
h = c)
´2 0
0.04348
= xe−x
0
= e−x (1 − x)
00
= e−x (x − 2)
000
f (x)
= e−x (3 − x)
f (4)
= e−x (x − 4)
f (x) f (x)
h=
b−a n
=
2 n
Método del Trapecio
Con
E
=
E
=
E
=
b − a 2 00 12 h f (u) 2 2 2 ∗ e−u (u − 2) 12 n 2 1 2 ∗ e−u (u − 2) 3 n
u=1
E E 0.24525 n n
0.24525 n < 5x10−9
=
< 5x10−9 =
h = •
23
xe−x dx
f (x)
•
2 15n4 (5 − 2.5)5
Método de Simpson
27
7004 2.86x10−4
E E Con
4 h = (b − a)f (4) (u) 180 8 = 4 −u 45n e (u − 4)
u=1
E
0.1962 n4 < 5x10−9
=
E 0.1962 < 5x10−9 n4 n = 80 h =
28
0.025
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