Derivacion e Integracion Numerica - Ejercicios Resueltos

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA

EJERCICIOS RESUELTOS

CÁTEDRA DE MÉTODOS NUMÉRICOS DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN SEPTIEMBRE DE 2003 ING. BEATRIZ PEDROTTI

DERIVACIÓN NUMÉRICA

1º EJERCICIO: Dada la siguiente función discreta, i x f(x)

0 0 1

1 2 3 4 5 6 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.90484 0.81873 0.74082 0.67032 0.60653 0.54881

a) Encontrar f’(0) aplicando las fórmulas de 2, 3 y 4 puntos de la tabla, es decir: i -1 -3 -11

i+1 1 4 18

i+2

i+3

-1 -9

2

factor 1/h 1/2h 1/6h

orden error 1 fórmula 1 2 fórmula 2 3 fórmula 3

Solución: según fórmula 1

f'(0) es = (

-1

+

0.9048 +

0 +

0 ) *1/

0.1 = -0.9516

según fórmula 2

f'(0) es = (

-3

+

3.6194 + -0.8187 +

0 ) *1/

0.2 = -0.9969

según fórmula 3

f'(0) es = (

-11 +

16.287 + -7.3686 +

1.5 ) *1/

0.6 = -0.9997

b) Encontrar f’’’(0) aplicando las fórmulas de 5 la tabla, es decir: i -5

i+1 18

i+2 -24

i+3 14

i+4 -3

factor 1/2(h*h*h)

puntos de

orden error 2 fórmula 17

No son aplicables las formulas 19 y 20 que son también de 5 puntos.

Solución: según fórmula 17 f'''(0) es = ( -5 +

16.287 +

1-9

-19.65 +

10 + -2 ) *1/ 0.002 = -0.9400

c) Encontrar fiv (0) aplicando las fórmulas de 5 la tabla, es decir: i 1

i+1 -4

i+2 6

i+3 -4

i+4 1

puntos de

factor orden error 1/(h*h*h*h)) 1 fórmula 21

No son aplicables las fórmulas 22 y 23.

Solución:

según fórmula 21 der4(0) es = (

1 + -3.6194 + 4.9124 +

-3 +

1 ) *1/ 0.00010 =

0.6000

2º EJERCICIO: Dada la siguiente función discreta, i 0 x 0.8 f(x) 0.71736

1 2 3 4 5 0.9 1 1.1 1.2 1.3 0.78333 0.84147 0.89121 0.93204 0.96356

6 1.4 0.98545

a) Encontrar f’’(1.0) o sea i=2, aplicando las fórmulas centrales de 3 y 5 puntos, es decir:

i-2

-1

i-1 1 1 16

i -2 -2 -30

i+1 1 1 16

i+2 0 -1

factor 1/(h*h) 1/(h*h) 1/12(h*)

orden error 2 fórmula 12 2 fórmula13 4 fórmula 15

La fórmula 14 no es central.

Solución: según

fórmula 12 f''(1.0) es = (

0 +

0.7833 + -1.6829 +

0.9 +

0 ) *1/

0.010 =

-0.8400

según

fórmula13 f''(1.0) es = (

0 +

0.7833 + -1.6829 +

0.9 +

0 ) *1/

0.010 =

-0.8400

según

fórmula 15 f''(1.0) es = (

-1 +

12.533 + -25.244 +

14 + -0.9320 ) *1/

0.120 =

-0.8405

b) Encontrar fIII(1.4) o sea i=6,

2-9

aplicando la fórmula 17.

Para aplicar la fórmula 17 que es lateral derecha o inicial en el punto 1.4 y según los datos que poseo, debo transformarla en fórmula lateral izquierda o final formula 17 lateral derecha o inicial i i+1 i+2 i+3 i+4 -5 18 -24 14 -3 cambio signo de indices y signo de factores i i-1 i-2 i-3 i-4 5 -18 24 -14 3 reordeno y obtengo formula 17 lateral izquierda o final i-4 i-3 i-2 i-1 3 -14 24 -18

i 5

factor orden error 1/2(h*h*h) 2

Solución: f'''(1.4) es = (

2.524 + -12.477 + 22.369 + -17.344 + 4.927 ) *1/ 0.002 = -0.2000

3º EJERCICIO: Calcular la derivada primera de f(x)=seno(x)/x en los puntos x=1.2 y x=1.3 aplicando la formula “8” con pasos de cálculo h1=0.1 y h2=0.2 y Extrapolando por Richardson.

La fórmula “8” es: i-2 1

i-1 -8

i 0

i+1 8

i+2 -1

factor 1/12h

Los datos de la función discretizada que necesito para el cálculo son: x f(x)

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0.896695 0.870363 0.841471 0.810189 0.776699 0.741199 0.703893 0.664997 0.624734 0.583332

a) La derivada en x=1.2 con h1=0.1 es: (0.841470985 -6.481508073 + 0 + 5.929588833 - 0.703892664)/ (12* 0.1)= -0.345284099

3-9

La derivada en x=1.2 con h2=0.2 es: (0.896695114 - 6.731767878 + 0 + 5.631141314 - 0.624733502)/(12*0.2)= -0.345277064

Extrapolando, h2/h1= 2;

orden de error= 4

(h2/h1)4= 16 f’(1.2)ex=(16 *( -0.345284099) – (-0.345277064))/(16-1)= -0.34452845691

b) La derivada en x=1.3 con h1=0.1 es:

(0.810188509 - 6.213593906 + 0 + 5.631141314 - 0.6649967)/(12*0.1)= -0.364383951

La derivada en x=1.1 con h2=0.2 es: (0.870363233 - 6.481508073

+0+

+5.319973262 - 0.583332241)/(12*0.2)= -0.36437659

Extrapolando, h2/h1= 2;

orden de error= 4

(h2/h1)4= 16 f’(1.3)ex=(16 *( -0.364383951) – (-0.36437659))/(16-1)= -0.3643844452

INTEGRACIÓN NUMÉRICA (ESTOS EJERCICIOS SON LOS QUE SE TOMARON EN LOS PARCIALES 1º SEMESTRE 2003)

4º EJERCICIO:

Resolver 2

∫

1 + x3

dx

Aplicando la fórmula I23 e indicar el orden de

0

error de la fórmula aplicada.

Solución:

4-9

Nota:La solución exacta es 3.239 La solución numérica se obtiene de la fórmula I23 (# 11) h/3

•

•

4

orden de error es 5

Aplico paso h= 0.5, y obtengo la siguiente tabla: x= f(x)=

0.0 1.000

0.500 1.061

1.000 1.414

1.500 2.092

2.000 3.000

Primera integración de 0 a 1 I1= 1.11 Segunda integración de 1 a 2 I2= 2.13 Integral Numérica I= 3.24

5º EJERCICIO: Resolver π

∫ sen ( x) / x

dx aplicando la fórmula I43 y extrapolando por Richardson indicar

0

cual es el mejor valor obtenido. Solución Nota: La solución exacta es I=1.85 La solución numérica la obtenemos con la formula I43 (#14) 4h/3

€

2

-1

2

€

1)con h=Pi/4= 0.785 obtengo la siguiente tabla x= f(x)=

0.000 NAN

0.785 0.900

1.571 0.637

2.356 0.300

I= 1.84749 2) con h=Pi/8=0.393 obtengo la siguiente tabla

5-9

3.142 0.000

x=

0.000 2.749

0.393 3.142

0.785

f(x)=

NaN 0.974 0.900 0.139 0.000

1.178

0.784

1.571

0.637

1.963

0.471

2.356

0.300

I= 1.3703 + 0.48139 = 1.85169 3) Aplicando Richardson: n= orden de error es 5 h1/h2= 2 I mejor es: (16 * 1.85169 - 1.84749)/15 =1.8520

6º EJERCICIO: Resolver La integral numérica entre x=0 y x= 2 de la siguiente función discreta x=

(0.00000

0.50000

1.00000)

f(x)=

(1.00000

1.06066

1.41421)

Solución Nota: La solución exacta es I=3.239 Debería aplicar la fórmula h/12

32

-64

80

0

I43(# 24) 0

con h=0.5 I = 3.219

7º EJERCICIO: Resolver

6-9

orden de error es 4

La integral de la función discreta definida en la tabla adjunta, entre x=0 y x= PI, x=

0.393 3.142

0.785

1.178

1.571

1.963

2.356

2.749

f(x)=

0.974 0.000

0.900

0.784

0.637

0.471

0.300

0.139

Aplicar Extrapolación de Richardson para obtener un mejor valor. Utilizar los menores pasos de calculo h posibles. Solución Nota: La solución exacta es 1.85 Aplico formula I21 (#9) 2h 0 1 0 orden de error es n=3 1) con h= PI/4=0.785 Calculo I= 2 * 0.785 * (0.9 + 0.3)= 1.884 2) con h=Pi/8=0.393 Calculo I= 2* 0.393 (0.974 + 0.784 +0.471 + 0.139)=1.8612 3) Por Richardson I= (4* 1.8612 – 1.884)/3=1.8536

8º EJERCICIO: Resolver la siguiente integral numérica

∫

3

2

( X 3 + 1 / X )dx

con un paso h=0.5 aplicando la siguiente formula fórmula I23 (# 11) h/3

•

4

•

orden de error es 5

Luego elegir otro paso h’ y aplicar Extrapolación de Richardson. 7-9

Solución: h1=0.5 x=

2.0

f(x)=

8.5000

I1

16.5555

=

2.50000

h2=0.25 x=

2.0

f(x)=

8.5000

I2

Ia + Ib=

16.0250

=

2.25 11.8351

3.00000 27.3333

2.5 16.0250

2.75 21.1605

3.00000 27.3333

5.988783 + 10.666692 = 16.655475

Por Richardson I= (2 I2 + I1)/3=16.6555

8-9