Derivacije i integrali

Derivacije i integrali Andrej Ficnar U ovom članku objasnit ću pojam derivacija i integrala, pretpostavljajući da čitatelj ima predznanje matematike 2. do 3. razreda srednje škole. S obzirom na vrijeme u kojem ovo gradivo treba biti ispredavano i s obzirom na pretpostavku o predznanju čitatelja, neki matematički formalizmi biti će preskočeni. 1. Niz i limes niza 1.1. Definicija. Da bi mogli uvesti pojam derivacije, najprije moramo objasniti što je to limes niza, a onda posebno i niz. Iako se "niz" najčešće shvaća kao običan niz brojeva, on je zapravo jednostavno definiran u matematici: nizom realnih brojeva naziva se svaka funkcija a : N → R. Dakle, niz je pridruživanje nekog realnog broja svakom prirodnom broju. 1.2. Zadavanje nizova i primjeri. Kako je niz zapravo funkcija, možemo ga zadati zakonom pridruživanja, kao i svaku funkciju, ili jednostavno, navodeći "članove niza", odnosno realne brojeve koji se pridružuju prvim nekoliko prirodnih brojeva.1 Obično pišemo a1 = a(1), a2 = a(2), . . . , an = a(n), a sam niz označavamo s (an ). Slijedi nekoliko primjera nizova zapisanih u jednoj i drugoj notaciji: 1, 2, 3, 4, . . . an = n 2, 2, 2, 2, . . . an = 2 an = n1 1, 21 , 31 , 14 , . . . −1, 1, −1, 1, . . . an = (−1)n 1.3. Ograničenost i monotonost. Za neki niz (an ) kažemo da je ograničen ako postoji M > 0 takav da za sve n ∈ N vrijedi |an | ≤ M . Dakle, kada sve članove niza na brojevnom pravcu možemo ’strpati’ u ograničen skup. Osim ovoga, za niz kažemo da je rastući ako za sve n ∈ N vrijedi an ≤ an+1 (za niz kažemo da je strogo rastući ako za sve n ∈ N vrijedi an < an+1 ). Analogne definicije vrijede za pojam padajućeg i strogo padajućeg niza. Niz nazivamo monotonim ako je rastući ili padajući (naravno, strogo monotonim nazivamo niz koji je strogo rastući ili strogo padajući). 1.4. Epsilon okolina. Definirajmo sada tzv. ε okolinu. Neka je c ∈ R i ε > 0. Tada interval < c − ε, c + ε > nazivamo ε okolina broja c. Tako, npr. interval < −1, 1 > jeste 1 Općenito, bilo koje preslikavanje (što je sinonim za funkciju) f : S → A sa skupa S u skup A u potpunosti je određeno slikama f (s) elemenata s ∈ S.

1

ε okolina broja 0 za ε = 1. 1.5. Gomilište niza. Neka je zadan niz realnih brojeva (an ) i c ∈ R. Kažemo da je c gomilište niza (an ) ako svaka ε okolina sadrži beskonačno mnogo članova niza, ili zapisano pomoću logičkih kvantifikatora, (∀ ε > 0)(∀ n ∈ N)(∃ m ≥ n)|am − c| < ε. Primjeri: 1 an = - gomilište je očito nula, jer koliko god mali interval uzeli oko nule (tj. koliko n god malu ε okolinu), uvijek će u njoj biti beskonačno članova niza (jer su racionalni brojevi gusti) an = (−1)n - kako se n mijenja od parnog do neparnog, tako se članovi niza izmjenjuju u vrijednostima 1 i -1, pa su upravo to gomilišta ovog niza 1.6. Limes niza. Neka je (an ) niz realnih brojeva. Kažemo da je niz an konvergentan ako postoji a0 ∈ R takav da je (∀ ε > 0)(∃ n0 ∈ N)(∀ n ≥ n0 )|an − a0 | < ε. Broj a0 zovemo limes ili granična vrijednost niza (an ) i označavamo ga s lim an (ili, rjeđe n→∞

korišteno, an → a0 ). Za niz koji nije konvergentan kažemo da je divergentan. Drugim riječima, limes je točka na brojevnom pravcu u čijoj se svakoj okolini (dakle, koliko god maloj) nalazi beskonačno članova niza, osim njih konačno mnogo, koji se nalaze izvan te okoline. Ovo implicira da je limes nekog niza ujedno i njegovo gomilište, ako usporedimo definicije ta dva pojma. Također, prilično je očito, a može se i dokazat, da konvergentan niz ima samo jedan limes. Prema tome, ako neki niz ima limes (dakle, ako je konvergentan), onda je taj limes jedino gomilište tog niza. Primjeri: 1 1. lim = 0 jer je očito da, koju god okolinu stavimo oko nule, vidimo da unutar n→∞ n te okoline ima beskonačno mnogo članova niza, dok one izvan tih granica možemo točno pobrojiti, dakle, ima ih konačno mnogo 2. lim (−1)n ne postoji, tj. taj niz je divergentan - očito jedini kandidati za neki limes n→∞ mogu biti gomilišta, a kako vidimo iz prijašnjeg razmatranja da imamo dva gomilišta, a limes mora biti jedino gomilište, očito je da je niz divergentan - ili, koliko god malu okolinu uzmemo oko, recimo, broja 1, vidimo da članova niza unutar te okoline ima beskonačno, ali da ih i izvan također ima beskonačno, jer se ’gomilaju’ i oko broja -1 n 3. lim = 1 što možemo shvatiti onako, ’na prste’, jer se u beskonačnosti n i n→∞ n + 1 n + 1 ne razlikuju, no ovdje možemo pokazati kako se rješavaju zadaci s limesima: 1 1 lim n = lim n+1−1 = lim (1 − n+1 ) = 1 jer u beskonačnosti razlomak n+1 teži n→∞ n+1 n→∞ n+1 n→∞ u nulu. Dakle, rješavanje tih zadataka se svodi na svođenje zadanih oblika na nešto prepoznatljivije, gdje se onda može sa sigurnošću reći što gdje teži. 1.7. Još o nizovima. Za neki konvergentan niz prilično je očito da je omeđen. Naime, ako je konvergentan, znači da ima limes, a ako ima limes, znači da oko njega možemo proizvoljno postaviti neku okolinu unutar koje će se nalaziti beskonačno mnogo članova niza, a izvan nje konačno mnogo. Tada, od svih tih članova izvan okoline izaberemo onog po apsolutnoj vrijednosti najvećeg i njega proglasimo brojem M iz definicije ograničenog 2

niza. I time smo dokazali tvrdnju. Uz ponešto matematičkog formalizma dade se dokazati i slijedeći vrlo važan teorem: svaki monoton i omeđen niz je konvergentan2 . Ova tvrdnja može biti shvatljiva na prvi pogled, jer ako neki niz uvijek npr. raste, a na njega još stavite uvjet da je ograničen, znači da taj rast ne može preći neku granicu, odnosno da se članovi niza negdje gomilaju, i to na jednom mjestu, jer je niz monoton. Obrat ove tvrdnje ne vrijedi, a za dokaz toga dovoljno je pronači jedan protuprimjer tvrdnji da obrat vrijedi, a to je niz an = (−1)n n1 . On očito konvergira nuli, tj. limes mu je nula, no on oscilira, tj. nije monoton. Možda bi još trebalo spomenuti da je linearna kombinacija3 bilo koja dva konvergentna niza ponovo konvergentan niz, čiji je limes jednak linearnoj kombinaciji limesa ta dva niza sa istim koeficijentima. Također, umnožak i kvocijent (naravno, onaj niz s kojim se dijeli, ne smije imati niti jednog člana jednakog nuli) dva niza isto je konvergentan i limes mu je jednak umnošku odnosno kvocijentu limesa ta dva niza. 1.8. Podniz. Uz zadani niz realnih brojeva, (an ) (dakle, funkciju a : N → R), definirajmo proizvoljnu strogo rastuću funkciju p : N → N. Tada kompoziciju tih dviju funkcija g ◦ p nazivamo podniz niza (an ) i označavamo ga s (ap(n) ). Drugim riječima, iz niza (an ) uzmemo određene članove po nekom pravilu, poredamo ih u novi niz, pri čemu im zadržimo redoslijed koji su imali u starom nizu, i dobijemo podniz. Važan teorem uz podnizove kaže da svaki ograničn niz ima konvergentan podniz. Ta tvrdnja nije toliko očita, a dokaz je pozamašan, tako da ćemo ga ovdje ispustiti, usprkos njegovoj ljepoti. Primjerice, niz (−1)n je ograničen, pa sigurno ima i konvergentan podniz; to je podniz kojemu su svi članovi brojevi 1. 2. Limes funkcije i neprekidnost 2.1. Limes funkcije. Uzmimo neku funkciju f :< a, b >→ R te izaberimo broj (točku) c ∈< a, b >. Kažemo da ta funkcija f ima limes ili graničnu vrijednost u točki c ako postoji realan broj L takav da za sve nizove (xn ) ⊂< a, b > (dakle, za sve nizove čiji se svi članovi nalaze unutar intervala < a, b >) koji imaju svojstvo da lim xn = c i za sve n→∞

n ∈ N je xn 6= c vrijedi da je lim f (xn ) = L. Taj limes označava se lim f (x). Dakle, ovo n→∞ 4

x→c

je formalna, Heineova definicija , no razmotrimo nakratko što ona zapravo znači. Dakle, vi izaberete neki niz čiji element nije broj c, ali koji teži u c i čiji se svi elementi nalaze u domeni funkcije. Zatim, kad ste našli jedan takav niz, sve vrijednosti tog niza ’napadnete’ funkcijom f , tj. napravite novi niz čiji če članovi biti f (xn ). Sada, ako taj niz konvergira, onda to provjerite za sve moguće nizove koji zadovoljavaju uvjete (da se nalaze unutar domene, da im je limes u točki c..) i ako je to istina, onda se kaže da je broj kojem ti nizovi (nizovi funkcijskih vrijednosti prvotnih nizova) konvergiraju limes funkcije f kada x teži 2 Od ovog teorema potječe i poznati vic o matematičarima: svi matematičari su konvergentni jer su monotoni i ograničeni :) 3 Linearnom kombinacijom dva niza, (a ) i (b ), naziva se niz oblika (αa + βb ), gdje su α i β realni n n n n brojevi. 4 Za one više spretnije sa kvantifikatorima, nudi se još jedna definicija ekvivalentna Heinovoj koja se mnogo češće koristi - Cauchyeva, koja kaže da funkcija f ima limes L u točki c ako (∀ ε > 0)(∃ δ > 0)(∀ x ∈< a, b >)(0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε)

3

u c. Drugim riječima, možemo to zamisliti tako da nacrtamo graf funkcije f i izaberemo točku c na apscisi, te zatim pogledamo što točke lijevo i desno od c kažu, da li teže istoj točki (c, f (c)) i ako da, onda je to limes. Naravno, napominjem da ne mora vrijediti da f ima vrijednost u točki c jednaku limesu ili da je uopće ima definiranu. Uzmimo za primjer funkciju definiranu na slijedeći način:  1  2 za 0 < x < 2 , f :< 0, 1 >→ R f (x) = 3 za x = 21 ,   2 za 21 < x < 1. Pitamo se da li postoji lim1 f (x)? Pogledajmo definiciju. Moramo naći niz koji ima limes x→ 2

u 12 , čiji su članovi elementi domene funkcije f , te da mu niti jedan član nema vrijednost 1 2 . Izaberimo jedan takav proizvoljni niz, i očito je da koji god niz (xn ) uzmemo vrijedi da je f (xn ) = 2 za sve n ∈ N, tj. (f (xn )) je konstantan niz, a konstantan niz očito ima limes koji jednak upravo 2. Ovdje vidimo da nije nužno da se podudaraju vrijednost funkcije u nekoj točki i limes koji ta funkcija ima u toj točki (štoviše, funkcija uopće ne mora biti definirana u toj točki, jedino što je važno jest što ’susjedi’ kažu). Kako limes funkcije potječe od limesa niza, tako su i svojstva limesa funkcije naslijeđena od svojstava limesa niza. Ovdje ćemo ih ipak istaknuti, jer će biti korišteni kasnije u tekstu. Uz pretpostavku da imamo funkcije f, g : I → R i da izaberemo neku točku c ∈ I, vrijedi: 1. lim [αf (x) + βg(x)] = α lim f (x) + β lim g(x), za α, β ∈ R x→c

x→c

x→c

2. lim [f (x)g(x)] = lim f (x) lim g(x) x→c

x→c

x→c

lim f (x) f (x) = x→c za g(x) 6= 0 ∀x ∈ I i lim g(x) 6= 0 x→c x→c g(x) lim g(x)

3. lim

x→c

2.2. Neprekidna funkcija. Neprekidne funkcije vrlo su zanimljive jer imaju neka dobra svojstva potrebna za deriviranje i integriranje. Definicija neprekidne funkcije je zapravo vrlo jednostavna, a nadovezuje se na onu zgodnu posljednju opasku iz prijašnjeg odlomka. Dakle, neka je f :< a, b >→ R i c ∈< a, b >. Tada kažemo da je funkcija f neprekidna u točki c ako je lim f (x) = f (c). Dakle, rekli smo da vrijednost funkcije u toj točki x→c mora biti jednaka vrijednosti limesa funkcije u toj točki, kako bi izbjegli slučaj da točke ’lete’ kao u prethodnom primjeru ili da funkcija u toj točki ne bude definirana. Drugim riječima, ’susjedi’ s lijeva i s desna pokazuju točno u vrijednost funkcije u toj točki. Jednostavnije rečeno, neprekidnu funkciju možete nacrtati ne mičući olovku s papira, takorečeno. Ovdje smo definirali neprekidnost funkcije u točki, no kada kažemo da je neka funkcija neprekidna, onda mislimo da je neprekidna na svim točkama svoje domene. Samo za napomenu, vrijedi da, ukoliko su funkcije f, g :< a, b >→ R neprekidne u nekoj točki c ∈< a, b >, tada su i funkcije (f ± g), f g, fg (uz uvjet da je g(c) 6= 0) također neprekidne u c. Osim toga, i kompozicija dviju neprekidnih funkcija (pod pretpostavkom da je kompozicija dobro definirana, s obzirom na domene i slike pojedinih funkcija) isto neprekidna funkcija.

4

3. Derivacije 3.1. Povijest i definicija. S problemom derivacije krajem 18. stoljeća susreli su se znanstvenici kako u fizici tako i u matematici. I. Newton se bavio problemom brzine, točnije, zanimalo ga je kako u nekom skroz općenitom gibanju znati brzinu u svakom trenutku. Prosječna brzina je dakako dana formulom v=

s(t + ∆t) − s(t) (t + ∆t) − t

no što je s brzinom u nekom trenutku t? Zdravorazumski je bilo uzeti neki jako mali interval ∆t na kojem ćemo pretpostaviti da se brzina ne mijenja. Izraz ’jako mali’ može se i matematički formalizirati: iskoristiti ćemo gradivo limesa, pa za brzinu u trenutku t dobijemo s(t + ∆t) − s(t) v(t) = lim ∆t→0 (t + ∆t) − t ili, što je ekvivalentno tvrdnji

v(t0 ) = lim

t→t0

s(t) − s(t0 ) t − t0

samo što ovdje gledamo brzinu u nekom trenutku t0 . Slično je i G. N. Leibniz rješavao problem tangente funkcije u nekoj točki. Naime, odrediti tangentu na grafu neke proizvoljne funkcije y(x) nije jednostavno, no kako je tangenta pravac, za zadavanje pravca potrebna nam je jedna točka i koeficijent smjera tog pravca. Kako već točku imamo zadanu (onu točku u kojoj tražimo tangentu, nazovimo je x0 ), potrebno je naći koeficijent smjera za koji formulu znamo: k=

y(x) − y(x0 ) x − x0

no, slijedi ista priča kao kod Newtona: zahtijevamo da je tangenta lokalno svojstvo funkcije, odnosno da bi tangentu uzeli što točnije, moramo točke x uzimati što bliže točki x0 , odnosno y(x) − y(x0 ) k = lim x→x0 x − x0

Dakle, dobili smo istu formulu kao i kod Newtona. Formalizirajmo ova razmatranja. Neka je f :< a, b >→ R i c ∈< a, b >. Kažemo da je funkcija f diferencijabilna ili derivabilna u točki c ako postoji limes funkcije x 7→ f (x) − f (c) u točki c. U protivnom kažemo da funkcija f nije derivabilna u točki c. x−c f (x) − f (c) Realni broj lim zove se derivacija funkcije f u točki c i označava se sa f 0 (c) x→c x−c ¯ df ¯¯ df ili sa (c). Naravno, ako je funkcija derivabilna u svim točkama svoje ili pak sa dx ¯x=c dx domene, onda jednostavno kažemo da je derivabilna. Pogledajmo nekoliko primjera:

5

1. Konstantna funkcija f : R → R, f (x) = a f (x) − f (c) a−a lim = lim = 0, tj. f 0 (x) = 0 ∀x, tj. derivacija konstante je uvijek x→c x→c x − c x−c nula što se i očekivalo, s obzirom da je (kako smo raspravili u Leibnizovoj priči) derivacija zapravo koeficijent smjera tangente, a tangenta na svaku točku konstantne funkcije je paralelna x-osi, tj. koeficijent smjera joj je jednak nuli. 2. Identiteta f : R → R, f (x) = x f (x) − f (c) x−c lim = lim = 1, tj. f 0 (x) = 1 ∀x, što je također očekivano. x→c x→c x−c x−c

3. Kvadratna funkcija f : R → R, f (x) = x2 x2 − c2 (x − c)(x + c) f (x) − f (c) = lim = lim = lim (x + c) = 2c lim x→c x − c x→c x→c x→c x−c x−c 0 f (x) = 2x ∀x, dakle, ovdje vidimo kako se nagib tangente mijenja u ovisnosti o točki u kojoj je uzimamo, što je i prilično očigledno pogledamo li graf kvadratne funkcije

4. Funkcija apsolutne vrijednosti f : R → R, f (x) = |x| Ovdje treba napomenuti da ovakva funkcija nije derivabilna za sve točke domene, točnije, nije derivabilna samo za x = 0 jer u toj točki funkcija ima ’šiljak’, tj. u toj točki ne postoji jedinstvena tangenta, što je vidljivo s grafa, pa ni jedinstvena derivacija. To se analitički može provjeriti gledajući tzv. limese s lijeva i limese s desna, tj. što se događa kad argument teži nekoj zadanoj vrijednosti s lijeve strane brojevnog pravca (x → x0 −) i s desne strane (x → x0 +). Pa pogledajmo onda slučaj za x0 = 0: |x| x f (x) − f (0) = lim = lim =1 lim x→0+ x x→0+ x x→0+ x−0 f (x) − f (0) |x| −x lim = lim = lim = −1 x→0− x→0− x x→0− x x−0 No, u definiciji limesa neke funkcije mi zahtijevamo da on vrijedi za bilo koji izabrani niz, pa prema tome limesi slijeva i zdesna moraju biti jednaki. Kako to ovdje nije slučaj, zaključujemo da funkcija apsolutne vrijednosti nije derivabilna u nuli. 3.2. Derivacija i neprekidnost. Na prošlom primjeru vidjeli smo kako funkcija apsolutne vrijednosti, koja je očito neprekidna funkcija, nije derivabilna (da kažemo da neka funkcija nije derivabilna, znači da nije derivabilna na svim točkama svoje domene, to još uvijek može značiti da je derivabilna na nekim točkama). Dakle, očito funkcija neprekidna u nekoj točki ne mora biti i derivabilna u toj točki, no da li vrijedi obrnuto, tj. da li funkcija derivabilna u nekoj točki mora biti i neprekidna u toj točki? Nazovimo tu točku c, a funkciju označimo s f i pogledajmo slijedeći izraz: lim (f (x) − f (c)) = lim

x→c

Dakle, slijedi da je

x→c

f (x) − f (c) f (x) − f (c) (x − c) = lim lim (x − c) = f 0 (c) · 0 = 0 x→c x→c x−c x−c lim (f (x) − f (c)) = 0

x→c

odnosno da je lim f (x) = f (c)

x→c

6

što je upravo i definicija neprekidnosti funkcije. Dakle, iz ovoga zaključujemo da su derivabilne funkcije podskup neprekidnih. 3.3. Derivacija umnoška, zbroja, kvocijenta, kompozicije i inverza funkcije. Uzmimo dvije funkcije f, g :< a, b >→ R derivabilne u točki c. Vrijedi da funkcija (f + g) ima derivaciju u točki c:

(f + g)0 (c)

= = = = =

(f + g)(x) − (f + g)(c) x−c f (x) + g(x) − (f (c) + g(c)) lim x→c x−c · ¸ f (x) − f (c) g(x) − g(c) + lim x→c x−c x−c g(x) − g(c) f (x) − f (c) + lim lim x→c x→c x−c x−c f 0 (c) + g 0 (c) lim

x→c

Funkcija f g ima derivaciju u točki c: (f g)0 (c)

= = = = = = =

(f g)(x) − (f g)(c) x−c f (x)g(x) − f (c)g(c) lim x→c x−c f (x)g(x) − f (c)g(x) + f (c)g(x) − f (c)g(c) lim x→c x−c g(x)(f (x) − f (c)) + f (c)(g(x) − g(c)) lim x→c x−c · ¸ f (x) − f (c) g(x) − g(c) lim g(x) + f (c) x→c x−c x−c g(x) − g(c) f (x) − f (c) + lim f (c) lim lim g(x) lim x→c x→c x→c x→c x−c x−c g(c)f 0 (c) + f (c)g 0 (c) lim

x→c

7

f ima derivaciju u točki c ako vrijedi da je g(c) 6= 0: g f f ( )(x) − ( )(c) f 0 g g ( ) (c) = lim x→c g x−c f (x)g(c) − f (c)g(x) = lim x→c (x − c)g(x)g(c) f (x)g(c) − f (x)g(x) + f (x)g(x) − f (c)g(x) = lim x→c (x − c)g(x)g(c) · ¸ 1 g(x) − g(c) f (x) − f (c) −f (x) = lim + g(x) x→c g(x)g(c) x−c x−c 1 [−f (c)g 0 (c) + g(c)f 0 (c)] = g(c)g(c) f 0 (c)g(c) − f (c)g 0 (c) = [g(c)]2

Funkcija

Uzmimo sada dvije funkcije, f i g, takve da je definirana kompozicija tih funkcija, f ◦ g. Ako vrijedi da je funkcija f derivabilna u točki c iz njezine domene i da je funkcija g derivabilna u točki f (c) iz njezine domene, onda je i njihova kompozicija g ◦ f također derivabilna: (g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(c) (g ◦ f )0 (c) = lim x→c x−c g(f (x)) − g(f (c)) = lim x→c x−c g(f (x)) − g(f (c)) f (x) − f (c) = lim x→c f (x) − f (c) x−c 0 0 = g (f (c))f (c) Da bi mogli potražiti derivaciju inverza neke funkcije f :< a, b >→< a1 , b1 > mora vrijediti da je ta funkcija bijekcija5 , da je neprekidna na svojoj domeni,i da je njen inverz neprekidan na svojoj domeni zatim da f ima derivaciju u točki c iz svoje domene, te da ona bude različita od nule. Tada funkcija f −1 ima derivaciju u točki d = f (c) [f −1 ]0 (d)

f −1 (y) − f −1 (d) y→d y−d f −1 (f (x)) − f −1 (f (c)) = lim x→c f (x) − f (c) x−c = lim x→c f (x) − f (c) 1 = 0 f (c) =

lim

5 Općenito, funkcija f : A → B je bijekcija ako svakom elementu skupa B pridružuje točno jedan element skupa A, tj. ukoliko za svaki b ∈ B postoji jedinstven a ∈ A takav da je f (a) = b.

8

3.4. Derivacije elementarnih funkcija. Pogledajmo najprije derivaciju sinus funkcije. Ona je derivabilna na cijelom području definicije: (sin)0 (c)

sin x − sin c x−c x−c x+c 2 sin cos 2 2 lim x→c x−c x−c sin x+c lim x −2c cos x→c 2 2 sin y cos c lim y→0 y cos c

=

lim

x→c

=

=

= =




Treba napomenuti da se u dobivanju druge jednakosti koristio poznati trigonometrijski identitet kojeg ima u svim matematičkim tablicama i nije ga potrebno ovdje dokazivat, te sin x da se u dobivanju posljednje jednakosti koristio identitet lim = 16 . x→0 x Analogno dobijemo derivaciju funkcije kosinus, a funkcije tangens i kotangens raspišemo kao kvocijente sinusa i kosinusa te onda primjenjujući pravilo za derivaciju kvocijenta funkcija dobijemo njihove derivacije. Derivacije elementarnih funkcija, kao i pravila za deriviranje ima u poznatim ’žutim tablicama’. 6 Ovu tvrdnju možemo dokazati primjenom tzv. teorema o sendviču. Razmotrimo prvo slijedeću sliku koja prikazuje dio jedinične kružnice

A x O

C

B

Sada, očito je da vrijedi odnos između površina POAB < POAB,luk < POBC . Uvrstimo li formule za pojedine površine koje očitamo iz slike dobijamo: sin2x·1 < x·1 < tgx·1 . Lijeva strana daje sin x < x, tj. 2 2 sin x sin x sin x < 1. Desna strana daje tgx = > x, tj. > cos x. Dakle, sve skupa daje cos x < sinx x < 1. x cos x x Kada pustimo da x teži nuli, očito je da se desna strana ne mijenja, dok cos x teži 1. Prema tome, jedina mogućnost je da lim sinx x = 1. x→0

9

Derivacija eksponencijalne funkcije. exp0 (c)

= = = = = = = =

ex − ec x→c x − c ec (ex−c − 1) lim x→c x−c x−c e −1 ec lim = {t = x − c} x→c x − c et − 1 ec lim = {u = et − 1 ⇒ t = ln(u + 1)} t→0 t u ec lim u→0 ln(u + 1) 1 ec lim 1 u→0 ln(u + 1) u 1 ec ln e ec lim

Ovdje treba napomenuti da smo koristili definiciju baze prirodnog logaritma e, a to je 1 e = lim (u + 1) u . u→0

U izvođenju derivacije prirodnog logaritma koristit ćemo se izrazom za derivaciju inverza neke funkcije. Dakle, uzmimo y = ln x iz čega slijedi da je ey = x. Tada, po spomenutom pravilu: 1 1 1 (ln x)0 = y 0 = y = (e ) e x Derivaciju potencija xα izvodimo pretpostavljajući da je α ∈ R, kako bi bili općeniti. α Prvo pogledajmo ovaj korisni identitet xα = eln x = eα ln x . Imajući na umu pravilo za deriviranje kompozicije funkcija, pogledajmo derivaciju: (xα )0

= (eα ln x )0 = eα ln x (α ln x)0 1 = xα α = αxα−1 x

Što se tiče derivacije ostalih elementarnih i neelementarnih funkcija, one se izvode na sličan način, ili primjenjujući samu definiciju derivacije i/ili primjenjujući pravila za deriviranje. Derivacije funkcija koje se češće koriste popisane su u matematičkim tablicama. 3.5. Više derivacije. Ako neka je neka funkcija f : I → R derivabilna na I i njezina derivacija f 0 : I → R također derivabilna na I, tada kažemo da funkcija f ima derivaciju drugog reda na intervalu I. Drugu derivaciju označavamo sa f 00 ili f (2) ili, kako to češće d2 f rade fizičari, sa . Analogno se definiraju ostale više derivacije. dx2 3.6. Derivacije i ekstremi. Definirajmo prvo što je to lokalni maksimum a što lokalni minimum. Za neku funkciju f : I → R kažemo da u točki c ∈ I ima lokalni maksimum ako 10

postoji δ > 0 takav da |x − c| < δ ⇒ f (x) ≤ f (c), a kažemo da ima lokalni minimum ako postoji δ > 0 takav da |x − c| < δ ⇒ f (x) ≥ f (c). Lokalni minimumi i lokalni maksimumi se jednim imenom nazivaju lokalnim ekstremima. Jasno je da, kada funkcija na grafu raste, da joj je derivacija veća od nule (jer je derivacija zapravo tangens kuta koji tangenta zatvara s apscisom, a dok funkcija raste taj je kut manji od π/2). Naravno, obrnuto je dok pada. Prema tome, tik prije lokalnog ekstrema derivacija ima jedan predznak, a tik poslije drugi pa je očito da će upravo u lokalnom ekstremu derivacija imati vrijednost nula. Međutim, ne vrijedi obrnuto. Primjer je funkcija x3 , čija je derivacija 3x2 i kada uvrstimo x = 0 dobijamo da je derivacija jednaka nuli, no iz grafa je očito da ta točka nije ekstrem. Takve točke, prije kojih derivacija ima jedan predznak, zatim se ’smiri’ na nulu, a onda ponovno nastavi sa istim predznakom, se nazivaju točke infleksije. Općenito, točke u kojima je derivacija jednaka nuli nazivaju se stacionarne točke. Očito pitanje koje se nameće jest kako prepoznati da li je neka točka c lokalni ekstrem ili sedlasta točka, nakon što smo ustvrdili da joj je derivacija jednaka nuli. Jedan način je da provjerite kako se derivacija ponaša za točke malo manje od c i malo veće, jednostavnim uvrštavanjem. Drugi način je da pogledamo drugu derivaciju u toj točki, te ako ustvrdimo da je ona veća od nule, onda se radi o lokalnom minimumu, ako je ona manja od nule, o lokalnom maksimumu, a ako je jednaka nuli onda imamo sedlastu točku. Dokaz ove tvrdnje zahtijeva još dodatnog znanja, pa ćemo ga ovdje ispustiti. Nađimo tako ekstrem kvadratne funkcije, y = ax2 + bx + c: d dy = (ax2 + bx + c) = 2ax + b = 0 dx dx −b . Iz ovoga izlazi da je x-koordinata potencijalnog lokalnog ekstrema jednaka xm = 2a Derivirajmo gornji izraz još jednom: d2 y d = (2ax + b) = 2a 2 dx dx Iz ovoga vidimo, ako je a < 0, tada se radi o lokalnom maksimumu, a ako je a > 0, onda o lokalnom minimumu, baš kao što i grafovi pokazuju. Osim ovoga, primijetite, da je druga derivacija jednaka nuli samo kad je a jednak nuli, odnosno kada se više ne radi o kvadratnoj jednadžbi, već o pravcu, koji nema ekstrema, baš kao što nam i druga derivacija govori. 3.7. Parcijalne derivacije. Najprije razjasnimo što je to točno funkcija više varijabli. Očito je da je to neka funkcija koja ne ovisi samo o jednoj varijabli, npr. x, već da u sebi ima i druge varijable. Tako, najopćenitije, funkcija više varijabli je funkcija oblika f : S1 × S2 × . . . × Sn → P1 × P2 × . . . × Pm , no mi ćemo se baviti funkcijama čija je domena jednodimenzionalan skup, dakle funkcijama oblika f : S1 × S2 × . . . × Sn → R, tj. f (x1 , x2 , . . . , xn ). U tom slučaju, kada napišemo f 0 nije jasno po kojoj varijabli deriviramo. Zato kažemo da funkcija f ima i-tu parcijalnu derivaciju prvog reda u nekoj točki P0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) ako postoji lim

x→xi

f (x01 , . . . , x0i−1 , x, x0i+1 , . . . , x0n ) − f (P0 ) x − xi 11

∂f (P0 ). U praksi ona gore formula zapravo znači ∂xi da dok parcijalno derivirate neku funkciju po jednom argumentu, sve ostale smatrate kao konstante. Primjerice, ∂ 3 (x y + y 3 x + 3y) = 3x2 y + y 3 ∂x ∂ 3 (x y + y 3 x + 3y) = x3 + 3y 2 x + 3 ∂y

Tu parcijalnu derivaciju označavamo sa

4. Integral 4.1. Uvod i definicija. Potreba za integralom dolazi od računanja površine pod grafom neke funkcije. Ako je neka funkcija jednostavna, tada nije problem izračunati površinu, no ako imamo neku funkciju kao ovu prikazanu na slici ispod, onda to više nije trivijalno, tj. nemamo jasnog geometrijskog načina da izračunamo tu površinu. f (x)

P a

b

x

b

x

Međutim, mi znamo računati površinu pravokutnika i to je upravo ono na što ćemo svesti površinu ispod krivulje - na zbroj površina mnooogo malih pravokutnika. Dakle, podijelimo segment [a, b] na n dijelova (ne nužno jednake širine) i na svakom od tih dijelova pronađemo najveću (Mk ) i najmanju (mk ) vrijednost funkcije. f (x)

P

Definiramo sume:

a

sn =

n X

k=1

Sn =

n X

k=1

mk (xk − xk−1 ) Mk (xk − xk−1 )

12

gdje je očito suma sn ukupna površina manjih pravokutnika, koja se naziva donja Darbouxova suma, a Sn veća površina, naziva se gornja Darbouxova suma. Naravno, pravokutnika treba biti što više, a to ’što više’ se izražava limesom. Ono što očekujemo da se dogodi jest lim sn = lim Sn = I n→∞

n→∞

Dakle, ako se sume podudare kada podjela segmenta teži u beskonačnost, onda se ta suma naziva integralom, točnije Riemannovim integralom, i označava se Zb

I=

f (x)dx

a

Primijetite da je znak za integral, , zapravo izduženo ’S’, koje označava da se radi o sumi. Ova definicija Riemannova integrala nije potpuna, no dovoljna je za shvatiti koncept. Za one koje žele znati nešto više, prilažem potpunu definiciju Riemannova integrala, tj. definiciju Riemann integrabilne funkcije. Neka je f : [a, b] → R ograničena funkcija, te neka je a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b neka subdivizija segmenta [a, b] na konačno mnogo dijelova (ne nužno jednake duljine). Označimo78 mi = inf{f (x)|x ∈ [xi , xi+1 ]} R

Mi = sup{f (x)|x ∈ [xi , xi+1 ]}

gdje je i = 0, 1, . . . , n − 1. Sumu Sd = suma, a sumu Sg =

n−1 P i=0

n−1 P i=0

mi (xi+1 − xi ) nazivamo donja Darbouxova

Mi (xi+1 − xi ) gornja Darbouxova suma. Označimo s D∗ skup

svih donjih Darbouxovih suma, a s D∗ skup svih gornjih Darbouxovih suma. Neka je I∗ = sup D∗ i I ∗ = inf D∗9 . I ∗ zovemo gornji Riemannov integral, a I∗ donji Riemannov integral. Kažemo da je funkcija f Riemann integrabilna, tj. kratko R-integrabilna, ako vrijedi I∗ = I ∗ . Ako je funkcija R-integrabilna, tada broj I∗ (odnosno I ∗ ) nazivamo Riemannov integral funkcije f i označavamo ga s Zb

f (x)dx

a

7 Oznake

sup i inf označavaju supremum i infimum nekog skupa. Ako je S neki neprazan podskup skupa R, onda element M ∈ R zovemo supremum skupa S ako zadovoljava 1. x ≤ M za ∀x ∈ S 2. ako je s0 ∈ R, takav da je s0 < M onda postoji bar jedan element a ∈ S takav da je s0 < a

8 Ovdje

možda nije jasno √ da supremum i infimum postoje. Naprimjer, ako razmatramo skup racionalnih √ brojeva Q, onda skup < − 2, 2 > jest element Q, no očito nema infimum i supremum u Q. No kod realnih brojeva imamo tzv. aksiom potpunosti, jedino po čemu se realni brojevi razlikuju od racionalnih, koji kaže da svaki ograničeni niz elemenata u R ima supremum i infimum u R. Kako je funkcija f ograničena, tako je i bilo koji podskup njene slike također ograničen. 9 I i I ∗ sigurno postoje jer su skupovi D i D ∗ ograničeni. Naime, sigurno vrijedi m(b − a) ≤ S ≤ ∗ ∗ d Sg ≤ M (b − a), za sve Sg i Sd , gdje je m minimum funkcije f na njenoj domeni, a M njen maksimum, koji opet sigurno postoje, jer je f ograničena.

13

Iz definicije nije vidljivo, no zahtijevamo da vrijedi Za

f (x)dx = 0

a

zbog slaganja s zdravorazumskom činjenicom da je površina pravokutnika širine nula jednaka nula. Nadalje, očito je iz slika grafova funkcija (pod uvjetom da je a ≤ b ≤ c) da vrijedi Zc Zc Zb f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx a

a

b

jer se površine jednostavno zbrajaju10 . Kombinirajući ova dva pravila: Zb

f (x)dx +

a

Za

f (x)dx =

Za

f (x)dx = 0

a

b

iz čega izlazi Zb

f (x)dx = −

a

Za

f (x)dx

b

4.2. Nepravi integrali i neprekidnost. Ako je neka funkcija f : [a, b] → R neprekidna na segmentu [a, b], onda je ona i R-integrabilna na [a, b]. Za dokazivanje te tvrdnje potrebno je dodatnog gradiva i pomoćnih tvrdnji, tako da to nećemo ovdje dokazivati, iako je ova tvrdnja intuitivno jasna, jer ako imamo ’lijepu’, kontinuiranu funkciju, tada možemo i odrediti površinu ispod nje. Međutim, obrnuto ne vrijedi. Primjer su funkcije koje imaju konačne skokove. Kao, npr., funkcija ( x2 za x ∈ R\{0}, f : R → R, f (x) = 5 za x = 0. Integral ove funkcije npr. od -2 do 2 će biti jednak kao i integral funkcije f (x) = x2 , jer jedna točka ne utječe na površinu ispod krivulje. Tako i ako funkcija ima konačno mnogo konačnih skokova, njen integral će još uvijek biti nepromijenjen. Naravno, ovo je samo primjer jednog konačnog skoka, no princip je da ako imamo jednu ili više točaka ’izbjeglica’, površina pod krivuljom se ne mijenja. 1 Razmotrite sada funkciju f (x) = 2 . Ta funkcija nije ograničena na intervalu < 0, b], x pa ne može biti R-integrabilna, no površina ispod te krivulje je konačna. Zbog toga se integral te funkcije ne naziva Riemannov integral (jer ne zadovoljava definiciju) već nepravi integral. Slijedi formalna definicija. Neka je f : [a, b >→ R R-integrabilna na svakom 10 Matematika je logička tvorevina i kao takva nema veze sa nekakvim slikama na papiru. Naime, zaključke koje vadimo iz aksioma i definicija, slijede logičkim zaključivanjem iz njih, dok slike i grafovi služe samo da bi nam olakšali percepciju.

14

segmentu [a, B], gdje vrijedi B < b ≤ +∞. Ako postoji konačan limes lim

RB

B→b a Rb

f (x)dx, onda

f (x)dx. Primjeri

se taj limes naziva nepravi integral funkcije f na [a, b > i označava se s

a

nepravih integrala uslijedit će nakon slijedećeg poglavlja.

4.3. Primitivna funkcija i neodređeni integral. Neka je f : [a, b] → R. Funkcija F je primitivna funkcija od f ako ∀x ∈ [a, b] vrijedi F 0 (x) = f (x). Uočite da primitivna funkcija nije jedinstvena jer ako imate funkciju oblika G(x) = F (x) + C, gdje je C konstanta, onda je i G također primitivna funkcija od f , tj. ako je derivirate dobit ćete funkciju f . Prema tome, kako konstanti ima beskonačno, tako i primitivnih funkcija ima beskonačno. Skup svihR primitivnih funkcija funkcije f naziva se neodređeni integral funkcije f i označava se sa f (x)dx. Treba napomenuti da nemaju sve funkcije primitivnu funkciju. No, vrijedi da, ako je neka funkcija neprekidna, onda postoji njena primitivna funkcija. Svojstva neodređenog integrala naslijeđena su od svojstva derivacija: Z Z kf (x)dx = f f (x)dx, k ∈ R Z

(f (x) ± g(x))dx = Z

Z

Z

f (x)dx ±

udv = uv −

Z

Z

g(x)dx

vdu

f 0 (x)dx = f (x) + C

Ako je f neprekidna funkcija na otvorenom intervalu I i F bilo koja primitivna funkcija funkcije f na I, onda za proizvoljni segment [a, b] ⊂ I vrijedi Zb a

¯b ¯ f (x)dx = F (x)¯¯ = F (b) − F (a) a

Ova formula se naziva Newton-Leibnizova formula i od velike je važnosti jer svodi nalaženje površine ispod pojedinih funkcija na traženje primitivne funkcije. Tako, npr. Zb

xn dx =

an+1 bn+1 − n+1 n+1

a

jer je

a to pak vrijedi jer je

Z µ

xn dx =

xn+1 +C n+1

xn+1 +C n+1 15

¶0

= xn

Na ovaj način možemo doći do integrala mnogih funkcija, od kojih su neki najčešće korišteni popisani u matematičkim tablicama. 4.4. Tehnike integriranja i primjeri. Najprije da pokažemo obećani primjer za nepravi integral. Z1 0

1 √ = x

Z1

− 12

x

= lim

ε→0

0

Z1

− 12

x

¯ √ ¯1 √ = lim 2 x¯¯ = lim 2(1 − ε) = 2 ε→0

ε

ε

ε→0

Ovdje bi trebalo spomenuti jednu važnu povezanost između derivacija i integrala, koju nije jasno za prepoznat, iako stoji naglašena u oznaci integrala i oznaci derivacija kao dy/dx, a to je upravo ovaj ’d’. Naime, iako je dy/dx samo oznaka derivacije, mi ju možemo dy = w, smatrati kao pravi razlomak i kao takvog ga i tretirati u algebri. Dakle, npr., dx no onda pomnožimo jednakost R R sa dx i dobijemo dy = wdx, pa onda ’lupimo’ integral sa obe strane, tj. dy = y = wdx. Ovo ćemo pokazati kasnije na nekim primjerima iz matematike i fizike. Općenito, integriranje nije lak proces, kao što je deriviranje, te ne možete svaku funkciju integrirati. Nadalje, cijeli proces integriranja svodi se na svođenje podintegralne funkcije na neki ’pitomi’ oblik, tj. zapisanu pomoću elementarnih funkcija čije integrale možemo izračunati, jer u nekim kompliciranim izrazima ne možemo ’pogoditi’ izraz koji deriviranjem daje podintegralnu funkciju. Postoji jako mnogo tehnika integriranja, od kojih ćemo mi upoznati dvije najčešće korištene. Tehnika zamjene varijable (supstitucije): neka je ϕ : [c, d] → R derivabilna funkcija te f : [a, b] → R neprekidna tako da je definirana kompozicija f ◦ ϕ : [c, d] → R i da vrijedi ϕ(c) = a i ϕ(d) = b. Tada vrijedi Zb a

f (x)dx =

Zd

f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx

c

Ovu pomalo zbunjujuću formulu najbolje ćemo pokazati na primjeru: Z dx I= x ln x ln(ln x) dt 1 Ovdje sada uvedemo supstituciju t = ln x i sada nađemo derivaciju tog izraza = , dx x odnosno dx = xdt. Sada ovo uvrstimo u početni integral: Z dt I= t ln t Sada uvedemo sličnu supstituciju y = ln t iz čega slijedi dt = tdy što sve skupa uvrstimo u prethodni integral nakon čega dobijemo: Z dy = ln |y| + C = ln | ln t| + C = ln | ln(ln x)| + C I= y 16

Parcijalna integracija: tu tehniku smo zapravo predstavili kao treće pravilo neodređenog integrala, a koje kaže da je Z Z udv = uv −

vdu

To se pravilo jednostavno izvodi iz pravila za deriviranje produkta funkcija u i v, što ostavljamo čitatelju. Pokažimo ovu tehniku najbolje na primjeru: Z I = xex dx Uvedimo supstitucije kao u pravilu: u = x ⇒ du = dx te dv = ex dx ⇒ v = Slijedeći pravilo možemo napisati: Z I = xex − ex dx = ex (x − 1) + C

R

ex dx = ex .

Dakle, parcijalnu integraciju koristimo kada imamo umnožak izraza od kojih jedan znamo integrirati, a drugog nam je lakše derivirati.

5. Taylorov razvoj 5.1. Taylorov polinom. Rješimo najprije jedan zadatak. Pogledajmo opći polinom n-tog stupnja: f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 Izaberimo neki broj c ∈ R. Cilj našeg zadatka je odrediti n-torku brojeva b0 , . . . , bn ∈ R takve da možemo polinom prikazati kao f (x) = bn (x − c)n + bn−1 (x − c)n−1 + . . . + b1 (x − c) + b0 Sada, uvrstimo u gornji izraz x = c. Dobivamo: f (c) = b0 Derivirajmo gornji polinom pa onda uvrstimo u njega x = c: f 0 (x) = bn n(x − c)n−1 + bn−1 (n − 1)(x − c)n−2 + . . . + b2 · 2(x − c) + b,

f 0 (c) = b1

Derivirajmo dobiveni izraz još jedanput: f 00 (x) = bn n(n − 1)(x − c)n−2 + bn−1 (n − 1)(n − 2)(x − c)n−3 + . . . + b3 · 3 · 2(x − c) + 2b2 Uvrstimo u taj izraz x = c: f 00 (c) = 2b2 ⇒ b2 =

f 00 (c) 2

Ponovimo taj postupak još jednom. Da ne duljimo, nakon deriviranja, uvrštavanjem x = c dobije se f 000 (c) f 000 (c) = 3 · 2b3 ⇒ b3 = 3! 17

gdje se sa znakom ’ !’ označava faktorijela, tj. općenito n! = 1 · 2 · · · (n − 1)n. Na ovom koraku već možemo zaključiti da je općenito f (k) (c) k!

bk =

što možemo provjeriti matematičkom indukcijom. Dakle, da dovršimo započeti zadatak: f (x) = f (c) +

f (2) (c) f (n−1) (c) f (n) (c) f (1) (c) (x − c) + (x − c)2 + . . . + (x − c)n−1 + (x − c)n 1! 2! (n − 1)! n!

Ovakav izraz naziva se Taylorov polinom n-tog stupnja funkcije f oko točke c u varijabli x i označava se sa Tn (f, c, x). 5.2. Taylorov razvoj. Taylorov teorem (koji ovdje nećemo dokazivat) kaže da bilo koju funkciju f koja je (n + 1) puta derivabilna možemo zapisati kao f (x) = Tn (f, c, x) +

f (n+1) (cx ) (x − c)n+1 (n + 1)!

gdje je cx točka između c i x. No, velik broj funkcija koje imaju beskonačno mnogo derivacija11 se mogu prikazati kao f (x) =

∞ X f (n) (c) (x − c)n n! n=0

jer onaj aditivni član iz Taylorova teorema u limesu kada n ide u beskonačno teži u nulu, pa jedino što ostaje je Taylorov polinom. Ovakav razvoj neke funkcije naziva se Taylorov razvoj odnosno razvoj u Taylorov red i on je za svaku funkciju jedinstven. 5.3. Razvoji nekih elementarnih funkcija. Razvijmo funkciju ex u Taylorov red oko točke c = 012 : ∞ X x3 xn xn x2 x + + ... + + ... = e =1+x+ 2! 3! n! n! n=0 Ono što je fascinantno jest što ovakav oblik jest upravo definicija funkcije ex . Naime, upravo na ovom obliku se možete uvjeriti u ona njezina poznata svojstva kao što su (ex )0 = ex , ex ey = ex+y i druga. Na sličan način razvijemo u red oko nule funkcije sinus i kosinus, čime se dobije ∞ X x2n+1 sin x = (−1)n (2n + 1)! n=0 cos x =

∞ X

(−1)n

n=0 11 Općenito,

x2n (2n)!

skup funkcija koje imaju beskonačno mnogo derivacija se označava sa C ∞ , no ne mogu se sve funkcije beskonačno derivabilne razviti u Taylorov red, tj. nisu jednake svom Taylorovom redu. One koje mogu se nazivaju analitičke i označavaju kao da su klase C ω . 12 Taylorov razvoj oko nule naziva se još i MacLaurinov razvoj.

18

Također, ovo su definicije ovih trigonometrijskih funkcija13 . Relacije kao što su omjer nasuprotne katete i hipotenuze samo su pomoćne slikovne interpretacije zaostale još od potrebe za uvođenjem funkcija sinus i kosinus. Za redove (kao što su Taylorov red, naprimjer) koji konvergiraju (teže) nekoj vrijednosti vrijedi da su padajući i da svaki opći član reda teži nuli. To je važno, jer se aproksimacije u fizici upravo tako uzimaju: određena funkcija koja se treba aproksimirati nekom jednostavnijom razvije se u takav, Taylorov red, provjeri se da li je red konvergentan (to je važno jer, ako red nije konvergentan, može se dogoditi da se daljnji članovi ne smanjuju, a to je upravo smisao aproksimacije: zanemarujemo ostale članove reda jer su jako mali) i zatim se uzima prvi član; ako on daje rješenje (tj. slijedeći izraz) različit od trivijalnog, onda se samo prvi član uzima kao aproksimacija (kao u našem slučaju), dok ako daje trivijalno rješenje (nula ili slično), onda uzimamo slijedeći i tako dalje.

6. Primjene u fizici 6.1. Gibanja s trenjem. Jedan od najjednostavnijih primjera za dočaravanje važnosti derivacija i integrala jest proučavanje gibanja s trenjem gdje je sila trenja proporcionalna brzini. U srednjoj školi ovo se samo spominje jer je za rješavanje ovog problema potrebno upravo znanje derivacija i integrala. Dakle, jednadžba gibanja tijela mase m koje se kreće u polju sile teže a na njega djeluje spomenuta sila trenja Ftr = cv (gdje je c konstanta, a v brzina tijela) jest ma = mg − cv Naravno, nakon nekog vremena, kada brzina dovoljno naraste, sila trenja će izjednačiti silu težu. U tom slučaju tijelo će se prestati ubrzavati i nastavit će se gibati jednoliko pravocrtno brzinom vk koju možemo dobiti jednostavno ako uvrstimo a = 0 u jednadžbu gibanja: c 0 = mg − cvk ⇒ g = vk m Sada uvrstimo ovaj izraz za g u jednadžbu gibanja i podijelimo je sa masom tijela m: a = (vk − v)

c m

No, sada ćemo se malo okrenuti na definiciju akceleracije. Ona je jednaka v(t + ∆t) − v(t) dv = ∆t→0 ∆t dt

a = lim Slično se definira brzina kao v =

ds . Dakle: dt c dv = (vk − v) dt m

13 Ako u izraz za ex uvrstite ix, gdje je i imaginarna jedinica, možete provjeriti jednu vrlo korisnu relaciju u višoj analizi a to je eix = cos x + i sin x.

19

Kada taj izraz malo presložimo dobijemo dv c = dt vk − v m Integrirajmo obje strane: Z Z Z dy c dv = [y = vk − v ⇒ dv = −dy] = − = dt vk − v y m c t+C m Naravno, svaki neodređeni integral ima svoju aditivnu konstantu, no mi smo ih zbrojili u jednu, da nam olakša računanje. Tu konstantu određujemo iz početnih uvjeta, a to je da je na početku (dakle u t = 0) brzina bila jednaka nuli, odnosno v(t = 0) = 0. Kada se to uvrsti u prethodni izraz, dobije se da je c = ln vk . Dakle, ln(y) = ln(vk − v) = −

ln(vk − v) = −

c t + ln vk m

Kada se ovaj izraz presloži dobije se za brzinu kao funkciju vremena c

v(t) = vk (1 − e− m t ) Akceleraciju dobijemo jednostavnom primjenom definicije: a(t) =

c c c d c dv = (vk (1 − e− m t )) = vk e− m t = ge− m t dt dt m

20