Deret Taylor Diferensial Numerik

Deret Taylor & Diferensial Numerik Matematika Industri II

Maclaurin (Power) Series • Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga

f ( x)  f (0)  f (0) x 2

n

x x (n)  f (0)    f (0)   2! n! • Notice: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan penaksiran lagi!

DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor)

Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik,terutama penyelesaian persamaan diferensial. Bentuk umum deret Taylor:

x x 2 x 3 x n n f ( xi 1 )  f ( xi )  f ' ( xi )  f ' ' ( xi )  f ' ' ' ( xi )  .....  f ( xi )  Rn 1! 2! 3! n!

Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahui pada titik tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yang terletak pada jarak ∆x dari titik xi . f(x) Order 2 Order 1

xi

xi+1

f(xi )

: fungsi di titik xi

f(xi+1 )

: fungsi di titik xi+1

f’, f’’,..., f n : turunan pertama, kedua, ...., ke n dari fungsi ∆x

: jarak antara xi dan xi+1

Rn

: kesalahan pemotongan

!

: operator faktorial

DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor)

Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku pada deret Taylor tersebut dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja. 1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

f ( xi 1 )  f ( xi )

Perkiraan order nol

Artinya nilai f pada titik xi+1 sama dengan nilai pada xi . Perkiraan tersebut benar jika fungsi yang diperkirakan konstan. Jika fungsi tidak konstan, maka harus diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor. 2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

x f ( xi 1 )  f ( xi )  f ' ( xi ) 1!

Perkiraan order satu

3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua)

x x 2 f ( xi 1 )  f ( xi )  f ' ( xi )  f ' ' ( xi ) 1! 2!

Perkiraan order dua

DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor)

Contoh Diketahui suatu fungsi f(x) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8,5. Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1 = 0,5 berdasar nilai fungsi pada titik xi = 0. Solusi:

1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

f ( xi 1 )  f (0,5)  f (0)  2(0)3  12(0) 2  20(0)  8,5  8,5 2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

f ( xi 1 )  f (0,5)  f ( xi )  f ' ( xi )  f (0)  f ' (0)

x 1!

0,5  0 1!

 8,5  (6(0) 2  24(0)  20)(0,5)  8,5  10  1,5

DERET TAYLOR (Kesalahan Pemotongan)

Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi yang benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Dalam prakteknya hanya beberapa suku pertama saja yang diperhitungkan sehingga hasilnya tidak tepat seperti pada penyelesaian analitik. Sehingga terdapat kesalahan (error) yang disebut dengan kesalahan pemotongan (truncation error, Rn), yang ditulis: Rn  O(x

n 1

) f

n 1

x n 1 x n  2 n2 ( xi ) f ( xi )  ..... (n  1)! (n  2)!

O(∆xn+1) berarti kesalahan pemotongan mempunyai order ∆xn+1 atau kesalahan adalah sebanding dengan langkah ruang pangkat n+1. Kesalahan pemotongan tersebut adalah kecil apabila: 1.Interval ∆x adalah kecil. 2.Memperhitungkan lebih banyak suku dari deret Taylor

DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Pertama)

Diferensial numerik digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk diskret. Untuk menghitung diferensial turunan pertama dapat diturunkan berdasar deret Taylor, yang dapat dituliskan dalam bentuk: x f ( xi 1 )  f ( xi )  f ' ( xi )  O(x 2 ) 1!

maju y

terpusat C

f ( xi 1 )  f ( xi ) f  f ' ( xi )   O(x) x x

Turunan pertama dari f terhadap titik xi didekati oleh kemiringan garis yang melalui titik B(xi,f(xi)) dan titik C(xi+1,f(xi+1)). Bentuk diferensial di atas disebut diferensial maju order satu.

A

B

mundur x

i-1

i

i+1

DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Pertama)

maju terpusat

y C

A i-1

B i

mundur i+1

x

Jika data yang digunakan adalah titik xi dan xi-1 maka disebut diferensial mundur, dan deret Taylor menjadi: x x 2 x 3 f ( xi 1 )  f ( xi )  f ' ( xi )  f ' ' ( xi )  f ' ' ' ( xi )  ..... 1! 2! 3! Atau f ( xi 1 )  f ( xi )  f ' ( xi )

x  O(x 2 ) 1!

f ( xi )  f ( xi 1 ) f  f ' ( xi )   O(x) x x

DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Pertama)

maju terpusat

y C

A i-1

B i

mundur f ' ( xi )

i+1

x

Jika data yang digunakan adalah titik xi-1 dan xi+1 maka disebut diferensial terpusat. Apabila pers. deretTaylor dikurangi pers. Deret Taylor (untuk diferensial mundur) didapat : x x 3 f ( xi 1 )  f ( xi 1 )  2 f ' ( xi )  2 f ' ' ' ( xi )  ..... 1! 3! atau 2 atau

f ( xi 1 )  f ( xi 1 ) f x  f ' ( xi )   f ' ' ' ( xi ) x 2x 6

f ( xi 1 )  f ( xi 1 ) f  f ' ( xi )   O(x 2 ) x 2x

DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Pertama)

maju terpusat

y C

A i-1

B i

mundur i+1

x

DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Kedua)

Apabila pers. deretTaylor (diferensial maju) ditambah pers. Deret Taylor (diferensial mundur) didapat turunan kedua:

atau atau

x 2 x 4 f ( xi 1 )  f ( xi 1 )  2 f ( xi )  2 f ' ' ( xi )  2 f ' ' ' ' ( xi )  ..... 2! 4! f ( xi 1 )  2 f ( xi )  f ( xi 1 ) 2 f x 2  f ' ' ( xi )   f ' ' ' ' ( xi ) 2 2 x x 12

f ( xi 1 )  2 f ( xi )  f ( xi 1 ) 2 f 2  f ' ' ( x )   O (  x ) i 2 2 x x

Contoh • Misal 𝑓 𝑥 = 0,25𝑥 3 + 0,5𝑥 2 + 0,25𝑥 + 0,5 – Penyelesaian eksak • f(0) = 0.5 • f(1) = 1.5

• Orde berapa penyelesaian numerik mendekati/sama dengan penyelesaian analitik/eksak? • Berapa perkiraan fungsi tersebut pada orde 0, 1, 2 dan 3 pada titik xi+1=1 dan memiliki jarak=1 dari titik xi = 0.

• Untuk order 0 : – f(xi+1) = f(xi) – f(0 +1) = f(0) – f(1) = 0.5

• K „ esalahanpemotongan: – Rn= 1.5 –0.5 = 1

• „Untuk order 1 : ∆𝑥

– f(xi+1) = f(xi) + f’(xi) ! 1 – f(0+1) = 0.5 +(0,75𝑥 2 + 𝑥 + 0,25 ) 1 = 0.5 + (0.75 (0) + 0 +0.25) = 0.75

• Kesalahanpemotongan – Rn= 1.5 –0.75 = 0.75

• Untuk orde 2 : – „f(xi+1) = 0.5 + 0.25 * 1 + 1 * (1/2)(1/2) = 1.25

• „Kesalahan pemotongan – Rn= 1.5 –1.25 = 0.25

• Untuk orde 3 : – f(xi+1) = 0.5 + 0.25 + 0.5 + 0.25 = 1.5

• Kesalahan pemotongan: – Rn= 1.5 –1.5= 0 (terbukti)

Soal • Diketahui 𝑓 𝑥 = −2𝑥 3 + 12𝑥 2 − 20𝑥 + 8,5 Dengan deret Taylor orde 0, 1, 2 dan 3; perkirakan fungsi tersebut pada titik 𝑥𝑖+1 = 0,5 berdasar nilai fungsi pada titik xi=0 • Diketahui 𝑓 𝑥 = −2𝑥 3 + 12𝑥 2 − 20𝑥 + 8,5 Dengan deret Taylor orde 0, 1, 2 dan 3; perkirakan fungsi tersebut pada titik 𝑥𝑖+1 = 0,25 berdasar nilai fungsi pada titik xi=0

Soal Diferensiasi Numerik 1. Diketahui 𝑓 𝑥 = 0,25𝑥 3 + 0,5𝑥 2 + 0,25𝑥 + 0,5. Perkirakan turunan pertama dan kedua dari persamaan tersebut di titik 𝑥𝑖 = 0,5 dengan menggunakan langkah ruang ∆𝑥 = 0,5! 2. Diketahui 𝑓 𝑥 = −2𝑥 3 + 12𝑥 2 − 20𝑥 + 8,5. Perkirakan turunan pertama dan kedua dari persamaan tersebut di titik 𝑥𝑖 = 0,5 dengan menggunakan langkah ruang ∆𝑥 = 0,5 dan ∆𝑥 = 0,25!