Deprem ve Muto yöntemi Hesabı

EŞDEĞER DEPREM YÜKÜ YÖNTEMİ Yapıların depreme dayanıklı olarak boyutlandırılmasında kullanılacak olan ve gözönüne alınan deprem doğrultusunda binanın tümüne etkiyen Toplam Eşdeğer Deprem Yükü Vt (yapının taban kesme kuvveti) şu şekilde belirlenir: Vt=W. A(T1) / Ra Burada W toplam yapı ağırlığıdır ve Wi kat ağırlıklarının toplamı ile elde edilir. N

W=

∑W

i

i=1

Kat ağırlıkları her kattaki sabit yüklere hareketli yüklerin yapı tipine göre değişen belirli bir katsayı

(n katsayısı) ile çarpılarak eklenmesi ile elde edilir. Hareketli yükün

azaltılma nedeni deprem sırasında bütün katlarda hareketli yüklerin tamamının bulunması olasılığının düşük olmasıdır. Konutlarda n=0.3 alınır. Wi=Gi+n.Qi A(T1):Birinci doğal titreşim periyodu T1’e karşı gelen spektral ivme katsayısıdır. A(T1)=A0. I. S(T1) A0:Etkin yer ivmesi katsayısı Deprem Bölgesi 1 2 3 4

A0 0.40 0.30 0.20 0.10

I:Bina önem katsayısı (Konutlar, işyerleri, oteller, bina türü endüstri yapıları, vb) için I=1 alınır T1 = T1A = Ct HN ¾ , Taşıyıcı sistemi sadece betonarme çerçevelerden veya dışmerkez çaprazlı çelik perdelerden oluşan binalarda Ct = 0.05, HN binaların temel üstünden ölçülen toplam yüksekliği Spektrum Katsayısı: S(T) Yerel zemin koşullarına ve bina doğal periyodu T’ye (sn) bağlı olarak şu şekilde hesaplanır S(T)=1+1.5. T/TA

(0≤ T≤ TA)

S(T)=2.50

(TA ≤ T≤ TB)

.

S(T)=2.5 (TB/ T)

0.8

(T>TB)

S(T) 2.5

0.8

2.5(TB /T)

1.0

T

A

T

B

Spektrum Karakteristik Periyotları (TA,TB) Yerel Zemin Sınıfı Z1 Z2 Z3 Z4

TA (sn)

TB (sn)

0.10 0.15 0.15 0.20

0.30 0.40 0.60 0.90

Ra:Deprem yükü azaltma katsayısı Ra tanımlanan Taşıyıcı Sistem Davranış Katsayısı R ve doğal titreşim periyodu T’ye bağlı olarak şu şekilde belirlenir: Ra=

1 + 1.5 ⋅ T / TA 1 + (2.5 / R − 1) ⋅ T / TA

Ra =R

(0≤ T≤ TA) (T>TA)

Toplam eşdeğer deprem yükü bina katlarına etkiyen ek tasarım deprem yüklerinin toplamı olarak şu şekilde belirtilebilir: N

Vt=∆ FN+

∑F

i

i =1

HN>25m için binanın N. katına (tepesine) etkiyen ek tasarım deprem yükü ∆ FN

∆ FN=0.005. HN3/4. Vt Toplam eşdeğer deprem yükünün ∆ FN dışında kalan kısmı N. kat dahil olmak üzere bina

Wi ⋅ Hi Fi=(Vt-∆ FN).

katlarına şu şekilde dağıtılır:

N

∑W

j

⋅ Hj

j =1

Katlara gelecek deprem kuvvetleri Kat Hi (m) Wi (kN) Wi.Hi (kNm) Fi (kN) Wi.Hi/Σ Wj.Hj Z 1 2 3 4 EŞDEĞER DEPREM YÜKLERİ ALTINDA ÇERÇEVE SİSTEMLERİN MUTO YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ “Afet Bölgelerinde yapılacak Yapılar Hakkında Yönetmelik”

binaların ve bina türü

yapıların hesabında; A1 türü burulma düzensizliği olmayan, varsa her bir katta η

∆i

≤ 2

koşulunu sağlayan 1. ve 2. deprem bölgelerinde temel üst seviyesinden itibaren ölçülen toplam bina yüksekliği HN ≤ 25m olan tüm binalarda ve 25m ≤ HN ≤ 60m arasında olan B2 türü düşey geometrik süreksizliği bulunmayan binalarda ve 3. ve 4. deprem bölgelerinde HN ≤ 75m olan tüm binalarda koşulların sağlanması durumunda eşdeğer deprem yükü yönteminin uygulanabileceğine izin verilmiştir. Muto yöntemi, Prof. Muto’nun geliştirdiği bir hesap algoritmasıdır (Atımtay, 2000). Muto yöntemi, yatay yükler altında çerçeve taşıyıcı sistemlerin çözümünde kullanılan bir hesap algoritmasıdır. Döşemelerin yatay düzlemde rijit diyafram olarak çalıştığı kabul edilen binalarda,

katlarda

bulunan

kolonların

aynı

yerdeğiştirme

zorlanmasından dolayı katlara gelen kesme kuvvetleri

yapacak

şekilde

Vi , kolonlar tarafından yatay

öteleme rijitlikleri oranda bölüşülerek taşınırlar. Kolonların yatay öteleme rijitlikliğine, kolonun kendi rijitliği ile birlikte, çerçeve içerisinde bu kolona birleşen diğer elemanların rijitliği de etkilidir (Celep ve Kumbasar, 2000). Herhangi bir i katında j kolonunda rijitlik ise; Dij = a× kc

şeklinde tanımlanır. Burada kc

kolonun yatay öteleme rijitliği, a ise çerçeve içerisinde diğer elemanların söz konusu kolonun rijitliğine olan etkisini hesaba alan düzeltme katsayısıdır. Sonuç olarak bir katta bulunan tüm kolonların rijitliği bulunduktan sonra i kattaki kesme kuvveti Vi , kat kolonları arasında D değerleri ile orantılı olarak dağıtılır. i katında j kolonu tarafından taşınan kesme kuvveti, Vij =

Vi × D ij

∑D

ik

k

olarak hesaplanır. Kolonlarda bulunan kesme kuvvetlerinden oluşacak kolon uçlarındaki

eğilme momentleri ise; Mcüst =Vij× h× (1-y) ve Mcalt =Vij× h× y bağıntılarıyla bulunur. Burada h kolon yüksekliği, y ise moment sıfır noktasının kolonun alt ucuna olan uzaklığının kolon yüksekliğine oranıdır. Kirişlerde oluşacak eğilme momentleri ise bağlı bulunduğu düğümde bulunan kolon uç momentlerinden, kirişlerin rijitlikleri oranında paylaştırılarak hesaplanır. Şekil 1. de verilen bir düzlem çerçevede katlarda bulunan Vi kesme kuvvetleri kolayca belirlenebilir. Bu kat kesme kuvvetleri, her katta bulunan kolonlar tarafından yatay öteleme rijitlikleri oranında bölüşülerek taşınır. Örneğin, bir i. kattaki kesme kuvveti V i ve bu katta j. kolonunda bulunan bir yatay yerdeğiştirme rijitliği Dij ise, bu kolon tarafından taşınan kesme kuvveti Vij = Vi Dij / ∑k Dik olarak hesaplanabilir.

Şekil 1.Yatay yükler altında düzlem çerçeve Kolonun çerçeve içindeki Dij rijitliğine, önce kolonun kendi rijitliği, sonra sistemdeki diğer, özellikle yakın olan, elemanların rijitlikleri etkili olacaktır. Bu ise,

D ij = a kc şeklinde

yazılabilir. Burada; kc uç düğüm noktaları dönmeye karşı tutulmuş kolonun iki uç düğüm noktasının birbirine göre olan yatay yer değiştirmesine karşı gelen 12 Ec Ic / lc3 rijitliğidir. Çerçevedeki diğer taşıyıcı elemanların söz konusu kolonun rijitliğine olan etkisi ise, a düzeltme katsayısı ile hesaba katılmaktadır. Kat içindeki kolonların mutlak olmayan rijitlikleri kat kesme kuvvetinin paylaşımında önemli olduğu için kolon relatif rijitliği kc = Ic / lc olarak kabul edilebilir. Burada; Ic kolon atalet momentini ve lc kolon yüksekliğini göstermektedir.

Kolonun

çerçeve

içindeki

rijitliğine,

kolona

doğrudan

bağlanan

elemanların etkisi büyük olduğu halde, bunların dışındaki elemanların etkisi oldukça azdır. Kolonun rijitliğine sadece alt ve üst düğüm noktasına birleşen iki kirişin kolona göre olan dönme rijitliklerinin doğrudan etkili olduğunun kabul edilmesi yeterli bir yaklaşım sayılabilir. Bir ucu tutulmuş kiriş veya kolonun diğer ucunun dönme rijitliği 4 EI/l dir. Burada önemli olanın yine relatif rijitlik olduğu hatırlanırsa, kolon için kabul edilen relatif rijitlikle de uyuşması bakımından ilgili olan kirişin relatif rijitliği ki = Ii/li olarak kabul

edilebilir. Bu

kabuller altında kolonun çerçevedeki değişik konumları için a düzeltme

katsayısının ifadesi Şekil 2 de verilmiştir.

k =(k1+k2+k3+k4)/(2kc)

a = k /(2+ k )

k =(k1+k2)/kc

a =(0,5+ k )/(2+ k )

k =(k1+k2)/kc

a =0,5 k /(1+ k )

Şekil 2. Muto Yöntemi katsayıları Kolonların birbirine göre rijitlikleri elde edilirken, bulunan D değerlerinin sadece yük paylaşımı bakımından geçerli olduğu göz önünde bulundurulmalıdır. Yerdeğiştirmelerin hesaplanması gerektiğinde veya bir katta kirişlerin kesilmesi nedeniyle farklı yükseklikte kolonların bulunması durumunda veya çerçevenin perde ile birleştirilmesi durumunda kc için 12EcIc/lc3 ifadesi kullanılmalıdır. Yerdeğiştirmeler hesaplanmıyorsa elastiklik modülü kullanılmayabilir.

Şekil 3. Kolon ve kirişlerde deprem momentlerinin değişimi Yatay yüklerden kolonlarda meydana gelen moment Şekil 3. de verildiği gibi doğrusal değişir. Kolonlarda moment sıfır noktasının yeri, kolonun çerçevedeki yerine, kolona birleşen kirişlerin kolona göre relatif rijitliğine ve kolonun bulunduğu katın altında ve üstünde bulunan katların yüksekliğine bağlıdır. Moment sıfır noktasının kolonun alt ucuna olan uzaklığının kat yüksekliğine oranı y yaklaşık olarak y = y0 + y1 + y2 + y3 olarak yazılabilir. Burada; y0 yatay yüklerin düşeyde üçgen ve düzgün yayılı olması durumu için, düzgün geometri ve rijitliğe sahip bir çerçeve esas alınarak hesaplanmış ve Tablo 19.9 ve Tablo 19.10 de verilmiştir. Tablo 19.11 ise, üstten ve alttan kolona

bağlanan kirişlerin rijitliklerinin farklı olmasından meydana gelen y1 düzeltme terimini vermektedir. Üst ve alt katların yüksekliklerinin farklı olması durumunda gerekli olan y 2 ve y3 düzeltme terimleri ise Tablo 19,12.de verilmiştir. Yukarıda açıklanan şekilde kolonda moment sıfır noktasının yerini gösteren y katsayısı hesap edildikten sonra, kolon uç momentleri kolayca bulunabilir. Mc üst = Vij h (1-y)

Mc alt = Vij h y

Herhangi bir A düğüm noktasında bulunan Mc1 ve Mc2 kolon momentler, birleşen kirişlerde rijitlikleri oranında meydana getirdikleri Mb1 = ( Mc1 + Mc2 ).k1 / ( k1 + k2 )

Mb2 = ( Mc1 + Mc2 ).k2 / ( k1 + k2)

momenti ile dengelenirler ( Şekil 3 ). Açıklanan ilkeler, katların düzlemleri içindeki burulma etkisinin göz önüne alınmadığı sistemlerde

aynı

doğrultuda

birden

fazla

çerçevenin

bulunması

durumunda

da

uygulanabilir. Yük doğrultusundaki kirişler kolonların rijitliklerine etkili olduğu halde, yük doğrultusuna dik bulunan kirişler yapılan kabuller altında, rijit yerdeğiştirmeler yapar ve yükün karşılanmasına katkıları olmaz. ÖRNEK

* Deprem Bölgesi : 1.Bölge * Zemin Sınıfı : Orta sıkı kum, çakıl, C grubu zemin ( σ

zem

= 2 kg/cm2 )

* Malzeme: Beton BS 20 ( C 20 ), Çelik BÇI( S 220 ) Şekilde plan ve kesiti verilmiş olan konut binasının “Muto Yöntemi” ile “X” ve “Y” doğrultusunda deprem hesabını yapınız. ÇÖZÜM: ∗ Toplam Eşdeğer Deprem Yükü; Vt = W.A(T1)/Ra N

∗ Bina toplam ağırlığı; W=

∑W

i

i =1

Wi = Gi + n Qi ; ( n = hareketli yük azaltma katsayısı, konutlarda n = 0,3 alınır.) W3 = 1800 + 0,3x580 = 1974 KN W2 = 1800 + 0,3x580 = 1974 KN

W= W3+W2+W1

W1 = 1800 + 0,3x580 = 1974 KN

W= 1974+1974+1974 = 5922 KN

∗

Spekteal ivme katsayısı; A( T1 ) = A0.I.S( T1 )

Etkin yer ivmesi katsayısı: A0 = 0.40 ( Deprem Bölgesi I. Sınıf ) Bina önem katsayısı: I=1 ( Konutlarda ) Spekteum katsayısı: S( T1 ) Yerel zemin koşullarına ve bina doğal periyodu T’ye bağlıdır. S(T)= 1+1,5 T/TA

(0 ≤ TTA ; T= 0,30 sn > TA=0,20 sn

0 ≤ T ≤ TA Ra=R

R:Taşıyıcı sistem davranış katsayısı. Deprem yüklerinin tamamının betonarme çerçevelerle taşındığı süneklilik düzeyi yüksek binalarda R=8 alınır. Vt= 5922x1x

∗

1 = 740,25 KN 8

Katlara etkiyen deprem yükleri:

Wi .H i Fi= (Vt- ∆FN).

N

∑W .H i

; i

∆FN=Yapının en üst katına etkiyecek ek deprem yükü.

i =1

HN ≤25 m için

∆FN=0 olur.

Deprem Yükü “Y” Yönünde Olması Durumunda Kolon Rijitliklerinin Hesabı: 1.KAT: S1 Kolonları( 0,30mx0,30m ):

Ic=

kc=

S2 Kolonları( 0,45mx0,25m ): kc = S3 Kolonları( 0,25mx0,45m ):

0,45 x 0,25 3 12

= 0,0005859 m4

0,0005859 = 0,0001465 m4/m = 0,1465x10-3 m3 4 I c=

0,25 x 0,45 3 = 0,001898m4 12

0,001898 = 0,0004746 m4/m = 0,4746x10-3 m3 4

I c= kc=

2.KAT:

Ic 0,000675 = = 0,0001688 m4/m = 0,1688x10-3 m3 lc 4

I c=

kc= S4 Kolonları( 0,45mx0,45m ):

b.h 3 0,30 x 0,30 3 = = 0,000675m4 12 12

0,45 x 0,45 3 = 0,003417m4 12

0,003417 = 0,0008543 m4/m = 0,8543x10-3 m3 4

S1 Kolonları( 0,25mx0,25m ):

Ic= kc=

S2 Kolonları( 0,35mx0,25m ):

S3 Kolonları( 0,25mx0,35m ):

0,25 x 0,35 3 = 0,0008932 m4 12

0,0008932 = 0,0002977 m4/m = 0,2977x10-3 m3 3

I c= kc=

0,35 x 0,25 3 = 0,0004557 m4 12

0,0004557 = 0,0001519m4/m =0,1519x10-3 m3 3

I c= kc =

S4 Kolonları( 0,35mx0,35m ):

0,0003255 =0,0001085 m4/m = 0,1085x10-3 m3 3

I c= kc =

0,25 x 0,25 3 =0,0003255 m4 12

0,35 x 0,35 3 = 0,001251 m4 12

0,001251 =0,0004168 m4/m =0,4168x10-3 m3 3

3.KAT: S1 Kolonları(0,25mx0,25m):

kc= 0,1085x10-3 m3

S2 Kolonları( 0,30mx0,25m ):

I c= kc =

S3 Kolonları( 0,25mx0,30m ):

S4 Kolonları( 0,30mx0,30m ):

0,0003906 = 0,0001302 m4/m = 0,1302x10-3 m3 3

I c= kc =

0,25 x 0,30 3 =0,0005625 m4 12

0,0005625 = 0,0001875 m4/m =0,1875x10-3 m3 3

I c= kc =

0,30 x 0,25 3 = 0,0003906 m4 12

0,30 x 0,30 3 = 0,000675 m4 12

0,000675 = 0,000225 m4/m = 0,2250x10-3 m3 3

Deprem Yükü “X” Yönünde Olması Durumunda Kolon Rijitliklerinin Hesabı: 1.KAT: S1 Kolonları( 0,30mx0,30m ): kc= 0,1688x10-3 m3 S2 Kolonları(0,25mx0,45m): kc = 0,4746x10-3 m3 S3 Kolonları( 0,45mx0,25m ): kc= 0,1465x10-3 m3 S4 Kolonları( 0,45mx0,45m ): kc= 0,8543x10-3 m3 2.KAT: S1 Kolonları( 0,25mx0,25m ): kc= 0,1085x10-3 m3 S2 Kolonları( 0,25mx0,35m ): kc= 0,2977x10-3 m3

S3 Kolonları( 0,35mx0,25m ): kc= 0,1519x10-3 m3 S4 Kolonları( 0,35mx0,35m ): kc= 0,4168x10-3 m3 3.KAT: S1 Kolonları( 0,25mx0,25m ): kc= 0,1085x10-3 m3 S2 Kolonları( 0,25mx0,30m ): kc= 0,1875x10-3 m3 S3 Kolonları( 0,30mx0,25m ): kc= 0,1302x10-3 m3 S4 Kolonları( 0,30mx0,30m ): kc= 0,2250x10-3 m3 Kiriş Rijitliklerinin Hesabı: K101, K103, K110, K112, K113, K115, K1 22, K124 Kirişleri:

F1= 0,73x0,12 = 0,0876m2

F2= 0,25x0,38 = 0,095m2

YG=

F1 .Y1 + F2 .Y2 0,0876 x 0,44 + 0,095 x 0,19 = = 0,31 m 0,0876 + 0,095 F1 + F2

Ix′ =

0,73 x 0,12 3 0,25 x 0,38 3 + 0,0876x 0,132 + + 0,095x0,122 12 12

Ix′ = 0,0040967 m4 = 4,0967x10-3 m4

k=

I 4,0967 x10 −3 = = 0,6828x10-3 m3 l 6

K102, K111, K114, K123 Kirişleri:

F1= 0,61x0,12 = 0,0732m2

F2= 0,25x0,38 = 0,095m2

YG=

0,0732 x 0,44 + 0,095 x 0,19 = 0,30 m 0,0732 + 0,095

Ix′ =

0,25 .x 0,38 3 0,61 x 0,12 3 + 0,0732x0,142 + + 0,095x0,112 12 12

Ix′ = 0,0038152 = 3,8152x10-3 m4

k=

3,8152 x10 −3 = 0,6357x10-3 m3 6

K104, K106, K107, K109, K116, K118, K119, K121 Kirişleri:

F1= 0,12x1,21 = 0,145 m2

F2= 0,25x0,38 = 0,095 m2

YG=

0,145 x 0,44 + 0,095 x 0,19 = 0,34 m 0,145 + 0,095

Ix′ =

1,21 x 0,12 3 0.25 x 0,38 3 +0,145x0,102+ +0,095x0,152 12 12

Ix′ = 0,0049049=4,9049x10-3 m4

k=

4,9049 x10 −3 = 0,8175x10-3 m3 6

K105, K108, K117, K120 Kirişleri:

F1= 0,12x0,97= 0,1164 m2

F2= 0,25.0,38 = 0,095 m2

YG=

0,1164 x 0,44 + 0,095 x 0,19 = 0,33 m 0,1164 + 0,095

Ix′ =

0,97 x 0,12 3 0,25 x 0,38 3 + 0,1164x0,112 + + 0,095x0,142 12 12

Ix′ = 0,0045533 =4,5533x10-3 m4

k=

4,5533 x10 −3 = 0,7589x10-3 m3 6

DEPREM YÜKÜ Y YÖNÜNDE OLMASI DURUMUNDA M – V DİYAGRAMLARI A – A AKSI ÇERÇEVESİ

B – B AKSI ÇERÇEVESİ

DEPREM YÜKÜ X YÖNÜNDE OLMASI DURUMUNDA M – V DİYAGRAMLARI 1 – 1 AKSI ÇERÇEVESİ

2 – 2 AKSI ÇERÇEVESİ