Dependencia e Independencia Lineal

Dependencia e independencia lineal En álgebra En álgebra lineal, lineal , un conjunto conjunto de vectores vectores es linealmente independiente  si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación una  combinación lineal de lineal  de los restantes. Por ejemplo, en 3 R , el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

1

3. Si un con conjunt junto o de vectore vectoress es linealmente linealmente dependependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga. 4. Un con conjunt junto o de vectore vectoress son linealme linealmente nte dependi dependienentes si y sólo si son paralelos. 5. Un con conjunt junto o de vectore vectoress son linealme linealmente nte dependi dependienentes si los componentes entre ellos son proporcionales, bien sea directa o inversamente inversamente proporcional. proporcional.

Defin Definiición ción

Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si pendiente  si y solo si tiene si  tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande será linealmente dependiente.

Dado un conjunto finito de vectores v1 , v2 , · · ·  , v , se dice que estos vectores son  linealmente dependientes  si existen números a1 , a2 , · · · , a  , no todos iguales a cero, tales que: n

n

 +  · · · +  a v  =  0. a1 v1  +  a2 v2 + ·  0 . n

n

2

Nótese que el símbolo a la derecha del  signo igual no igual  no es cero, sino que simboliza al  vector nulo 0  . El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no exist existen, en, entonc entonces es los los vecto vectore ress son linealmente independientes . La definición anterior también puede extenderse a un con conjunto junto infinito de vectores, vectores, concretamente concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.

Signi Significa ficaci ción ón geomé geométri trica ca

Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un área. Tres Tres vecto vectore ress son inde indepe pendi ndien entes tes si y solo solo si no están están concontenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una  combinación lineal  de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen.

Utiliza Utilizando ndo conceptos conceptos de espaci espacios os vectori vectoriales ales podemos podemos redefinir la independenci independenciaa lineal así:

espacio generado generado por El espacio por un sist sistem emaa de vect vector ores es es elconelconjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. vectores. Si n  vectores son independientes, el espacio generado es de  dimensión n (dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano...).

Un conjunto de vectores  U  de un espacio vectorial torial es linealmen linealmente te independ independient ientee si  ∀u ∈ ̸ ∈ ⟨U  −  −  u⟩ U, u̸∈

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades  de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos: 1. Un conjunto conjunto de vectores es linealmente linealmente dependiente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás. 2. Si un con conjunto junto de vectores es linealmente linealmente independiente diente cualqu cualquier ier subcon subconjunto junto suyo suyo también también lo es. Obviamente, Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.

3

Ejempl mplo

En el espacio tridimensional tridimensional usual: dependiente entess por tener tener la misma misma direcci dirección. ón. • u y j son dependi 1

2

4

A  =

�1 −3� 1

2

EJEMPLO II 

.

El determinante de esta matriz es:

̸= 0. det(A) = (1 · 2) − ((−3) · 1) = 5 

• u y  v  son independientes y definen el plano P. • u, v  y  w  son dependientes por estar los tres conteni-

Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes.

dos en el mismo plano.

• u,  v  y  k  son independientes por serlo  u  y  v  entre sí y no ser  k  una combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional.

4

Ejemplo II

Sea  V  =  R n y consideremos los siguientes elementos en V :

•  Los vectores o  (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y  k  son dependientes ya que  o  = 0 ·k

e1 e2

Ejemplo del uso de la fórmula  f :

e

u⃗

, v⃗

0

 1  = 3

,

w  ⃗

0

n

= (0, 0, 0, . . . , 1).

Entonces e1 , e2 ,..., e   son linealmente independientes. Estos vectores constituyen la base canónica  en  R .

 1  = 2 4

Buscamos tres valores x , y  y  z  que satisfagan la ecuación:

u  + y  ⃗  =  x ⃗x ⃗v  +  z w

(1, 0, 0, . . . , 0) (0, 1, 0, . . . , 0)

.. .

¿Son los tres vectores siguientes independientes?

 2  = 0

= =

 2  1  1  0  0 +  3 +  2 =  0  y

0

4.1

Demostración

Supongamos que  a 1 ,  a 2 ,...,  an  son elementos de  R  tales que:

 z

0

4

0

Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:

a1 e1 +  a 2 e2  + · · · + a e  = 0 n

n

Sustituyendo  e 1 ,  e2 ,...,  en  resulta:

a1 (1, 0, ..., 0) +  a 2 (0, 1, ..., 0) +  ...  + a (0, 0, ..., 1) n

2x +

y 3y

+ z + 2z 4z

= = =

   = 0 0 0 ⇐⇒  = 0   0  = 0 x y z

Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.

Multiplicando:

(a1 , 0, ..., 0) + (0, a2 , ..., 0) +  ...  + (0 , 0,...,a ) n

Sumando coordenadas:

(a1 + 0 + 0 + . . . + 0, 0 + a2 + 0 + . . . + 0, . . . , 0 + 0 + . . . + a ) n

Por lo que se obtiene:  (a1 , a2 ,...,a ) n

3.1

Método alternativo usando determi- Así que: nantes

Un método alternativo usa el hecho que  n  vectores en  Rn a1 e1 +  a 2 e2  + · · · + a e  = (a1 , a2 , . . . , a ) son linealmente independientes si y solo si el determinantede la matriz formada por estos vectores como columnas Además:  a 1 e1  +  a2 e2  + · · · + a e  = 0 es distinto de cero. Pero 0 es un vector, entonces: (a1 , a2 ,...,a ) (0, 0, ..., 0) Dados los vectores: n

n

n

n

n

n

u⃗  =

�1� 1

, v⃗  =

�−3� 2

,

La matriz formada por éstos es:

=

Por lo que  ai  = 0 para todo  i  en {1,...,  n}. Entonces los vectores  e 1 , e2 , . . . , e  son linealmente independientes n

3

5

Ejemplo III

Sea V  el espacio vectorial detodas las funciones a variable real. Entonces las funciones et  y  e2t  en V  son linealmente independientes.

5.1

Demostración

Supongamos que  a  y  b  son dos números reales tales que: aet  +  be2t  = 0

Para todos los valores de  t . Necesitamos demostrar que  a = 0 y  b  = 0. Para hacer esto dividimos por  e t  (que es un número real diferente de cero, sea cual sea  t ) y restando obtenemos: bet  = − a

En otras palabras, la función  be t  debe ser independiente de t , lo cual ocurre únicamente cuando b = 0. Por lo tanto, a es cero.

6

Temas relacionados •   Combinación lineal, Sistema generador •  Base (álgebra), Base Ortogonal, Base Ortonormal •   Dependencia funcional

4

7

7

TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES 

Text and image sources, contributors, and licenses

7.1 •

7.2 •

7.3 •

Text Dependencia e independencia lineal Fuente:  http: //es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal?oldid=78058312 Colaboradores:  Sanbec, Ascánder, Rsg, Tano4595, Richy, SergioVares, RobotQuistnix, Kiroh, H4l9k, Yrbot, YurikBot, Wewe, Aladiah, Hecktorzr, Götz, BOTpolicia, Rdaneel, CEM-bot, Marianov, Davius, Fsd141, Thijs!bot, Mahadeva, JAnDbot, TXiKiBoT, R2D2!, Linkedark, VolkovBot, Matdrodes, SieBot, Drinibot, Manwë, HUB, Estirabot, Neodop, Leonpolanco, Botito777, SilvonenBot, Camilo, UA31, Jhajha, AVBOT, NjardarBot, SpBot, Luckas-bot, Vic Fede, Yonidebot, SuperBraulio13, Xqbot, Botarel, Jerowiki, PatruBOT, Dinamik-bot, Jorge c2010, ZéroBot, JA Galán Baho, Gilberto Chávez Martínez, Addbot, FedeBosio y Anónimos: 67

Images  Archivo:Vectores_independientes.png   Fuente:    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/27/Vectores_independientes.png Licencia:  CC-BY-SA-3.0  Colaboradores:  ?  Artista original:  ?

Content license Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0