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Densidad de flujo magnético en un solenoide Rocío Maribel Venegas Álvarez, División de Ingenierías Campus Irapuato-Salamanca, Universidad de Guanajuato, Carretera Salamanca-Valle Salamanca-Valle de Santiago Km K m 3.5+1.8 Km Comunidad de Palo Blanco, C.P. 36885 Salamanca, Guanajuato, México. Teléfono: +52 (464) 64 7 99 40 En el presente trabajo se da a conocer el  Abstrac  Abstractto — En comportamiento de la densidad de flujo en un solenoide, presentando su parte teórica con la ley de Biot-Savart, así como un ejemplo donde se tiene como fin diseñar un solenoide con un un flujo magnético de 1 Tesla en el centro de este y haciendo una simulación con el software femm.

corriente neta a través del área encerrada por la trayectoria (1), esto es una forma más sencilla para analizar campos magnéticos cuando se da la propiedad de la simetría en el elemento a evaluar, sin embargo.

 flujo magnético, solenoide, Biot-Savart. Í ndice de tér tér minos —  flujo

La ley de Biot-Savart (2) se utiliza para encontrar el campo magnético total B debido a la corriente en un circuito completo en cualquier punto en el espacio, abarca cualquier tipo de estructura o forma de conductor, debido a esto puede ser considerada con cierto grado de complejidad.

I. I NTRODUCCIÓN  N solenoide solenoide consiste en un enrollamiento de un un alambre alambre sobre un cilindro, por lo general con sección transversal circular. Puede tener cientos de vueltas a cada una de las cuales  puede considerarse como una espira. También T ambién es posible que haya varias capas de vueltas, todas conducen la misma corriente I, y el campo B total en cada punto es la suma vectorial de los campos generados por las las vueltas individuales individuales (Fig. 1). En el centro del solenoide aparecen líneas de campo magnético espaciadas de manera uniforme, para un solenoide largo y con devanado compacto, la mitad de las líneas de campo emergen

U

de los extremos, y la otra mitad se “fuga” a través de los

devanados entre el centro y el extremo, con esto lo que se alcanza a observar es que en el centro del solenoide es donde se concentra la mayor parte del campo magnético y en los extremos de este es en donde se dispersan la líneas de campo, lo cual implica que es más débil.

  B dl    I 

dB



 0  Idl

4 

r 

r 

 

(1)

 

(2)

En el presente caso, se comenzó el análisis para encontrar el flujo magnético en un punto P provocado por una espira circular de radio a, esto hecho con la ley de Biot-Savart, así se llegó a la conclusión de que el campo provocado por una espira se pude saber mediante (3).  0ia

2

  (3) 2(a 2  z 2 )3 2 Donde z es la distancia entre el centro de la espira y el punto P, μ0 es la permeabilidad del aire e i la corriente circulante por la espira.  B



II. DESARROLLO Para encontrar la densidad de flujo magnético en un solenoide se tomó en cuenta (3), encontrada con la ley de BiotSavart. Ahora tomado en cuenta una longitud (l), el mismo radio a y  N vueltas de alambre alambre (espiras) (espiras) se encontrará encontrará una expresión expresión que  permita involucrar los parámetros parámetros mencionados y para obtener el campo magnético en un punto dentro del centro de un solenoide. Se define a n=N/l y ahora la contribución del campo magnético H en P por un elemento del solenoide de longitud dz es: dH  

Para la obtención de la densidad de flujo magnético B en un conductor o espira debido a una corriente, es necesario conocer y aplicar la ley de Biot-Savart o bien la ley de Ampere, que son las leyes para analizar campos magnetostáticos; la ley de Ampere encuncia que la integral de línea de B alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a μ0 multiplicado por la

 2

2

Fig. 1 Distribución de líneas líneas de campo magnético magnético en un solenoide.

enc

0

2

ia dl

2(a 2  z 2 )3 2

ia ndz   

2( 2(a2



z

2 3  2

) 

 

(4)

2

Fig. 2 Solenoide de longitud l con N espiras.

Donde dl=n dz= (N/l) dz, de la Fig. 2 tan θ=a/z por lo tanto dz

dz

 

 

[ z

2

a csc

a



2

 d   

r

2 32

]

sin  d    

2

a

(5)

algún material ferromagnético real, la corriente, la longitud del solenoide y el número de espiras. Para la longitud del solenoide será arbitraria, sin embargo  para sabe el número de espiras para esta longitud se necesitará del diámetro del conductor, de igual manera, lo que también se toma en cuenta conforme el conductor es la cantidad máxima de corriente que podremos meter al circuito. En este caso se eligió un conductor calibre 12AWG el cual tiene un díametro de 2.05mm, a una temperatura de 55° soporta una corriente máxima de 33A para el presente caso se usará una corriente de 16A que se eligió arbitrariamente no sobrepasando los límites de capacidad del conductor, la longitud será de 20 cm esto es 0.2m, para la permeabilidad se tomó en cuenta un material disponible en la librería del software femm, que es M36 Steel su valor de μ es 1616. Ahora se procedió a dibujar la representación del solenoide agregando también cada una de las  propiedades.

(6)

Sustituyendo dz en (4) se tiene dH

 H

 H 

 H 

cos  2

ni  

 ni



2

ni 2

2l 

[a

 H  

2

 2

 1

sin  d    

(cos  2



(cos  2

l  



sin  d    

(7) (8) Fig. 3 Corte transversal del solenoide en femm.

 Ni 

2

 l 

(9)

cos  1 )  

(10)



2 2

cos  1 )  

4]1 2

 

inl 

2[ a

2



2

l 

4]1 2

cos  1  

(11)

 

(12)

Si l ≫a o θ2≅0°, θ1≅180°  H



ni

Fig. 4 Definición de los materiales, número de espiras y corriente.  Ni 

l 

 

(13)

Quedando así la densidad de flujo magnético  0 Ni  B  0 ni   



l 

(14)

En 14 se puede apreciar los parámetros que se pueden cambiar o mantener fijos para lograr cierta densidad de flujo magnético en un solenoide, por lo que se aplicará para realizar la simulación donde se tenga un flujo de 1 Tesla en el centro del solenoide.  A. Simulación

Para hacer el solenoide de 1 Tesla en el software femm se  procederá a hacer la selección de parámetros a utilizar según la fórmula, que son la permeabilidad magnética, ya sea del aire o

La distancia entre el núcleo y el devanado es de 2mm, se tomó este espacio como el aislante entre ambos. Para obtener el número de vueltas por los 20cm de longitud que se tienen, se dividió la longitud entre el diámetro del conductor a utilizar, en el ancho de la bobina se multiplicó el número de capas por el diámetro del conductor.

3  B. Resultados

Fig. 5 Elementos a evaluar. Fig. 8 Resultados

Fig. 6 Líneas de campo magnético.

III. CONCLUSIÓN El resultado obtenido cumplió con el objetivo principal, que era tener 1T de densidad de campo magnético, esto se logró usando como núcleo un material ferromagnético por lo que se tomó en cuenta la nueva permeabilidad magnética del material. Observaciones:  Al introducir el nuevo valor de  permeabilidad magnética del núcleo en la formula original obtenida el número de espiras que se obtiene es muy bajo, pero si se cambia este valor en la simulación, no se obtiene el resultado esperado de 1T, esto al parecer se da por los  parámetros que se toman en cuenta como el diámetro de conductor y número de capas, cosas que en la fórmula obtenida del análisis no se toman directamente. Se tomaron varios valores de capas de boninas para llegar al resultado deseado, variando más que nada este parámetro en lugar del de la corriente. IV. R EFERENCIAS [1] Sears, Zemansky, "Física Universitaria", Fuentes de campos magnéticos, vol. 2. [2] Matthew N. O. Sadiku, "Elementos d e Electromagnetismo", 3a ed.

Fig. 7 Densidades ded flujo magnético a lo largo del solenoide. Como puede observarse en la Fig. 8 el campo magnético en el centro del solenoide es de 1.068 T.

Fig. 8 Densidades de flujo.