Demostraciones MODA y MEDIANA

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL CONCEPCIÓN DEL URUGUAY ING. EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN - 3º AÑO

CÁTEDRA: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICAS PROF. POCO, Adriana Noelia AUX. FARÍAS, Stella Maris

DEMOSTRACIONES DE LA MEDIA Y LA MEDIANA

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PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA - 3ER AÑO DEMOSTRACIONES DE LA MEDIA Y LA MEDIANA

CONTENIDO LA MODA: ...................................................................................................................................................... 3 FÓRMULA DE LA MODA PARA EL CASO DE DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE IGUAL AMPLITUD: ................................................................................................................................................ 3 LA MEDIANA................................................................................................................................................. 5 FÓRMULA DE LA MEDIANA PARA EL CASO DE DATOS EN INTERVALOS DE IGUAL MAGNITUD: ............................. 5 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA: ................................................................................................................ 7

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La MODA: La MODA de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia, es decir el valor mas frecuente. Es un valor de la variable, y por lo tanto se representa en el eje de las abscisas. La moda puede o no existir, e incluso no ser única. Algunos conjuntos de observaciones carecen de modo, esto se da en el caso de tener valores de la variable que no se concentren en uno determinado. Pero un conjunto de datos puede tener más de un modo, en este caso se diría que se está en presencia de una distribución bimodal, trimodal o multimodal. El concepto de valor modal puede utilizarse tanto para variables cuantitativas como cualitativas.

FÓRMULA DE LA MODA PARA EL CASO DE DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE IGUAL AMPLITUD: Es necesario localizar primero cuál es el intervalo de mayor frecuencia, sabemos entonces que el valor modal será un valor de la variable comprendido entre los límites de ese intervalo. La moda se calcula de forma aproximada, ya que va a depender de la forma en que se hayan construido los intervalos, puede ser que al variar la amplitud de los mismos cambie el intervalo donde cae el modo. Gráficamente, el modo se encontrará en el rectángulo del Histograma de mayor altura: fi B

C P

Δ1

M

Δ

Δ

APB ~ CPD N D

Δ2

A

Li

Mo Ls

xi

Clase modal

Δ1= Clase inmediata anterior P: Punto de intersección Mo: Moda

Δ2=Clase inmediata posterior Li: Límite Inferior Ls: Límite Superior

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Definimos Mo como la abscisa del punto P de intersección de los segmentos AC y BD. Quedan determinados los triángulos semejantes: APB ~ CPD Teorema: Alturas de 2 Δ semejantes son proporcionales a los lados correspondientes. Por esta propiedad se pueden formar la siguiente proporción:   PM PN    AB CD

por razón de las alturas de Δ semejantes:     PM  AB  PN CD

   PN  MN  PM

    AB  MN AB  PM      PM  AB  MN  PM   CD     CD CD

       AB  PM AB  MN AB  AB  MN   PM     PM  1       CD CD CD  CD        CD  AB  AB  MN        PM    PN  CD  AB  AB  MN    CD CD     AB  MN     PN    AB  1 y cd  2 MN  c C D  AB

 1 C Quedaría: PM 1  2

Siendo:



 PN  c

1 1  2

  Mo  Li  PM  Mo  Li  c 1 1  2

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La MEDIANA La MEDIANA se define como el valor de la variable que, una vez ordenados los datos por orden de magnitud, divide a la distribución en 2 partes iguales, quedando la mitad o menos de los datos por debajo de ella y la otra mitad o más encima de ella. Cuando el número de datos es par, existen 2 valores centrales que satisfacen el valor de mediana, y se toma el punto medio entre ellos como mediana.

Fórmula de la Mediana para el caso de datos en intervalos de igual magnitud: Al igual que para el cálculo de la moda, se deberá localizar el intervalo donde se encuentra la mediana, este también será un valor aproximado ya que va a depender de la forma en que se agrupen los datos. Para obtener esta medida de tendencia central en forma gráfica será necesario representar las frecuencias acumuladas. La mediana es la abscisa correspondiente a la ordenada igual a la mitad de la frecuencia total. fi n f5 f4 E D

n/2 A

f2

B

Li

Me

f3 C

f1

Ls

xi

Luego de haber colocado gráficamente a la mediana y considerando el intervalo donde ella se encuentra, quedan determinados dos triángulos semejantes: ABD y ACE: AB = DB AC

CE

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Pero: AB = Me – Li AC = C (Amplitud) DB = n/2 – Fia (Frecuencia acumulada del intervalo anterior a aquel que contiene a la Me) EC = fi (frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la Me). Reemplazando: Me – Li C 

Me = Li +

=

n/2 – Fia fi

n/2 - Fia fi

.C

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Bibliografía Consultada: 

“Probabilidad y Estadística – Guía Básica de estudio” - Est. Susana López, Lic. Beatriz S. de Barietta , Lic. José Lespinard – Universidad Tecnológica Nacional, Facultad de Santa Fe – Septiembre de 1989. Argentina.