Demostraciones Matriciales
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Tópicos para Demostraciones Matriciales Guía de Tips y Algunas Demostraciones Realizadas + ejercicios demostrativos demostrativos
Contenido
¿Por qué demostraciones matriciales?
Mecánica vs Razonamiento
Tips sobre demostraciones matriciales:
Cambios
de Variables
Artificios y Resultados Particulares Concatenación
de Resultados
Demostraciones Matriciales Matriciales comunes en clases
Ejercicios propuestos propuestos al final de cada demostración.
Contenido
¿Por qué demostraciones matriciales?
Mecánica vs Razonamiento
Tips sobre demostraciones matriciales:
Cambios
de Variables
Artificios y Resultados Particulares Concatenación
de Resultados
Demostraciones Matriciales Matriciales comunes en clases
Ejercicios propuestos propuestos al final de cada demostración.
¿Por qué demostraciones matriciales? La econometría es una herramienta de los economistas que utiliza a su
vez herramientas y resultados provenientes de la economía, matemática matem ática y estadística. Debido a ello, todas las afirmaciones que se hacen en econometría deben ser comprobables y demostrables, de lo contrario carecen de validez. En el pasado la econometría usaba herramientas de sumatorias y productorias para comprobar sus resultados, con el advenimiento de las matrices, tales demostraciones se hicieron mucho más sencillas. De esta forma, la teoría econométrica utiliza las matrices como herramienta matemática para su justificación. Del mismo modo utiliza la inferencia estadística para poder trabajar con los resultados de naturaleza estocástica. De ahí la importancia de que para entender la teoría econométrica debamos trabajar con matrices y saber utilizar los resultados de un ejercicio o problema para resolver otros problemas. Todos los resultados matriciales en Econometría están concatenados.
Mecánica vs Razonamiento Razonamiento
Las fórmulas matriciales dadas en clases o en sus apuntes no son para aprenderselas de memoria. Como reza la frase célebre del Profesor Rafael López Casuso, ³La memoria es frágil, infiel y tendenciosa´. Es un error pretender aprender las fórmulas fórm ulas de memoria, pues basta que el profesor haga un cambio en un ejercicio para que la memoria termine haciendo unos resultados no tan favorables para Ud. La mecánica, resultado de hacer las cosas ³de memoria´ no es útil en Econometría. Si usa la memoria en los exámenes de Econometría, definitivamente saldrá mal. La única herramienta válida para Ud. es usar la cabeza, es razonar el problema, es plantear el problema y es buscar una solución usando lo que sabe, pero usar la cabeza es razonar, innovar, crear, y por supuesto es usar la memoria, pero la memoria solo es válida para recordar las herramientas que debe usar, pero el como usarlas us arlas le corresponde a Ud. averiguarlo, usando su capacidad de razonamiento. EN LOS EXAMENES DE ECONOMETRIA NO USE SOLO SU MEMORIA, USE MUCHO MAS SU C APACIDAD DE RAZONAMIENTO
Tips sobre demostraciones
En clase siempre nos hemos referido al modelo lineal general de una ecuación como Y=X F+I, por tanto todas las fórmulas basadas en F y I nos las aprendemos de memoria y vamos para el examen así. Pero que pasa si el profesor plantea un ejercicio en el cual el modelo se expresa como Y=Xb+u. Bueno, pues Ud tiene que hacer un trabajo extra, tiene que mentalmente hacer un cambio de variable donde b= F y u=Iy luego resolver el ejercicio tomando en cuenta los cambios de nomenclatura. En los exámenes de econometría es frecuente estos cambios, pues el alumno se ve obligado a tener que rehacer su memoria a favor de los cambios de variables, lo cual ayuda para que pueda resolver el ejercicio aunque ello signifique generar molestias al Estudiante como ¿a quien se le ocurre cambiar la nomenclatura en un examen parcial?
Respuesta: A todo profesor que se respete en Econometría en todo el mundo y que entiende que la única forma de aprender teoría econométrica es usar el razonamiento y no la memoria.
Conchas
Es común en los exámenes que algunas preguntas sean formuladas con un cierto arreglo en el texto respecto a como aparecen en apuntes y libros.
Ejemplo: El estimador de MCO es el estimador más eficiente de todos los estimadores lineales insesgados.
En materias de Ingeniería y Economía, el uso de la memoria es una condición necesaria más no es suficiente. La persona debe razonar la frase o problema usando las herramientas que conoce para demostrar la validez o falsedad de una afirmación.
Ejemplo: El estimador de MCO es el estimador más eficiente de todos los estimadores uniecuacionales insesgados.
En materias como el derecho o la literatura, los alumnos deben resolver la pregunta usando la memoria. Esta técnica es aplicable tambien a la econometría en cuanto a preguntas teóricas. La verdadera acepción a la frase anterior es:
de Mango
Ejemplo: El estimador MCO es el estimador más eficiente de todos los estimadores de la clase Y=A F insesgados. (Pregunta de Examen)
Para poder responder al ejemplo anterior, no basta la memoria, debe razonar el problema y determinar si A F es la forma lineal aceptada.
Demostraciones en
Clase
Esta guía contiene algunas (no todas) las demostraciones de matrices dadas en clase. La mayor parte de las demostraciones sencillas se dan para hallar las expresiones matriciales en torno a b y s, o en torno a los estadísticos t y F. La mayor parte de las demostraciones complejas se dan para buscar resultados cuando se viola alguno de los supuestos básicos del modelo MCO, tales como media de las perturbaciones diferentes de cero, o perturbaciones correlacionadas o heterocedasticas. En el caso de las demostraciones complejas buscamos saber las consecuencias de una violación de los supuestos básicos sobre los resultados de nuestros modelos. Recuerden que todas las teorías económicas se basan en supuestos. Es tarea de la econometría probar la validez de dichas teorías y de sus supuestos, o de diseñar nuevas teorías y expresar las condiciones o supuestos que deberán establecerse para poder cumplirse. Cuando un supuesto no se cumple, la teoría pierde cierta validez, del mismo modo, cuando en econometría un supuesto no se cumple, los resultados del modelo MCO pierden cierta validez. Esto es lo que buscamos cuando trabajamos con demostraciones matriciales.
Demostraciones Seleccionadas
Demostraciones ya conocidas:
Demostración 1:
Mínimos Cuadrados Generalizados
Demostración 2:
Algunos resultados que ya conocemos
Perturbaciones con media diferente de cero
Demostración 3:
Variables Explicativas Estocásticas TANTO LAS DEMOSTRACIONES QUE ESTAN INCLUIDAS EN ESTA GUIA COMO LAS QUE SE DIERON EN CLASE Y QUE NO APARECEN EN LA PRESENTE GUIA SON MATERIA DEL EXAMEN PARCIAL DE ECONOMETRIA.
Algunos resultados conocidos
De demostraciones iniciales en clase, ya conocemos algunos resultados:
Y
! X F I
FÖ ! ( X ' X ) 1 X ' Y Y
! X FÖ e
! Y X FÖ e ! (Y X (( X ' X ) 1 X ' Y )) e ! ( I X ( X ' X ) 1 X ') Y M ! ( I X ( X ' X ) 1 X ') e ! M Y e
Algunos resultados conocidos
De los anteriores obtenemos este:
e ! MY e ! M ( X F
I )
X ( X ' X )1 X ')( X F I ) e ! ( I X ( X ' X ) 1 X ') X F ( I X ( X ' X )1 X ') I e ! ( X X ( X ' X ) 1 X ' X ) F ( I X ( X ' X ) 1 X ') I e ! (X X ) F ( I X ( X ' X )1 X ') I! F (I X ( X ' X )1 X ') I e ! ( I X ( X ' X ) 1 X ') I De aquí sabemos entonces que MX=0, además dijimos que M era idempotente y simétrica e ! M I M*M=M*M¶=M (Demuestre que esto se cumple) MX ! 0 e ! (I
Demostración 1: Mínimos Cuadrados Generalizados
En general el supuesto MCO respecto a que la matriz de varianzas y covarianzas de los términos de perturbación es W2I, no siempre se cumple. En su lugar es más factible encontrar que dicha matriz asume la forma W2;en donde, ;es diferente de la matriz identidad. Luego cuando un modelo presenta autocorrelación, heterocedasticidad o una combinación de ambas, estamos trabajando con un modelo de mínimos cuadrados generalizados MCG. La corrección de la autocorrelación y la heterocedasticidad en los modelos MCG nos debe llevar a modelos MCO. Por eso decimos que los modelos MCO son un caso particular relevante de los modelos MCG. (Demostrar que esta afirmación es válida)
Demostración 1: MCG Sin pérdida de generalidad, definimos:
! ; 1
Sea H una matriz positiva semidefinida, luego el producto H¶H es una matriz cuadrada positiva definida.
H ' H
Aquí vemos la utilidad de hacer cambios de variables, el cual nos puede permitir a veces ahorrarnos tiempo y simplificaciones, aunque en esta demostración para la derivación del MCG no sea el caso.
premultiplicando * H , tenemos :
entonces : Y
! X F I
! H X F H I , cambiando p nomenclatura : Y * ! H Y ; X * ! H X ; I * ! H I , tenemos : Y * ! X * F I *, entonces :
H Y
FÖ ! ( X * ' X*) 1 X * ' Y FÖ ! ( X ' H ' H X ) 1 X ' H ' H Y FÖ ! ( X' ;1 X) 1 X' ; 1 Y, estimador: MCG
La matriz de varianzas y covarianzas de F es:
! E « ( FÖ F)( FÖ F)½'»
MVC FÖ
tenemos, E( Ö F )F! ( X ' ; 1 X)1 X ' ;1 E( ) I
MVC Ö F! E «( X ' ; X ) X ½ ' ; »I« 'I; ½X ( X ' ; X ) » MVC Ö ! «( XF' ; X ) X ' ; E ( '); XII( X ' ; X ) ½» M VC FÖ ! «( X ' ; X ) X ' ; W ;; X ( X ' ; X ) ½ » MVC FÖ ! W «( X ' ; X ) ( X ' ; X )( X ' ; X ) ½» MVC FÖ ! W ( X ' ; X ) MVC Ö
1 1 1 1 1 1 « » « »'I ( ' ) ' ( ' ) ' E X X X X X X ! F ; ; I ; ; ½ ½ 1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Sobre la demostración 1:
Demostrar que el estimador M CG es insesgado para F
Demostrar si el estimador de las varianzas de los términos de perturbación del modelo MCG es insesgado.
Estas preguntas suelen plantearse en los exámenes parciales.
Perturbaciones con media diferente de cero
El supuesto respecto a que el valor esperado de los términos de perturbación sea igual a cero es el más crucial de los supuestos, pues su no comprobación invalida prácticamente todos los resultados que obtenemos al estimar un modelo MCO. Esta afirmación no basta con entender que es así, y aprenderla de memoria; debemos estar preparados siempre para demostrarla, y en algunos casos para establecer normas que nos lleven a ratificar o refutar dicha afirmación.
Herramientas
para la demostración:
Tenemos entonces el caso en donde las perturbaciones se distribuyen con media J distinta de cero. Debemos saber que le pasa al modelo MCO cuando ello ocurre.
Sea
I , donde
F
Y iid
I : (* ,
2
I), donde
¨ J ¸ ¨ 0 ¸ © J ¹ © 0 ¹ © ¹ © ¹ * ( fi ) © M¹ { © M¹ © ¹ © ¹ © M¹ © M¹ © J ¹ © 0 ¹ ª º ª º
Demostración:
Veamos si F y s2 siguen siendo insesgados: FÖ ! (
X
X)
( FÖ ) !
((
E ( FÖ ) E(
!
Ö )F !
1
X Y X)
X
E( F
F (
( X
1
X X)
X Y ) X)
1
1
X
!
(( X
X
) 1 X ( X F I ))
I ) ! F ( X X ) 1 * { ;Fsesgado X
La única orm a qu e E ( FÖ )= F , es qu e (
X
X)
X
1
I
E( )
X
*!
0
Luego, tenemos el estimador de los parámetros será en general sesgado. En el caso particular de que la expresión (X¶X)-1X¶*sea igual a cero, entonces será insesgado. Es obvio que (X¶X)-1, no puede ser cero, solo X¶* puede ser cero, si la expresión es cero, tenemos parámetros insesgados, si es diferente de cero los parámetros serán sesgados. En general, es diferente de cero.
Definimos
I !
V , donde
iid
V
Ahora veamos que pasa con s2:
} (0, W 2 I ), E (V ) ! 0
luego, E( s2 ) ! E(WÖ 2 ) ! E( Ö )! E(W 2
Ö2) ! E(W (WÖ ) ! E 2
1
n k 1 n k 1 n k
(
nk
) ! E(
' V') M(
E(( E(
e'e
' M ' M
1 I ' M I )! E(I ' MI ) nk nk
V)) !
' MV V' M V' MV) ! W 2 Tr ( M )!
W 2Tr (M ) W 2 (n k ) 'M ' M Ö )! ! ! E (W nk nk nk nk 2
E (WÖ 2 ) ! W 2
' M
n k
W 2
Demostración: Comentarios
Es obvio que el estimador de la varianza de las perturbaciones es sesgado para W2 ¿Cambia este resultado si X¶ *=0?, veamos que no: Si, X '
!0
E (WÖ 2 ) ! W 2 E (WÖ ) ! W 2
2
'M nk '
! W 2
'( I
( X ' X )1 X ') ! nk
'( X' X) 1 X') nk
!W 2
' nk
!W 2
n2 nk
W2
Luego s2, es sesgado si las perturbaciones no tienen media cero y por tanto los resultados del modelo MCO y sus evaluaciones no son válidos.
Demostración 2: Ampliaciones El papel de la constante en el modelo M CO va más allá de ser una simple ordenada en el origen, puede ayudarnos a corregir el problema cuando tenemos perturbaciones con media diferente de cero. Veremos como es esto enseguida, pero primero, debemos tener claro de que debemos reconstruir nuestro modelo original para diferenciar la constante del resto de los parámetros. Al ser esto así, debemos trabajar con matrices y regresiones particionadas. Por tanto, debemos repasar las fórmulas asociadas a matrices particionadas, particularmente las fórmulas de la matriz inversa. Antes de resolver el ejercicio debemos ver como obtener un estimador para un subconjunto de parámetros del modelo. Veamos todo esto por separado y cuando estemos listos volveremos a la Demostración 2 Ampliaciones.
! X F I ; particionando.... ¨ F1 ¸ © ¹ Y ! X 1 M X 2 © K ¹ I , luego © F ¹ ª 2º ¨ F1 ¸ © ¹ luego, X ! X1 M X 2 ; F ! © K ¹ © F ¹ ª 2º Y ! X 1 F1 X 2 F2 I MODELO PARTICIONADO Y
Debemos plantear el modelo MCO en término de matrices particionadas:
Necesitamos inversa de una matriz particionada
FÖ ! ( X ' X )1 X ' Y FÖ ! « X1
M
X2 ' X1
«¨ X 1 ' ¸ FÖ ! ¬¬©© K ¹¹ X1 ¬©ª X 2 ' ¹º FÖ
« X 1 ' X 1 !¬ X 'X 2
1
M
X2 ½»
1
X1
M
1
» ¨ X 1 ' ¸ ¼ © K ¹ Y M X 2 ¼ © ¹ © X ' ¹ ¼ ½ ª 2 º 1 ¨ X 1 ' ¸ X 1 ' X 2 » © ¹ Y K ¼ ¹ X2 ' X2½ ©© ¹ ª X 2 ' º
X2 ' Y
Simplificaciones y Fórmulas
Existen demasiadas X 1 y X2 y sus diferentes combinaciones, conviene establecer cambios de variables, para simplificar el procedimiento y no tener que trabajar tanto tiempo.
¨ X 1 ' ¸ « X1 ' X1 X1 ' X2 » © ¹ Ö F ! ¬ K Y , simplificando ¼ © ¹ X2 ' X1 X2 ' X2½ © ¹ X ' ª 2 º ¨ X 1 ' ¸ 11 12 « A A » © ¹ Ö F ! ¬ 21 22 ¼ © K ¹ Y , operando A A½ © ¹ X ' ª 2 º 11 12 11 12 « » « A X A X A X Y A X 2 ' Y » ¨ F1 ¸ ' ' ' 1 2 1 Ö F ! ¬ 21 ¼ Y ! ¬ 21 ¼ ! © F ¹ 22 22 A X1 ' ½A X 2 ' A X½1 ' Y A X 2 ' Y ª 2 º 1
¨ A11 A ! © ª A21
A12 ¸
¹ ,queremos hallar A
-1
A22 º
Formula1:
Fór mulas
para las matrices
DefinimosB, B! « A22 A21 A11
inversas
¨ © A1 ! © © ª
particiona
Formula 2 :
das:
A12 »
1
½
A111 A111 A12 BA21 A111 L
L
1 BA A 21 11
DefinimosB*, B* ! « A A12 A22 11
¨ B * © A1 ! © L © A22 1 A21 B * ª
1
A111 A12 B¸ ¹ L ¹ B ¹º A21 »
1
½
¸ ¹ L ¹ A22 1 A22 1 A21 B * A12 A22 1 ¹º
L
1
1 B * 1A A 2 22
Reglas prácticas
Si necesitamos F2, usaremos la primera fórmula
Si necesitamos F1, usaremos la segunda fórmula
Si necesitamos F1 y F2 pero queremos hacer pruebas sobre F2 usaremos la primera fórmula
Si necesitamos F1 y F2 pero queremos hacer pruebas sobre F1 usaremos la segunda fórmula.
Volviendo al problema original ¨ X 1 ' ¸ « X1 ' X1 X1 ' X2 » © ¹ Ö F ! ¬ K Y , simplificando ¼ © ¹ X2 ' X1 X2 ' X2½ © ¹ ' X ª 2 º ¨ X 1 ' ¸ 11 12 « A A » © ¹ Ö F ! ¬ 21 22 ¼ © K ¹ Y , operando A A½ © ¹ ' X ª 2 º 11 12 11 12 Ö ¸ ¨ F « » « » ' ' ' ' A X A X A X Y A X Y 1 2 1 2 FÖ ! ¬ 21 1 Y ! ! © ¼ ¬ 21 ¼ © Ö ¹¹ 22 22 A X1 ' ½A X 2 ' A X½1 ' Y A X 2 ' Y ª F 2 º 1
me interesa saber quien es FÖ2 en terminos de X1 y X 2 ÖF 2
! A21 X1 ' Y A22 X 2 ' Y
FÖ
! A X1 ' Y A X 2 ' Y 21
2
22
debemos entonces saber quien es A21 y A22 . Usamos la fórmula 1 que es la que nos interesa.
Formula1: DefinimosB, B! « A22 A21 A11
1
¨ A111 A111 A12 BA21 A111 © 1 L A ! © 1 © BA A 21 11 ª
A12 »
1
½
A11 A12 B¸ ¹ L ¹ ¹ B º 1
L
luego, 21
A
! BA21 A11 ; A ! B ! « A22 A21 A11 A12 ½» 1
22
1
1
21
A
1
! BA21 A11 ;
22
A
!
B!
« A22
A21 A11
1
A12
½»
22
hallemos primero a B(= A ), para luego hallar
1
21
deshacemos ahora los cambios de variable y tenemos: A
22
! B ! «X 2
X2
X2
X1( X1 X1)
1
½»
X1 X 2
1
aqui comienzan las ha bilidades visuales y las sutilezas: Es obvio que X 2 , premultiplica ambos términos dentro de los paréntesis y a su vez X 2 postmultiplica ambos términos tambien. Entonces,
! B ! «X 2 ( I X 1 ( X 1
X1 )
Sabemos que M=(I X ( X
X)
A
22
M 1 A
22
! ( I X 1 ( X 1 ! B ! « X 2
X1)
1
M 1 X 2
X1
1
X ), luego,
X 1 ), tene
½»
1
) X 2 »
1
1
os :
½ de inimos M1 como
21
A
1
! BA21 A11 ; A ! B ! « X2 ' M1 X2 ½ » 22
1
hallamos ahora A21 21
A
1
1
! BA21 A11 ! « X2 ' M1 X2 ½» X2 ' X1 ( X1 ' X1 ) 1
hallamos ahora FÖ2 , sustituyendo...
FÖ2 ! A21 X1 ' Y A22 X 2 ' Y FÖ
1
2
1
1
! « X ½2 ' M1 X 2 » X 2 ' X1 ( X1 ' X1 ) X1½' Y « X 2 ' M1 X 2 » X 2 ' Y
ordenando (poniendo el término con signo menos de segundo) 1
1
1 FÖ2 ! « X 2 ' M » « » ' ' ' ( ' ) X X Y X M X X X X X X1 ' Y 2 2 1 1 1 ½1 2 ½ 2 1 2
de nuevo se requiere la perspicacia y la visión simplificadora: Y postmultiplica ambos té rminos y
« X2 ' M1 X2 ½» X2 ' los premultiplica,
1
FÖ2 ! « X 2 ' M1 X 2 ½» X 2 '( I X1 ( X1 ' X1 ) 1 X1 ') Y, FÖ
1
2
1
! « X 2 ' M1 X 2 ½» X 2 ' M1Y , l.q.q.d
Demostración 2: Ampliaciones
Y
Con
el resultado anterior, entonces planteamos el modelo particionado, tomando en cuenta ahora que X1 es un vector que representa a la variable constante, la cual toma valores iguales a 1.
! X F I ; particionando....
¨ 1¸ © M¹ Y ! X 1 F1 X 2 F2 I; dondeX ! 1 © ¹ © 1¹ ª º luego X1 es un vector de constantes iguales a 1, sabemos que: 1
FÖ2 ! « X 2 ' M1 X 2 ½» X 2 ' M1Y
_
1
_ E Ö F! E _
1
a _
a
1
F! E « X 2 '½M1 X 2 » X 2 ' M1Y ! E½ « X 2 ' M1 X 2 » X 2 ' M 1( X 1 1 F X 2 2 F ) I dado que MX 0 debe resultar obvio que M 1 X 1 ! 0, luego E Ö2
E Ö2 2
!FE « X 2 '½M1 X 2 » X 2 ' M1 X 2 1
1
«F X 2 ' M1 X 2 » X 2 ' M1 2 ½
a
« X2 ' M1 X2 ½» X2 ' M1 I 2F
aI
_ F « X ' M X ½» X ' M aI F! F « X ' M X ½» X ' M E( ) I E Ö E FÖ ! F « X ' M X ½» X ' M E Ö2 F! E
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
Veamos quien es M 1 , usando el razonamiento:
¨ 1¸ © 1¹ ! © ¹ , esto es una constante que multiplica a un vector de puros 1. © M¹ © ¹ ª 1º Luego resulta que X1 , es tambien un vector de puros 1, y puesto que M 1 X 1
entonces, M 1 , es siempre igual a cero. Matemáticamente: M1 M1
! ( I X 1 ( X 1 ' X 1 )1 X 1 ') ! ( X 1 ( X 1 ' X 1 )1 X 1 ' ) ! ! ( J X 1 ( X 1 ' X 1 ) 1 X1 ' X1 ) ! ( J X1 ) ! ( ) ! 0
! 0,
Finalizando Demostración 2: ! F E FÖ ! F E FÖ
1
2
2
2
2
« X2 ' M1 X2 ½» X2 ' M1
Lo que indica que si el modelo tiene una constante, entonces a pesar de que los
términos de perturbación tengan media diferente de cero, todos los parámetros excepto la constante serían insesgados. Como ejercicio, determine el estimador FÖ1, y demuestre que ( FÖ1 ) ! F1 J . Recuerde que debe usar la fórmula 2 de la matriz particionada.
Y la varianza de las perturbaciones? E (WÖ 2 ) ! W 2
' M
n k debemos saber si M
=0,
lo haremos indirectamente usando resultados anteriores:
(1) ( FÖ )=F +(X'X)-1 X '
¨ F1 J ¸ ,luego, es obvio que (1) =(2), entonces ¹ ª F 2 º ¨ F1 J ¸ ¨ F1 ¸ ¨ J ¸ -1 -1 ! F ! F (X'X) ' (X'X) X X ' + + © F ¹ © F ¹ © 0 ¹ ª 2 º ª 2º ª º ¨J ¸ ¨ J ¸ -1 por X, F © ¹ ! F +(X'X) ' X © ¹ ! (X'X)-1 ' ,X premultiplicando 0 0 ª º ª º ¨J ¸ ¨ J ¸ -1 X © ¹ ! X(X'X) X ' X1 X2 © ¹ ! X(X'X)-1 X ' ª 0º ª 0º X1J ! X(X'X)-1 X ' ! X(X'X)-1 X ' X(X'X)-1 X ' ! 0 ( I X(X'X)-1 X') ! 0 M ! 0 (2) ( FÖ )= ©
(WÖ ) ! W E 2
2
' M
n k
! W 2 (
) INSESGADA
En definitiva:
Tener una constante, no solo puede o no tener significado económico, sino que puede ayudarnos a evaluar los parámetros del modelo distintos de la constante y saber que dichos parámetros siempre serán insesgados, de ahí, la importancia de que el modelo tenga siempre una constante.
Otros resultados de la demostración 2:
El procedimiento anterior, largo evidentemente, fue utilizado para determinar la estimación de un subconjunto de parámetros del modelo dado el total de las observaciones en el modelo. En esencia, se buscaba estimar el valor de F2, dados los valores de todas las variables en X. En cierta forma, el valor esperado de dicho estimador debería ser un valor esperado condicional de la forma E( F2/X) =E[ F2/(X1 X2) y no de la forma E( F2/X2) Demuestre entonces que el estimador F2*=(X2¶X2)-1X2¶Y es un estimador sesgado para F2.
Otros resultados de la demostración 2:
Hemos
determinado M1 y por extensión tambien podemos conocer la forma exacta de M2, sustituyendo los subíndices 1 por 2. A partir de las fórmulas de la matriz particionada se pueden construir dos relaciones importantes entre M, M1 y M2:
1
! M1 M1 X 2 ( X 2 ' M 1 X 2 ) X 2 ' M 1 1 M ! M 2 M 2 X 1 ( X 1 ' M 2 X 1 ) X 1 ' M 2 M
Otros resultados de la demostración 2:
Y !
Habiendo
conocido a M1, existe un método más sencillo de poder hallar el estimador de b2, sin tener que pasar por todos los pasos anteriores. Determinaremos a este método como el método breve, el cual, ahorra tiempo y espacio a la hora de resolver un examen. X 1 F1
X 2 F 2 I
Multiplicando ambos lados de la igualdad por M1 , queda M 1Y ! M 1 X 1 F1 M 1Y ! M 1 X 2 F 2
Y * !
X 2 * F 2
FÖ2 ! (
X2 *
M 1 X 2 F 2 M 1I ; dado que M1
1
=0,entonces
M 1I , haciendo un cambio de variable, entonces
I *, tene os que el estimador de F 2 es : X2 *)
1
X2 *
FÖ2 ! ( X 2
M1 M 1 X 2 )
FÖ2 ! ( X2
M1 X 2 )
1
1
Y *, deshaciendo el cambio de variable, entonces: X 2 M 1 M 1Y ,
X 2 M1Y ,
luego queda:
órmula idéntica a la que habíamos hallado antes.
El ejercicio de todos los años
Suponga un modelo MCO de una sola ecuación sobre el cual se establece el siguiente supuesto:
I
(*,
2
;)
Se pide demostrar si se cumplen o no y las propiedades de los estimadores de F y W2 en los siguientes casos:
d
A) El modelo carece de constante B) El modelo tiene una constante
Se sugiere que intente resolverlo por Ustedes mismo, un ejercicio similar donde puede ser necesario los resultados de este ejercicio, suele presentarse en los exámenes parciales.
Demostración 3: Errores de Medida y Variables estocásticas En los modelos M CO, se indica que las variables en X, son deterministicas o no estocásticas. Sin embargo, si una variable de X es recogida o se mide con error y el error es de naturaleza estocástica, entonces la variable mencionada de X será estocástica y toda la matriz X tambien. Que pasa con los estimadores M CO cuando una o más variables en X son estocásticas o se miden con error? Al ser X una variable estocástica suponemos sin embargo que E(X/I)=0, es decir las variables son independientes.
De inimos el modelo Y ! F X t I t pero
es medida con error, de orma que observamos iid
Xt
!
Xt
* vt , d ond e
vt
} (0,
2
* de inido esto así:
I ), y estimamos:
Y ! F X t * I t a partir de esta última ormula que es la que observamos, sumaremos y restaremos una misma cantidad: Y ! FX t FX t * FX t I t ! F X t F ( X t * X t ) I t ; de la de inición de Xt
!
Xt
* vt
Xt
Y ! F X t ut ; ut ! F (vt ) I t Xt
E ( X t ut )
* vt ; ut ! F (vt ) I t ;
.B, podemos agruparlos en un solo término u t , queda :
hora debemos saber si el valor esperado de !
tenemos:
* Xt ! vt ; sustituyendo entonces en la expresión anterior, queda:
Y ! F X t F (vt ) I t , dado que v t y I t son
Xt
t
t
respecto a
t
es igual a cero, esto es si
t
y
t
son independientes:
! E (ut X t ) ! E ( X t * vt )( F (vt ) I t )
E( F ( vt ) Xt
* I t
Xt
* vt I t F ( vt 2 ))
dado que E(I t ) ! E (vt ) ! 0, los tres primeros términos de la expresión anterior son todos ceros, el último sin embargo, E(
F ( vt 2 )) ! FE( vt 2 ) ! FE( vt 0) 2 , no puede ser cero pues es una varianza, luego
El modelo M O pierde sus propiedades.
y
no son independientes.
Demostraciones matriciales en exámenes parciales.
Sigue un ejercicio propuesto que combina muchos de los resultados anteriores. Intenten resolver el ejercicio ya que ayuda mucho a razonar. Las reglas para hacer un ejercicio son siempre las mismas, primero pensar razonada y claramente lo que dice el enunciado, relacionarlo con la teoría econométrica y con las demostraciones anteriores. Saber en cada ejercicio cuando debe hacerse un cambio de variable para ahorrar tiempo. Visualizar simplificaciones de las expresiones matriciales de forma de reducir la complejidad del ejercicio. Utilizar artificios válidos de sumar y restar expresiones o premultiplicar o postmultiplicar. No utilice la mecánica de ejercicios que Ud sabe, utilice su razonamiento. La mecánica no es un procedimiento válido que tenga nota alguna, su capacidad de razonamiento, innovación y comprensión del ejercicio es la clave para poder obtener una nota. En los exámenes parciales históricamente se impone una penalización condicionada sobre la forma de evaluar todo el examen, dado su interés en el ejercicio de demostraciones matriciales.
Si Uds. optan por no resolver el ejercicio de demostraciones matriciales, todo el examen es evaluado por resultado y el valor de la pregunta matricial se resta a la nota del examen. Si Uds. intentan resolver el ejercicio de demostraciones matriciales, aún cuando no tenga un resultado final exacto, todo el examen será evaluado por procedimiento, lo cual resulta mucho más favorable para Uds.
Otros Ejercicios propuestos: Considere el modelo de regresión lineal
E(u)=0;E(uu )= , siendo
= F + u, donde,
, positiva de inida.
es no aleatoria,
e pide:
a) Demostrar que el estimador M CG de F (FÖ MCG ) es lineal en M C= (
-1
X )
, insesgado y tiene una
1
b) Considere el estimador arbitrario F%= FÖ MCG AY , donde que F%es insesgado para todo F , si y solo si
es no aleatoria, demuestre
=0
c) Del e ercicio del aparte b anterior demuestre además que: F% F ! [( d )
-1
X )
1
-1
A]u
olviendo al aparte (a), aplique alguna trans ormación al modelo que nos permita hallar el
estimador MCO de F (FÖ MCO ). e) Partiendo del modelo en (d) de termine el valor de la siguiente expresión: Ö E[( F
F )( FÖ F ) ] E [( FÖ F ) ( FÖ F )]
f ) De nuevo partiendo del modelo en (d)
) ea C la matriz de varianzas y covarianzas de un estimador de F E GADO ( F ) y sea: ) c=E( F ) F , el vector del sesgo. Demuestre que : ) ) E[( F F )( F F ) ] ! C cc
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