Demostracion regresion cuadratica

FORMALIZACIÓN DEL MODELO DE REGRESION CUADRATICA.

La ecuación es la siguiente, a la que debes llegar:

Y =a+bx+ c x 2 Hacemos lo mismo que en la regresión lineal simple, es definir la función madre que llamamos error, y la minimizamos mediante la derivación. Vamos a hallar las ecuaciones de “a”, “b” y “c” n

S ( a , b , c )=∑ ( Y −Y i )

2

i=1

Reemplazamos sabiendo que

n

S ( a , b , c )=∑ ( a+bx+ c x 2−Y i )

Y =a+bx+ c x 2

2

i=1

De esta ecuación vamos a derivar las 3 ecuaciones fundamentales.

n

∂ S (a , b , c ) 2 =2 ∑ ( a+ bx+ c x −Y i ) ∂a i=1 De aquí derivamos con respecto al primer valor que deseamos saber, con respecto a “a”. Esto debe ser igual a cero, es decir

∂ S (a , b , c ) =0 ∂a

n

2 ∑ ( a+ bx+ c x −Y i ) =0 2

i=1

Dividimos entre 2, por lo cual queda así: n

∑ ( a+bx +c x2 −Y i )=0 i=1

Distribuimos la sumatoria: n

n

n

i=1

i=1

i=1

n

∑ a+ ∑ bx +∑ c x −∑ Y i=0 2

i=1

n

Como

n

∑a

es una constante, se aplica la sgte propiedad

i=1

∑ a=an i=1

y

reemplazamos. Para las demas sacamos las constantes de las sumatorias y despejamos la de Yi. Pasa al otro lado como positiva.

n

n

i=1

i=1

n

an+b ∑ x +c ∑ x =∑ Y i Ecuacion(1) 2

i=1

Esta ecuacion es la fundamental que llaamos numero 1. Ahora volvemos a la ecuacion en rojo para derivar con respecto al otro termino. Es decir volvemos a esta: n

S ( a , b , c )=∑ ( a+bx+ c x 2−Y i )

2

i=1

Y derivamos con respecto a “b” n

∂ S (a , b , c ) 2 =2 ∑ ( a+ bx+ c x −Y i ) (x ) ∂b i=1 Sabemos que debemos igualar a cero.

n

2 ∑ ( a+ bx+ c x −Y i ) (x )=0 2

i=1

Dividimos entre 2, por lo cual desaparece. n

∑ ( a+bx +c x2 −Y i ) ( x ) =0 i=1

Ahora distribuimos la “x” es decir la multiplicamos por cada factor. n

∑ ( ax+ b x2 + c x 3−xY i )=0 i=1

Ahora distribuimos la sumatoria:

n

n

i=1

i=1

n

n

∑ ax +∑ b x +∑ c x −∑ xY i=0 2

3

i=1

i=1

Ahora sacamos las constantes de las sumatorias, es decir “a”, “b” y “c” n

n

i=1

i=1

n

n

a ∑ x +b ∑ x + c ∑ x −∑ xY i=0 2

3

i=1

i =1

n

Ahora despejamos hacia la derecha la sumatoria de

∑ xY i i=1

la cual esta con

signo negativo, por lo cual pasa con signo positivo. n

n

i=1

i=1

n

n

a ∑ x +b ∑ x + c ∑ x =∑ xY i Ecuación ( 2 ) 2

i=1

3

i =1

Aquí obtenemos la ecuacion fundamental numero 2. Ahora nos devolvemos a la ecuacion en rojo para derivar con respecto a “c”. es decir nos devolvemos a :

n

S ( a , b , c )=∑ ( a+bx+ c x −Y i ) 2

2

i=1

Derivamos con respecto a “c” n ∂ S (a , b , c ) =2 ∑ ( a+ bx+ c x 2−Y i ) (x 2 ) ∂c i=1

Igualamos a cero como en los anteriores casos:

n

2 ∑ ( a+ bx+ c x −Y i ) (x )=0 2

2

i=1

Dividiemos entre 2, por lo cual desaparece: n

∑ ( a+bx +c x2 −Y i )(x 2)=0 i=1

x

Ahora distribuimos la

2

, así.

n

∑ ( a x2 +b x 3 +c x 4−x 2 Y i )=0 i=1

Ahora distribuimos la sumatoria: n

n

n

n

i=1

i=1

i=1

i=1

∑ a x 2 +∑ b x 3 +∑ c x 4 −∑ x 2 Y i =0

Ahora sacamos de la sumatoria las constantes es decir: “a”, “b” y “c” n

n

n

n

a ∑ x + b ∑ x + c ∑ x −∑ x Y i=0 i=1

2

i=1

3

i=1

4

2

i=1

n

Ahora despejamos a la derecha cual pasa como positivo. Así:

∑ x2 Y i i=1

que esta en signo negativo por lo

n

n

n

n

a ∑ x + b ∑ x + c ∑ x =∑ x Y i Ecuación ( 3 ) 2

i=1

3

i=1

4

i=1

2

i=1

Por lo cual esta seria la ecuacion fundamental numero 3.

Así obtenemos estas tres ecuaciones claves para aplicar una vez nos den los datos y podamos dar cuenta de los valores a, b y c. n

n

n

i=1

i=1

i=1

an+b ∑ x +c ∑ x 2=∑ Y i Ecuacion(1)

n

n

i=1

i=1

n

n

a ∑ x +b ∑ x + c ∑ x =∑ xY i Ecuación ( 2 )

n

2

n

3

i=1

n

i =1

n

a ∑ x + b ∑ x + c ∑ x =∑ x 2 Y i Ecuación ( 3 ) i=1

2

3

i=1

i=1

4

i=1

Estas 3 ecuaciones una vez hallemos mediante un sistema de ecuaciones 3x3 los valores de a, b y c. Podremos hallar la ecuación de la regresión cuadrática. Y sustituir en esta

Y =a+bx+ c x 2