Demostración Matemática de Una Propiedad Óptica de La Elipse

 

 

8

 ANEXO I: DEMOSTRACIÓN DE QUE EL ÁNGULO DE INCIDENCIA DEL DISPARO DEL RAYO LÁSER SOBRE LA SUPERFICIE REFLEJANTE REF LEJANTE Y EL  ÁNGULO DE REFLEXIÓN DEL HAZ DE LUZ SON IGUALES.  A. ¿Qué sucede cuando cuando el rayo de luz incide en ccualquiera ualquiera de los punto puntoss del lado recto correspondiente al foco opuesto? CÁLCULO DEL ÁNGULO DE INCIDENCIA β :  y

m1 

β 

P(x0 , y0) m2  x F´(-c, 0)

C(0, 0)

Para calcular el ángulo β requerimos del valor de las pendientes pend ientes inicial y final del arco que las une para poder aplicar ap licar la fórmula del ángulo entre dos rectas. La pendiente del segmento de recta CP se puede calcular de forma inmediata aplicando la fórmula de la pendiente de una recta conocidos dos puntos: m=

 y 0



0

 x



0



 y 0  x

0

. 

0

La pendiente de la recta tangente, que es perpendicular a la anterior, tiene por consiguiente la pendiente: m1 = m

=-

1 m

 

1  y 0

 

 x0

 

y0

. 

 x0

Por otra parte, la pendiente del segmento de recta F´P tiene como valor: m2 = mF´P =

 y 0  x0





0

( c)



 y 0  x 0



c

. 

 

 

9

 Aplicando los valores de las pendientes en la ecuación del ángulo entre dos rectas: rectas: tan β =

m2



m1

... (1)  (1) 

1 m   2 m1

Se llega al siguiente resultado:  y 0

tan β =

 x 0



c  y 0



1 (  x 0  y 0

tan β =

=



c)  c)

 y 0 ( x 0



c)



 y 0

=





2

 y o

  )

 x0 ( x 0

 y 0 ( x0



 x0

2





c)

 y 0 ( x 0  c) ( x 0 y 0 ) 

 

c)

 x 0 c

 y 0 ( x 0  c )  x 0 y 0   y 0 c   x0 y 0  y 0 ( x 0

tan β

)  y 0  x 0

2



2

 x 0

)(

c

 y 0 ( x0  y 0 ( x 0  x 0

tan β

(

 

c)

 x0 c   y 0

 

2

.

 y 0 c

CÁLCULO DEL ÁNGULO DE REFLEXIÓN α:

 Ahora para el ángulo α las pendientes inicial y final son, son , respectivamente, las siguientes(ver la siguiente figura): m 1 = m FC =   y 0  0   x 0



c

 y 0  x 0



c

m 2 = m TAN = -  x 0 .    y 0

. 

 

 

10

 y P(x0 , y0)  m2 m1  α  C(0, 0)

 x

F(c, 0)  0) 

Sustituyendo los valores de las pendientes en la ecuación (1), el valor de α se calcula como sigue:  y ( 0 )  y 0  x 0  c    y 0  x 0 1 ( )( )  x 0  c  y 0 

tan α

=



 x 0

 x 0 ( x0





c)

 y 0 ( x0  c) =  y 0 ( x0  c)

tan α

 y 0 ( x0



c)





 y 0

 y 0 ( x 0  c )  x 0 y 0

 y 0 ( x 0

2 

0

tan α

=

( x0

2





2

 x0 c   y 0 )

( y 0 c)



0

 y 0 ( x 0 



 

c)

2 

0

 x  x c  y  y 0 ( x 0  c ) =  x 0 y 0   y 0 c   x0 y 0

tan α

2

  tan     



 x0

2

 

c)

 y 0

 

2

 y 0 c



 x0 c

.

 

Podemos concluir que, dado que tan α  ≠ tan tan β en ento tonc nces es α ≠ β β.. Es Esto to s se e

explica porque la pendiente de la recta que pasa por FP tiene pendiente infinita sobre la cuerda que pasa por el foco. 

 

 

11

B. ¿Qué sucede entre el ángulo α y el ángulo β para cualquier otra

posición diferente de los focos?  Y

P(0, b)

m1 

α 

m2 

β 

m2

m1 

F´(-c, 0)

m1 = 0, m2 =

b c

 x

F(c, 0)

 

CÁLCULO DEL ÁNGULO DE INCIDENCIA β :  Aplicando los valores de la pendiente a la ecuación (1) (1):: Tan β =

0  (b) c0 b

=

 

 

CÁLCULO DEL ÁNGULOc DE REFLEXIÓN α:  Operando de manera similar que el anterior(m anterior(m1 = b 0  ( ) c Tan α = b 1  0( ) c



b c

b c

,  m2 =

0): 0):

. 

Tomando como base los cálculos anteriores, y dado que tan α = tan β,  

podemos concluir que los dos supuestos son verdaderos .