Demostración Fórmulas de Las Figuras de Lissajous

Universidad De Cartagena Departamento De Física

Demostración Fórmulas De Las Figuras De Lissajous

En el caso que las frecuencias sean iguales, las amplitudes diferentes y 𝜋 𝛿=2 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)

Partiendo de la condición que contempla a las figuras de lissajous como el resultado de la superposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares, podemos llegar a fórmulas como la de una recta, una circunferencia, una elipse, entre otras.

𝜋 𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + ) = 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 2 Elevando al cuadrado cada expresión x 2 = A2 sin2 (⁡𝜔𝑡) y 2 = ⁡ B2 cos 2 (⁡𝜔𝑡) x2 = ⁡ sin2 (⁡𝜔𝑡) A2

Para empezar, asúmanos que los movimientos perpendiculares son descritos:

y2 = cos2 (⁡𝜔𝑡) B2

𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝛿)

Aplicando el superposición x2

Tomando la situación en que las frecuencias son iguales, las amplitudes diferentes y 𝛿 = 0 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)

principio

de

y2

+ B2 = sin2 (⁡𝜔𝑡) + cos 2 (⁡𝜔𝑡) A2 x2 A2

y2

+ B2 = 1

Como resultado tendremos una elipse.

𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝛿) = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑥 = sin⁡(𝜔𝑡) 𝐴 𝑦 = sin⁡(𝜔𝑡) 𝐵 𝑥 𝑦 = 𝐴 𝐵 𝐵 𝑦= 𝑥 𝐴 Lo que nos indica la ecuación de una recta.

Tomando las frecuencias iguales, las 𝜋 amplitudes iguales y 𝛿 = 2 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝜋 𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + ) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 2 Elevando al cuadrado cada expresión x 2 = A2 sin2 (⁡𝜔𝑡) y 2 = ⁡ B2 cos 2 (⁡𝜔𝑡)

Universidad De Cartagena Departamento De Física

Aplicando el superposición

principio

de

x 2 + ⁡ y 2 = ⁡ A2 sin2 (⁡𝜔𝑡) + ⁡ A2 cos2 (⁡𝜔𝑡)⁡⁡ x 2 + ⁡ y 2 = ⁡ A2 ⁡[sin2 (⁡𝜔𝑡) + ⁡ cos2 (⁡𝜔𝑡)]⁡⁡ x 2 + ⁡ y 2 = ⁡ A2 ⁡[1]

Como resultado tendremos circunferencia de radio A.

una

Por ultimo asumamos que las amplitudes son iguales, las frecuencias diferentes y 𝛿 toma distintos valores

𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔1 𝑡) 𝑦 = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔2 𝑡 + 𝛿) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔2 𝑡 + 𝛿)

Aplicando el principio superposición tenemos que

de

𝑥 + 𝑦 =⁡ 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔1 𝑡) + 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔2 𝑡 + 𝛿) 𝑥 + 𝑦 =⁡ 𝐴[𝑠𝑖𝑛(𝜔1 𝑡) + ⁡𝑠𝑖𝑛(𝜔2 𝑡 + 𝛿)] = ⁡𝐴 [2𝑠𝑖𝑛 ( = ⁡2𝐴𝑠𝑖𝑛 [

𝜔1 𝑡 + 𝜔2 𝑡 + 𝛿 𝜔1 𝑡 − 𝜔2 𝑡 − 𝛿 ) ⁡𝑐𝑜𝑠 ( )] 2 2

(𝜔1 − 𝜔2) 𝑡 − 𝛿 (𝜔1 + 𝜔2 )𝑡 + 𝛿 ] ⁡𝑐𝑜𝑠 [ ] 2 2