Demostración Épsilon - Delta Con Ejercicio A Resolver

 

mãcotasw

Ngma`og Pgmb`fl` Fcfkaus Cgzfrt FTMONFL KABOLONOGL ÏT^OMGL „ KAM[F TFUF NGCTUGEFU MÃCO[A^

  Kabolonoþl ïpsomgl-kamtf   ^af b  ulf   ulf bulnoþl kabolokf al fm`ùl oltarvfmg feoartg qua ngltal`f f f. Am mãcota   Aiarnonogs rasuamtgs mf asnroea kabolonoþl apsomþl-kamtf) ka b (x) nuflkg f f  as M, y sa  x   toalka (fpmonflkg   Al mgs mgs aiar aiarnon nonogs ogs 6 f 0, kacuas kacuastra tra qua am mãcota mãcota as am am lùca lùcarg rg olkon olkonfkg fkg fpmonflkg mf kabolonoþl Apsomþl-kamtf9

Lgtf9 lg as lanasfrog qua b   asta asta kabolokf al f pfrf qua am mãcota axostf.

^gmunoglas   6. ^gmunoþl9



  Kfkg ul oltarvfmg kglka astæ kabolokf kabolokf mf bulnoþl asta oltarvfmg kaea ngltalar f -6 Mf bulnoþl astæ kabolokf al tgkgs mgs rafmas (b(x)31x+:) pgr mg qua -6 partalana f asta oltarvfmg.



  Apso Apsomg mgl l „ kam kamtf tf ^a kaea kaea alng alnglt ltrf rfrr ul kamt kamtf f al al tïrc tïrcol olgs gs ka ïpso ïpsomg mgl l qua qua nucpm nucpmf f mfs mfs nfrfntarãstonfs ka mf bulnoþl. 4 =| x + 6|= λ ↕|( 1 x + : )∕>|= α 4 =| x + 6|= λ ↕|1 x + : ∕>|= α 4 =| x + 6|= λ ↕|1 x + 1|= α 4 =| x + 6|= λ ↕ 1| x + 6|= α

 

4 =| x + 6|= λ ↕| x + 6|=

 α 1

α Efstf ngl utomozfr ul kamtf o`ufm f λ 3  pfrf qua sa nucpmf am mocota 1

Altglnas sa fsa`urf qua9 moc 1 x + : 3>

 x↕ ∕ 6

4 =| x ∕ >|= λ ↕|( 0 ∕> x ) + 5|= α 4 =| x ∕ >|= λ ↕|0 ∕> x + 5|= α

| |= λ ↕|?∕> x|=α 4 =| x ∕ >|= λ ↕|∕> (∕> + x )|= α 4 =| x ∕ >|= λ ↕|∕> ( x ∕> )|= α 4 =| x ∕ >|= λ ↕|∕>|| x ∕>|= α 4 =| x ∕ >|= λ ↕ >| x ∕>|= α α 4 =| x ∕ >|= λ ↕| x ∕>|= 4 =  x ∕ >

>

α Efstf ngl tgcfr λ 3   pfrf qua am mocotf axostf pgr mg tfltg >

moc 0∕ > x 3∕5  x ↕ >

  ;. ^gmunoþl9

Aiarnonog 1 5 ( x ∕> ) ( x ∕5 )  x ∕1 x + 2 moc   3moc   3 moc  x ∕53> ∕536  x ∕ >  x ∕>  x ↕ >  x ↕ >  x ↕> 5

 x ∕1 x + 2 moc   36  x ∕ >  x ↕ >

 

Tfrf tgkg α

5

 x ∕1 x + 2 ^o 4 =| x ∕>|= λ altglnas ∕6 = α  x ∕> ^o 4 =| x ∕>|= λ altglnas

 x

>

 x

 x

>

5

6

α

^o 4 =| x ∕>|= λ altglnas|( x ∕5 )∕6|= α ^o 4 =| x ∕>|= λ altglnas| x ∕5∕6|= α ^o 4 =| x ∕>|= λ altglnas| x ∕>|= α

Tfrf ul λ 3 α am vfmgr kam mãcota mãcota sa nucpma. Tgr mg tfltg 5  x ∕1 x + 2 moc   36  x ∕ >  x ↕ >

Aiarnonog 2 moc ( 0 x ∕? )31  x ↕ 5

 Tfrf tgkgα tgkg α < 4 , kaea kaea axost axostor or ul λ < 4 tfmqua ^o 4 =| x ∕5|= λ altglnas altglnas|( 0 x ∕? ) ∕1|= α ^o 4 =| x ∕5|= λ altglnas|0 x ∕?∕1|= α

^o 4 =| x ∕5|= λ altglnas|0 x ∕6;|= α | x ∕5|= λ altglnas|0 ( x ^o 4 =  x ∕5 )|= α ^o 4 =| x ∕5|= λ altglnas 0| x ∕5|=α α ^o 4 =| x ∕5|= λ altglnas| x ∕5|= 0

α  Tfrf ul λ 3  am vfm vfmgr gr kam mãcot mãcotaa sa varobo varobonf nf  0

 Tgr mg tfltg moc ( 0 x ∕? )31  x ↕ 5

NFMNQMA _ KACQA^[UA MG^ ^O@QOAL[A^ MÃCO[A^ 5

6 · moc 5 x

moc

 x ∕1 ) 3 moc ( 5 x + > )36> 0 x ∕61 3 moc  ( 5 x + > ) ( x ∕  x ∕1  x ∕1

  )  ( ∕  ( ∕   )3

 x ↕ 1

 x ↕ 1

 ( ∕

5 x

5

 x↕ 1

0 x 61  x 1

 )

 x ↕ 1

6>

|(

 Tfrf tgkg α < 4 , ka kaeaaxos eaaxosto torr ul λ < 4 tf tfmm qu quaa ^o 4 =| x ∕1|= λ altgln altglnas as

|(

 ) |

 ( 5 x + > ) ( x ∕1 ) ∕6> = α  x ∕1 ^o 4 =| x ∕1|= λ altglnas|( 5 x + > ) ∕6>|= α ^o 4 =| x ∕1|= λ altglnas|5 x + > ∕6>|= α ^o 4 =| x ∕1|= λ altglnas|5 x ∕64|= α ^o 4 =| x ∕1|= λ altglnas|5| x ∕1||= α ^o 4 =| x ∕1|= λ altglnas 5| x ∕1|=α ^o 4 =| x ∕1|= λ altglnas

^o 4 =| x ∕1|= λ altglnas| x ∕1|= α

5

α  Tfrf ul λ 3  am vfmgr vfmgr kam mãcot mãcotaa sa varobo varobonf nf  5

5 x

5

 ) |

∕0 x ∕61 ∕6> = α  x ∕1

 

 Tgr mg tfltg moc

 (

5 x

 x ↕ 1

5 ·   moc

 (

; x

5

 x ↕∕5

moc  x↕ ∕5

 (

;  x

5

5

 )

∕0 x ∕61 36>  x ∕1

  )  (

 )

 ( ; x +0 ) ( x + 5 ) + 61 x + 6; 3  moc 3  moc ( ; x + 0 )3∕6  x + 5  x + 5  x ↕∕ 5  x↕ ∕ 5

 )

+ 61 x + 6; 3∕6  x + 5

|(

altglnas  Tfrf tgkgα tgkg α < 4 , kaea kaea axost axostor or ul λ  ·   moc

 x ↕∕ ?

moc  x↕ ∕?

 (

(

1 x

1 x

5

5

 (

; x

5

 )

+ 61 x + 6; 3∕6  x + 5

 )

+ 65 x + 0 1 ∟ :6+ 65 ∟∕ ? + 0 ;41 ∕64: + 0  >4; ∕02 ∕>: 3   3   3 3  3 ? x + ? ? ∕:6 + ? ∕05 ∕05 6:

 )

+ 65 x + 0 3∕>: ? x + ? ? 5

|(

  )  |

 Tfrf tgkgα tgkg α < 4 , kaea kaea axost axostor or ul λ < 4 tfm qua ^o 4 =| x + ?|= λ altglnas altglnas 1 x + 65 x + 0 ∕∕>: = α ? ? x + ?

| + + +  +  |= ( + )( + ) | ( + )   +  |= | +   +  |= + |   |=

^o 4 =| x + ?|= λ altglnas

^o 4 =| x + ?|= λ altglnas

1 x

5

65 x

? x

0

>:

?

?

1 x 0  x  x 6

>: ?

?  x 6

^o 4 =| x + ?|= λ altglnas

1 x

^o 4 =| x + ?|= λ altglnas

1 x

0

?

>: ?

;1

?

α

α

 1 | x + ?|= α ? ?α ^o 4 =| x + ?|= λ altglnas| x + ?|= 1

^o 4 =| x + ?|= λ altglnas

 Tfrf ul λ 3

?α   am vfmgr vfmgr kammãcota kammãcota sa varobo varobonf nf  1

α

α

 

 Tgr mg tfltg   moc  x ↕∕?

; · moc  x↕ >

moc

 (

 x ↕ >

 (

0 x

5

0 x

 (

1 x

 )

5

+ 65 x + 0 ∕>: 3 ? x + ? ?

  )  (

 )  (  )

∕6: x ∕? moc  ( 0 x + > ) ( x ∕> ) moc 0 x + > 5; 3 3 3   3; 5 ( x + > ) ( x ∕ > )  x ↕>  x + > 2  x ↕>  x ∕?

5

 )

∕6: x ∕? 3;  x ∕? 5

|(

 Tfrf tgkgα tgkg α < 4 , kaea kaea axost axostor or ul λ < 4 tfmqua ^o 4 =| x ∕>|= λ altglnas altglnas

^o 4 =| x ∕>|= λ altglnas

(| ++  )∕ |= 0 x

 x

0 x

>

 x

0 x >

;  x >

 x >

>

> x

?

^o 4 =| x ∕>|= λ altglnas

α

α

;

>

^o 4 =| x ∕>|= λ altglnas 0 x ^o 4 =| x ∕>|= λ altglnas

;

>

| ++   ∕ |= + ∕ ( + ) | +   |= + ∕ ∕ = | ∕+  | | +  |= ( ∕ ) | +   |=

^ o 4 =| x ∕>|= λ altgln altglnas as

^o 4 =| x ∕>|= λ altglnas

>

 x

 x

>

65

α

α

>

 x  x

; x >

α

>

>

α

| x ∕>|= λ  ∕λ = x ∕> = λ / + 2 ∕λ + 2 = x + > = λ + 2 ∕λ ∕2 ↔ λ + 2 = x + > = λ + 2 ∕λ ∕2 = x + > = λ + 2 | x +>|= λ +2 ^o 4 =| x ∕>|= λ altglnas

 >| x ∕>|

| x + >|

 =α

> λ  3α λ + 2 > λ 3α ( λ + 2 ) > λ 3αλ + 2 α > λ ∕αλ 3 2 α

λ ( > ∕α )32 α   2α λ 3 >∕ α  Tfrf ul λ 3

  2α   am vfmgr vfmgr kam mãcota mãcota sa varob varobonf onf  > ∕α 0 x

 Tgr mg tfltg moc  x ↕ >

(

5

∕6: x ∕? 3;  x ∕? 5

 )

0 x

5

 ) |

∕6: x ∕? ∕; =α 5  x ∕?

 

1 · moc  x↕ 6

moc

 (

 x ↕ 6

 (

> x

 ) (

 )  (  )

+ ; x ∕0 3moc  ( > x + 0 ) ( x ∕6 ) 3 moc > x + 0 64 3   31 ( x +6 ) ( x ∕6 )  x ↕  x + 6 5  x↕  x ∕6

5

5

6

5

6

 )

+ ; x ∕0 31 5  x ∕6

> x

 Tfrf tgkg α < 4 ,kaeaaxostorul λ < 4 ,tfmqua 9

|(

 ) | |(  ) |  | | |  | |  | |  |

^o 4 =| x ∕6|= λ altglnas

5

+ ; x ∕0 ∕1 = α  x ∕6

> x

5

^o 4 =| x ∕6|= λ altglnas > x + 0 ∕1 = α  x + 6 ^o 4 =| x ∕6|= λ altglnas

> x + 0∕1 ( x + 6 )

 x + 6 > x + 0∕1 x ∕ 1 ^o 4 =| x ∕6|= λ altglnas  x + 6 ∕5 x + 5 α ^o 4 =| x ∕6|= λ altglnas =  x + 6

=α

=α

∕5 ( x ∕ 6) =α  x + 6 |∕5|| x ∕6| ^o 4 =| x ∕6|= λ altglnas   =α | x + 6| ^o 4 =| x ∕6|= λ altglnas

| x ∕6|= λ  ∕λ = x ∕6 = λ /+ 5 ∕λ + 5 = x + 6= λ + 5 ∕λ ∕5 ↔ λ + 5 = x + 6= λ + 5 ∕λ ∕5 = x + 6 = λ + 5 | x +6|= λ +5 5 λ  3α λ + 5 5 λ 3α ( λ + 5 ) 5 λ 3αλ + 5 α 5 λ ∕αλ 35 α λ ( 5 ∕α ) 35 α  5α λ 3 5∕ α

NFMNQMA AM RFMGU KA λ ^O α 3 4,6 λ 3

  5 ∟ 4,6 4,5 3 34,66 5∕ 4,6 6,?

 Tgr mg tfltg pfrful λ 3

moc

 (

 x ↕ 6

5

 )

+ ; x ∕0 1 3 5  x ∕6

> x

  5α  am vfmgr vfmgr kammoco kammocota ta sa varobo varobonf nf 5∕α