Demostración de La Ley de Pascal

 

Demostración de la Ley de Pascal (Çengel & Cimbala, 2006) nos dicen que una consecuencia de que la presión en un fluido

 permanezca constante en la dirección horizontal consiste en que la presión aplicada a un fluido confinado aumenta la presión en toda tod a la extensión de éste en la misma cantidad. Esto se conoce como ley de Pascal, en honor a Blaise Pascal (1623-1662). Pascal también sabía que la fuerza aplicada por un u n fluido es proporcional al área superficial. Observó que se  podían conectar dos cilindros hidráulicos de áreas diferentes y se podía usar el más grande  para ejercer una fuerza proporcionalmente mayor que la aplicada al más pequeño. La “máquina de Pascal” ha sido la sido  la base de muchos inventos que forman parte de nuestra vida cotidiana, como los frenos y los elevadores hidráulicos. Esto permite levantar un automóvil con facilidad mediante un brazo, como se muestra en la figura 3-10. Nótese que 1 = 2, ya que los dos émbolos están e stán al mismo nivel (el efecto de pequeñas diferencias en la altura es despreciable, en especial a presiones altas), se determina que la razón de la fuerza de salida a la de entrada es:

1 = 2 2 →

1  1

=

2  2

 →

2  1

=

 2

   1

La razón A2 /A1 se llama ventaja mecánica ideal del elevador hidráulico. Por ejemplo, con un gato hidráulico para automóviles con una razón de áreas de los pistones de A2 /A1 = 10, una persona puede levantar un automóvil de 1 000 kg por la aplicación de una fuerza de sólo 100 kgf (= 908 N).

 

  Figura 1. Aplicación de la ley de Pascal   (Çengel & Cimbala, 2006) p.71

Ley Hidrostática

En general, la estática de fluidos se llama hidrostática. En la estática de fluidos no se tiene movimiento relativo entre capas adyacentes del fluido y, por lo tanto, no se tienen esfuerzos cortantes (tangenciales) en éste que traten de deformarlo. de formarlo. El único esfuerzo que se trata en la estática de fluidos es el esfuerzo normal, el cual cu al es la presión, y la variación v ariación de ésta sólo se debe al peso del fluido. La fuerza que se ejerce sobre una superficie por un fluido en reposo es normal a esa superficie en el punto de contacto, puesto que no existe movimiento relativo entre el fluido y la superficie sólida y, como consecuencia, no pueden actuar fuerzas cortantes paralelas a la superficie. (Çengel & Cimbala, 2006)  (Streeter, Wylie, & Bedford, 2000) nos dicen que, mientras que los esfuerzos normales

 positivos se definen como positivos hacia afuera de la superficie, la presión es positiva hacia el centro de masa de la superficie sobre la que actúa.

 

Un punto de un fluido en equilibrio tiene la misma presión en todas las direcciones. Esto significa que un elemento  de área muy pequeña, libre para rotar alrededor de su centro, cuando se sumerge en un fluido en reposo, tendrá una fuerza de magnitud constante que actúa en cualquiera de sus lados, sin importar su orientación. Para demostrar lo anterior, se toma un cuerpo libre en forma de cuña, de ancho unitario en el punto (x, y) de un fluido en reposo. Como no pueden existir fuerzas cortantes, las únicas fuerzas son las fuerzas normales a la superficie y las fuerzas gravitacionales; entonces las ecuaciones de movimiento en las direcciones x y y son, respectivamente:

Σ =    −   sin  =

 2

 = 0 

Y

Σ =    −   cos  − 

 2

=

 2

 = 0 

Figura 2. DCL de una partícula en forma de cuña (Streeter, Wylie, & Bedford, 2000) p.34 

Donde px, py y pz, son las presiones promedio en las tres caras;  es el peso específico del fluido;  es su densidad; y a x y ay, son las aceleraciones. En el límite que el tamaño del

 

cuerpo libre tienda a O, permitiendo que la cara inclinada se aproxime a (x, y) manteniendo el mismo ángulo  y utilizando las relaciones geométricas:

   =  

 cos  =   

La ecuación se simplifica a

   −    = 0 

   −    − 

 

= 0 

El último término de la segunda ecuación es un infinitesimal de orden superior que puede ser despreciado. Si las ecuaciones se dividen por  y y  x, respectivamente, se obtiene:

 =  =    Como   es un ángulo arbitrario, esta ecuación prueba p rueba que la presión es igual en todas las direcciones en un punto, en un fluido estático.

Bibliografía Çengel, Y., & Cimbala, J. (2006). Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones.  (Primera ed.). Aplicaciones. (Primera México: McGraw-Hill Interamericana.  Streeter, V., Wylie, E. B., & Bedford, K. (2000). Mecánica de Fluidos (Novena Fluidos (Novena ed.). Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Interamericana.