Demostración de identidades vectorialesss

Demostración de identidades vectoriales.

      

I)

Para demostrar esta identidad no queda más que desarrollar el rotacional y posteriormente posteriorme nte calcular la divergencia divergencia..

                                                                                                                       

Luego

Como suponemos que la función vectorial es bien portada, al menos de clase derivadas cruzadas son iguales, es decir:

 las

Por lo tanto concluimos que

 

II)

Nuevamente para demostrar esta identidad hay que desarrollar primero el gradiente  y luego aplicar aplicar el rotacional. rotacional. 1

Luego



                                                                                                                                            

Nuevamente suponiendo que es una función escalar bien portada al menos de clase .

 

Esta identidad es inmediata ya que al ser

III)

IV)

  un operador lineal, se

distribuye en la suma.

                                   

V)

2

Ordenando y agrupando términos

                                                     

VI)

Para esta demostración comenzamos por desarrollar el lado derecho de la igualdad 1) 2)

                                                                                          Sumando las cuatro ecuaciones anteriores y separando sus componentes en

 

Para

3)

4)

  

                                                                                                  

a)

Para

Para

 

b)

                           3

                                                                                  

c)

Podemos ver fácilmente que a), b) y c) se pueden reescribir de la siguiente forma

a) b) c)

Juntamos estas ecuaciones en una sola

4