DEFORMACIONES POR CORTE

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA, METALURGICA METALURGICA Y GEOGRAFICA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

Relación de Poisson.- Ley de Hooke generalizada.Dilatación.- Deformación por corte.- Relación entre E, y G.- Materiales compuestos.

Ing. Omart Tello Malpartida

Relacion de Poisson • Para una barra delgada sometida a carga axial: ε  x =

σ  x  E 

σ  y = σ  z = 0

• El alargamiento en la direccion  x esta acompañada por una contraccion en las otras direcciones. Suponiendo que el material es isotropico ( sin dependencia de direccion), ε  y = ε  z ≠ 0 • El coeficiente de Poisson se define como: ν  =

deformacion unitaria lateral deformacion unitaria axial

=−

ε  y ε x

=−

ε z ε x

Ley de Hooke Generalizada • Para un elemento sometido a carga multi-axial, los componentes de deformación normales resultantes de los componentes del esfuerzo  puede ser determinado a partir del  principio de superposición. esto requiere : 1) Cada efecto esta linealmente relacionado con la carga que lo produce. 2) La deformacion resultante es pequeña • Con estas restricciones: σ  x

ε  x = + ε  y = − ε  z = −

−

 E  νσ  x

 E  νσ  x  E 

νσ  y

+ −

 E  σ  y

−

 E  νσ  y  E 

−

νσ  z  E  νσ  z

+

 E  σ  z  E 

 Dilatación: Módulo de compresibilidad • Relacionado la condición de no esfuerzo, el cambio de volumen es: e = 1 −  (1 + ε x ) (1 + ε y ) (1 + ε z )  = 1 − 1 + ε x + ε y + ε z 

 

 

= ε x + ε y + ε  z 1 − 2ν   (σ x + σ y + σ  z )  E  =  dilatacion (cambio de volumen por unidad de volumen)

=

• Para elemento sometido a la presión hidrostática uniforme, 3 (1 − 2ν  )  p e = −p k  =

 E  E 

3 (1 − 2ν  )

=−

k 

=  modulo de compresion

• Sometido a una presión uniforme, la dilatación debe ser negativo, por lo tanto 0 < ν  < 12

Deformación por Corte • Un elemento cúbico sometido a un esfuerzo de corte se deformará en un romboide. La deformación de corte correspondiente se cuantifica en términos del cambio en el ángulo entre los lados, τ  xy =  f  γ  xy

• Un gráfico de esfuerzo de corte frente a deformación de corte es similar a los diagramas anteriores de esfuerzo normal y deformación normal, excepto que los valores de resistencia son aproximadamente la mitad. Para pequeñas deformaciones, τ  xy

= G γ  xy

τ  yz

= G γ  yz

τ  zx

= G γ  zx

Donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte.

Ejemplo 2.0

Un bloque rectangular de material con módulo de rigidez G = 90 ksi está unido a dos placas horizontales rígidas. La placa inferior es fija, mientras que la placa superior se somete a una fuerza horizontal P. Sabiendo que la placa superior se mueve 0.04 in bajo la acción de la fuerza, determinar : a)

La deformación unitaria promedio a corte del material.

 b)

La fuerza P ejercida sobre la placa superior.

Relacion entre

E,

ν , y G • Una barra delgada cargada axialmente se alargará en la dirección axial y contrae en las direcciones transversales. • Un elemento cúbico inicialmente orientado como la figura superior se deforma en un  paralelepípedo rectangular. La carga axial  produce una deformación normal. • Si el elemento cúbico está orientada como en la figura inferior, se deformará en un rombo. La carga axial causa una deformación por corte en el elemento. • Los componentes de esfuerzo normal y de corte están relacionados,  E 

2G

= (1 + ν )

Materiales Compuestos •  Materiales compuestos reforzados con fibra se forman

a partir de lámina de fibras de grafito, vidrio, o  polímeros incrustadas en una matriz de resina. •

Los esfuerzos normales están relacionadas por la ley de Hooke, pero con diferentes módulos de elasticidad dependientes de elasticidad en cada dirección,  E  x

=

σ  x ε  x

 E  y

σ  y =

ε  y

E  z

=

σ  z ε  z

• Contracciones transversales están relacionados por valores direccionalmente dependientes de la relación de Poisson, por ejemplo, ν  xy = −

ε  y ε  x

ε  ν  xz = −  z ε  x

• Los materiales con propiedades mecánicas direccionalmente dependientes son anisotrópicas.

Ejemplo 1.0

a)

 b)

Para la carga axial mostrada en la figura, determinar el cambio de altura y el cambio de volumen del cilindro de latón mostrado. Resuelva el problema del inciso a. suponiendo que la carga es hidrostática con σx = σy = σz = -80 Mpa

a)

Para la carga axial mostrada en la figura, determinar el cambio de altura y el cambio de volumen del cilindro de latón mostrado.

 b)

Resuelva el problema del inciso a. suponiendo que la carga es hidrostática con σx = σy = σz = -80 Mpa

Esfuerzo Hidrostático

No

No

sepuedemostrarl a imagen en estemomento.

sepuedemostrarl a imagen en estemomento.

Ejemplo 2.0

Un bloque rectangular de material con módulo de rigidez G = 90 ksi está unido a dos placas horizontales rígidas. La placa inferior es fija, mientras que la placa superior se somete a una fuerza horizontal P. Sabiendo que la placa superior se mueve 0.04 in bajo la acción de la fuerza, determinar : a)

La deformación unitaria promedio a corte del material.

 b)

La fuerza P ejercida sobre la placa superior.

SOLUCIÓN:

• Se determina la deformación angular media o deformación tangencial del bloque. γ  xy ≈

tan γ  xy

=

0.04 in. 2 in.

γ  xy = 0.020 rad

• Aplicando la ley de Hooke se determina el esfuerzo correspondiente. τ  xy = Gγ  xy =

90 ×103 psi (0.020 rad ) = 1800 psi

• Utilizando la definición de esfuerzo cortante, se calcula la fuerza P. P = τ  xy A = (1800 psi )(8 in.)(2.5 in.) = 36 × 10

3

lb

P = 36.0 kips

Ejemplo 3.00

Un círculo de diámetro d = 9 in, cuyo espesor es t = 3/4 in, se marca en una placa de aluminio sin esforzar. Las fuerzas que actúan después en el plano de la placa causan esfuerzos normales σx = 12 ksi y σz = 20 ksi. Para E = 10x106  psi y ν = 1/3, determinar el cambio en: a) La longitud del diámetro  AB,  b) La longitud del diámetro CD, c) El espesor de la placa, y d) El volumen de la placa.

SOLUCIÓN: Se aplica la Ley de Hooke generalizada • Calculo del cambio de longitud.  para encontrar las deformaciones en δ  B  A = ε  x d  = + 0.533 × 10 −3 in./in. (9 in.) cada una de las direcciones coordenadas −3 σ  νσ  y νσ  z ε  x = +  x − −  E   E   E 

=

1 1   ( ) ( ) 12 ksi 0 20 ksi − −  3 10 ×106 psi 

= +0.533 ×10−3 in./in. ε  y = −

νσ  x  E 

+

σ  y  E 

= −1.067 × 10

ε  z = −

νσ  x  E 

−

− −3

νσ  y  E 

= +1.600 ×10

νσ  z  E 

in./in.

σ  +  z

−3

 E 

in./in.

δ  B  A = +4.8 ×10

in.

δ C  D = ε  z d  = + 1.600 ×10 −3 in./in. (9 in.) δ C  D = +14.4 × 10−3 in. δ t  = ε  yt  = − 1.067 × 10−3 in./in. (0.75 in.) δ t  = −0.800 × 10−3 in.

• Volumen de la placa. −3 3 3 e = ε  x + ε  y + ε  z = 1.067 ×10 in /in

∆V  = eV  = 1.067 × 10

−3

(15 ×15 × 0.75)in 3

∆V  = +0.187 in

3

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