Deformacion Radial

PROBLEMAS PLASTICOS .- Leccion 5./ RIGIDEZ DE LOS POLIMEROS. DISEÑO PRACTICO.

HOJA 1 .

P1.- (i).-Una ménsula o voladizo (Figura 1) rectangular hecha de polypropileno tiene las siguientes dimensiones: 50 mm de largo (L), 10 mm de ancho (b) y soporta una carga, P, de 5 N aplicada en su extremo libre. ¿Qué espesor mínimo es necesario si se quiere que la desviación en el extremo libre no exceda de 2 mm al cabo de un año? Asumir una deformación máxima permisible del 1 %. La ecuación elástica para la desviación en el extremo libre, δ, es: PL3 δ= 3EI donde: bd 3 I= , P = Carga, b= Anchura, d = Espesor R.- 7.03 mm 12

Figura 1 (ii).- Usando la aproximación de la tensión máxima y un método iterativo, calcular el espesor mínimo requerido de la ménsula si la carga se mantiene durante 108 segundos y la defexión final no debe de exceder los 2 mm especificados. Comentar la diferencia entre este resultado y los obtenidos asumiendo deformaciones máximas permisibles del 1 %, 2 % y 3 %. PLd σ MAX = 2I R. 7.3 mm P2.- Se requiere un tubo de polypropileno de pequeño espesor de 50 mm de diámetro para soportar una presión interna de 0.5 MPa durante 3 años. Asumiendo una deformación máxima permisible del 2 % y despreciando los efectos del coeficiente de Poisson, estimar el espesor conveniente de la pared para el tubo. Las tensiones radial, σ R , y longitudinal, σ L vienen dadas por: pD pD σR = y σL = 2e 4e donde, p es la presión, D el diámetro y e el espesor del tubo. R.- 2.08 mm P3.- Una barra de polypropileno con una sección transversal cuadrada (10 mm x 10 mm) y una longitud de 225 mm, se fija por ambos extremos finales y se somete a una carga axial compresiva, PC, de 200 N. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que la barra se doble? La relación entre la carga , PC, y la geometría de la barra es, π 2EI PC = 2 L 3 bd donde: I = , L = Longitud, b = Anchura y d = Espesor. 12 R.- 200 s

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HOJA 2.

P4.-Un tanque cilíndrico de polipropileno, con un diámetro medio de un 1 m, esta sometido a una presión 2 interna de 0.2 MN/m Si la deformación máxima en el tanque no debe exceder el 2 % en un período de 1 año, estimar un valor conveniente para el espesor de la pared. ¿Cuál es la relación entre la deformación radial y la axial en el tanque?. Utilizar las curvas de fluencia de la figura 2. Las deformaciones radial, ε R , y longitudinal, ε L vienen dadas por:

εR = 2

pD (2 −υ ) y 4hE

εL =

pD (1 − 2υ ) 4hE 2

donde, p es la presión interna (N/m ) , E el pseudomodulo de elasticidad (N/m ), D el diámetro (m) y h el espesor de la pared del tanque cilíndrico (m). Se asumirá un valor del coeficiente de Poisson para el propileno, υ = 0.4.

Figura 2

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HOJA 3.

P5.- Una ménsula de polipropileno, con las siguientes dimensiones: 150 mm de largo, 2.5 mm de ancho y 10 6 mm altura, soporta una carga, P, de 2.5 N aplicada en su extremo libre durante un periodo de 10 segundos. ¿Cuál es el porcentaje de error en la desviación calculada tomando un límite de deformación máxima del 1 % o utilizando la aproximación de la tensión máxima. Para una ménsula, la tensión máxima (en la pared soporte) y la desviación final, vienen dadas por: PLd PL3 σ MAX = , δ= 2I 3EI donde: bd 3 I= , P = Carga, δ = Deflexión, L = Longitud, b= Anchura, d = Espesor R.- -20 % 12 P6.- Un viga de polypropileno de 100 mm de ancho y 10 mm a fondo se monta sobre apoyos simples y lleva una carga uniformemente distribuida a lo largo de su toda longitud de 100 N/m.(Figura 3) ¿Determinar la 8 longitud máxima de la viga que restrinja la desviación central a menos de 4 mm en un tiempo de 10 segundos? Asumir una deformación máxima del 1 %. La desviación central, δ, para un viga simplemente apoyada con una carga uniformemente distribuida, ω, viene dada por:

δ= donde: I =

5ω L4 384EI

bd 3 , L = Longitud, b = Anchura y d = Espesor. 12

R.- 302 mm

Figura 3

P7.- Una viga de propileno (PP) simplemente apoyada (Figura 4) en sus extremos y con las siguientes dimensiones: 200 mm de largo, 25 mm de ancho y 10 mm altura, soporta una carga puntual en el centro de su vano. Calcular la carga máxima que puede aplicarse, de tal modo que la deflexión en el centro no exceda los 5 mm, despues de un período de servicio de 108 segundos. Comparar los resultados que se obtienen: (i).- Asumiendo una deformación máxima permisible del 2 % y (ii).- Usando la aproximación de la tensión máxima. La ecuación elástica de la defexión, δ, en el centro de la viga simplemente apoyada en sus extremos viene dada por: WL3 WLd δ= y la tensión máxima por: σ MAX = 48EI 8I donde: bd 3 I= , W = Carga, E = Módulo de elasticidad, δ = Deflexión, L = Longitud, b= Anchura, d = Espesor 12 R.- 18.4 y 20.4 N

Figura 4

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HOJA 4

P8.- Un panel de cubierta de policarbonato (PC) de longitud 250 mm, anchura 60 mm y espesor 5 mm esta sometido a una carga puntual estacionaria en el centro de su vano. Esta estructura puede ser modelada como una viga simplemente apoyada, con una desviación en el centro, δ , y una tensión máxima, σ MAX dadas por:

PL3 δ= 48EI

σ MAX =

PLd 8I

donde:

I=

bd 3 m 4 ) , P = Carga aplicada (N) , E = Módulo de elasticidad N 2 , ( m 12

( )

δ = Deflexión (mm), L = Longitud (m), b= Anchura (m), d=Espesor (m) Calcular la carga máxima que puede aplicarse, de tal modo que la deflexión en el centro no exceda los 10 mm, despues de un período de servicio de 1000 horas (i).- Usando la aproximación de la deformación límite y asumiendo una deformación máxima permisible del 1 % y (ii).- Usando la aproximación de la tensión máxima. En cada caso la respuesta debe precisarse a un 1N. El comportamiento en fluencia del material, a 23 ºC, viene descrito por la ecuación:

ε ( % ) = 0.022σ λ donde la tensión

σ esta en Mpa

y:

λ = 1.256 + 0.024log10 (t ) , siendo t el tiempo transcurrido en horas. P9.- (i).- A partir de las curvas de fluencia de la figura 5 del polipropileno, obtener la curva isométrica correspondiente a

ε = 2..%

y la isocrona correspondiente a 1 año

( ≈ 3x107 segundos )

(ii).- Un tanque cilíndrico de polipropileno, con un diámetro medio de un 1 m, esta sometido a una presión MN interna de 0.2 2 Si la deformación máxima en el tanque no debe exceder el 2 % en un período de 1 año, m estimar un valor conveniente para el espesor de la pared. ¿Cuál es la relación entre la deformación radial y la axial en el tanque?. Las deformaciones radiales, ε R , y longitudinal, ε L vienen dadas por:

εR =

( m)

donde, p es la presión interna N

2

pD (2 −υ ) 4hE

y

εL =

pD (1 − 2υ ) 4hE

( m ) , D el diámetro (m)

, E el pseudomódulo de elasticidad N

2

y h el espesor

de la pared del tanque cilíndrico (m) . Se asumira un valor del coeficiente de Poisson para el propileno, υ = 0.4 .

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HOJA 5

Figura 5 P10.- La deformación máxima en un tanque vertical de almacenamiento líquido viene dada por:

ε=

ρ gHR 2 Eh

donde H es el nivel del líquido por encima de la base del tanque, ρ es la densidad del líquido y h es el espesor de la pared del tanque. Si un tanque de polipropileno de radio, R = 0.625 m y altura 3 m debe estar lleno de agua durante un período de un año, calcular el espesor de material de la pared del tanque de modo 3 que el cambio en su diámetro no exceda de 12.5 mm. La densidad del polipropileno es 904 kg/m . Se supondrá que el cambio de densidad hace que el módulo disminuya un 20 %.

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HOJA 6.

P11.- Un bolígrafo hecho de polipropileno tiene el diseño de clip mostrado en la figura 6. Cuando el boligrafo se inserta en un bolsillo, el clip experimenta una desviación de 2 mm en el punto A. Si la deformación límite en el material es del 0.5 % calcular: (i).- el espesor conveniente, d, para el clip (ii).- la tensión inicial en el clip cuando se inserta por primera vez en el bolsillo y (iii).- la tensión en el clip cuando ha estado en el bolsillo durante 1 semana. Las curvas de 2 fluencia se dan en la figura 7 y el módulo a corto plazo del polipropileno es de 1.6 GN/m .

Figura 6

Figura 7 P12.- Una viga de polipropileno es 100 mm de largo, esta simplemente apoyada en cada extremo y esta sometida a una carga W en el centro. Si la deformación máxima permitida en el material es del 1.5 %, calcular la carga más grande que puede aplicarse de modo que la desviación de la viga no exceda de 5 mm en 1 año de vida en servicio. Para la viga se tiene que I = 28 mm4 y las curvas fluencia se dan en la figura 7.

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HOJA 7.

P13.-.- Una botella de cristal de gaseosa tiene un tapón de acetal como el que se muestra en la figura 8. Si la presión de carbonatación es de 375 kN/m2, estimar la desviación en el centro del tapón después de 1 mes. El valor del coeficiente de Poisson para acetal puede tomarse igual a 0.33. La desviación en el centro del tapón viene dada por (Benham y al.):

δ=

pR 4 64 D

donde : D =

Eh3

(

12 1 − υ 2

Siendo: p = Presión en el interior de la botella (N/m2). R = Radio del tapón (mm). h = Espesor del tapón (mm). E = Modulo Las tensiones en el centro del tapón son biaxiales (radiales y circunferenciales) y vienen dadas por:

σ=

3 pR 2 (1 + υ ) 8h 2

Las curvas de fluencia del acetal a 20 ºC se dan en la figura 9.

Figura 8

Figura 9

)

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HOJA 8.

P14.- La bobina mostrada en la figura 10 ha sido fabricada por deslizamiento del anillo de acetal sobre el acero interior y luego colocando en posición la placa final metálica. A 20 °C no hay ninguna tensión en el acetal y la distancia entre las placas metálicas finales es igual a la longitud anillo de acetal. Si el todo conjunto se calienta a 100 ºC, calcular la tensión axial en el acetal. Puede asumirse que no hay ninguna fricción entre el acetal y el acero. Los coeficientes de dilatación térmica para el acetal y el acero son 80 x 10-6 ºC-1 y 11 x 10-6 ºC-1 respectivamente El módulo del acetal a 100°C es de 1.5 GN/m2.

Figura 10 P15.- Un anillo de nilón con un diámetro nominal interior de 30 mm, un l diámetro exterior de 50 mm y una anchura de 5 mm debe ser fabricada para actuar como una interferencia apta sobre un eje metálico de 30 mm de diámetro como se muestra en la figura 11. La condición de diseño es que la fuerza de separación inicial debe ser 1 kN. Calcular: (a).- La interferencia sobre radio necesaria entre el anillo y el eje (b).- La temperatura a la que debe calentarse el nilón para facilitar un ensamblado o montaje fácil. ¿Cual será el la tensión máxima en el nilón cuándo está en posición sobre el eje? El coeficiente de fricción entre el nilón y el acero es de 0.25. El módulo a corto plazo del nilón es de 1 GN/m2, el coeficiente de Poisson es de 0.4 y su coeficiente redilatación térmica es de 100 x 10-6 ºC-1.

Figura 11

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HOJA 9.

P16.- Una estructura sándwich de polipropileno fabricado por moldeo, que tiene un espesor de 12 mm, consiste en un corazón de espuma intercalado entre dos capas sólidas de 2 mm de espesor. Una viga de 12 mm de ancho es cortada de la pieza moldeada y sometida a una carga central puntual, W, cuando esta simplemente apoyada en sus extremos sobre una longitud de 200 mm. Estimar la profundidad de una viga sólida (sin espuma intercalada) de la misma anchura de la misma rigidez cuando se carga de la misma manera. Calcular también el peso que se ahorra usando el moldeado con espuma. La densidad del polipropileno sólido es de 909 kg/m3 y el la densidad del corazón de espuma es de 600 kg/m3.

P17.- Una viga de polietileno sólido (ρ= 935 kg/m3) tiene un espesor de 10 mm y 15 mm de ancho. Debe ser substituida por una sección de emparedado con polietileno sólido en dos capas externas y espuma de polietileno (densidad = 200 kg/m3) en el centro. Calcular las dimensiones de la viga de emparedado si debe tener una rigidez óptima y el mismo peso que la viga sólida. Si el material de la espuma cuesta un 20 % más caro que el material densificado, calcular el aumento o la disminución en el coste de la viga en forma de emparedado. P18.- Se requiere una tubería de polipropileno con un diámetro exterior de 80 mm para soportar una presión 2 3 constante de 0.5 MN/m durante al menos 3 años. Si la densidad del material es 909 kg/m y la deformación máxima aceptable es del 1.5 % estimar un valor conveniente para el espesor de la pared de la tubería. Si se usa 3 un grado de polipropileno de densidad inferior (ρ = 905 kg/m ) conforme a las mismas condiciones de diseño ¿Habría una disminución de peso por unidad de longitud de la tubería? La tensión, σ, en el interior de la tubería viene dada por:

σ=

PR h

siendo P la presión en el interior de la tubería, R su radio y h el espesor.

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HOJA 10.

P19.- El ajuste a presión de polipropileno mostrado en la figura 12 debe tener longitud de 10-30 mm. Si la fuerza de inserción no debe exceder 4 N y el límite elástico del plástico es de 30 MN/m2, calcular las dimensiones convenientes de la sección transversal del ajuste a presión. El módulo a corto plazo del polipropileno es de 900 MN/m2 y el coeficiente de fricción es 0.3. El factor de seguridad de la tensión debe ser 2.

Figura 12 P20.- Una viga en voladizo de aluminio es de 50 mm de ancho, 80 mm de largo y 2 mm de profundidad. La carga es de 200 N y se reparte uniformemente sobre el voladizo. Si la viga debe ser substituida por una hecha de acetal y el criterio de diseño es que las desviaciones finales deben ser las mismas en cada viga después de un mes, calcular las dimensiones (a).- De una viga de acetal sólido (b).- De una viga de acetal unidireccional con rebordes. El módulo del aluminio es 70 GN/m2.

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HOJA 11.

P21.- (i).- Se diseña una silla de plástico con la ayuda de un programa de elementos finitos, y se ha escogido para su fabricación un polipropileno tenaz. Los datos de fluencia para el material a 23 ºC están disponibles en forma gráfica y se pueden ajustar mediante la ecuación:

(

)

(

)

ε (t ) = 0.022 3.5 + t 0.16 σ + 1.5 x10−6 e0.9σ t

1 3

donde ε es la extensión en tanto por ciento después de t de segundos bajo la tensión aplicada σ en MPa. La deformación máxima admisible en la silla después de 5 horas bajo carga a 23°C es del 2.0 %. ¿Qué valor debería asignarse al módulo de polipropileno en el diseño? (ii).- El polipropileno se usará en la construcción un depósito de agua cilíndrico. El tanque tendrá un diámetro de 3 m y una altura de 2.5 m. Estará lleno durante 4 meses y luego vacío durante 8 meses antes de volver a llenarlo otra vez. Calcular el espesor de la pared requerido para asegurar que la deformación residual en la pared no excede del 0.05 % al final del primer año. Despreciar las limitaciones impuestas por la base del tanque. P22.- (i).- Los datos de fluencia del polipropileno tenaz debida a la presencia de caucho a 20°C se pueden ajustar mediante la ecuación:

(

)

(

)

ε (t ) = 0.015 4 + t 0.15 σ + 1.5 x10−6 e0.9σ t

1 3

donde ε es la extensión en tanto por ciento después de t de segundos bajo la tensión aplicada σ en MPa. Dibujar una serie curvas de fluencia mostrando a ε como función del log(t) en el rango ε = 0 al 3 % y t = 10 8 a 10 segundos, con intervalos de tensión de 2 MPa. Usar dichas curvas para construir. (a).- las curvas 2 4 6 8 isócronas de σ en función de ε a los tiempos t = 10 , 10 , 10 y 10 segundos y (b).- las curvas isométricas de σ en función del log(t) para las deformaciones ε = 0.5, 1.0, 1.5 y 2.0 %. (ii).- El asiento de una silla, que se va a fabricar por moldeo por inyección utilizando el polipropileno tenaz, consistirá esencialmente de una placa cuadrada de lado 400 mm. La placa estará simplemente apoyada a lo largo de dos lados opuestos y debe ser capaz de soportar una carga de 85 kilogramos, uniformemente distribuida, durante 5 horas sin desviarse más de 5 mm. La deformación no debe exceder en ninguna parte más del 3 %. Determinar el espesor de polipropileno requerido. Usar las expresiones siguientes para la desviación en el punto central ∆ y para el momento flector máximo Mmáx en la placa simplemente apoyado sometida a una fuerza W uniformemente distribuida.

5 Wl 3 ∆= 1−υ 2 384 EI

(

)

y: M max =

Wl 8

donde E, I, υ y l tienen su significado habitual. Se tomará υ = 0.4 para el propileno.

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HOJA 12

P23 (Junio 2007).- Una tubería continua de polietileno de alta densidad (PEAD) esta soportada sobre columnas, las cuales están igualmente espaciadas. La tubería tiene un diámetro exterior de 90 mm y un espesor de 8 mm.

Determinar el espaciado máximo entre columnas teniendo en cuenta que la tubería no debe tener en ninguna 6 parte una deflexión de más de 10 mm después de un período de tiempo de 10 segundos. La temperatura es de 3 20 ºC, la densidad del polietileno 970 kg/m , el coeficiente de Poisson 0.41. Usar los datos de la complianza de fluencia a cizalladura que se dan en la figura 1, juntamente con el método de superposición tiempo-temperatura para estimar la complianza de fluencia a cizalladura a la temperatura de 6 20 ºC y en el tiempo de 10 segundos. La relación entre el modulo de elasticidad (E) y el de cizalladura (G) es: E = 2G(1+υ), siendo υ el coeficiente de Poisson. El momento de inercia de un cilindro de radio R con 4 respecto a su eje es: I = πR /4. Enumerar las asunciones que se hacen para la extrapolación que se hace a largo plazo de los datos de fluencia.

Figura1

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HOJA 13.

P24 (Junio 2007).-Comparar la rigidez a flexión con relación al peso para las tres vigas de material plástico siguientes: (a).- Viga sólida de espesor 12 mm, (b).- Viga de material plástico espumado de 12 mm de espesor (c).- Una viga compuesta que consiste en un núcleo de material plástico espumado de 8 mm de espesor intercalado entre dos capas sólidas que conforman la piel de 2 mm de espesor. La relación entre las densidades de los materiales es 1.5. Considerar la unidad de anchura y de longitud de la viga. Se considerará la situación de carga siguiente:

en la cual: Rigidez a la flexción = Se sabe que:

 ρf = Es  ρ s

Ef

  

2

W

δ

=

48 EI ∝ EI L3