Deformacion de Vigas

 

Introducción

Las vigas se dividen en isostáticas o hiperestáticas dependiendo del tipo de apoyo que tengan Si la viga tiene tres o menos incógnitas en sus reacciones, bastará con aplicar las condiciones de equilibrio estático para resolverla. ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 

Si en cambio, la viga presenta un mayor número de incógnitas, no bastará con estas ecuaciones, sino que será necesario incorporar nuevas expresiones. Para analizar las vigas hiperestáticas es necesario analizar las deformaciones que experimentará la viga, luego de ser cargada. Las distintas cargas sobre la viga generan tensiones de corte y flexión en la barra, y a su vez la hacen deformarse. El análisis de las deformaciones tiene dos objetivos: * Obtener nuevas condiciones, que traducidas en ecuaciones, nos permitan resolver las incógnitas en vigas hiperestáticas. * Las deformaciones en sí, deben ser imitadas. Los envigados de madera o acero, por ejemplo, pueden quedar correctamente diseñados por resistencia, , no se romperán bajo la carga, pero podrán deformarse más allá de lo deseable, lo que llevaría consigo, el colapso de elementos de terminación como cielos falsos o ventanales. No resulta extraño entonces que muchos dimensionamientos queden determinados por la deformación y no por la resistencia.

 

  Las deformaciones en una viga se encuentran analizando la curvatura de la viga y las deformaciones asociadas. La simetría de la viga y su carga significa que todos los elementos de la viga deben deformarse de manera idéntica, lo que es posible solo si las secciones transversales de la viga permanecen planas durante la flexión. Esta conclusión es válida para vigas de cualquier tipo de material aunque sus propiedades si deben ser simétricas respecto al plano de flexión. Cuando la parte inferior de la viga esta en tensión y la superior en compresión o viceversa, en alguna región entre la viga existe una superficie en la que las líneas longitudinales no cambian de longitud, se le llama superficie neutra de la viga y su intersección con cualquier plano transversal es llamado eje neutro. Por lo general los planos que contienen las secciones transversales de una viga se intersectan en una línea que pasa por el centro de curvatura O'. El ángulo entre estos dos planos se denota con dφ y la distancia de O' a la superficie neutra es el radio de curvatura ρ. La distancia inicial dx entre los dos planos no cambia en la superficie neutra por lo que ρ dφ=dx. Sin embargo el reto de las líneas longitudinales entre los dos planos se alarga o se

acorta , con lo cual se generan deformaciones unitarias normales. La relación deformación-curvatura es: ε = − y  ρ 

Esta ecuación muestra que las deformaciones unitarias longitudinales en la viga son proporcionales a la curvatura y varían linealmente con la distancia y desde la superficie neutra. Cuando el sta ecuación muestra que las deformaciones unitarias longitudinales en la viga son proporcionales a la curvatura y varían linealmente con la distancia y desde la superficie neutra. Cuando el punto en consideración está arriba de la superficie neutra, la distancia y es positiva. Las deformaciones unitarias en una viga en flexión pura varían linealmente con la distancia desde la superficie neutra, sin importar la forma de la curva esfuerzodeformación unitaria del material. El siguiente paso es encontrar los esfuerzos a partir de las deformaciones unitarias y requiere el uso de la curva esfuerzo-deformación unitaria. Las deformaciones unitarias longitudinales en una viga van acompañadas por deformaciones unitarias transversales debido a los efectos de la razón de Poisson, sin embargo, no se tienen esfuerzos transversales acompañantes por que las vigas tienen libertad para deformarse en sentido lateral. Esta condición de esfuerzo es análoga a la de

 

una barra prismática en tensión o compresión y por lo tanto los elementos longitudinales en una viga en flexión pura están en un estado de esfuerzo uniaxial. Conociendo la deformación unitaria a una altura “y” del eje neutro, y empleando la

Ley de Hooke, podemos ahora expresar el esfuerzo normal correspondiente como: Esta expresión nos indica que el esfuerzo normal σx varían linealmente con la   coordenada “y” y es inversamente proporcional al radio de curvatura. La figura muestra

esta distribución de esfuerzos. A partir de las deformaciones unitarias podemos determinar los esfuerzos. Los esfuerzos actúan sobre toda la sección transversal de la viga y varían de intensidad dependiendo de la forma del diagrama esfuerzo-deformación unitaria y de las dimensiones de la sección transversal. Puesto que la dirección x es longitudinal usamos el símbolo σx para denotar estos esfuerzos. Cuando la curvatura e s positiva, los σ son negativos de compresión arriba de la superficie neutra y positivos

(tensión) abajo de ella. En general, la resultante de los esfuerzos normales consiste en dos resultantes de esfuerzo: 1. 1.   1.- Una fuerza que actúa en una dirección x 2. 2.   2.- Un par de flexión que actúa alrededor del eje z, sin embargo, la fuerza axial es cero cuando una viga está sometida a una flexión fl exión pura. Así pues podemos escribir las siguientes ecuaciones de estática   La resultante en la dirección x es igual a 0.   El momento resultante es igual al momento flexionante M.

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La primera ecuación da la posición del eje neutro y la segunda, la relación del momento de curvatura. Localización del eje neutro

El eje neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal cuando el material obedece la ley de Hooke y no hay fuerza axial actuando sobre la sección transversal. El origen 0 de coordenadas se localiza en el centroide del área de la sección transversal. Como el eje y es un eje de simetría de la sección transversal, se infiere que el eje y es un eje principal. Dado que el eje z es perpendicular al eje y, también es un eje principal. Así cuando una viga de material elástico lineal está sometida a flexión pura, los ejes y y z son centroides principales.

 

Relación entre curvatura y momento

Como ya había mencionado una curva elástica de una viga es la forma que toma el eje neutro cuando se carga la viga. La pendiente de una viga es la pendiente de la tangente a la elástica en un punto cualquiera y la deflexión de una viga es el movimiento (desviación) de un punto situado sobre la elástica con respecto a su posición original sin carga. Radio de curvatura, es el radio del arco (cada segmento de la elástica) Existe una relación definida entre el radio de curvatura de la viga, vig a, el esfuerzo en las fibras extremas y el momento flexionante que produce ese esfuerzo.   •Las secciones planas antes de la deformación se conservan planas después de la deformación.   •El eje neutro (elástica) no está sujeto a ningún esfuerzo y conserva la longitud original dx.   •Las fibras inferiores, situadas a una distancia c a partir del eje neutro, aumentan su longitud en una cantidad .

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Existen diferentes métodos para abordar el análisis de las deformaciones en las vigas:   *Método de Área de Momentos.   *Método de Doble Integración.

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Si bien, todos presentan su mecánica propia, a la vez tienen una partida común, que es justamente el análisis de la elástica expuesto anteriormente. A través de ellos buscaremos determinar el ángulo de curvatura de la línea elástica y sus deflexiones o flechas. Cada método tiene ventajas o desventajas dependiendo de la viga a analizar