Deformación de Vigas (Método de Doble Integración)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA MINERA Y METALÚRGICA

Resistencia de Materiales Deformaciones en Vigas (Aplicando el método de doble integración)

Datos del alumno(s):

Apellidos y nombre: Espinoza Castro, Franco Email: [email protected], Móvil: 980-487-745 …………………… Profesor: Juan Carlos Durand Email: [email protected]

Código: 20102662G

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de ingeniería Geológica Minera y Metalúrgica

Índice RESUMEN ..................................................................................................................................................1 1

OBJETIVOS .....................................................................................................................................2

2

DESARROLLO .................................................................................................................................3

3

4

2.1

Deformaciones ...................................................................................................................3

2.2

Flexión ................................................................................................................................3

2.3

Vigas ..................................................................................................................................3 2.3.1

Cuando es importante estudiar las deflexiones ........................................................ 3

2.3.2

Al estudiar ella podrá flectar de acuerdo a los siguientes factores: .......................... 4

2.3.3

Ejemplo de viga deformada ..................................................................................... 4

2.3.4

Tipos de deformaciones en vigas Cuando es importante estudiar las deflexiones ............................................................................................................... 5

2.3.5

Para obtener las ecuaciones de deformación de las vigas, se definen las siguientes hipótesis: ............................................................................................ 6

2.3.6

Métodos para calcular las deformaciones en las Vigas............................................ 6

2.3.7

Métodos de la doble integración para el cálculo de la deformación en Vigas ........................................................................................................................ 6

2.3.8

Condiciones iniciales en diferentes tipos de Vigas ................................................... 9

2.3.9

Imágenes de deformaciones de vigas y aplicaciones ............................................. 10

PREGUNTAS ................................................................................................................................. 12 3.1

Preguntas teóricas ........................................................................................................... 12

3.2

Preguntas de cálculo ....................................................................................................... 12

SOLUCIÓN .................................................................................................................................. 13 4.1

Solución de las Preguntas Teóricas ................................................................................. 13

4.2

Solución de las preguntas de cálculo .............................................................................. 13

5

CONCLUSIONES......................................................................................................................... 22

6

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................. 22

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RESUMEN El estudio del curso de resistencia de materiales nos ayuda a comprender mejor nuestro entorno, un entorno lleno de construcciones, compuesta por casas, edificios, postes de alumbrado o de semáforos, puentes entre otras tantas. En todas estas construcciones se aprecia a la física en una buena magnitud, viendo como columnas pueden soportar grandes cargas o como en el caso de los semáforos estos desarrollan momentos. Y todos estos materiales los cuales componen tantas de las edificaciones creadas por el hombre están sujetas a distintas fuerzas tendiendo a cambiar la resistencia de ellas. En el presente trabajo se estudiara las deformaciones sufridas por las vigas (centrándonos en el cálculo de ellas por el método matemático de doble integración). Analizaremos la capacidad que tienen las vigas para resistir la deformación que se origina por las cargas que actúan sobre ellas, con el método de doble integración podremos encontrar la elástica de la viga y analizaremos cuanto es capaz de deformar y si esta deformación es positiva o negativa. La importancia de las deformaciones se por ejemplo en: -

Cuando la estructura presenta deformaciones excesivas, la percepción de las mismas por parte de los usuarios genera en éstos una sensación de alto riesgo. No sólo esto es muy significativo sino que también pueden aparecer problemas colaterales tales como fisuración en tabiques de mampostería que apoyen sobre la estructura y en cielorrasos.

-

Los elementos de máquinas, debido a grandes deflexiones pueden presentar desgastes prematuros u originar efectos vibratorios inadecuados.

-

El conocimiento de las deformaciones resulta también sumamente importante desde el punto de vista constructivo.

Asimismo en el presente trabajo realizaremos 2 tipos de ejercicios, uno teórico y el otro de cálculo para poder afianzar los conocimientos aprendidos.

1

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1

OBJETIVOS

Objetivo general: Conocer, interpretar las deformaciones de vigas y poder resolver ejercicios de deformaciones de vigas por el método matemático de doble integración Que el estudiante o la persona que lea este trabajo realice los ejercicios propuestos, tanto teóricos como prácticos para que afiance lo aprendido.

2

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DESARROLLO

2

Primero comenzaremos dando algunas definiciones:

2.1

Deformaciones Se define como el cambio de forma de un cuerpo, el cual se debe al esfuerzo, al cambio térmico, al cambio de humedad o a otras causas. En conjunción con el esfuerzo directo, la deformación se supone como un cambio lineal y se mide en unidades de longitud. En los ensayos de torsión se acostumbra medir la deformación cómo un ángulo de torsión entre dos secciones especificadas.

2.2

Flexión Cuando una viga, o un tramo de ella, está sometida a un momento flector variable, siendo el esfuerzo axil nulo, decimos que se encuentra solicitada en flexión simple, en cuyo caso, además del esfuerzo flector aparece un esfuerzo cortante, normal al eje de la viga.

2.3

Vigas Las vigas son elementos estructurales muy usados en las construcciones para soportar cargas o darle estabilidad a las mismas; para diseñarlas, es necesario conocer las fuerzas perpendiculares al eje longitudinal. Para nuestro caso una viga se define como: un elemento estructural sometido predominantemente a momentos flectores.

Figura N°1 Viga

2.3.1

Cuando es importante estudiar las deflexiones

-

En estructuras metálicas

-

Sistemas de tuberías

-

Ejes de maquinarias

3

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2.3.2

Al estudiar ella podrá flectar de acuerdo a los siguientes factores:

-

Distancia entre apoyos

-

Materiales de la viga

-

La carga aplicada

-

Propiedades geométricas de las vigas

-

Tipos de vinculación (apoyos)

2.3.3

Ejemplo de viga deformada

La figura muestra una viga con perpendiculares al eje ubicado en el plano de simetría de la sección. -

El elemento de la viga mostrado en la figura, se deforma de tal manera que cualquier punto en una sección transversal entre apoyos se desplaza prácticamente paralelo a las cargas.

-

A estos desplazamientos se les denomina como deflexiones o flechas del momento.

-

Al estar las cargas ubicadas en el Eje Principal de Inercia, hace que las secciones transversales se desplacen verticalmente.

Figura N°2 Vigas deformadas, indicando el plano de simetría

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Antes de aplicar las cargas, la superficie neutra se encuentra ubicada en un plano horizontal; luego de aplicadas las cargas la superficie neutra se transforma en una curva. En resumen, en una viga solicitada a flexión, las diferentes secciones transversales experimentan giros, y como consecuencia de esos giros, las fibras longitudinales se curvan con el fin de mantener su ortogonalidad respecto a las secciones transversales giradas.

2.3.4

Tipos de deformaciones en vigas Cuando es importante estudiar las deflexiones

Figura N°3 Tipos de deformaciones en vigas

5

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2.3.5

2.3.6

Para obtener las ecuaciones de deformación de las vigas, se definen las siguientes hipótesis: -

La viga perfectamente recta

-

Está compuesta por un material homogéneo

-

La viga posee un comportamiento elástico (Ley de Hooke)

Métodos para calcular las deformaciones en las Vigas Existen varios métodos para calcular las deformaciones en vigas:

-

Métodos matemáticos: Método de la doble integración o de la Ecuación de la elástica.

-

Métodos geométricos: Basados en la forma de la viga deformada. El más conocido es el método del Área de momentos o Teoremas de Mohr.

-

Métodos derivados de los anteriores: Método de la viga conjugada conocido en algunos textos como Método de los Pesos Elásticos.

-

Métodos energéticos: Basados en la conservación de la energía desarrollada por las fuerzas al deformar las vigas. (Teoremas de Maxwell, de Castigliano y otros).

Pero para nuestro estudio detallaremos el método matemático de la doble integración, el que se desarrolla a continuación.

2.3.7

Métodos de la doble integración para el cálculo de la deformación en Vigas

Llamaremos “Línea elástica” a la forma que adopta el eje de una viga al producirse la deformación de la misma por acción de las cargas exteriores. Para deducir la ecuación de la elástica vamos a suponer que las deformaciones son pequeñas. Además solo consideramos las deformaciones debidas a los momentos flectores.

Figura N°4 Viga apoyada en dos puntos, que sufre una deformación como se ve indicada en las líneas punteadas

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El ángulo que forma la tangente a la elástica en un punto con respecto a la horizontal, es el mismo que habrá girado la sección recta en dicho punto con respecto a la vertical. Si consideramos otra sección ubicada a una distancia “dz” con respecto a la anterior, entre ambas habrá un giro relativo d.

Para los ejes coordenados elegidos vemos que a valores crecientes de z corresponden valores decrecientes de Ɵ. En consecuencia, en la ecuación 8.2 debemos afectar al primer término de un signo menos.

Cuando la barra es muy flexible y los desplazamientos no son pequeños debe utilizarse para la curvatura la expresión rigurosa:

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Conocida en cada caso la función que define la variación del momento flector, por integración de la ecuación diferencial 8.4 se determina la correspondiente ecuación de la línea elástica, la que permite obtener el corrimiento máximo o “flecha”. En la práctica usualmente se acotan los valores relativos flecha – luz (f/L). Cuando las vigas tienen luces muy grandes y cargas de poca consideración, son frecuentemente determinantes en el dimensionamiento las condiciones relativas a las flechas.

Para la deducción de la ecuación de la elástica, en algunas circunstancias resulta más práctico partir de la ecuación del corte o de la carga. Eso no es ningún inconveniente ya que conocemos la siguiente relación:

Luego:

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En conclusión tenemos:

Si integramos la ecuación obtenemos la ecuación de la pendiente y´:

Si integramos una vez más (Doble integración) obtenemos la ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA:

Con estas ecuación podemos calcular la pendiente “y’” o la deformación y en cualquier punto de la viga. Las constantes C1 y C2 se calculan estableciendo las condiciones iniciales o de borde que dependen de los apoyos y las características de la viga y de las cargas como se verá en los ejemplos.

2.3.8

Condiciones iniciales en diferentes tipos de Vigas

9

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2.3.9

Imágenes de deformaciones de vigas y aplicaciones

Figura N°5 Viga deformada, para estudio de un laboratorio

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Figuras N°6, 7 y 8 Aplicaciones del uso de Vigas en las distintas construcciones realizadas por el Hombre.

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3

PREGUNTAS

3.1

Preguntas teóricas 1. Defina usted que es una Viga 2. Defina usted que es una Deformación 3. Indique usted cuáles son los métodos para el cálculo de las deformaciones en las vigas 4. Indique cuáles son las hipótesis en las que se basan las ecuaciones para el cálculo de las deformaciones en las Vigas.

3.2

Preguntas de cálculo 1. Calcular la ecuación de la pendiente. Para el caso de tener una viga simple apoyada con carga uniforme repartida. Como se aprecia en la imagen siguiente

2. Del problema anterior calcular la ecuación de la deflexión 3. Calcular la ecuación de la pendiente de una viga simple apoyada con carga puntual.

4. Del problema anterior calcular la ecuación de la deflexión 5. Calcular la ecuación de la pendiente y la deflexión de una viga simple apoyada con carga puntual.

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4

SOLUCIÓN

4.1

Solución de las Preguntas Teóricas 1. Las vigas son elementos estructurales usados en las construcciones para soportar cargas o darle estabilidad a las mismas. Para nuestro caso una viga se define como: un elemento estructural sometido predominantemente a momentos flectores. 2. Las deformaciones se definen como el cambio de forma de un cuerpo debido al esfuerzo, al cambio térmico, al cambio de humedad o a otras causas. 3. Los métodos son los siguientes: 

Métodos matemáticos



Métodos geométricos



Métodos derivados de los anteriores



Métodos energéticos

4. Las hipótesis vienen a ser:

4.2



La viga perfectamente recta



Está compuesta por un material homogéneo



La viga posee un comportamiento elástico (Ley de Hooke)

Solución de las preguntas de cálculo 1. Solución de la pregunta N° 1:

Haciendo D.C.L.

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Por sumatoria de fuerzas igual a cero se tiene: 𝑅𝑦𝑎 + 𝑅 = 𝑞𝑙 Aplicando momento en el punto marcado:

Tenemos: −𝑅𝑦𝑎 ∗ 𝐿 + 𝑞 ∗ 𝐿 ∗

𝐿 =0 2

Obtenemos: R = q*L/2 Rya = q*L/2 Haciendo un corte para determinar la ecuación de momento:

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Obteniendo la ecuación del momento: 𝑀 = 𝑞∗𝐿∗

𝑋 − 𝑞 ∗ 𝑋 2 /2 2

Con la ecuación del momento, definimos la siguiente ecuación:

𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑌´´ = 𝑞 ∗ 𝐿 ∗

𝑋 − 𝑞 ∗ 𝑋 2 /2 2

Integrando: 𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑌´ = 𝑞 ∗ 𝐿 ∗

𝑥2 𝑋3 −𝑞∗ + 𝐶1 4 6

Para hallar C1 definimos lo siguiente: Cuando x = L/2 entonces y´ = 0 (Reemplazamos en la ecuación anterior) C1 = -q*L3/24 Obtenemos la ecuación de la pendiente:

𝑬 ∗ 𝑰 ∗ 𝒀´ = 𝒒 ∗ 𝑳 ∗

𝒙𝟐 𝑿𝟑 𝑳𝟑 −𝒒∗ −𝐪∗ 𝟒 𝟔 𝟐𝟒

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2. Solución de la pregunta N°2: Partimos de la ecuación de la pendiente hallada:

𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑌´ = 𝑞 ∗ 𝐿 ∗

𝑥2 𝑋3 𝐿3 −𝑞∗ −q∗ 4 6 24

Integramos:

𝐸∗𝐼∗𝑌 = 𝑞∗𝐿∗

𝑋3 𝑋4 𝐿3 −𝑞∗ −q∗X∗ + 𝐶2 12 24 24

Analizamos que para x = 0, también L = 0 (Reemplazamos en la ecuación anterior, para obtener la constante C2) C2 = 0 Entonces la ecuación de la deflexión será:

𝑿𝟑 𝑿𝟒 𝑳𝟑 𝑬∗𝑰∗𝒀= 𝒒∗𝑳∗ −𝒒∗ −𝐪∗𝐗∗ 𝟏𝟐 𝟐𝟒 𝟐𝟒

3. Solución de la pregunta N°3: Haciendo D.C.L.

Por sumatoria de fuerzas igual a cero se tiene:

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𝑅𝑦𝑎 + 𝑅 = 𝑃 Aplicando momento en el punto marcado:

Tenemos: −𝑅𝑦𝑎 ∗ 𝐿 + 𝑃 ∗

𝐿 =0 2

Obtenemos: R = P/2 Rya = P/2 Haciendo un corte para determinar la ecuación de momento:

Obteniendo la ecuación del momento:

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𝑀=𝑃∗

𝑋 2

Con la ecuación del momento, definimos la siguiente ecuación:

𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑌´´ = 𝑃 ∗

𝑋 2

Integrando: 𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑌´ = 𝑃 ∗

𝑋2 + 𝐶1 4

Para hallar C1 definimos lo siguiente: Cuando x = L/2 entonces y´ = 0 (Reemplazamos en la ecuación anterior) C1 = -PL2/16 Obtenemos la ecuación de la pendiente:

𝑬 ∗ 𝑰 ∗ 𝒀´ = 𝑷 ∗

𝑿𝟐 𝑳𝟐 −𝐏∗ 𝟒 𝟏𝟔

4. Solución de la pregunta N°4: Partimos de la ecuación de la pendiente hallada: 𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑌´ = 𝑃 ∗

𝑋2 𝐿2 −P∗ 4 16

Integramos:

𝐸∗𝐼∗𝑌 =𝑃∗

𝑋3 𝐿2 −P∗X∗ + 𝐶2 12 16

Analizamos que para x = 0, también L = 0 (Reemplazamos en la ecuación anterior, para obtener la constante C2) C2 = 0 Entonces la ecuación de la deflexión será:

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𝑬∗𝑰∗𝒀= 𝑷∗

𝑿𝟑 𝑳𝟐 −𝐏∗𝐗∗ 𝟏𝟐 𝟏𝟔

5. Solución de la pregunta N°5: Haciendo D.C.L.

Por sumatoria de fuerzas igual a cero se tiene: 𝑅𝑦𝑎 + 𝑅 = 𝑞𝐿/2 Aplicando momento en el punto marcado:

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Tenemos: 𝐿 2𝐿 𝐿 𝐿 −𝑅𝑦𝑎 ∗ 𝐿 + 𝑞 ∗ ∗ +𝑞∗ ∗ =0 4 3 4 3 Obtenemos: R = q*L/4 Rya = q*L/4 Haciendo un corte para determinar la ecuación de momento:

Obteniendo la ecuación del momento: 𝑀 =𝑞∗𝐿∗

𝑋 𝑋3 −𝑞∗ 4 3𝐿

Con la ecuación del momento, definimos la siguiente ecuación:

𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑌´´ = 𝑞 ∗ 𝐿 ∗

𝑋 𝑋3 −𝑞∗ 4 3𝐿

Integrando:

𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑌´ = 𝑞 ∗ 𝐿 ∗

𝑥2 𝑋4 −𝑞∗ + 𝐶1 8 12𝐿

Para hallar C1 definimos lo siguiente: Cuando x = L/2 entonces y´ = 0 (Reemplazamos en la ecuación anterior)

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C1 = -5q*L3/192 Obtenemos la ecuación de la pendiente:

𝒙𝟐 𝑿𝟒 𝑳𝟑 𝑬 ∗ 𝑰 ∗ 𝒀´ = 𝒒 ∗ 𝑳 ∗ − 𝒒 ∗ − 𝟓𝐪 ∗ 𝟖 𝟏𝟐𝑳 𝟏𝟗𝟐 Integramos la ecuación de la pendiente para obtener la ecuación de la deflexión:

𝐸∗𝐼∗𝑌 = 𝑞∗𝐿∗

𝑋3 𝑋5 𝐿3 −q∗ − 5q ∗ X ∗ + 𝐶2 24 60L 192

Analizamos que para x = 0, también L = 0 (Reemplazamos en la ecuación anterior, para obtener la constante C2) C2 = 0 Entonces la ecuación de la deflexión será:

𝑬∗𝑰∗𝒀=𝒒∗𝑳∗

𝑿𝟑 𝑿𝟓 𝑳𝟑 −𝐪∗ − 𝟓𝐪 ∗ 𝐗 ∗ 𝟐𝟒 𝟔𝟎𝐋 𝟏𝟗𝟐

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5

CONCLUSIONES -

La aplicación de la deformación de vigas se aprecia en distintas construcciones que vemos a menudo, tal es el caso de: Puentes, balcones, vías del tren, postes, entre otras tantas.

-

La resolución de problemas de deformación de vigas por el método de doble integración, es efectivo pero puede en su desarrollo ser un tanto larga, por ello habrá que profundizar en los demás métodos de solución.

-

El desarrollar trabajos como este permite al estudiante afianzar los conocimientos aprendidos y utilizar las preguntas tanto teóricas como de cálculos como el mecanismo ideal para retroalimentar lo visto.

6

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS -

Domingo Santillana Jaime Santo (2008). Flexíon: Deformaciones. Zamora.

-

Enrique D. Fliess (1971). Estabilidad II (Segunda edición). Argentina. Editorial Kapelusz S.A. 644 pág.

-

Tomás Pérez White, Juan Mateos Gómez, Pedro Antonio Gómez Sánchez (1992). Resistencia de Materiales (1° Edición). Salamanca, España. Editorial Universidad de Salamanca. 151 pág.

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