Deformacion Angular Porticos

UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA E.A.P. DE INGENIERÍA CIVIL “DEFORMACION ANGULAR EN PORTICOS ” 

INTEGRANTES : * Mamani Calderón, Milusca * Huanambal Alejandria, Jorge

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DOCENTE: * Ing. Ing. Yoctun Ríos, Roberto

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CURSO: * Análisis Estructural

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA E.A.P. DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL

INDICE

3.1.

Suposiciones básicas del método .............................................................................................. 4

3.1.1. 3.2.

Deducción de las ecuaciones de Deformación angular .............................................................. 4

3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4.

4.1.

Convenciones.......................................................................................................................... 4

Momentos de empotramiento empotrami ento ....................................................... ........................................ 7 Momentos generados por desplazamientos .......................................................................... 7 Momentos generados en los extremos de la barra i − j por una rota ción en el nodo j (θj).  12 Momentos generados en los extremos de la barra i − j por un desplazamiento relativo (Δ R). 13

Planteamiento general del método deformación angular ....................................................... 20

4.1.1.

Aplicación de deformación angular en el análisis de pórticos .............................................. 21

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1. Introducción El profesor George A. Maney presentó en 1915 el método del análisis de estructuras Deformación angular en una publicación sobre ingeniería estructural de la universidad de Minnesota. Su trabajo fue una extensión de estudios anteriores acerca de esfuerzos secundarios realizados por Heinrich Manderla y Otto Mohr entre los años 1880-1900. Su popularidad se mantuvo entre los ingenieros de la época por casi 15 años hasta la aparición del método de distribución de momentos (método de Cross). Este método permite conocer los momentos en los extremos de las barras que conforman una estructura mediante la solución de un sistema de ecuaciones que tiene en cuenta los desplazamientos y las rotaciones en los nodos. También es importante tener en cuenta que este método sólo es aplicable a estructuras con nodos rígidos como es el caso de las vigas continuas y pórticos rígidos, ya que no se considera el efecto de deformaciones por carga axial que son las que se producen en las cerchas. Hoy día, este método en su forma convencional es poco útil debido a los programas tan avanzados de análisis de estructuras que existen en la actualidad. Sin embargo se sigue considerando como uno de los métodos de desplazamiento más importante de acuerdo con las siguientes consideraciones: • Para algunos sistemas estructurales simples (vigas, marcos rígidos) el método  puede presentar una solución rápida y práctica. • Las ecuaciones fundamentales del método sirven   de base para el desarrollo del método de distribución de momentos. • Las ecuaciones fundamentales del método establecen la base de introducción de métodos de formulación matricial.

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2. Objetivos Falta

3. Fundamentos teóricos 3.1.

Suposiciones básicas del método

- Todos los miembros de la estructura son prismáticos (EI constantes). - Las deformaciones de la estructura son debidas principalmente al efecto de los momentos. - La estructura se comporta en el rango elástico (obedece a la ley de Hooke). - Las deformaciones producidas por fuerzas axiales y cortantes son despreciadas.

3.1.1.

Convenciones

- Los momentos en los nodos en sentido de las manecillas del reloj son negativos. - Las rotaciones de los nodos en sentido anti-horario son positivos.

3.2.

Deducción de las ecuaciones de Deformación angular

Imagine un pórtico el cual ha sido sometido a un sistema de cargas cualquiera: peso  propio, carga viva, fuerza de sismo, viento, etc. Como resultado de la aplicación de este sistema de cargas la estructura sufre deformaciones (rotaciones y desplazamientos) en los nodos y a su vez se generan fuerzas en cada uno de los elementos de la estructura.

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 Pórtico sometido a un sistema de cargas

Tomando el elemento i − j del sistema pórtico después de deformado se tiene:

 Análisis del Elemento i-j

Para el análisis de este elemento se hace uso de la ecuación básica usada en el análisis matricial de estructuras:

Dónde:  F T  = Fuerzas finales en los extremos de la barra.

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FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA E.A.P. DE INGENIERÍA CIVIL ANALISIS ESTRUCTURAL  F

empotramiento

= Fuerzas generadas en los extremos de la barra i

−  j

debido a las

cargas externas ( P , W ) actuantes sobre la barra. En este caso se restringen los desplazamientos de los nodos y se puede representar por medio del comportamiento de los extremos.  F desplazamiento = Fuerzas generadas en el elemento debidas a los

desplazamientos de la

 barra. Como se mencionó al inicio del presente capitulo, el método del Deformación angular desprecia las deformaciones debidas a las fuerzas axiales y cortantes en los elementos, teniendo solamente en cuenta las deformaciones por flexión (momentos). Así, la ecuación básica en el análisis matricial aplicada al método del Deformación angular queda convertida en:

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[ M TOTALES ] = Momentos totales generados en los extremos de la barra. [ M

] = Momentos generados en los extremos de la barra por cargas

empotramientos

externas ( P , W) actuantes sobre la barra i

−  j

cuando todos los desplazamientos son

iguales a cero, es decir, la barra está empotrada. [ M

] = Fuerzas generadas en elementos debidas a los desplazamientos

desplazamientos

(θi, θ j, Δ relativo) . A continuación se estudian los momentos de empotramiento y los momentos debidos a los desplazamientos.

3.2.1. [ M  

Momentos de empotramiento ]: Como ya se mencionó anteriormente, los momentos de

empotramiento

empotramiento son los que se generan en los nodos de la barra debido a las cargas (  P , W ) externas aplicadas sobre ella.  M ijF = Momento generado en el nodo  j de la barra ij debido a ( P , W).  M jiF =Momento generado en el nodo  j de la barra ij debido a ( P , W).

Los momentos de empotramiento se calculan: • Usando un método de análisis de estructuras como: Área momento, castigliano, carga unitaria, viga conjugada entre otros.

3.2.2.

Momentos generados por desplazamientos

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Ahora se estudian los momentos debidos a desplazamientos [M

desplazamientos].

 Momentos de Empotramiento

Como se puede ver en la figura anterior, los momentos generados en los extremos de la barra se producen por 3 desplazamientos. a. Rotación del nodo i (θi)  b. Rotación del nodo j (θj) c. Desplazamiento relativo entre nodos (Δ relativo) A continuación se analiza cada desplazamiento por separado.

3.2.2.1.

Momentos generados en los extremos de la barra i − j por una rotación en el nodo i (θ i)

Para encontrar la relación existente entre los momentos generados en los extremos de la barra y la rotación ocurrida en el nodo i ( θi), considérese una barra i-j simplemente apoyada en su extremo i y empotrada en su extremo j, la cual ha sufrido una rotación en su extremo i como se muestra a continuación:

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Rotación en el nodo i de la barra i-j

A continuación se hace uso del teorema de la viga conjugada para calcular el valor de los momentos M ij−θi y M  ji−θi en función de la rotación ( θ i) . Para no saturar el dibujo y evitar posibles confusiones, se usa la siguiente convención: M ij−θi = MA M ji−θi = MB

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Diagrama de Momentos de la Viga Cargada

Planteando una sumatoria de momentos en el nodo i, se tiene:

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Ahora haciendo una sumatoria de fuerzas en y usando la anterior relación: Σ Fy = 0

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3.2.3.

Momentos generados en los extremos de la barra i − j por una en el nodo j (θj).

rotación

Para encontrar la relación existente entre los momentos generados en los extremos de la barra y la rotación ocurrida en el nodo ( ) j j θ se considera una barra i -j empotrada en su extremo i y simplemente apoyada en su extremo j, la cual ha sufrido una rotación en su extremo j como se muestra a continuación:

Rotación en el nodo j de la barra i-j

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Realizando el mismo análisis que se hizo para el caso de la rotación en el nodo i, se obtiene:

3.2.4.

Momentos generados en los extremos de la barra i − j por un desplazamiento relativo (ΔR ).

Para encontrar la relación existente entre los momentos generados en los extremos de la barra y el desplazamiento relativo ( ) R Δ entre nodos se considera una barra i -j empotrada en sus dos extremos, la cual ha sufrido un descenso vertical en uno de sus apoyos como se muestra a continuación:

Desplazamiento Relativo entre nodos de la barra i-j

 Nuevamente se hará uso del método de la viga conjugada para calcular el momento en función del desplazamiento relativo entre los extremos del elemento.

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Para no saturar el dibujo y evitar posibles confusiones se usa la siguiente convención:

Cálculo de Momentos debidos al desplazamiento Relativo entre nodos

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Haciendo sumatoria de fuerzas en y:

MA = MB

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Ahora, planteando una sumatoria de momentos con respecto al nodo j:

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Importante: El signo del momento varía, dependiendo si el desplazamiento relativo hace girar la  barra en sentido horario o anti-horario. En el desarrollo de este capítulo se plantea la siguiente convención para determinar el signo del momento debido al Δ R .

Caso A. Si el desplazamiento relativo R Δ hace que la barra tienda a rotar en sentido de las manecillas del reloj, los momentos en los extremos son positivos.

Caso B. Si el desplazamiento relativo R Δ hace que la barra tienda a rotar en sentido antihorario, los momentos en los extremos son negativos.

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Sumando los 3 efectos analizados se puede decir que: • El momento generado en el nodo i , debido a los desplazamientos θ i ,θ j y Δ R es igual a:

• El momento generado en el nodo j , debido a los desplazamientos θ i ,θ j y Δ R   , es igual a:

Momentos totales Cálculo de momentos totales

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Retomando la ecuación

Y lo mismo se hace en el nodo j, obteniendo:

Siendo estas las ecuaciones básicas usadas en el método de deformación angular  para una barra i-j de sección constante:

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4. Desarrollo 4.1.

Planteamiento general del método deformación angular

Para solucionar estructuras haciendo uso del deformación angular se siguen los siguientes pasos: a. Aplicar las ecuaciones básicas de momento del Slope a cada una de las barras de la estructura. Estos momentos quedan en función de las rotaciones en los extremos y de los desplazamientos relativos entre los extremos de cada barra.  b. Plantear una ecuación de equilibrio de momentos en cada uno de los nodos de la estructura. En algunas estructuras es necesario plantear ecuaciones de equilibrio en algunos elementos o en toda la estructura, como se verá mas adelante en los ejercicios tipo. Al establecer todas las ecuaciones de equilibrio necesarias se obtiene un sistema de ecuaciones, el cual debe tener igual número de ecuaciones como grados de libertad desconocidos tenga la estructura. Al solucionar este sistema se consiguen los valores de las rotaciones en los extremos θ y de los desplazamientos relativos Δ . c. Conocidos los valores de θ y de Δ R , estos se sustituyen en las ecuaciones de momentos finales planteadas en el paso a. d. Calculados los momentos, se pueden obtener los cortantes y las reacciones haciendo uso de la estática básica.

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4.1.1.

Aplicación de deformación angular en el análisis de pórticos

Cuando se tiene un pórtico sometido a algún sistema de cargas, este se deformara hasta alcanzar su posición de equilibrio. Tratar de entender y determinar el posible comportamiento de la estructura ante estas cargas, es la base fundamental para el desarrollo de este tipo de problemas. La aplicación del método del deformación angular a pórticos, se fundamenta en  plantear la posible deformación que sufrirá la estructura y relacionar los desplazamientos ocurridos en los extremos de las barras entre sí, para de esta manera obtener ecuaciones adicionales a las de momentos extremos y a las de estática, que ayudan a solucionar la estructura. A continuación se mencionan tres posibles desplazamientos que puede sufrir una  barra cualquiera de un pórtico, cabe aclarar que los desplazamientos planteados se hacen considerando cada elemento como rígido y no corresponden a la deformación elástica de la barra. Considérese la siguiente estructura: Estructura Cargada

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Caso 1. • “El desplazamiento relativo que se produce entre los extremos de cualquier barra, solo ocurre en dirección perpendicular al eje de la barra”. • “Cada barra conservara su longitud inicial después de deformada la estructura” Las anteriores consideraciones son aceptables en las estructuras de la ingeniería civil, debido a que las deformaciones que ocurren en los elementos de la estructura son muy  pequeñas comparadas con la longitud de los elementos. Para explicar gráficamente las anteriores consideraciones, tómese el elemento AB del  pórtico inicial para su análisis: Análisis del Elemento AB

Debido al empotramiento que presenta el nodo A, el único nodo que tiene la  posibilidad de desplazarse es el nodo B. Aplicando los conceptos anteriores, el desplazamiento relativo que ocurrirá en la barra será el que se muestra en la gráfica anterior.

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Caso 2. “Si un elemento no presenta restriccion es en sus extremos, estos pueden desplazarse en forma paralela, de tal forma que la posición final de la barra sea paralela a la posición inicial”. En este caso también se conserva la longitud del elemento después de ocurrido el desplazamiento de la barra. Además no se presenta desplazamiento relativo entre los nodos en la posición final de la barra. Aplicando este caso al elemento BC del pórtico, se tiene: Análisis del elemento BC

Caso 3. Es la combinación del caso 1 y el caso 2, en el cual la barra primero se traslada, quedando en una posición paralela a su posición inicial y con la misma longitud y luego se considera uno de sus extremos como fijo y el otro se desplaza a lo largo de una línea  perpendicular a dicho elemento. Barra trasladada y rotada (Combinación entre Casos 1 y 2)

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A continuación se presentan algunos ejemplos tipo que serán de gran ayuda para entender el método del deformación angular aplicado a pórticos.

Ejemplo

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5. Conclusiones

6. Recomendaciones

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7. Bibliografía 

Elaboración de notas de clase de la asignatura análisis de estructuras II, Jorge Eliécer Escobar Florez, 2007

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