Deflexiones y Rotaciones

Unid Unidad ad N° III III

Deflexiones y Deflexiones Rotaciones. MÉTODOS DE ENERGÍA. Mecánica Estructural.

Ing. Francisco Antonio Gómez H.

Introducción. En temas anteriores se calcularon las deflexiones y los cambios angulares usando un método geométrico, el método del área del diagrama de momento, sin embargo no es fácilmente aplicable a todos los tipos de estructuras.

En este tema se calculara las deflexiones y los cambios angulares mediante el principio de conservación de la energía. Se presentaran dos métodos. • •

Trabajo virtual. Teorema de Castigliano.

Ing. Francisco Antonio Gómez H.

Principio de la conservación de la energía. El trabajo realizado por una fuerza se define como el producto de una fuerza y su desplazamiento en la dirección que la fuerza esta actuando.

 = ∆ Si la fuerza es constante y actúa solamente en la dirección del desplazamiento, el trabajo realizado por la fuerza será igual a la fuerza multiplicada por el desplazamiento total.

Ing. Francisco Antonio Gómez H.

Principio de la conservación de la energía. En muchas ocasiones, la fuerza y la deformación cambian en magnitud.

 = න ∆

Sera necesario sumar todos los pequeños incrementos de trabajo para los que la fuerza puede suponerse constante.

El principio de la conservación de la energía es l a base de todos los métodos de energía los métodos de energía.

Ing. Francisco Antonio Gómez H.

Principio de la conservación de la energía. Cuando un conjunto de cargas externas se aplica a una estructura deformable , los puntos de aplicación de la carga se mueven.

Según el principio de conservación de la energía.

El W trabajo realizado por las cargas externas es igual al trabajo realizado por las fuerzas internas U de los elementos.

Ing. Francisco Antonio Gómez H.

W=U

Principio de la conservación de la energía. Conforme tiene lugar la deformación de una estructura el trabajo interno  (llamado energía de deformación), queda almacenado dentro de la estructura como energía potencial. Si el material no excede el limite plástico.

La energía de deformación elástica es suficiente para que recupere su estado original no deformado.

Ing. Francisco Antonio Gómez H.

TRABAJO VIRTUAL O METODO DEL TRABAJO VIRTUAL COMPLEMENTARIO. El principio de trabajo virtual relaciona un sistema de fuerzas en equilibrio con un sistema compatible de desplazamientos en una estructura. Palabra Virtual: Sistema Equivalente.

Desplazamiento ficticio impuesto sobre una estructura. Desplazamiento virtual.

Entonces las cantidades virtuales que se consideran no EXISTEN.

Ing. Francisco Antonio Gómez H.

TRABAJO VIRTUAL O METODO DEL TRABAJO VIRTUAL COMPLEMENTARIO.

Cuando hablamos de un desplazamiento virtual nos referimos a un desplazamiento ficticio impuesto sobre un estructura.

Entonces.

El trabajo efectuado por un conjunto de fuerzas reales durante un desplazamiento virtual se llama trabajo virtual.

Veremos el Siguiente análisis. El método del trabajo virtual o método del trabajo complementario se llama método de carga unitaria ficticia o simulada.

El trabajo virtual se basa en la ley de la conservación de la energía. ◦ Para emplear esta ley es necesario hacer las siguientes suposiciones.

1. Las fuerzas internas y externas están en equilibrio. 2. El limite elástico del material no se excede. 3. Los apoyos no tienen movimiento.

Trabajo Virtual.

Si una carga se aplica gradualmente a la barra mostrada, de manera que la carga y la deformación (o incremento en longitud) de la barra se incrementa desde cero.

 = 21 ∆

Calculo de deflexiones en vigas. La ley de conservación de la energía se puede emplear a fin de determinar una expresión para la deflexión en un punto cualquiera de la viga.

Cada miembro tiene una longitud dx y un área dA. La suma de la energía de deformación virtual de cada uno de esos pequeños miembros debe ser ig ual al trabajo virt ual realizado por las cargas externas.

Considérese la viga siguiente.

Se desea determinar la deflexión vertical en A. Usaremos los siguientes símbolos una expresión para la energía de deformación. M: El momento en cualquier sección de la viga causados por las cargas externas. m: El momento en cualquier sección de la viga causado por la fuerza unitaria.

Comenzamos el análisis calculando la fuerza vertical en dA causada por la fuerza virtual unitaria aplicada.

 =  En seguida…

 = 

=  

La deformación diferencial dA causada por las cargas aplicadas se determina como sigue.

σ

= 

=

εdx =

  =    =      

La energía de deformación virtual en el elemento diferencial es entonces igual a:

 =   =    =      Este es el incremento de energía de deformación virtual.

Ec.1

 ( )   = ඵ     

La energía de deformación virtual en la viga es igual al incremento de deformación integrado sobre el volumen.

 = න 

Ec.2

Sustituyendo Ec.2 en Ec.1

 =

  

Al igualar el trabajo virtual con la energía de deformación virtual se obtiene una expresión para la deflexión en el punto A de la viga.

 =  ∆ = න   