Deflexiones Por Flexion PDF
February 11, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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UNIDAD l Defexiones por fexión 1.1.
Ecuación dierencial de la curva elástica.
1.2. Método de la doble integración 1.3. Método Área momento. 1.4. Método de la viga conjugada
1.1Ecuación 1.1 Ecuación dierencial dierencial de la curva elástica. La curva elástica o elástica es la deormada por fexión del fexión del eje longitudinal de longitudinal de una viga viga recta, recta, la cual se debe a la aplicación de cargas transversales en el plano xy sobre la viga. Ecuación de la elástica La ecuación de la elástica es la ecuación dierencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la orma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sure el eje de la viga desde su orma recta original a la orma curvada o fectada nal. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deormaciones la ecuación dierencial de la elástica viene dada por: (1) Donde: representa la fecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical, respecto respecto de la posición sin cargas. es la abscisa (eje X) sobre la viga. es el momento fector sobre la abscisa . es el segundo momento de área o área o momento de inercia de la sección transversal. es el módulo de elasticidad del elasticidad del material. La ecuación (1 (1) constituye sólo una aproximación, en la que se ha supuesto que las deormaciones son muy pequeñas con respecto respect o a las dimensiones de la viga y, por tanto, se ha
aproximado el giro de una sección de la viga con la derivada aproximado primera de la fecha. Para deormaciones mayores mayores se obtiene ): la ecuación más exacta (1' (1'): (1' 1')) La ecuación de la elástica (1 (1) puede ser reescrita en unción x ) sobre la viga: de la carga distribuida q( x (2) Esta última ecuación es interesante interesante porque su generalización a elementos bidimensionale bidimensionaless es precisamente precisamente la ecuación undamental de gobierno de placas o ecuación de Lagrange para placas delgadas: Donde es la rigidez de rigidez de una placa delgada en fexión. Ejemplo
Viga deormada por fexión. Para una viga elástica en la que se aplican sólo momentos M1 y M2, la orma de la curva elástica depende sólo de dos parámetros independientes, la orma aproximada de la deormada dependerá dependerá del valor y signo relativo de estos momentos, siendo un caso típico el mostrado en la gura adyacente. Escribiendo la ley de momentos fectores para los puntos intermedios intermedios de la viga y escogiendo las condiciones de contornos llegamos a la ecuación dierencial siguiente: siguiente:
La solución analítica de ecuación anterior con cualquiera de los dos posibles elecciones de contorno, se obtiene como:
Cálculo de deormaciones en vigas Método de integración Este método consiste en la integración de la ecuación descrita en la sección anterior. Es necesario obtener primero primer o la ley de variación del momento fector para fector para la viga estudiada, tallacomo semomentos hizo en el ejemplo Una vez conocida ley de fectores,anterior. se procede por integración directa. Si se conoce para un punto concreto, digamos por ejemplo x = a, el desplazamiento vertical y el ángulo girado por la curva elástica alrededor alrededor de ese punto respecto respect o a la posición original el resultado de la deormación el resultado de la integración directa es simplemente: 1 Equivalentemente Equivalenteme nte la expresión expresión anterior puede reescribirse mediante integración por partes partes como como una integral simple: El llamado método del área-momento, área-momento, es en realidad una versión en términos geométricos geométricos del método de integración. De acuerdo con esta versión la doble integral en la ecuación anterior puede calcularse del siguiente modo: 1. Se calcula calcula la supercie supercie del del área bajo bajo la curva M z /EI. 2. Se calcula la la distancia ce e del área área anterior medida a partir del eje centroid dentroide la viga. 3. La segunda integral buscada buscada es el el producto producto de las dos magnitudes anteriores. Método de superposición Artículo principal: Pendie Pendientes ntes y deormaciones en vigas
El método de superposición usa el principio de superposición de superposición de la teoría de la elasticidad lineal lineal.. El método de superposición consiste en descomponer el
problema inicial de cálculo de vigas en problemas o casos más simples, que sumados o "superpuestos" "superpuestos" son equivalentes al problema original. Puesto que para los casos más sencillos existen tablas y órmulas de pendientes y deormaciones en vigas vigas al al descomponer el problema original como combinaciones de los casos más simples recogidos en las tablas la solución del problema puede ser calculada sumando resultados de estas tablas y órmulas.
1.2.
Método de la doble integración
MÉTODO DE DOBLE INTEGRACION INTEGRACION Frecuentemente el diseño de una viga queda determinado más por su rigidez que por su resistencia. Por ejemplo, al diseñar elementos de máquinas para trabajos de precisión, tales como tornos, prensas, limaduras, etc. Las deormaciones deormaciones deben permanecer por debajo de las tolerancias admisibles del trabajo que se va a realizar. Asimismo, en las vigas de pisos que tengan por debajo cieloaraso de de yeso o escaloya, suele limitar la defexión máxima 1/360 claro, para quese no aparezcan grietas en el yeso. Una de las más importantes aplicaciones del estudio de la deormación de las vigas es, por otra parte la obtención de ecuaciones de deormación que, junto con las condiciones condiciones de equilibrio equilibrio estático, estático, permitan permitan resolver las vigas estáticamente indeterminadas. Se utilizan varios métodos para determinar la deormación de las vigas. Aunque basados en los mismos principios, dier dieren en en estudia su técnica en sus objetivos inmediatos. primerde lugar se un yprocedim procedimiento iento modernizado delEnmétodo la
doble integración, que simplica mucho su aplicación. Otro método, el del área de momentos, se considera el más directo de todos en especial si se desea conocer la deormación en un punto determinado, determinado, y es no solamente sencillo sino extremadamente rápido. Otra variante de este método es que es muy cómodo de aplicar. Otros métodos son el de la viga conjugada y el de superposición.. El método de la viga conjugada es realmente superposición una variante del método del área de momentos, pero diere en su aplicación práctica. El método de superposición no es un método distinto, utiliza las órmulas obtenidas para las deormaciones, deormacione s, en ciertos tipos undamentales de cargas, para obtener las soluciones correspondientes correspondientes a cargas que sean combinaciones de estos tipos undamentales. La vista lateral de la supercie neutra de una viga deormada se llama curva elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curva que orma el eje longitudinal, inicialmente neutro. Se muestra sumamente exagerada en la siguiente gura: En esta sección se deduce la ecuación de dicha curva, y como calcular el desplazamiento vertical o defexión y de cualquier punto en unción de su abscisa x. Se toma el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido según la dirección inicial de la viga sin deormar, y el eje Y positivo hacia arriba. Se supone siempre que las deormaciones son tan pequeñas que no hay dierencia apreciable entre entre la longitud inicial de la viga y la proyección de su longitud deormada. En consecuencia la curva elástica es muy llana y su pendiente en cualquier punto también es muy pequeña. El valor de esta pendiente, tan θ = dy/dx, puede hacerse sin error apreciable, igual a θ. Po consiguiente,
θ = dy dx dθ = d2y dx dx2 Considerando la variación de 0 en una longitud dierencial ds, producida producid a por fexión de la viga, es evidente que ds= þ dθ Siendo þ el radio de la curvatura En la longitud de arco ds. Como la curva elástica es casi recta, ds es prácticamente igual a ds. En estas condiciones, de las ecuaciones (b) y (c) se obtiene: 1 = dθ dθ o bien 1 = d2y Þ ds dx þ dx2 Al deducir la órmula de la fexión, en la sección se obtuvo la relación: 1=M Þ EI Y por tanto, igualando igualando los valores valores 1/ þ de las ecuaciones ecuaciones resulta: EI d2y = M dx2 Esta es la ecuación dierencial de la elástica de una viga. El producto product o EI que se llama rigidez a la fexión, es normalmente constante a lo largo de la viga. Las aproximaciones aproximaciones hechas, el ángulo por la tangente y dx por ds no tienen infuencia apreciable en la exactitud de la expresión expr esión de la ecuación de la elástica de una viga y en eecto
sustituyendo 1/ Þ por su valor exacto, junto con la ecuación sustituyendo anterior se tendría: d2y = M dx2 = M EI 1 + d2y 2 3/2 dx2 Teniendo Teniendo en cuenta cuenta que dy/ dy/dx dx es muy pequ pequeño, eño, su cuadrado es despreciable rente a la unidad, por lo Que se puede escribir: d2y = M dx2 EI Que coincide con la ecuación (). Integrando la ecuación F suponiendo EI constante, resulta: EI dy = ∫M dx + C1 Que es la ecuación de la pendiente, y que permite determinar el valor de la misma o dy/dx en cualquier punto. punto. Conviene observar que en esta ecuación, M no es un valor del momento sino la ecuación del Momento fexionaste en unción de X1 y C1 es una constante a determinar por las condiciones de apoyo. Integrando de nuevo la ecuación (I) EIy ∫∫ M dx dx + C1X + C2 Esta es la ecuación de la pendiente y que permite calcular el valor de la ordenada y en cualquier valor de x. C2 es otra constante de integración a determinar determinar también por las condiciones de sujeción de la viga. Si las condiciones de carga varían a lo largo de la viga, la ecuación de momentos también tendrá la variación
correspondiente. Esto requeriría una ecuación de momentos entre cada dos puntos sucesivos de discontinuidad de cargas (cargas aisladas, comienzo o terminación, o cambio de orma en las cargas repartidas), lo que daría lugar a dos integraciones para cada tramo y, por consiguiente dos constantes para cada tramo también. La determinación de estas constantes se hace laboriosa y se está expuesto a errores. Aortunadamente, estas complicaciones pueden evitarse escribiendo escribiendo una única ecuación de momentos válida para toda la viga, pese a las discontinuidades discontinuidades de carga.
Método de área momento De la ecuación general de fexión tenemos:
Integrando:
Tengamos Tengamos presente presente que viga.
curvatura de un un elemento
Teorema Teorema 1: El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre entre esos dos puntos sobre la curva elástica.
Se puede usar para vigas con EI variable. : Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A. Se mide en radianes. Áreas positivas indican que la pendiente crece.
Teorema Teorema 2:
Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:
, si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.
Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre A Y B. El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolon prolongada gada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva
entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.
Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades discontinuidad es por articulaciones. Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina fecha. Ejemplo: Determinar las fechas en los puntos B y C y la pendiente Determinar elástica en el punto B. E, I constantes.
Pasos a realizar: 1. Encontrar Encontrar el el diagrama diagrama de momentos momentos.. 2. Dividir Dividir M por EI y trazar trazar la curva elástica elástica tentativa tentativa.. 3. Para encon encontra trarr jar un punto inicial al cual se le conozca la pendiente e integrar el diagrama de curvatura entre el punto inicial de reerencia y el punto pedido. Cambio en = área bajo M/EI
4. Para encontrar fechas, tomar un punto punto inicial al que se le conozca su fecha, preeriblemente preeriblemente un apoyo. El cambio de la fecha se calcula como el primer momento del área bajo el diagrama de M/EI con respecto al punto sobre el que se va a encontrar la defexión. ( *Área bajo la curva de M/EI midiendo desde el punto al que se le va a hallar la defexión). 5. Signos, un un cambio de pendiente positivo osea áreas
positivas de M/EI indican qque la pendiente crece.
Ejercicio Para la siguiente viga determinar la defexión y rotación en el punto C en unción de EI.
Adimensional Adimens ional (radianes) Condición de apoyo
Flecha = momento de primer orden con respecto a B
si
por no existir momento en ese tramo. Ejercicio
Determinar
y
Y D
∆ C/ A
∆
D/ A
θ D/ A
DESVIACIÓN POSITIVA
NEGATIVA
Remplazando en 1:
Busquemos el punto de tangencia cero,
, punto de
Viga conjugada: Recordando las relaciones entre carga, cortante y momento tenemos: la pendiente del diagrama de momentos es el cortante la pendiente del diagrama de cortante es la carga Variación del momento = área bajo la curva de cortante Para hallar el momento se integra la curva de cortante V = para hallar el cortante se integra la curva de carga
Si una viga la cargamos con una carga cticia W igual a la curva del diagrama de momentos dividido EI, entonces podemos decir: : área bajo el diagrama de cortante de la viga cargada con: y : diagrama de momentos de la viga conjugada
: área bajo el diagrama : diagrama de corte de la viga conjugada
Análogas con las vigas
Ejercicios método del área momento
desplazamiento para debajo debajo de la viga.
Cambio de temperatura Despreciar Despre ciar deormaciones axiales, sólo por curvatura.
para aumento de temperatura en la bra superior concavidad
Ejemplos Le marco de acero de la gura se somete a una carga constante de temperatura en el mismo miembro superior. Despreciando Despre ciando la deormación axial calcule
1.3.
Método de la viga conjugada
El presente se basa en métodos la investigación para conocer un poco mástrabajo sobre otro de los que permite encontrar giros y desplazamiento en cualquier punto de la elástica en una viga; me reero al método de la viga conjugada. En este trabajo daremos a conocer sobre la denición de este método, para qué nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qué tipo de estructura es aplicable este método, qué es una viga cticia y qué relaciones relaciones guarda con una viga real, la dierencia dierenc ia de este método con el que ya estudiamos anteriormente anteriorme nte (área de momentos), y por último procederemos a resolver los problemas dados conociendo los aspectos más básicos de la teoría. En la denición, explicaremos a qué se le llama “viga conjugada”, en qué undamentos teóricos se basa, que tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y defexión en cualquier punto de la elástica y que se utiliza en vigas y columnas estáticamente determinadas. También, También, aprender aprenderemos emos a través de un un gráco que una una viga cticia es aquella que se carga con el diagrama de momentos reducidos de la viga real, y por consiguiente guardan relación de donde se obtiene las analogías que se utilizan para resolver los ejercicios. La convención de signos en este método se undamenta en el resultado resultad o de haber encontrado el momento o la uerza cortante de la viga cticia, pues según sea el signo de la respuesta, se sabrá el signo de la fecha o del giro en la viga real.
Por último, después de haber conocido todos estos conceptos básicos para poder resolver los ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teoría para llevarlos a la práctica.
Objetivos: - Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de la viga real utilizando una viga cticia para ello. - Gracar correctamente correctamente el diagrama de momentos reducidos reducidos de la viga real para poder crear así nuestra viga cticia. - Resolver los ejercicios dados a través de las relaciones estudiadas entre entre una viga real y cticia. Limitaciones del trabajo: o Desarrollar ejercicios con más grado de dicultad. o Aplicar la teoría en ejercicios como vigas de varios tramos y de dierentes cargas. Justicación del trabajo: trabajo: o Manejar correctamente la teoría del método de la viga conjugada para el mejor entendimiento entendimiento en la resolución de ejercicios. o Obtener buenos resultados en el aprendizaje del presente tema, conociendo aun más la teoría.
Glosario:
MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA Fundamentos Teóricos.
Derivando 4 veces la ecuación de la elástica se obtiene.
La relación ordenadas, pendiente pendientes s y momentos son las y mismas queentre las que existen entre momento, uerza cortante carga. Esto sugiere que puede aplicarse el método de área de momentos para determinar el momento fector, partiendo del diagrama de cargas, de la misma manera que se ha empleado para determinar las ordenadas a partir del diagrama de momentos. La analogía entre las relaciones entre carga-uerza, cortantemomento fector y entre momento-pendiente-ordenadas, momento-pendiente-ordenadas, sugiere que éstas últimas se puedan establecer con los métodos de diagramas de uerza cortante y momento fector para calcular la uerza cortante y momento fector a partir de las cargas. Para ello hay que suponer que la viga está cargada, no con las cargas reales sino con el diagrama de m/EI correspondiente correspondiente a dichas cargas. Considerando entonces este diagrama de M/EI como una carga cticia, se calcula la uerza cortante y momento fector cticios, en un punto cualquiera, que se corresponden corresponden con la pendiente y la ordenada de la elástica en los mismos puntos de la viga inicial. A este método se le denomina Método de la Viga Conjugada.
Aplicando a una viga cargada con el diagrama de M/EI los principios estudiados estudiados para hallar la uerza cortante y momento fector se tiene: 1. Pendiente real = Fuerza Cortante Ficticia. 2. Ordenada real = Momento Flector Ficticio. Denición de la viga conjugada: Es una viga cticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento fector reducido reducido aplicado del lado de la compresión. compresión. La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada. El método de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga v iga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma. Este método consiste en cambiar el problema de encontrar, las pendientes y defexiones causadas en una viga por un sistemas de cargas aplicadas. Tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar dire directamente ctamente la pendiente y defexión en cualquier punto de la elástica. Viga conjugada:
Relaciones entre la viga real y la viga conjugada.
a.- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma. b.- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real. c.- La uerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el mismo punto de la viga real. d.-El momento fexionante en un punto de la viga conjugada es la fecha ende ella viga real. mismo punto
e.-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada. .- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga conjugada. g.Un extremoo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento empotramient conjugado. h.- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulación en la viga conjugada. Relaciones entre los apoyos
Este método al igual que el del eje elástico y área de momentos nos permite calcular los giros y fechas de los elementos horizontales denominados denominados vigas o de los verticales llamados columnas. En este capítulo estudiaremos estudiaremos este importante método aplicándolo tanto a vigas como pórticos. En cuanto a las características de la viga conjugada, dado que al cargarse ésta con las cargas elásticas su diagrama de momentos fectores debe representar exactamente la elástica
de la viga real, sus vínculos deben elegirse de manera tal que se respeten estas premisas. Analogías de Mohr
Convenios de signos:
Si la uerza cortante sale con signo positivo el giro es horario. Si el momento fector sale con signo negativo la fecha es hacia abajo.
Conclusión:
El cortante en cualquier sección de la viga conjugada es el giro en la viga real en dicha sección. El momento fector en una sección de la viga conjugada es la fecha en la viga v iga real en dicha sección. Relación entre la viga real y la viga conjugada:
a). un Un apoyo apoyo en extremo extr la viga principal ha de transormarse en laemo vigaen conjugada. b). Un apoyo intermedio intermedio en la viga principal ha de transormarse en una articulación de la viga conjugada. c). Un extremo empotrado en la viga principal ha de transormarse en un extremo libre en la viga conjugada. d). Un extremo libre en la viga principal ha de transormarse transormarse en un extremo empotrado en la viga conjugada. e). Una articulación en la viga principal ha de transormarse en un apoyo intermedio intermedio de la viga conjugada. Ejercicios: E-1). Determinar el giro giro en B y la feca en C de la siguiente estrucutura:
E-2) Calcular la fecha en B:
E-3) Encontrar la fecha máxima en la viga:
E. 4) Calcular el giro en B y la fecha en D de la siguiente viga:
E-5) Calcular el giro en B de la siguiente viga:
ANEXOS: Los puentes de elevación vertical utilizan cables, poleas, motores y contrapesos para levantar una sola sección del puente en orma vertical como si uera un elevador. Cuando el puente está arriba pueden pasar por debajo barcos con la altura máxima de la parte inerior de su estructura. Constan de dos torres en los extremos construidas generalmente con piezas de acero.
Utilizando todo lo aprendido acerca del método de la viga conjugada, podremos encontrar las fechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada, a través de un cálculo más práctico, porque sólo nos basta gracar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como una nueva viga (cticia) y, encontrar lo solicitado. Aplicando correctamente correctamente la relación que existe entre esta viga cticia con la real.
UNIDAD ll Análisis de cables y arcos
2.1. Ecuación general de cables.
2.2. Análisis de arcos de tr tres es articulaciones, cálculo de reacciones, diagramas de elementos mecánicos.
2.1. Ecuación general de cables. 1. Conceptos e hipótesis básicas 1.1. Los cables en la mecánica estructural Los cables o hilos son elementos que sólo resisten tracción. A pesar de la simplicidad de su comportamiento mecánico tienen importantes aplicaciones en la tecnología, para sistemas de transporte por tracción y guiado, para máquinas, o en sistemas estructurales. estructurales. Ciñéndonos a los sistemas estructurales, estructurale s, en la antigüedad las soluciones eran de dos tipos. Por una parte las basadas en materiales de sólo compresión como la piedra o el barro cocido, que condujeron a los arcos, bóvedas o cú- pulas, en los cuales aprovechando la geometría se consigue el uncionamiento adecuado del material. En estos la orma se debe imponer previamente mediante una cimbra. Por otra parte los materiales de sólo tracción como los cables o lonas, que adquieren la orma resistente resistente de manera natural por su propio peso, aunque se encontraban más limitados en cuanto a la durabilidad debido a su naturaleza orgánica. Un interesante ejemplo son los puentes Incas abricados con sogas de los cuales pervive en la actualidad algún ejemplo represen representativo tativo Puentes Incas de América La tecnología de los cables de acero de alta resistencia resistencia permite en la actualidad sistemas estructuraless con gran durabilidad y de un tamaño mucho estructurale mayor. De hecho los puentes colgantes son la única tipología
con la que se pueden alcanzar luces1 mayores de 1000 m. Cabe destacar en esta categoría el puente Akashi-Kaikyo Akashi-Kaikyo Que constituye el récord mundial mundial en este momento con casi 2 km, o el Golden Gate en la bahía de San Francisco que constituye un icono de la ciudad y ue asimismo récord mundial en su momento. Una tipología muy interesante y que se ha desarrollado recientemente es la de los puentes atirantados, cuyo rango de luces abarca aproximadamente aproximadamente entre los 200 m y los 1000 m. En la península Ibérica existen dos interesantes 1Luz : distancia entre apoyos de un puente o sistema estructural 1.1 Los cables en la mecánica estructural estructural 3 (a) Akashi-Kaikyo, Akashi-Kaikyo, Kobe, Japón (1991 m de luz, 1998) (b) Golden Gate, San Francisco, USA (1280 m de luz, 1937) Puentes colgantes ejemplos,Javier el deManterola, Barrios de yLuna León da (gura 3a) proesor el deenVasco Gama enobra el del estuario de Tajo en Lisboa. Recientemente se han construido puentes atirantados que superan incluso los 1000 m de luz, un ejemplo es el puente de Sutong sobre el río Yangtze en China (gura 3b) (a) Barrios de Luna, León, Espa- ña (440 m de luz, 1983) (b) Sutong, río Yangtze, China (1088 m de luz, 2008 Puentes atirantados Es interesante interesante también el uso de los cables como sistemas de lanzamiento o estabilización temporal para estructuras. Un ejemplo representativo representativo lo constituye el viaducto sobre el barranco de Lanjarón, en el cual el sistema estructural de un arco atirantado (autoequilibrado)) ue lanzado sobre un proundo barranco (autoequilibrado mediante unos cables y torres torres temporales como puede 1.2 Hipótesis de los modelos de cables 4 apreciarse en la gura 4a. Otro caso reseñable es la construcción de puentes mediante atirantamiento provisional provisional con cables, como el puente de Contreras para el AVE (gura 4b). (a) Viaducto de Lanjarón (cortesía deembalse Torroja Ingeniería SL) (cortesía (b) Puente para el AVE sobre el de Contreras dearco CFC
SL) Figura Figura 4: Uso de cables como mecanismos temporales para la construcción o el lanzamiento de puentes. Por último quiero mencionar también el uso de cables combinados con membranas como sistemas de cubrimiento o techado en grandes supercies. En estas la geometría natural impuesta por la gravedad y la propia tensión contribuye a una expresividad ormal intensa. Quizás el ejemplo más representativo representativo sea el estadio de Munich para las olimpiadas de 1972, obra del arquitecto Frei Otto y el ingeniero Jörg Schlaich, Cubierta con membranas y cables, estadio olímpico de Munich, 1972 1.2. Hipótesis de los modelos de cables El objeto de este documento es la aplicación de los métodos de la estática al cálculo de hilos o cables fexibles e inextensibles. La fexibilidad de los hilos hace que su estudio diera en cierta medida de los sistemas discretos considerados considerados en el resto de este curso. En eecto, uno de los objetivos principales Aptdo. 2. Ecuaciones de equilibrio bajo cargas continuas 5 de su estudio será determinar la conguración que adoptan, a priori desconocida. Sin embargo, resulta resulta apropiado su estudio en el ámbito de la mecánica de sistemas rígidos ya que comparten una propiedad esencial: las uerzas internas (las que no permiten la extensión del cable) no desarrollan ningún trabajo. En este aspecto crucial seque dierencian de los estructurales deormables, en los se produce unasistemas energía de deormación interna bajo carga (generalmente energía elástica). Las características que denen los hilos fexibles e inextensibles inextensi bles y se admiten a dmiten aquí como hipótesis de partida son las siguientes: 1. Sección despreciable. despreciable. Se considera que el hilo posee una dimensión predominante, predominante, mucho mayor que los otros dos, por lo que puede ser idealizado según una línea, sin sección transversal. Tan sólo será necesario considerar esta sección a eecto de calcular su peso especíco por unidad de 2. longitud, en unción de la transversal y su densidad. Flexibilidad perecta. El sección hilo no resiste esuerzos
de fexión, y por lo tanto tampoco de corte. Tan sólo resiste esuerzos en dirección longitudinal, tangentes a la curva que orma el hilo. 3. Inextensibilidad. Cuando está sometido a tracción, el hilo es lo su- cientemente rígido (en dirección longitudinal) como para que se pueda despreciar su extensibilidad. extensibi lidad. Por el contrario, sometido a compresión, compresión, el hilo no orece resistencia y se arruga. Debe quedar claro que estas hipótesis son una idealización que conorma el modelo de hilos fexibles inextensibles inextensibles al que se ciñe este capítulo. En circunstancias circunst ancias reales, los cables o cuerdas no cumplen exactamente ninguna de las hipótesis anteriores; sin embargo, en numerosos casos prácticos es sucientemente válida esta idealización. 2. Ecuaciones de equilibrio bajo cargas continuas 2.1. Ecuación vectorial del equilibrio El cable o hilo queda denido por su curva directriz, r(s), que supondremos supondre mos parametrizada en unción de la longitud de arco s de la misma. En un punto dado del hilo denido por s podremos considerar considerar una sección normal A, en la cual denimos como cara rontal A+ la que está orientada en sentido de s creciente, y cara dorsal A− la orientada en sentido de s decreciente (gura 6). Si se considera el hilo cortado por esta sección, la parte que queda por detrás queda limitada por la sección rontal A+, en la que el eecto del hilo 2.1 Ecuación vectorial del equilibrio 6 T −T s r(s) A+ A− Figura 6: Directriz del hilo (r(s)), secciones rontal (A+) y dorsal (A−), y concepto de tensión (T) por delante que se ha eliminado puede sustituirse por una uerza T que se denomina tensión. Si por el contrario se considera la parte del hilo por delante, queda limitado por la sección dorsal A−, sobre la que el resto del hilo produce una uerza −T, de orma que esté en equilibrio con T. En principio T podría llevar cualquier dirección,, aunque como veremos más abajo su dirección dirección dirección será tangente al propio hilo. Por otra parte, debe ser siempre T > 0 de orma que corresponda a una tracción; T < 0 correspondería a un esuerzo de compresión que no puede ser resistido. Sea un elemento P Q del hilo, de longitud innitesimal ds. El punto P corresponde a la coordenada s y Q
a (s + ds). La sección en P será dorsal y la sección en Q rontal (gura 7). Sobre el hilo actúa una carga continua q por unidad de longitud. Al cortar el elemento de hilo por los puntos P y Q, el equilibrio del mismo queda garantizado por la tensión del hilo en cada extremo. ✛ ✯ ⑦ −T T + dT q ds ds P Q Figura 7: Equilibrio de un elemento P Q de hilo sometido a cargas continuas q por unidad de longitud En primer lugar, establecemos el equilibrio de uerzas sobre este elemento de hilo. Las uerzas que actúan sobre el mismo son: Tensión en P: (−T ) Tensión en Q: (T + dT ) Cargas externas: (q ds) Expresando la anulación de la resultante, resultante, −T + (T + dT ) + q ds = 0 2.2 Ecuaciones en coordenadas intrínsecas 7 de donde resulta la ecuación vectorial vectorial del equilibrio: dT + q ds = 0 ⇔ dT ds + q = 0 (1) Para completar las condiciones de equilibrio, expresamos la anulación de los momentos en P. Denominando dr = t ds ' −→P Q, siendo t la tangente al hilo: hilo: dr ∧ (T + dT ) + ξ dr ∧ q ds = 0 , donde hemos supuesto que la resultant resultante e de cargas exteriores (q ds) actúa en un punto intermedio del elemento, deinido por (ξ dr) desde P, siendo ξ ∈ (0, 1). Prescindiendo Presc indiendo de innitésimos de 2.o orden, resulta dr ∧ T = 0 . De aquí se deduce que la tensión ha de ser tangente al hilo, en conormidad con la hipótesis 2. enunciada en el apartado 1. 2.2. Ecuaciones en coordenadas intrínsecas Expresemos ahora la ecuación del equilibrio (1) en unción de sus componentes en el triedro de Frenet2 . Recordamos que la primera órmula de Frenet permite expresar la derivada de la tangente como: dt ds = n R , siendo n la normal principal principal y R el radio de curvatura. La tensión lleva la dirección de la tangente, quedando denida por un escalar T de orma que T = Tt. Sustituyendo en la ecuación del equilibrio (1): d(Tt) ds + q = 0 dT ds t + T n R + q = 0 Podemos extraer de esta última expresión las componentes según las direcciones del triedro. Denominando (qt , qn, qb) las componentes de q según cada una de las direcciones, dT ds + qt = 0 (dirección tangente) T R + qn = 0 (dirección normal) qb = 0 (dirección binormal) binormal) (2) 2Curso de Mecánica, J.M. Goicolea (2010), apartado 2.2.4 2.2 Ecuaciones en coordenadas
intrínsecas 8 Figura 8: Equilibrio en componentes intrínsecas ❙ ❙ ❙❙♦ ❙ ❙ ❙♦ ✓ ✓ ✓✼ ✟✟ ✟✙ n t b t T = Tt Observaciones: La componente qb según la binormal es nula. Esto quiere decir que el hilo adopta una conguración que contiene a la uerza q en su plano osculador, denido por los vectores (t, n). Si no existe componente tangencial de la uerza aplicada (qt = 0), la tensión del hilo se mantiene constante. Si además la uerza normal (qn) es constante, el radio de curvatura adoptado será también constante, resultando una circunerencia como conguración de equilibrio del hilo. Ejemplo 1: Membrana cilíndrica sometida a presión interna interna de valor p. Consideramos una rebanada de la membrana normal a la directriz del cilindro (gura 9), por lo que podremos considerarla como un hilo. La presión p Figura 9: Membrana cilíndrica sometida a presión interna interna p hidrostática de un fuido es normal a la supercie, por lo que hidrostática la tensión es constante. Aplicando la expresión (22): T = pR. 2.3 Ecuaciones en coordenadas cartesianas 9 2.3. Ecuaciones en coordenadas cartesianas Empleamos la siguiente nomenclatura para las componentes cartesianas de los vectores r ≡ (x, y, z) q ≡ (qx, qy, qy, qz) t ≡ dx ds , dy ds , dz ds . Considerando que la tensión se puede expresar como T = Tt, las ecuaciones ecuaciones de equilibrio equilibrio (12) resultan resultan en las tr tres es ecuaciones escalares d ds T dx ds + qx qx = 0 d ds T dy dy ds ds + qy qy = 0 d ds T dz dz ds ds + qz = 0 . (3) 2.4. 2.4. Casos de uerzas conservativas Supongamos que q, uerza aplicada por unidad de longitud del hilo, se puede obtener de un potencial: q = − grad(V ) ⇒ dV = −q · dr . (4) Puesto que q es una uerza por unidad de longitud, V tiene la dimensión de energía por unidad de longitud, es decir de uerza. Proyectemos Proyec temos la ecuación vectorial (1) sobre la tangente t: dT · t + q ds · t = 0 es decir, dT + q · dr = 0; y empleando (4) se obtiene dT = dV e integrando T = V + h (5) donde h es una constante de integración arbitraria. Esta expresión es de gran utilidad práctica, puesto que permite de orma muy sencilla obtener la tensión en cada punto del hilo. Ejemplo 2: Hilo homogéneo sometido a su propio peso en el campo
gravitatorio simplicado 2.5 Casos de uerzas centrales o paralelas 10 x z ❜ ❜ T T T 0 ✻ ✲ ✻ ❄ a = T0 q ❙ ❙♦ ✓ ✓✼ ✛ Figura 10: Hilo sometido a su propio peso (campo conservativo) Sea el peso de valor q por unidad de longitud del hilo (gura 10). El potencial gravitatorio es V = qz, por lo que aplicando (5) obtenemos la tensión en cada punto del hilo como T = qz + h En la práctica conviene elegir un origen de coordenadas de orma que se anule la constante arbitraria h. Esto se consigue situando el origen a una distancia a = T0/q por debajo del vértice o punto más bajo de la curva de equilibrio, siendo T0 la tensión del hilo en dicho vértice. Así resulta T = qz. (6) 2.5. Casos de uerzas centrales o paralelas Si el campo de uerzas aplicadas q pasa por un punto jo, tomando el radio vector r desde dicho punto, se cumplirá r ∧ q = 0 Multiplicando vectorialmente la ecuación del equilibrio (1) por r, r ∧ dT +✘✘✘✘✘✿0 r ∧ q ds = 0 pero r ∧ dT = d(r ∧ T ) −✘✘✘✘✘✿0 dr ∧ T ya que T lleva la dirección dirección de la tangente, T = T dr/ds. Se llega por tanto a r ∧ T = cte. (7) Esta expresión expresión indica que la curva de equilibrio será plana, puesto que r es perpendicular perpendicul ar a una dirección constante. Supongamos ahora que el campo de uerzas es paralelo a una dirección u dada (q = qu). Multiplicando vectorialmente vectorialmente la ecuación del equilibrio (1) por u u ∧ dT +✘✘✘✘✘✿0 u ∧ qds = 0 2.5 Casos Ca sos de uerzas centrales o paralelas 11 pero u ∧ dT = d(u ∧ T ) −✘✘✘✘✘✿0 du ∧ T ya que u es constante. Se obtiene por tanto u ∧ T = cte. (8) Vemos pues que en este caso también ha de ser plana la curva por un razonamiento similar al anterior. En realidad, podríamos haber considerado este como un caso particular de uerzas centrales, dirigidas hacia un punto impropio. La expresión (8) indica además que la componente de T normal a u es constante; llamando a esta componente Tn, Tn = T0 (cte.) (9) Por otra parte, para evaluar la componente de T según u, proyectamos proyectamos la ecuación del equilibrio (1) sobre esta dirección dTu + q ds = 0 de donde Tu = − Z s 0 q ds + C (10) Siendo C una constante de integración. Si elegimos el origen de arcos (s = 0) en el punto del vértice de la curva, denido como aquél en el cual la
tangente seá perpendicular a u y por tanto Tu = 0, se anula la constante de integración: Tu = − Z s 0 q ds Ejemplo 3: Hilo homogéneo sometido a su propio peso, bajo la acción gravitatoria simplicada Se trata de un campo de uerzas conservativo y paralelo. Denominamos las componentes vertical y horizontal de la tensión Tz y Tx respectivamente respectivamente (gura 11). Si el peso del hilo por unidad de longitud es q, el campo de uerzas será q = −qk, por lo que dTz = qds ⇒ Tz = qs; (11) Tx = T0 (cte) (12) donde se ha elegido como origen de arcos (s = 0) el vértice o punto más bajo de la curva, con tangente horizontal (Tz = 0). Aptdo. 3. Conguraciones de equilibrio de cables 12 Figura 11: Hilo sometido a su propio peso x z ❜❜ T Tx Tz T T 0 ✻ ✲ ✻ ❄ a = T0 q ❙ ❙♦ ✓ ✓✼ ✲ ✻ ✛ La tensión total es según (6) T = qz = p T 2 z + T 2 x (13) El origen de coordenadas se ha elegido a una distancia a por debajo del vértice de la curva, de orma que la tensión más baja, en el punto de tangente horizontal, vale T0 = qa (14) De las expresiones expresiones (11), (13) y (14) se deduce la relación z 2 = s 2 + a 2 . (15) Esta condición es una propiedad que cumple la curva de equilibrio del hilo, denominada catenaria. La determinación determi nación precisa de la ecuación de la catenaria se realiza más adelante (apartado 3.1). 3. Conguraciones de equilibrio de cables 3.1. Cable homogéneo sometido a peso propio (catenaria) Se denomina catenaria la curva de equilibrio que adopta un hilo uniorme sometido a su propio peso. Supongamos que éste vale q por unidad de longitud, es decir q = −qk. Tomando el eje z como vertical y el eje x horizontal, las ecuaciones cartesianas del equilibrio (3) con Fx = 0 y Fz = −q arrojan: arrojan: d ds ds T dx d dss = 0; d ds T dz ds − q = 0. De la primera primera ecuación, ecuación, T dx ds |{z} Tx = cte ⇒ Tx = T0 = cte . 3.1 Cable homogéneo sometido a peso propio (catenaria) 13 Aplicando la regla de la cadena a la segunda ecuación de equilibrio, d ds T dz dx dx dx ds ds − q = 0, y eliminando T en avor de T0, d ds T0 dz dx − q = 0. Reorganizando términos y aplicando de nuevo la regla de la cadena, T0 q d dx dz dx dx ds = 1. (16) Llamando Llamando a de = T0/q (parámetro (parámetro de la catenaria) y z 0 de = dz/dx, y
considerando dx ds = dx √ dx 2 + dz 2 = 1 q 1 + (z 0 ) 2 , la ecuación (16) se convierte en a d dx z 0 q 1 + (z 0 ) 2 = 1 La primitiva de esta expresión es: a senh−1 (z 0 ). Integrando con la condición inicial que corresponde a situar el origen de abscisas en el vértice o punto de tangente horizontal, z 0 |x=0 = 0 se obtiene x = a senh−1 z 0 o bien, invirtiendo la relación z 0 = senh x a . Integrando de nuevo con la condición inicial z| x=0 = a resulta nalmente z = a cosh x a (17) La conguración de equilibrio puede verse en la gura 12. Debido a las constantes de integración tomadas, el vértice de la catenaria corresponde corresponde a las coordenadas (x = 0, z = a). La tensión en un punto cualquiera, según la órmula general (6) para uerzas conservativas y paralelas, es T = qa cosh x a (18) 3.1 Cable homogéneo sometido a peso propio (catenaria) 14 Figura 12: Conguración de un hilo sometido a su propio peso (catenaria) x z ❜❜ T Tx = T0 Tz T T 0 ✻ ✲ ✻ ❄ a = T0 q ❙ ❙♦ ✓ ✓✼ ✲ ✻ ✛ 3.1.1. Longitud del arco de catenaria Obtengamos ahora la longitud del arco de la catenaria entre dos puntos dados. Para Para ello, integramos el elemento innitesimal de arco arco ds : ds 2 = dx 2 + dz 2 = dx 2 1 + (z 0 ) 2 = dx 2 1 + senh2 x a = dx 2 cosh2 x a . Por Por tanto, el arco arco s medido entre el vértice (x = 0) y un punto cualquiera de abscisa x es s = Z x 0 ds = Z x 0 cosh ξ a dξ = a senh x a . (19) Observamos inmediatamente, aplicando la relación entre unciones hiperbó- licas (senh2 x + 1 = cosh2 x), que s 2 = z 2 − a 2 ecuación que coincide con la deducida antes (15). Observemos también que, según se dedujo en (11) y (14), las componentes vertical vertical y horizontal de la tensión son Tz = qs = qa senh x a , Tx = T0 = qa. 3.1.2. Segmento desde el pie de la ordenada a la tangente Demostrar Demostraremos emos a continuación una propiedad geométrica interesante de la catenaria que en ocasiones puede resultar útil. útil. Sea P 0 el pie de la ordenada de un punto P de la catenaria (gura 13), es decir la proyección de P sobre el eje Ox. Llamando α al ángulo que orma la tangente a la catenaria con la horizontal, tg α = dz dx = senh x a cos α = 1 p 1 + tg2 α = 1 cosh x a = a z 3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa (parábola)
15 Figura 13: La distancia P 0Q desde el pie de la ordenada a la tangente a la catenaria es constante e igual al parámetro parámetro “a” de la misma; la distancia P Q es igual al arco s entre P y O (nótese que el dibujo no está a escala, por lo que en éste ambas magnitudes no no coinciden). ✻ ✲ x z ❜ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ❭ ❭ ❭ ❭ Q s P P ′ z α a α ❜ ✲ ▼ O considerando el triángulo rectángulo rectángu lo P QP0 (gura 13), obtenemos la distancia P 0Q desde el pie de la ordenada a la tangente: P 0Q = z cos α = a (cte) Por otra parte, la distancia desde el punto P de la curva al punto Q vale P Q = p z 2 − (P0Q) 2 = √ z 2 − a 2 = s Es decir, es igual al arco de catenaria medido desde el vértice. 3.2. Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa (parábola) Un hilo sometido a carga vertical uniorme por unidad de abscisa x (coordenada horizontal) adopta una parábola como conguración de equilibrio. equilibrio. Como ejemplo más característico puede citarse el de un puente colgante, en que el peso del tablero tablero es soportado por los cables mediante péndolas Como se ha dicho, esta tipología es la empleada en los puentes más largos que existen en la actualidad (gura 2). El caso es distinto distinto al del hilo Puente ccolgante: olgante: ejemplo de carga constante por unidad de abscisa. sometido a peso propio, que orma una catenaria, aunque si el cable está muy tenso ambas curvas se aproximan bastante. bastante. En este caso la parábola podría servir como una primera aproximación apro ximación a la catenaria. ‘UIOOYF3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa (parábola) 16 Si el peso por unidad de abscisa es q, un elemento de cable de longitud ds pesará q(dx/ds). Expresando las ecuaciones cartesianas del equilibrio equilibrio (3): d ds T dx ds = 0; d ds T dz ds − q dx ds = 0. 0. De la primera ecuación se deduce que la tensión horizontal es constante: Tx = T dx ds = T0 (cte.) Desarr Desarrollando ollando la segunda ecuación y
empleando este resultado, resultado, d ds T dz dx dx dx dx ds ds = d ds T0 dz dx = q dx ds . Simplicando Simplicando las derivadas, derivadas, esta expresión expresión equivale a d dx T0 dz dx = q ⇒ T0 d 2 z dx dx 2 = q. Esta última es la ecuación dierencial dierencial del equilibrio, que resulta particularmente simple para integrar. Integrando dos veces obtenemos: z = 1 2 q T0 x 2 . (20) Esta ecuación corresponde corresponde a una parábola de eje vertical. Al integrar se han escogido los ejes para anular las constantes de integración, imponiendo imponiendo z| x=0 = 0; dz dx x=0 = 0, es decir, el origen de los ejes está situado en el vértice de la parábola (gura 15), a dierencia dierencia de la catenaria (gura 12). Figura 15: Hilo sometido a carga uniorme por unidad de abscisa (parábola) ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ x z q ❜ ❜ T0 T0 ✻ ✲ ✛ ✲ Análogamente al caso de la catenaria, la tensión horizontal es constante para todo el cable, puesto que no hay uerzas horizontales sobre él. La tensión 3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa (parábola) 17 mínima se produce produce en el vértice de la parábola, donde la única componente de la tensión es la horizontal, T = Tx = T0. La tensión vertical vale, proyectando proyectando la ecuación (1) sobre la vertical, dTz + qzds = 0 ⇒ dTz = q dx ds ds e integrando, considerando que para x = 0 es Tz = 0, Tz = qx Esto equivale a decir que la tensión vertical es precisamente el peso del cable entre el vértice (x = 0) y un punto genérico de abscisa x. La tensión total es T = q T 2 0 + (qx) 2 (21) siendo su valor mayor cuanto más alejados estemos del vértice. En este caso las uerzas no provienen del potencial gravitatorio que se deduciría del peso uniorme del cable, por lo cual la tensión total no vale T = qz como en el caso de la catenaria. Sin embargo, podemos comprobar comprobar que provienen proviene n de un potencial V 0 denido como V 0 = q T 2 0 + 2q T0 z En eecto las uerzas se obtienen derivando V 0 : qz = − ∂V 0 ∂z = −q q 1 + 2q T0 z = −q dx ds ; Fx = − ∂V 0 ∂x = 0 Por otra parte, empleando (21) y (20) se comprueba que resulta ser T = V 0 , de acuerdo con la expresión (5) deducida antes. Ejemplo 4: Sea un cable sometido a una carga repartida reparti da por unidad de abscisa q, del cual conocemos su fecha y la luz entre apoyos L a la misma altura (gura 16).
Se desea calcular las tensiones mínimas y máximas en el cable. Solucionar de orma genérica y aplicar para los valores numéricos q = 1 kg/m, L = 200 m, = 20 m. La conguración de equilibrio es una parábola, por lo que su ecuación es la (20): z = 1 2 q T0 x 2 . Para x = L/2 es z = , luego T0 = 1 2 q z x 2 = 1 8 q L 2 3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa (parábola) ( parábola) 18 Figur Figura a 16: Ejemplo: cable sometido a carga constante por unidad de abscisa ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ q ❜ ❜ ✻ ❄ ✛ ✲ L La tensión mínima es por tanto T0 = qL2 8 , y la tensión máxima, aplicando (21) para x = L/2, Tmax = s T 2 0 + q L 2 2 ; ⇒ Tmax = q L 2 s L 2 16 2 + 1 Aplicando los datos numéricos del enunciado, resulta T0 = 250,0 kg; Tmax = 269,26 kg; S = 205,2121 m. Ejemplo 5: Supongamos ahora el mismo problema que en el ejemplo anterior 4 (cable de fecha y luz L entre apoyos a la misma altura) pero con carga q constante por unidad de longitud del cable. La curva de equilibrio es ahora una catenaria (17): z = a cosh x a Particularizando Particularizando para la fecha en x = L/2, (a + ) = a cosh L 2a . (22) Para resolver el problema es preciso solucionar la ecuación anterior en a. Se trata de una ecuación trascendente que carece de solución analítica, debiendo resolverse resolvers e por métodos numéricos3 para obtener el parámetro parámetr o a de la catenaria. Esto se puede realizar por diversos procedimientos: procedimientos: dicotomía, método 3No es objeto de este curso de mecánica el estudio de los métodos numéricos de resolución de ecuaciones; si se precisa, consultar algún texto de análisis numérico, como p.ej. J. Puy: Algoritmos Numéricos en Pascal, Servicio de Publicaciones de la E.T.S. de Ing. de Caminos de Madrid, o R.L. Burden y J.D. Faires: Análisis Numérico, Grupo Editorial Iberoamericana, 1985. 3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa (parábola) 19 de Newton, etc. (este último es el más recomendado con carácter general). Otra alternativa es aproximar la solución considerando la catenaria como una parábola, tal y como se justica más abajo. abajo. Una vez obtenido obtenido el valor de a, los valores de la tensión se obtienen como: T0 = qa (Tensión mínima, en el vértice) Tmax = q( + a) (Tensión máxima, en el apoyo) En
el caso que nos ocupa, resolviendo resolviendo para los valores numéricos numéricos del enunciado (véase ejemplo 4), resulta: T0 = 253,2649 kg; Tmax = 273,2649 kg; S = 205,2374 m. 3.2.1. Aproximación Aproximación de la catenaria por la parábola Como se ha dicho antes, la parábola es una buena aproximación de la catenaria para hilos muy tendidos, es decir, en los que la pendiente máxima sea pequeña. Puede comprobarse esto desarrollando en serie la ecuación de la catenaria en unción del argumento (x/a): zc = a cosh x a = a 1 + 1 2 x a 2 + 1 24 x a 4 + 1 720 x a 6 + O x a 8 . El segundo término término en el desarrollo desarrollo anterior corresponde corre sponde precisamente precisamente a la ecuación de la parábola (20), en la que se toma T0/q = a. El primer término corresponde a la traslación vertical de ejes, ya que los de la catenaria se toman una distancia a por debajo del vértice. Esta propiedad permite, siempre que el parámetro (x/a) sea sucientemente pequeño, aproximar aproximar la catenaria por una parábola. Esta aproximación apro ximación es tanto mejor cuanto más baja sea la pendiente, ya que un hilo más tenso tiene un valor mayor de a = T0/q. T 0/q. De esta orma, pueden resolverse de orma aproximada apro ximada con operaciones más sencillas algunos problemas de catenarias. Asimismo, esta apro a proximación ximación sirve como un primer valor para comenzar las iteraciones en una resolución resolución numérica aproximada aproximada de la ecuación de la catenaria (22). 3.2.2. Longitud de la parábola Desarrollamos Desarrollamos a continuación el cálculo de la longitud del hilo en el caso de la parábola. Partimos Part imos de la ecuación de la misma (20), en la que para simplicar sustituimos sustituimos T0 = qa, es decir: z = 1 2 x 2 a . La longitud se obtiene integrando el elemento de arco: s = Z x 0 ds = Z x 0 p 1 + (z 0 ) 2 dx = Z x 0 p 1 + (x/a) 2 dx 3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa (parábola) 20 Resolviendo Resolviendo la integral4 , resulta: s = 1 2 x p 1 + (x/a) 2 + a 2 ln x a + p 1 + (x/a) 2 . (23) Este resultado resultado repres representa enta la longitud del hilo parabólico entre el vértice (x = 0) y un punto genérico de abscisa x. Como puede comprobarse, la expresión resulta más diícil de obtener y engorrosa de trabajar que la que correspondía a la catenaria (c. ecuación (19)). Para trabajar en la práctica, a menudo conviene desarrollar desarrollar en
serie la longitud longitud de la parábola parábola (23), obteniéndose: obteniéndose: s = x 1 + 1 6 x a 2 − 1 40 x a 4 + 1 112 x a 6 + O x a 8 . (24) En los casos usuales basta con tomar los dos primeros términos del desarrollo en serie, es decir s ≈ x 1 + 1 6 x a 2 . (25) Ejemplo 6: Obtener la longitud del hilo en una parábola de luz L y fecha (gura 16). La ecuación de la parábola (20), particularizada para x = L/2, z = arroja: = 1 2 T0 q (L/2)2 , ⇒ a = T0 q = 1 8 L 2 . Sustituyendo en la ecuación (23), y teniendo en cuenta que la longitud del hilo es S = 2s|x=L/2, resulta: S = 1 2 L p 1 + 16(/L) 2 + 1 8 L 2 lln n 4L+p1+ 16(/L) 2 . Empleando el desarr desarrollo ollo en serie (24), resulta: S = L " 1 + 8 3 L 2 − 32 5 L 4 + 256 7 L 6 + O L 8 # ≈ L " 1 + 8 3 L 2 # . Ejemplo 7: 7: Un cable de peso peso Q está anclado entre dos puntos a igual altura, a una determinada distanci distancia a horizontal L, de orma que su tensión horizontal vale H = 10Q. Se desea saber la rigidez geométrica kG del cable respecto al desplazamiento horizontal de un extremo, es decir, el aumento de la tensión 4Mediante el cambio t = senh(x/a) y haciendo la integral resultante por partes. La expresión expresión nal se obtiene teniendo en cuenta que senh−1 senh−1 x/a = ln(x/a + p 1 + (x/a) 2). 3.2 Cable sometido a carga constante por unidad de abscisa (parábola) 21 horizontal H producida para un desplazamiento unidad, supuesto el cable inextensible5 . Resolver Re solver el problema de dos ormas distintas, como catenaria y empleando la aproximación aproximación de la parábola. Resolución Resolución como catenaria.— En primer lugar, expresamos la ecuación del peso del cable, llamando x = L/2: Q/2 = qa senh x a = 10Q senh x a . Despejando en esta expresión se obtiene a x = 1 senh−1 (1/20) = 20,00832744. (26) A continuación, expresamos expresamos la ecuación de la longitud del cable y la dierenciamos: S = 2a senh x a ; 0 = 2da senh x a + a adx − xda a 2 cosh x a ; operando extraemos extraemos da/dx: da dx = 1 (x/a) − tgh(x/a) Teniendo Teniendo en cuenta cuenta que H = qa, x = L/2, obtenemos obtenemos la expresión expr esión de la rigidez: kG = dH dL = q 2 da dx = H/2a ((x/a) x/a) − tgh(x/a) Sustituyendo el valor de a calculado antes (26), resulta kG = 12021,99355 Q L Resolución como parábola.— Tomando Tomando la apro aproximación ximación de la longi longitud tud de la parábola (25), la
expresión del peso del cable, siendo x = L/2, es Q/2 = qS = expresión 10Q a x 1 + 1 6 x a 2 . 5Se denomina esta razón razón como rigidez geométrica, ya que la rigidez real tendrá además una contribución adicional (rigidez elástica) debido a la elongación del cable bajo carga, kE = EA/S, siendo E el módulo elástico, A la sección del cable, y S su longitud total; la rigidez conjunta se calculará mediante 1/k = 1/kG + 1/kE. 3.3 Eecto de cargas puntuales 22 Esta expresión resulta en una ecuación cúbica en a, de la cual despejando la única raíz real se obtiene a x = 20,00832640 (27) A continuación, expresamos expresamos la ecuación de la longitud del del cable y la dierenciamos: dierenciamos: S 2 = x 1 + 1 6 x a 2 ; 0 = dx 1 + 1 6 x a 2 + x 1 3 x a adx − xda xda a 2 ; operando extraemos da/dx: da dx = 1 + (x/a) 2/2 (x/a) 3/3 Teniendo en cuenta que H = qa, x = L/2, obtenemos la expresión de la rigidez: kG = dH dL = q 2 da dx = H 2a 1 + (x/a) 2/2 (x/a) 3/3 Sustituyendo Sustituyend o el valor de a calculado antes (27), resulta kG = 12024,99376 Q L . Como puede comprobarse, resulta resulta un valor bastante aproximado aproximado al obtenido realizando el cálculo como catenaria. 3.3. Eecto de cargas puntuales En lo anterior se ha considerado tan sólo el eecto de cargas continuas distribuidas sobre sobre el hilo, que dan lugar a la ecuación de equilibrio (1). En un caso general pueden existir también sobre el hilo cargas puntuales o concentradas aisladas, que provengan de apoyos intermedios o de cargas suspendidas. suspendidas. El eecto que tienen las cargas puntuales sobre la conguración del hilo es producir una discontinuidad en la tangente. En eecto, debido a una carga puntual R, planteando el equilibrio en el nudo de aplicación de la carga (gura 17), −T 1 + T 2 + R = 0 Si no hay rozamiento en el punto de aplicación de la carga, no se transmiten uerzas al hilo en dirección tangencial tangencial.. La carga puntual R estará en la bisectriz de las tangentes, al ser el módulo de la tensión igual a ambos lados, T1 = T2. 3.4 Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos extremos 23 ❜ ❜ ❜ R −T 1 T2 ✓✻ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓✴ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙ ❙✇ ✚✙ ✛✘❜ ✻ ❅❅❘ ✠ −T1 T2 R Figura 17: Las cargas puntuales o concentradas en un hilo fexible producen una discontinuidad en la tangente; en este caso R se aplica mediante un apoyo deslizante o polea
de radio muy pequeño, por lo cual se orienta como bisectriz de T 1 y T 2, siendo igual el mó- dulo de estas dos tensiones. El procedimiento procedimiento general de análisis para estos casos consiste en dividir el hilo en tramos entre cada dos apoyos o cargas puntuales, y solucionar cada tramo por separado, en unción de las cargas distribuidas en él. Si estas cargas distribuidas son el propio peso del hilo, se ormarán arcos de catenaria. Si lo único que existen sobre el hilo son cargas puntuales y no hay cargas repartidas, el hilo se congura ormando tramos rectos entre cada dos cargas. La conguración resultante se denomina polígono unicular. Figura 18: Polígono unicular debido a cargas concentradas sobre un hilo, sin cargas repartidas; reparti das; las cargas Pi se aplican a plican en puntos - jos del hilo (no deslizantes), por lo que su dirección no es bisectriz del hilo. ❡ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❅ ❅ ❅ ❅❅❍❍❍❍❍✥✥✥✥✥✥✪ ✪ ✪✪ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ❡ ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ P1 P2 P3 P4 P5 3.4. Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos Discutimos a continuación, a título de ejemplos y sin ánimo de exhaustividad, exhaustivid ad, algunas condiciones de extremo extremo y su tratamiento estático en las ecuaciones de los hilos. 3.4 Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos 24 3.4.1. Extremo con tensión máxima dada Para materializar esta condición basta colocar un contrapeso P en el extremo más alto (gura 19), cuyo valor equivaldrá a la tensión máxima en el cable. El contrapeso cuelga de una pequeña polea lisa, que transmite la carga P al cable, sin variar el módulo, hasta la dirección de la tangente al hilo en el apoyo. Como la tensión en un cable es máxima en el punto más alto, se obtiene un cable cuya tensión máxima es constante, independientemente de las cargas intermedias que luego vaya a soportar. P T = P Figura 19: Cable sometido a carga constante P en un extremo a través de un contrapeso. 3.4.2. Extremo con tensión horizontal dada Se materializa mediante el hilo anclado a un carrito, y otro hilo auxiliar (sin peso) unido a un contrapeso P a través de una polea lisa (gura 20). La polea de la derecha transmite la carga P ja como tensión horizontal al carrito. El apoyo del carrito proporciona proporciona la
necesaria componente de tensión vertical en el extremo del hilo. P T0 = P Tz Figura 20: Cable sometido a tensión horizontal dada. 3.4.3. Punto de anclaje con rozamiento En el extremo extr emo apoyado sobre la recta la reacción vertical es Tz y la horizontal T0 (gura 21). La relación entre entre las componentes de la tensión es µTz ≥ T0 = Tz/ tg α, por lo cual para el equilibrio habrá de ser ser 1/ tg α ≤ µ = cotg ϕ ⇒ α ≥ π/2 − ϕ. En el límite estricto de equilibrio será 1/ tg α = µ. 3.4 Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos extremos 25 T0 ≤ µTz Tz T Figura Figura 21: Cable anclado en una anilla anilla que desliza en en una recta horizontal con rozamiento. 3.4.4. Anclaje en bloque pesado con rozamiento Se considera aquí un extremo A anclado a un bloque pesado sobre un suelo rugoso, del cual tira hacia arriba el cable (gura 22). Para el equilibrio debe considerarse que la normal es N = mg − TA,z, y de nuevo que el límite de la tensión horizontal es µN. En este caso se considera la masa del bloque como puntual y por lo tanto no se estudia el posible vuelco del mismo. mg T A N = mg − TA,z T0 ≤ µN Figura Figura 22: Cable anclado anclado en bloque pesado sobre sobre suelo rugoso. 3.4.5. Carga puntual deslizante Suponemos en este caso un cable con extremos extremos anclados a igual altura, y una carga puntual situada en el mismo de orma que pueda deslizar libremente. libremente. Obviamente se tenderá a situar en el punto medio, de orma que se orme un ángulo entre las dos ramas de catenaria simétricas que se orman a derecha e izquierda de la carga (gura 23). Debe tenerse en cuenta que el punto A donde se sitúa la carga no es el vértice de esta catenaria. Por el contrario, con la convención usual de considerar el origen de abscisas bajo el vértice de la catenaria, la abscisa de este punto es a priori una incógnita del problema (xA). Para relacionar relacionar ésta con los datos del problema, expresamos en orma de ecuación que cada una de las catenarias simétricas debe equilibrar la mitad de la carga vertical: TA,z = P 2 = qa senh xA a . 3.4 Algunos tipos de condiciones de apoyo en los extremos extremos 26 P A P/2 x z xA A Figura 23: Cable con extremos anclados a igual altura y sometido a una carga puntual deslizante, que se sitúa en el
medio ormando dos arcos simétricos de catenaria. 3.4.6. Anclaje en puntos a distinta altura Sea un cable homogéneo, de peso unitario q, con anclajes en los puntos A y B, situados a distinta altura (gura 24). Se conoce el valor de la reacción horizontal en uno de los anclajes H, la luz entre ambos L y el desnivel h. A x z h H L B Figura 24: Cable anclado en apoyos a distinta altura, sometido a carga horizontal constante H. La tensión horizontal en el hilo es constante, de valor T0 = H, por lo que se conoce a = H/q. La incógnita es la abscisa xA del apoyo A en relación con el vértice de la catenaria, ya que xB = xA + L. Se plantea por tanto la ecuación siguiente: siguiente: a cosh xA + L a − a cosh xA a = h. Para resolver esta ecuación, desarrollamos desarr ollamos el coseno hiperbólico de la suma. Denominando u = cosh(xA/L) (incógnita) y β = cosh(L/a) (dato), resulta: βu + p β 2 − 1 √ u 2 − 1 − u = h a , Expresión que equivale a una ecuación cuadrática de ácil resolución para u. Aptdo. 4. Cables apoyados sobre supercies 27 4. Cables apoyados sobre supercies 4.1. Supercie lisa sin cargas Una supercie lisa sobre la que se apoya un hilo proporciona una reacción que es normal a la supercie y al propio hilo. Puesto que las uerzas exteriores están siempre en el plano osculador (ecuación (2)3), esta normal es precisamente la normal principal del hilo. Las curvas trazadas sobre una supercie para las que la normal principal a la curva es en todo punto la normal a la supercie, son las denominadas geodésicas6 . Por lo tanto la curva de equilibrio que adopta un hilo apoyado sobre una supercie lisa, sin otras cargas exteriores, exteriores, es una geodésica de la supercie. Por ejemplo, en una esera las geodésicas son siempre círculos máximos. En un cilindro, las geodésicas son bien secciones rectas normales al eje, bien generatrices,, o bien hélices. Observaciones: Al no existir generatrices uerza tangencial, de (2) se deduce que la tensión en el hilo es constante. También de (2) se deduce que la reacción normal sobre la supercie es T R , siendo R el radio de curvatura del hilo. Nótese que ésta es la reacción por unidad de longitud del hilo. 4.2. Supercie lisa con cargas Consideremos Consideremos ahora, que además de la reacción normal a la supercie, actúan unas
cargas exteriores de valor q por unidad de longitud del hilo. Llamemos Q a la reacción normal normal de la supercie, que ahora no coincidirá necesariamente con la normal principal del hilo, aunque seguirá siendo normal a este (al ser normal a la supercie también es normal a cualquier curva sobre la misma). Denominamos n a la normal principal al hilo, b a la binormal, y N a la normal a la supercie. Todos estos vectores son versores unitarios. Sea α el ángulo que orman n y N: n · N = cos α La reacción vale (igura 25) Q = QN 6 Curso de Mecánica, J.M. Goicolea (2010) apartado 2.5, o D.J. Struik, Geometría Dierencial Clásica, ed. Aguilar, (apartado 2.5). 4.2 Supercie lisa con cargas 28 Figura 25: Hilo sobre supercie lisa con cargas exteriores F : la reacción normal de la supercie N no es necesariamen necesariamente te la normal principal al hilo. ❈❜ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈❖ ❅ ❅■ ✓ ✓✓✼ ✟ ✟✙✟ ❈ ❈ ❈ α ❈❖ Q N n b t ✲ y en componentes Q cos α, componente según n Q sen α, componente según b Escribimos las ecuaciones de equilibrio en las direcciones del triedro intrínseco (2) 0 = qt + dT ds 0 = qn + Q cos α + T R 0 = qb + Q sen α (28) Proyectamos éstas sobre la normal a la supercie, N, multiplicando multiplicand o la 2.a ecuación por cos α y la 3.a por sen α: qn cos α + qb sen α | {z } = qN +Q + T R cos α = 0 Apliquemos ahora el Teorema de Meusnier de geometría dierencial7 . Este airma que para una curva Γ sobre una supericie, con radio de curvatura R (de la curva), el radio de curvatura Rn de la sección normal a la supericie que es tangente a Γ en ese punto veriica Rn cos α = R, por lo que podemos escribir la ecuación anterior como qN + Q + T Rn = 0 (29) siendo Rn el radio de curvatura de la sección normal a la supercie tangente al hilo en cada punto. 7 D.J. Struik, Geometría Dierencial Dierenc ial Clásica, ed. Aguilar, (apartado 2.5). 4.3 Enrollamiento Enrollamien to sobre tambor rugoso 29 Ejemplo 8: Hilo homogéneo pesado, situado sobre un paralelo horizontal en una esera lisa, en una latitud α (igura 26). R Q N b α n Figura 26: Hilo pesado situado sobre una esera lisa, en un paralelo de latitud α. La normal principal del hilo n está dirigida hacia el centro del paralelo, la normal a la supercie N hacia el
centro de la esera, y la binormal b es perpendicular al plano del paralelo, es decir vertical. La carga del peso distribuido es q = q b. Denominando Q = −Q N a la reacción de la esera sobre el hilo, la ecuación de equilibrio en la dirección de b (283) arroja: −Q sen α + q = 0 ⇒ Q = q sen α . Por Po r otra parte, la ecuación de equilibrio en la dirección N (29) conduce a: q sen α − Q + T R = 0 ⇒ T = qR qR 1 sen α − sen sen α = qR cos α cotg α. 4.3. Enrollamiento sobre tambor rugoso Si el hilo está apoyado sobre una supercie rugosa, se producen uerzas tangenciales debido al rozamiento y el problema se complica considerablemente. considerablem ente. En principio se podría tratar como el caso estudiado en el apartado anterior, considerando las uerzas de rozamiento como cargas aplicadas q. Sin embargo las uerzas de rozamiento son por lo general desconocidas a priori, y denidas por desigualdades desigualdades (R ≤ µN), lo cual complica aún más su tratamiento. Un caso particular importante y que tiene solución analítica es el del enrollamiento sobre un tambor rugoso. Haremos Haremos para ello las siguientes hipótesis: 1. No existen cargas exteriores aplicadas sobre el hilo; 2. El tambor tiene una sección recta convexa (no es necesario exigir que ésta sea circular); circular); 4.3 Enrollamiento Enrollamiento sobre tambor rugoso 30 3. El hilo se enrolla según una sección recta del tambor. Se desea calcular la situación límite del equilibrio, cuando al tirar de un extremo más que del otro el hilo está a punto de deslizar sobre el tambor. En esta situación límite, por ser inextensible inextensi ble el hilo, el rozamiento se agota simultáneamente simultáneamente en toda la longitud del hilo apoyada sobre el tambor. Suponemos que se está tirando desde un extremo con una tensión T, mientras que en el origen o rigen existe una tensión T0 ja. Por tanto el rozamiento se moviliza en sentido contrario a T (gura 27). Figura 27: Hilo enrollado sobre un tambor rugoso, en el cual se tira desde T, en situación de equilibrio estricto estricto (a punto de deslizar) T µQ T0 ϕ qn n Planteamos las ecuaciones de equilibrio (2), denominando qn la reacción normal del tambor (gura 27). Según la tangente: dT ds − µqn = 0, (30) Según la normal: T R − qn = 0. (31) El signo negativo de qn proviene de considerar sentido sentido positivo el opuesto a la normal
n, es decir hacia el lado convexo del tambor. De (31) obtenemos qn = T/R, por lo que de (30) dT ds = µ T R , y separando variables dT T = µ ds R = µ dϕ. Integramos entre dos puntos, el origen ϕ = 0, donde suponemos que la tensión vale T = T0, y un punto genérico ϕ donde la tensión vale T: T = T0e µϕ . (32) Esta órmula indica el aumento de la tensión producido por el rozamiento, desde un punto punto en ϕ = 0 con tensión T0, hasta un punto en que el hilo se ha enrollado un ángulo ϕ, desde el que se tira con tensión T > T0.
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