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Deflexiones de vigas

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Cuando un viga con un eje longitudinal recto se carga con fuerzas laterales, el eje se deforma y adopta una forma curva, denominada curva de deflexión de la viga. En el diseño mecánico se deben controlar al menos tres condiciones: • la capacidad del material de soportar carga, es decir, que los esfuerzos de trabajo estén por debajo de los esfuerzos admisibles. • la segunda tiene relación con las deflexiones o deformaciones del sistema, que estén en rangos que permitan el normal funcionamiento de este. • y por ultimo que el sistema posea estabilidad adecuada, sobre todo en sistemas sometidos a efectos compresivos. Es por eso que el cálculo de deflexiones es una parte importante del análisis y diseño estructural, Por ejemplo, determinar deflexiones es un ingrediente esencial en el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. Las deflexiones también son importantes en el análisis dinámico, como cuando se investigan las vibraciones de aeronaves o la respuesta de los edificios a los sismos. En ocasiones las deflexiones se calculan con el fin de verificar que estén dentro de los límites tolerables. Por ejemplo, las especificaciones para el diseño de edificios suelen fijar límites superiores para las deflexiones. Las deflexiones grandes son inusuales (e incluso ponen nerviosos a sus ocupantes) y pueden causar grietas en techos y paredes.

En el diseño de máquinas y aeronaves las especificaciones pueden limitar las deflexiones a fin de evitar las vibraciones indeseables.

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Relaciones fundamentales de las deflexiones de una viga Consideramos una viga en voladizo con una carga concentrada que actúa hacia arria en el extremo libre La deflexión y es el desplazamiento en la dirección y de cualquier punto sobre el eje de la viga. Dado que el eje y es positivo hacia arriba, las deflexiones también son positivas hacia arriba. Para obtener la ecuación de la curva de deflexión, debemos expresar la deflexión y como una función de la coordenada x

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Relaciones fundamentales de las deflexiones de una viga Cuando la viga se flexiona no solo hay deflexión en cada punto a lo largo de la viga sino también una rotación. El ángulo de rotación θ del eje de la viga es el ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión (punto m1) Angulo de rotación es positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj

El punto de intersección de las normales a las tangentes (donde el ángulo de estas normales es dθ) es el centro de curvatura O’, y la distancia de O’ a la curva es el radio de curvatura 𝝆

1 𝑑𝜃 𝜅= = 𝜌 𝑑𝑠

𝜌𝑑𝜃 = 𝑑𝑠

𝜅 es la curvatura, es el reciproco del radio de curvatura

La pendiente de la curva de deflexión es la primera derivada dy/dx de la expresión para la deflexión y. En términos geométricos, la pendiente es el incremento dy en la deflexión (conforme vamos del punto m1 al punto m2) dividido entre el incremento dx en la distancia a lo largo del eje x. Como dy y dx son infinitesimalmente pequeños, la pendiente dy/dx es igual a la tangente del ángulo de rotación 𝜃 4

Relaciones fundamentales de las deflexiones de una viga 𝑑𝑦 = tan 𝜃 𝑑𝑥 cos 𝜃 =

𝑑𝑥 𝑑𝑠

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐tan sen 𝜃 =

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑠

Vigas con ángulos de rotación pequeños Si tenemos ángulos de rotación pequeños (en ingeniería las estructuras sufren cambios relativamente pequeños, que difícilmente puede observarlos un espectador casual) se observa que la distancia 𝑑𝑠 → 𝑑𝑥 (la curva de deflexión es casi horizontal)

𝑑𝑠 ≈ 𝑑𝑥

1 𝑑𝜃 𝜅= = 𝜌 𝑑𝑥

𝜃 ≈ tan 𝜃 =

𝑑𝑦 𝑑𝑥

Angulo de rotación en radianes

Si calculamos la derivada de 𝜃 con respecto a x

𝑑𝜃 𝑑 2 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

1 𝑑2 𝑦 𝜅= = 2 𝜌 𝑑𝑥

Relación entre la curvatura de una viga y su deflexión

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Relaciones fundamentales de las deflexiones de una viga Si el material de la viga es elástico lineal y obedece a la ley de Hooke, la curvatura se escribe de la siguiente forma

𝜅=

1 𝑀 = 𝜌 𝐸𝐼

M es el momento flexionante y EI es la rigidez por flexión de la viga

𝑑2𝑦 𝑀 = 𝑑𝑥 2 𝐸𝐼 Ecuación diferencial de la curva de deflexión

𝑑𝑉 = −𝑞 𝑑𝑥

𝑑𝑀 =𝑉 𝑑𝑥

Podemos tener dos casos, que la viga sea no prismática o que sea prismática Que pasa cuando la viga es no prismática?

Cuando es prismática 𝐸𝐼 es constante

𝐸𝐼𝑦′′ = 𝑀

𝐸𝐼𝑦′′′ = 𝑉

𝑑2 𝑦 𝐸𝐼 2 = 𝑀 𝑑𝑥

𝑑3 𝑦 𝐸𝐼 3 = 𝑉 𝑑𝑥

𝑑4 𝑦 𝐸𝐼 4 = −𝑞 𝑑𝑥

𝐸𝐼𝑦 ′′′′ = −𝑞

Ecuación de momento flexionante, ecuación de fuerza cortante y ecuación de carga

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Relaciones fundamentales de las deflexiones de una viga Al hacer las integraciones de las ecuaciones diferenciales, nos van apareciendo las constantes de integración c, por ejemplo si se tienen tres ecuaciones para y se van a tener seis constantes de integración.

Estas constantes se evalúan a partir de condiciones propias de las pendientes y de las deflexiones. Son de tres tipos: condiciones de frontera, condiciones de continuidad y condiciones de simetría • • • •

El valor de la deflexión en los apoyos, a no ser que se especifique lo contario, es decir, posea un apoyo flexible. En un empotramiento, tanto la deflexión como la pendiente son cero La deflexión en los puntos de transición es el mismo, calculado con cualquier ecuación de y El valor de θ en los puntos de transición es el mismo, calculado con cualquiera de las ecuaciones para θ. Para ilustrar la condición de simetría, por ejemplo, si una viga simple soporta una carga uniforme en toda su longitud, se sabe de antemano que la pendiente de la curva de deflexión en el centro del claro debe ser cero

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Ejercicio 1 Determine la ecuación de la curva de deflexión para una viga simple AB que soporta una carga uniforme con intensidad q que actúa en todo el claro de la viga. Además, determine la deflexión máxima 𝛿𝑚𝑎𝑥 en el punto medio de la viga y los ángulos de rotación 𝜃𝐴 y 𝜃𝐵 en los apoyos. (La viga tiene longitud L y rigidez a la flexión constante EI.)

𝑦=−

𝑞𝑥 (𝐿3 − 2𝐿𝑥 2 + 𝑥 3 ) 24𝐸𝐼

Calcule para L=6 pies, sección rectangular con ancho b=3 in y peralte H= 6 in. La intensidad de carga uniforme q= 8000 lb/pie, usar 𝐸 = 30 × 106 𝑙𝑏/𝑖𝑛2

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Ejercicio 2 Determine la ecuación de la curva de deflexión para una viga en voladizo AB sometida a una carga uniforme con intensidad q. Además, determine el ángulo de rotación 𝜃𝐵 y la deflexión 𝛿𝐵 en el extremo libre. (la viga tiene una longitud L y rigidez a la flexión constante EI.)

𝑞𝑥 2 𝑦=− (6𝐿2 − 4𝐿𝑥 2 + 𝑥 2 ) 24𝐸𝐼

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Ejercicio 3 Una viga simple AB soporta una carga concentrada P que actúa a las distancias a y b desde los apoyos izquierdo y derecho, respectivamente. Determine las ecuaciones de la curva de deflexión, los ángulos de rotación 𝜃𝐴 y 𝜃𝐵 en los apoyos, la deflexión máxima 𝛿𝑚𝑎𝑥 y la deflexión 𝛿𝐶 en el punto medio C de la viga. (La viga tiene longitud L y rigidez a la flexión constante EI.)

𝑦=−

𝑃𝑏𝑥 2 (𝐿 − 𝑏 2 − 𝑥 2 ) 6𝐿𝐸𝐼

𝑃𝑏𝑥 2 𝑃(𝑥 − 𝑎)3 2 2 𝑦=− 𝐿 −𝑏 −𝑥 − 6𝐿𝐸𝐼 6𝐸𝐼 10

Ejercicio 4 Determine la ecuación de la curva de deflexión para una viga en voladizo AB que soporta una carga con distribución triangular de intensidad máxima 𝑞0 . Determine la deflexión 𝛿𝐵 y el ángulo de rotación 𝜃𝐵 en el extremo libre. Usar la ecuación diferencial de cuarto orden de la curva de deflexión (la ecuación de la carga). (la viga tiene longitud L y rigidez a la flexión constante EI.)

𝑞=

𝑞0 𝑥 2 𝑦=− (10𝐿3 − 10𝐿2 𝑥 + 5𝐿2 − 𝑥 3 ) 120𝐿𝐸𝐼

𝑞0 (𝐿 − 𝑥) 𝐿

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Ejercicio 5 Una viga simple AB con una saliente BC soporta una carga concentrada P en el extremo de la saliente. La longitud del claro principal de la viga es L y la longitud del voladizo es L/2. Determine las ecuaciones de la curva de deflexión y la deflexión 𝛿𝐶 en el extremo del voladizo. Utilice la tercera ecuación diferencial de la curva de deflexión (la ecuación de la fuerza cortante). (la viga tiene rigidez a la flexión constante EI.)

𝑃𝑥 (𝐿2 − 𝑥 2 ) 12𝐸𝐼 𝑃𝑥 𝑦=− (3𝐿3 − 10𝐿2 𝑥 + 9𝐿𝑥 2 − 2𝑥 3 ) 12𝐸𝐼

𝑦=−

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Método de superposición

𝛿𝑐

1

5𝑞𝐿4 = 384𝐸𝐼

𝜃𝐴

1

= 𝜃𝐵

1

𝑞𝐿3 = 24𝐸𝐼

𝛿𝑐 = 𝛿𝑐

1

+ 𝛿𝑐

𝜃𝐴 = 𝜃𝐵 = 𝜃𝐴

1

𝛿𝑐

2

2

𝑃𝐿3 = 48𝐸𝐼

𝜃𝐴

2

= 𝜃𝐵

2

𝑃𝐿2 = 16𝐸𝐼

5𝑞𝐿4 𝑃𝐿3 = + 384𝐸𝐼 48𝐸𝐼

+ 𝜃𝐴

2

𝑞𝐿3 𝑃𝐿2 = + 24𝐸𝐼 16𝐸𝐼

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Método de superposición Cargas distribuidas Hay ocasiones donde encontramos una carga distribuida que no esta incluida en una tabla de deflexiones Podemos considerar un elemento de la carga distribuida como si fuese una carga concentrada y luego hallar la deflexión requerida integrando sobre toda la región de la viga donde esta aplicada la carga Se visualiza un elemento qdx de la carga distribuida como una carga concentrada. Este actúa a la izquierda del centro del claro de la viga. Se visualiza un elemento qdx de la carga distribuida como una carga concentrada. Este actúa a la izquierda del centro del claro de la viga. 𝛿𝑐 =

𝑃𝑎 (3𝐿2 − 4𝑎 2 ) 48𝐸𝐼

𝑞0 𝑥 2 3𝐿2 − 4𝑥 2 𝑑𝑥 24𝐿𝐸𝐼 2𝑞0 𝑥 𝑞= 𝐿

Sustituimos qdx por P y x con a 𝐿/2

𝛿𝑐 =

Se puede hacer el mismo procedimiento para calcular el ángulo de rotación 𝜃𝐴 usando 𝜃𝐴 =

𝑃𝑎𝑏(𝐿 + 𝑏) 6𝐿𝐸𝐼

0

𝑞𝑑𝑥 𝑥 (3𝐿2 − 4𝑥 2 ) 48𝐸𝐼

𝑞0 𝑥 2 𝑞0 𝐿4 2 2 3𝐿 − 4𝑥 𝑑𝑥 = 24𝐿𝐸𝐼 240𝐸𝐼 Obteniendo 41𝑞0 𝐿4 𝜃𝐴 = 2880𝐸𝐼

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Ejercicio 6 Una viga en voladizo AB soporta una carga uniforme con intensidad q que actúa sobre parte del claro y una carga concentrada P que actúa en el extremo libre. Determine la deflexión 𝛿𝐵 y el ángulo de rotación 𝜃𝐵 en el extremo B de la viga. (La viga tiene longitud L y rigidez a la flexión constante EI.)

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Ejercicio 7 Una viga en voladizo AB sometida a una carga uniforme con intensidad q que actúa sobre la mitad derecha de la viga que se muestra. Obtenga fórmulas para la deflexión 𝛿𝐵 y el ángulo de rotación 𝜃𝐵 en el extremo libre. (la viga tiene longitud L y rigidez a la flexión constante EI.)

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Método Área de momento Existe otro método para encontrar deflexiones y ángulos de rotación de vigas. Donde se basa en dos teoremas relacionas con el área del diagrama de momentos flexionantes. Se verá cómo pueden usarse las propiedades geométricas de la curva elástica para determinar la deflexión y pendiente de una viga en un punto específico

Primer teorema del momento de superficie Se considera un segmento AB de la curva de deflexión de una viga donde la curvatura sea positiva Las dos tangentes se encuentran en el punto C

El ángulo entre ambas tangentes se denota por 𝜃𝐵/𝐴 = 𝜃𝐵 − 𝜃𝐴 Consideramos dos puntos m1 y m2 sobre el eje flexionado de la viga. Están separados una distancia ds. El ángulo entre las normales esta dado por la siguiente ecuación 𝑑𝑠 𝑑𝜃 = 𝜌

Se tiene que las normales y las tangentes (m1p1 y m2p2) son perpendiculares, se infiere que el ángulo entre las tangentes es 𝑑𝜃 𝐵

Viga con pequeños ángulos de rotación 𝑑𝑥 𝑑𝜃 = 𝜌

Y sabemos que

𝐵

𝑑𝜃 = 𝑀𝑑𝑥 𝑑𝜃 = 𝐸𝐼

𝐴

𝐴

𝑀𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐵

𝜃𝐵/𝐴 = 𝜃𝐵 − 𝜃𝐴 = 𝐴

𝑀𝑑𝑥 𝐸𝐼

𝜃𝐵/𝐴 = Área del diagrama M/EI entre los puntos A y B

Método Área de momento Primer teorema del momento de superficie: el ángulo 𝜃𝐵/𝐴 entre las tangentes a la curva de deflexión en dos puntos A y B es igual al área del diagrama M/EI entre esos puntos Existen algunas convenciones de signos 1. Los ángulos 𝜃𝐴 y 𝜃𝐵 son positivos en sentido contrario a las manecillas del reloj 2. El ángulo 𝜃𝐵/𝐴 entre las tangentes es positivo cuando el ángulo 𝜃𝐵 es algebraicamente mayor que el ángulo 𝜃𝐴 . Hay que resaltar que el punto B tiene que estar a la derecha del punto A 3. El momento flexionante M es positivo de acuerdo con la convención usual de signos. Es decir que M es positivo cuando produce compresión en la parte superior de la viga 4. Se da un signo positivo o negativo al área del diagrama M/EI según si el momento flexionante sea positivo o negativo. Si parte del diagrama de momento flexionante es positivo y parte es negativo, entonces se dan esos signos en las partes correspondientes en el diagrama M/EI Muchas veces las convenciones de signos para 𝜃𝐴 , 𝜃𝐵 y 𝜃𝐵/𝐴 se ignoran en la practica porque las direcciones de los ángulos de rotación suelen ser obvias al inspeccionar la viga y su carga

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Método Área de momento Segundo teorema del momento de superficie El segundo teorema considera a las deflexiones en vez de ángulos de rotación Se dibuja la tangente en el punto A y se nota su intersección con una línea vertical por el punto B esta en el punto B1

La desviación de B con respecto de A se llama desviación tangencial 𝑡𝐵/𝐴 Esta desviación es positiva cuando el punto B esta arriba de la tangente en A Se seleccionan los dos punto m1 y m2, el ángulo entre las tangentes en estos dos puntos es 𝑑𝜃

La intersección se encuentra en el punto B1

Se tiene que 𝑑𝑡 = 𝑥1 𝑑𝜃 𝑀𝑑𝑥 𝑑𝜃 = 𝐸𝐼

𝑑𝑡 = 𝑥1 𝑑𝜃 = 𝑥1

𝑀𝑑𝑥 𝐸𝐼

La distancia dt representa la contribución de la flexión del elemento m1m2 a la desviación tangencial 𝑡𝐵/𝐴 𝑀𝑑𝑥

La expresión 𝑥1 𝐸𝐼 puede interpretarse geométricamente como el primer momento estático del área de la franja sombreada de ancho dx dentro del diagrama M/EI. Este primer momento se evalúa con respecto a una línea vertical por el punto B

Método Área de momento Segundo teorema del momento de superficie 𝐵

𝐵

𝑑𝑡 = 𝐴

𝐴

𝑀𝑑𝑥 𝑥1 𝐸𝐼

La integral de la izquierda es igual a 𝑡𝐵/𝐴 es decir igual a la desviación del punto B con respecto a la tangente en A. La integral del lado derecho representa el momento estático con respecto al punto B del área del diagrama M/EI entre A y B

𝑡𝐵/𝐴 =

𝐵 𝑀𝑑𝑥 𝑥 1 𝐴 𝐸𝐼

= momento estático del área del diagrama M/EI entre los puntos A y B, evaluado con respecto a B

Segundo teorema de área-momento: la desviación tangencial 𝑡𝐵/𝐴 del punto B desde la tangente en el punto A es igual al momento estático del área del diagrama M/EI entre A y B, evaluado con respecto aB Si el momento flexionante es positivo, entonces el momento estático del diagrama M/EI también lo es, siempre que el punto B este a la derecha del punto A

Ejercicio 1 Determine el ángulo de rotación 𝜃𝐵 y la deflexión 𝛿𝐵 en el extremo libre de una viga en voladizo AB que soporta una carga concentrada P. (la viga tiene longitud L y rigidez a la flexión constante EI.)

𝜃𝐵

=

𝑃𝐿2 2𝐸𝐼

𝛿𝐵 =

𝑃𝐿3 3𝐸𝐼

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Áreas y centroides de las formas mas comunes

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Ejercicio 2 Determine el ángulo de rotación 𝜃𝐵 y la deflexión 𝛿𝐵 en el extremo libre B de una viga en voladizo ACB que soporta una carga uniforme con intensidad q que actúa sobre la mitad derecha de la viga. (La viga tiene longitud L y rigidez a la flexión constante EI.)

𝜃𝐵

=

7𝑞𝐿3 48𝐸𝐼

𝛿𝐵 =

41𝑞𝐿4 384𝐸𝐼

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Ejercicio 3 Una viga simple ADB soporta una carga concentrada P que actúa en la posición que se muestra en la figura. Determine el ángulo de rotación 𝜃𝐴 en el apoyo A y la deflexión 𝛿𝐷 producida por la carga P. (La viga tiene longitud L y rigidez a la flexión constante EI.)

𝜃𝐴

=

𝑃𝑎𝑏

6𝐿𝐸𝐼

(𝐿 + 𝑏)

𝛿𝐷 =

𝑃𝑎2 𝑏 2 3𝐿𝐸𝐼

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Vigas no prismáticas Los métodos presentados anteriormente para encontrar las deflexiones de vigas prismáticas también sirven para hallar deflexiones de vigas con momentos de inercia variables

El objetivo es ahorrar material incrementando el momento de inercia en regiones donde el momento flexionante es mayor

Vigas Ahusadas

Aunque este no abarca un concepto nuevo, el análisis de una viga no prismática es mas complicado que el análisis de una viga con momento de inercia constante

Cuando se trata de vigas mas complejas, suelen requerirse métodos numéricos de análisis

Ejercicio 1 Una viga ABCDE sobre apoyos simples está construida con una viga de patín ancho al soldar cubreplacas sobre la mitad central de la viga. El efecto de las cubreplacas es duplicar el momento de inercia. Una carga concentrada P actúa a la mitad del claro C de la viga. Determine las ecuaciones de la curva de deflexión, el ángulo de rotación 𝜃𝐴 en el apoyo izquierdo y la deflexión 𝛿𝐶 a la mitad del claro.

5𝑃𝐿2 𝜃𝐴 = 128𝐸𝐼

𝛿𝑐 = −𝑦

𝑦=− 𝐿 2

=

3𝑃𝐿3 256𝐸𝐼

𝑦=−

𝑃𝑥 384𝐸𝐼

(15𝐿2 − 32𝑥 2 )

𝑃 (𝐿3 + 24𝐿2 𝑥 − 32𝑥 3 ) 768𝐸𝐼

0≤𝑥≤

𝐿 4

𝐿 𝐿 ≤𝑥≤ 4 2

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Ejercicio 2 Una viga en voladizo ACB con longitud L y dos momentos de inercia diferentes I y 2I soporta una carga concentrada P en el extremo libre A. Determine la deflexión 𝛿𝐴 en el extremo libre.

𝛿𝐴 =

4𝑃𝐿3 24𝐸𝐼

+

7𝑃𝐿3 48𝐸𝐼

=

3𝑃𝐿3 16𝐸𝐼

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Vigas estáticamente indeterminadas Se analizara las vigas en las que el numero de reacciones excede al numero de ecuaciones independientes de equilibrio. Como las reacciones de esas vigas no se pueden determinar solo por estática, se dice que son estáticamente indeterminadas. El análisis de las vigas estáticamente indeterminadas es muy diferente al de las estáticamente determinadas, Cuando una viga es estáticamente determinada podemos obtener todas las reacciones, las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes a partir de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio. Luego, una vez conocidas las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes, podemos obtener los esfuerzos y las deflexiones. Pero cuando una viga es estáticamente indeterminada, para determinar todas sus reacciones no son suficientes las ecuaciones de equilibrio y se necesitan ecuaciones adicionales.

El método fundamental para analizar una viga estáticamente indeterminada es resolver la ecuación diferencial de la curva de deflexión, este sirve como un buen punto de partida en nuestro análisis, pero solo es practico para los tipos de vigas estáticamente indeterminadas mas simples, de igual forma también se analizara el método de superposición, el cual es aplicable a una gran variedad de estructuras. En el análisis se supondrá que las vigas están hechas de materiales linealmente elásticos. La mayor parte de las estructuras que encontramos en la vida cotidiana, incluidos los chasises automotrices, edificios y aeronaves, están estáticamente indeterminadas. Sin embargo, son mucho mas complejas que las vigas y se deben diseñar mediante técnicas analíticas mas sofisticadas. Se puede considerar como una introducción al análisis de estructuras estáticamente indeterminadas de todos tipos. 28

Vigas estáticamente indeterminadas Tipos de vigas estáticamente indeterminadas

Viga en voladizo soportada

El numero de reacciones que rebasan el numero de ecuaciones de equilibrio se llama grado de indeterminación estática. Entonces una viga en voladizo soportada es estáticamente indeterminada de primer grado Las reacciones sobrantes se llaman redundantes estáticas

Que pasa cuando quitamos las redundantes?

La estructura que queda cuando las redundantes se liberan se llama estructura liberada o estructura primaria

Un caso especial es que la viga solo tenga cargas en la dirección vertical, por lo tanto solo se tienen tres reacciones desconocidas, pero solo tenemos dos ecuaciones de equilibrio, es decir que la viga es estáticamente indeterminada de primer grado

Vigas estáticamente indeterminadas Tipos de vigas estáticamente indeterminadas Viga doblemente empotrada

La viga tiene soportes empotrados en ambos extremos, dado a lugar a seis reacciones desconocidas Como solo hay tres ecuaciones de equilibrio, la viga esta es estáticamente indeterminada de tercer grado Que pasa cuando quitamos las redundantes?

Un caso especial es que la viga solo tenga cargas en la dirección vertical, por lo tanto solo se tienen cuatro reacciones desconocidas, pero solo tenemos dos ecuaciones de equilibrio, es decir que la viga es estáticamente indeterminada de segundo grado

Vigas estáticamente indeterminadas Tipos de vigas estáticamente indeterminadas Viga continua

La viga es estáticamente indeterminada de primer grado porque tiene cuatro fuerzas reactivas y se dispone de solo tres ecuaciones de equilibrio Que pasa cuando quitamos las redundantes?

Los puentes con claros largos con frecuencia se construyen empleando vigas continuas

Ejercicio 1 Una viga en voladizo apuntalada AB con longitud L soporta una carga uniforme de intensidad q. Analice esta viga al resolver la ecuación diferencial de segundo orden de la curva de deflexión (la ecuación del momento flexionante). Determine las reacciones, las fuerzas cortantes, los momentos flexionantes, las pendientes y las deflexiones de la viga.

𝑞𝑥 2 𝑦=− (3𝐿2 − 5𝐿𝑥 + 2𝑥 2 ) 48𝐸𝐼

𝜃𝐵 =

𝑞𝐿3 48𝐸𝐼

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Ejercicio 2 Una viga ACB doblemente empotrada que se muestra en la figura soporta una carga concentrada P en el centro del claro. Analice esta viga al resolver la ecuación diferencial de cuarto orden de la curva de deflexión (la ecuación de la carga). Determine las reacciones, las fuerzas cortantes, los momentos flexionantes, las pendientes y las deflexiones de la viga.

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Vigas estáticamente indeterminadas Método de superposición

Comenzamos el análisis estableciendo el grado de indeterminación estática y seleccionando las reacciones redundantes

Seleccionamos la redundante y escribimos las ecuaciones de equilibrio

Análisis con Rb como redundante 𝑅𝐴 = qL − 𝑅𝐵

𝑀𝐴 =

qL2 2

− 𝑅𝐵 𝐿

Eliminamos la restricción correspondiente a la redundante (apoyo del extremo B), nos queda la estructura liberada que para este caso es una viga en voladizo. La carga q y la fuerza redundante 𝑅𝐵 se aplican como cargas sobre la estructura liberada

Vigas estáticamente indeterminadas Método de superposición

Obtener las ecuaciones de compatibilidad

La deflexión en B se obtiene por superposición de esas dos deflexiones 𝛿𝐵 = 𝛿𝐵 Obtener relaciones de fuerza-desplazamiento 𝛿𝐵

1

𝑞𝐿4 = 8𝐸𝐼

𝛿𝐵

3𝑞𝐿 𝑅𝐵 = 8 𝑞𝑥 2 𝑦1 = − (6𝐿2 − 4𝐿𝑥 2 + 𝑥 2 ) 24𝐸𝐼

2

1

− 𝛿𝐵

𝑅𝐵 𝐿3 = 3𝐸𝐼

2

=0

Ecuación de compatibilidad

𝑞𝐿4 𝑅𝐵 𝐿3 𝛿𝐵 = − =0 8𝐸𝐼 3𝐸𝐼

5𝑞𝐿 𝑅𝐴 = 8 𝑅𝐵 𝑥 2 𝑦2 = (3𝐿 − 𝑥) 6𝐸𝐼

𝑞𝐿2 𝑀𝐴 = 8 𝑞𝑥 2 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = − (3𝐿2 − 5𝐿𝑥 + 2𝑥 2 ) 48𝐸𝐼

Vigas estáticamente indeterminadas Método de superposición

Que pasa si analizamos con 𝑀𝐴 como redundante?

qL 𝑀𝐴 𝑅𝐴 = + 2 𝐿

𝜃𝐴 = 𝜃𝐴

𝜃𝐴

1

1

− 𝜃𝐴

2

=0

𝑞𝐿3 = 24𝐸𝐼

𝑞𝐿2 𝑀𝐴 = 8

𝑅𝐵 =

qL 𝑀𝐴 − 2 𝐿

Ecuación de compatibilidad 𝜃𝐴

2

𝑀𝐴 𝐿 = 3𝐸𝐼

𝑞𝐿3 𝑀𝐴 𝐿 𝜃𝐴 = − =0 24𝐸𝐼 3𝐸𝐼

5𝑞𝐿 𝑅𝐴 = 8

𝑅𝐵 =

3𝑞𝐿 8

Ejercicio 3 Una viga continua ABC con dos claros soporta una carga uniforme con intensidad q, como se muestra en la figura. Cada claro de la viga tiene longitud L. Utilizando el método de superposición determine todas las reacciones para esta viga.

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Ejercicio 4 Una viga AB doblemente empotrada esta cargada por una fuerza P que actúa en un punto intermedio D. Encuentre las fuerzas y los momentos reactivos en los empotramientos de la viga empleando el método de superposición. Además, determine la deflexión en el punto D donde se aplica la carga.

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Ejercicio 5 Una viga ABC sobre apoyos simples en los puntos A y B, esta soportada por un cable en el punto C. La viga tiene una longitud total 2L y soporta una carga uniforme de intensidad q. Antes de aplicar la carga uniforme, no hay fuerza en el cable y este no tiene holgura. Cuando se aplica la carga uniforme, la viga se flexiona hacia abajo en el punto C y se desarrolla una fuerza de tensión T en el cable. Encuentre la magnitud de esta fuerza.

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