Deflexion Hibbeler Ocr

CAPiTULO

Deflexión de vigas • y eJes

12 OBJETIVOS DEl CAPíTULO

Con frecuencia se deben establecer límites para la cantidad de deflexi6n que pueda sufrir una viga o un eje, cuando se le somete a una carga, por lo que en este capítulo describiremos varios métodos para determinar la deflexión y la pendiente en puntos específicos de vigas y ejes. Entre los métodos analíticos están el de integración, el uso de funciones de discontinuidad y el de superposición. Taínbién se presentará una técnica semigráfica, llamada método de momento de área. Al final del capítulo usaremos esos métodos para determinar las reacciones en los so-portes de una viga o un eje que sean estáticámente indeterminados.

12.1

La curva elástica •

•

;

~

j

•

Antes de determinar la pen~Ílte f>'e~ desplazamiento en un punto de una viga (o un eje), con frecuencia es útil bosquejar la fanna flexionada de la viga al cargarla, para "visualizar" los (eSiUltados calculados, y con ello comprobar en fonna parcial esos resultados. El diagrama de deflexión del eje longitudinal que pasa por el centroide de cada área transversal de la viga se llama curva elástica. Para la mayor parte de las vigas la curva elástica se puede bosquejar sin grandes dificultades. Sin embargo. al hacerlo es necesario conocer cómo se restringen la pendiente o el desplazamiento en diversos tipos de soportes. En general, los soportes que resisten una fuerza, como un pasador, restringen el desplazamiento , y los que resisten un momento, por ejemplo una pared fija, restringen la ro/ación o la pendiente, y también el desplazamiento. Con lo anterior en mente, se muestran dos ejemplos característicos de curvas elásticas para vigas (o ejes) cargadas., bosquejadas con una escala muy exagerada, en la figura 12-1.

p

Ji,

t

;:::::>

i p

Fig. U-l

587

588

CAPITULO 12 Deflexión de vigas y ejes

•

Cuando parece difícil establecer la curva elástica de una viga, se sugiere trazar primero su diagrama de momentos. Al usar la convención de signos para vigas establecida en la sección 6.1, un momento interno positivo tiende a doblar la viga en forma cóncava hacia arriba, figura 12-2a. De igual forma, un momento negativo tiende a doblar la viga para que quede cóncava hacia abajo, figura 12-2b. Por consiguiente, si se conoce el diagrama de momentos, será fácil formar la curva elástica. Por ejemplo, veamos la viga de la figura 12-3a, con su correspondiente diagrama de momentos de la figura 12-3b. Debido a los apoyos de rodillo y de pasador (apoyo "libre" y "articulado" o "libre pero guiado", respectivamente ), los desplazamientos en B y en D deben ser cero. Dentro de la región AC, de momento negativo, figura 12-3b,la curva elástica debe ser cóncava hacia abajo, y dentro de la región CD de momento positivo, la curva elástica debe ser cóncava hacia arriba. Por consiguiente. debe haber un punto de inflexión en el punto C, donde la curva cambia de cÓncava hacia arriba a cóncava hacia abajo ya que éste es un punto donde el momento es cero. Aprovechando lo anterior, la curva elástica de la viga se bosqueja a una escala muy exagerada en la figura 12-3c. También se debe observar que los desplazamientos 8. A y 8. E son especialmente críticos. E n el punto E , la pendiente de la curva elástica es cero, y allí la deflexión de la viga puede ser máxima. E l que 8. E sea en realidad mayor que 8. A depende de las magnitudes relativas de p ¡ Y P" y de la ubicaCión del rodillo en B. De acuerdo con estos principios, obsérvese cómo se trazó la curva elástica de la figura 12-4. En este caso la viga está en voladizo, desde un soporte fijo en A , y en consecuencia la curva elástica debe tener desplazamiento cero y pendiente cero en ese punto. También, el máximo desplazamiento estará en D , donde la pendiente es cero, o en C.

Momento interno positivo cóncava hacia arriba

Momento interno negativo cóncava hacia abajo (b)

Fig.12-2

P,

(a)

A

~

B

,... P,

P

. .' "

•.

•

e

,

,~

..

~

(a) A

c)M

• D

E

M (b)

MI

~

~

x

e---~~~----------------~L---x

(b)

Diagrama de momento

Diagrama de momento

(e)

A

~l-_ _= _ ___~~_~¿/'--1.f-"~LC ~

!~

¡===:::::::

Punto de inflexión

D ::::::::----

D

Curva elástica Curva elástica Fig. U-3

Fig.12-4

,

SECCiÓN 12.1

La curva elástica

Relación entre momento y curvatura. Ahora desarrolJaremos una importante relación entre el momento interno en la viga y el radio de curvatura p (rho) de la curva elástica en un punto. La ecuación que resulte se usará en todo el capítulo como base para establecer cada uno de los métodos que se presentan para determinar la pendiente y el desplazamiento de la curva elástica para una viga (o eje). El análisis a continuación, en esta sección y en la siguiente, necesitará usar tres coordenadas. Como se ve en la figura 12-5a, el eje x se extiende positivo hacia la derecha, a lo largo del eje longitudinal inicialmente recto de la viga. Se usa para ubicar al elemento diferencial, que tiene un ancho dx no deformado. El eje ves positivo hacia arriba a partir del eje x. Mide el desplazamiento del centroide en el área transversal del elemento. Con estas dos coordenadas, después definiremos la ecuación de la curva elástica, de ven función de x. Por último, una coordenada y "localizada" se usa para especificar la posición de una fibra en el elemento de viga. Es positiva hacia arriba a partir del eje neutro, como se ve en la figura 12-5b. Recuérdese que es la misma convención de signos de x y y que se usó al deducir la fórmula de la flexión. Para deducir la relación entre el momento interno y p, limitaremos el análisis al caso más común de una viga inicialmente recta, que se deforma elásticamente mediante cargas aplicadas en dirección perpendicular al eje x de la viga, y que están en el plano de simetría x-v, para el área transversal de la viga. A causa de las cargas, la deformación de la viga se debe tanto a la fuerza cortante interna como al momento de flexión interno. Si la viga tiene una longitud mucho mayor que su peralte, la máxima deformación se deberá a la flexión, y en consecuencia dirigiremos nuestra atención a sus efectos. Las deflexiones causadas por cortante se describirán más adelante en el capítulo.

O'

.

~ .,

\

,

~ - 0.- :'.~;:~

• •

... : ,. '

.' ...

- .. ., .,,....."""-

f

.,

p

p

p M

dx-!

8

x

Antes de la deformación

(a)

Después de la deformación (b)

Fig.12-5

•

589

590

•

CAPITULO 12 Deflexión de vigas y ejes

Cuando el momento interno M deforma al elemento de la viga, el ángulo entre los cortes transversales se transforma en dO, figura 12-5b. El arco dx representa una porción de la curva elástica que corta al eje neutro para cada sección transversal. El radio de curvatura de este arco se define como la distancia p medida desde el centro de curvatura O' hasta dx. Todo arco en el elemento que no sea dx está sometido a una deformación unitaria normal. Por ejemplo, la deformación unitaria en el arco ds, ubicado en la posición y respecto al eje neutro, es € = (ds l - ds) / ds. Sin embargo, ds ~ dx ~ p de y ds' ~ (p - y) de, por lo que < ~ [(p - y) de pde)l /p de; es decir, que

O'

dO p

p

1

~

p

Antes de la deformación

<

(12-1 )

y

Si el material es homogéneo y se comporta en fo rm a lineal-elástica, se aplica la ley de Hooke, € = u/E. También, como se aplica la fórmula de la flexión, u = -My /1. Al combinar estas ecuaciones y sustituir en la (12-1), se obtiene

Después de la deformación (b) Fig. 12-5

(12-2)

donde, p = radio de curvatura en un punto específico de la curva elástica (l / p se le llama la curvatura)

momento interno en la viga, en el punto donde p se va a determmar E = módulo de elasticidad del material 1 = momento de inercia del área transversal de la viga, respecto al eje neutro

M

.."'\"

, .,

. . fig.12:6

,

.

,

~_?

<

,. '

=

En esta ecuación, al producto El se le llama rigidez flexionante , o rigidez a la flexión, y siempre es una cantidad positiva. E l signo p, entonces, depende de la direccióri del momento. Como se ve en la figura 12-6, cuando M es positivo, p se dirige hacia arriba de la viga, es decir, en la dirección de u positiva; cuando M es negativo , p se dirige hacia abajo de la viga, o sea hacia la dirección de v negativa . Cuando se usa la fó rmula de la flexión, u ~ -My/ I, también se puede expresar la curvatura en función del esfuerzo en la viga, como sigue:

1 p

Ey

(12-3)

Las ecuaciones 12-2 y 12-3 son válidas para radios de curvatura pequeños o grandes. Sin embargo, casi siempre el valor de p que se calcula es una cantidad muy grande. Por ejemplo, para una viga de acero A-36 de W14 X 53 (apé ndice B), do nde E" ~ 20(103 ) klb / pulg2 y uy ~ 36 kJb/pulg2, y cuando el material en las fibras exteriores y = ::!::.7 pul g está a punto dejluir,ento nces,de acuerdo con la ecuación 12-3,p = : !: . 5639 pulg o 143 metros. Los valores de pcalculados en otros puntos a lo largo de la curva elástica de la viga, pueden ser todavía mayores, ya que u no puede ser mayor que Uy en las fibras exteriores.

SECCiÓN 12.2

Pendiente y desplazamiento por integ ración

•

591

12.2 Pendiente y desplazamiento por integración La curva elástica de una viga se puede expresar en forma matemática como v = f(x). Para obtener esta ecuación primero debemos representar la curvatura (l j p) en función de vy x. En la mayor parte de los libros de cálculo se demuestra que esta relación es 1 P

=

d'v/dx'

,,-------,---'-------,-;;:= [1 + (dv/ dx )']3/2

Al sustituir en la ecuación 12-2, se obtiene d'v/ dx'

M

[1 + (dv/ dx )'l'/2

El

(12-4)

Ésta es un a ecuación diferencial no lineal de segundo orden. Su solución, llamada la elástica, define la forma exacta de la curva, suponiendo, naturalmente, que la deflexión de la viga sólo se debe a la flexión. Con el uso de matemáticas superiores se han obtenido soluciones de la elástica sólo para casos simples de geometría y carga de la viga. Para facilitar la solución de mayor cantidad de problemas de defIexión, se puede modificar la ecuación 12-4. La mayor parte de los códigos de diseño en ingeniería especifican limitaciones de la deflexiones, con fines de tolerancias o estéticos, y en consecuencia las deflexiones elásticas de la mayor parte de las vigas y los ejes forman curvas no pronunciadas. Entonces, la pendiente de la curva elástica que se determina con dvjdx debe ser muy pequeña, y su cuadrado será despreciable en comparación con la unidad.* Por consiguiente, la curvatura, tal como se definió anteriormente, se."puede aproximar con l jp = d2ujdx 2. Con esta simplificación, la ecuacióp.'12-4 se puede escribir como sigue: . '

..;

'," . .r

d'v dx'

=

M El

(12-5)

También es posible escribir esta ecuación en dos formas .alternativas. Si se diferencia cada lado con respecto ax,y si se sustituye V = dM jdx (ecuación 6-2), se obtiene

d ( d'V)

dx El dx'

Diferenciando de nuevo, con -w

-

V(x)

(12-6)

dV /dx, la ecuación (6-1) resulta

d' ( EI -d'V)

dx'

"'Véase ejemplo 12.1.

=

=

dx'

=

-w(x)

(12-7)

El momento de inercia de este tablero de puente varía a lo largo de su longitud, cosa que se debe tener en cuenta al calcular su deflexión.

592

•

CApiTULO 12 Deflexión de vigas y ejes

Para la mayor parte de los problemas, la rigidez flexionante será constante a lo largo de la viga. Suponiendo que ese es el caso, los resultados anteriores se pueden reordenar en el siguiente conjunto de ecuaciones:

d'v

(12-8)

E I - = -w(x)

dx' 3

El d v = V(x)

(12-9)

El d'v = M(x)

(12-10)

dx 3

dx'

Para resolver cualquiera de estas ecuaciones se requieren integraciones sucesivas para obtener la deflexión vde la curva elástica. Para cada integración es necesario introducir una "constante de integración" para después determinar todas las constantes y obtener una solución única para determinado problema. Por ejemplo, si la carga distribuida se expresa en función de x, y se usa la ecuación 12-8, se deben evaluar las cuatro constantes de integración; sin embargo, si se determina el momento interno M y se usa la ecuación 12-10, sólo se deben determinar dos constantes. La elección de con cuál ecuación comenzar depende del problema . Sin embargo, en general es más fácil determinar el momento interno M en función de x, integrar dos veces y sólo evaluar dos constantes de integración. Recuérdese de la sección 6.1 que si la carga en una viga es discontinua, esto es, es una serie de varias cargas distribuidas y concentradas, se deberán escribir varias funciones para definir el momento interno, cada una válida dentro de la región entre las discontinuidades. También, para comodidad de escritura de cada ecuación de momentos, el origen de cada coordenada x se puede seleccionar en forma arbitraria. Por ejemplo, para la viga de la figura 12-7a, el momento interno en las regiones AB, Be y p CD se puede escribir en función de las coordenadasx},x2 y X 3 seleccionadas, como se ve en las figuras 12-7b .q 12-7c, o de hecho en cualquier for'í::¡il;i~~'¡===l?-===::;¡i! D ma en que M = f (x) sea la form'a má,s simple que sea posible. Una vez " B e integradas esas funciones usando la ecuación 12-10, y determinadas las constantes de integración, his funciones' determinarán la pendiente y la (,) deflexi6n (la curva elástica) para cada 'r egión de la viga para la que son válidas esas funciones.

p

w

ITJJr'lImlI

D

A

e (ol

(b)

Fig.12-7

D

SeCClON 12.2

+v

Pendiente y desplazamiento por integración

•

593

+V

Convención del signo positivo

v

,

O'

O'

v

+p

Curva elástica

Convención del signo positivo

Convención del signo positivo (b)

(e)

Fig.12·8

Convención de signos y coordenadas. Al aplicar las ecuaciones 12-8 a ~2-10 , es importante usar los signos adecuados de M, Va w, como se def¡nen con la convención de signos que se usó al deducir esas ecua· ciones. Como repaso, esos términos se muestran en la figura 12-8a con sus direcciones positi vas. Además, recuérdese que la deflexión positiva ves hacia arriba, y en consecuencia, el ángulo (} con pendiente positiva se me· dirá en sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir del eje x , cuando x es positivo hacia la derecha. La razón de ello se ve en la figura 12-8b. En ella, los aumentos positivos dx y dv, en x y v, crean un ángulo 6 mayor, que es contrario a las manecillas del reloj. Por otra parte,six po· sitiva se dirige hacia la izquierda, entonces 8 será positivo en el sentido de las manecillas del reloj, figura 12-8c. Se debe hacer notar que al suponer que dvjd.x es muy pequeño, la longitud horizontal original del eje de la viga, y el arco de su curva elástica serán aproximadamente iguales. En otras palabras, ds en las figuras 128b Y12·8e es aproximadamente igual a dx, ya que ds = v'(dx)' + (dv)' = V I + (dv/ dx)2 dx .... dx. En consecuencia, los puntos en la curva elástica se suponen estar desplazados verticalmente, y no horizontalmente. Tam· bién, como el ángulo pendiente (} será muy pequeño, su valor en radianes se puede determinar en forma directa con 6 = tan 8 = dvjd.x.

El diseño de un sistema de techo requiere tener muy en cuenta las de flexio nes. Por ejemplo, se puede acumular la lluvia en algunas zonas del techo, causando es· tancamientos, causando más deflcxi6n y la posible falla del techo.

594

•

CAPiTULO 12 Oeflexión de vigas y ejes

Condiciones en la frontera y de continuidad. Las constantes de integración se determinan evaluando las funciones de cortante, momento, pendiente O desplazamiento en un punto determinado de la viga, donde se conozca el valor de la función. Esos valores se llaman condiciones en la frontera. Varias condiciones posibles en la frontera, que se usan con frecuencia para resolver problemas de deflexi6n de vigas (o ejes) se ven en la tabla 12-1. Por ejemplo, si la viga está soportada por un rodillo o un pasador (1,2,3,4), se requiere que el desplazamiento sea cero en esos puntos. Además, si esos apoyos están en los extremos de la viga (1,2), el momento interno en la viga debe ser cero. En el soporte empotrado o fijo (5), la pendiente y el desplazamiento son cero, ambos, mientras que en la viga con extremo libre (6) el momento y el cortante son cero. Por último, si dos segmentos de una viga se conectan con un pasador o bisagra " internos" (7), el momento debe ser cero en esta conexión. Si no se puede usar una sola coordenada x para expresar la ecuación de la pendiente o de la curva elástica, se deben usar condiciones de continuidad para evaluar algunas de las constantes de integración. Por ejemplo, para la viga de la figura 12-9a, donde las coordenadas x se escogen ambas con orígenes en A. Cada una sólo es válida dentro de las regiones O -< Xl -< a y a -< X2 -< (a + b). Una vez obtenidas las funciones de la pendiente y la deflexión, deben dar los mismos valores de pendiente y de deflexión en el punto B, para que físicamente la curva elástica sea continua. Expresado en forma matemática, se necesita que 8,(a) = o,(a) y que V:L(a) = VZ(a). Entonces se pueden usar esas ecuaciones para evaluar dos constantes de integración. Por otra parte, si la curva elástica se expresa en función de las coordenadas O -< Xl -< a y O -< X2 -< b, como en la figura 12-9b , para que haya continuidad de pendiente y deflexión en B se requiere que 8,(a) = 82 (b), Yque lJ¡(a) = v,(b). En este caso en particular es necesario un signo negativo para que coincidan las pendientes en B, porque Xl se prolonga positivo hacia la derecha, mientras X 2 se prolonga positivo hacia la izquierda. En consecuencia, 61 es positivo en sentido contrario al de las manecillas del reloj , y 8z es negativo en sentido de las manecillas del reloj. Vea las figuras 12-8b y 12-8c.

TABLA 12 -_1;.....¡

6=0 Rodillo

2

~=O

Articulado

3

~=o

Rodillo

4

6 =0 Aniculado

5

8=0 ~=O

Extremo fijo

6

v=o M=O Extremo libre

7

M=O Articulación o bisagra interna

V¡.V2

A

~a

v,

p

B

b

e

v

~x,

V2

~a iB p

A

8

v f- x,

b~ e ~

8

x2 (b)

(al

Fig.12.9

X2 -1

SECCiÓN 12.2

Pendiente y desplazamiento por integración •

PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS El procedimiento que sigue es un método para detenninar la pendiente y la deOexión de una viga (o de un eje) usando la integración. Curva elástica.

• TI-azar una vista exagerada de la curva elástica. Recordar que en todos los soportes fijos o empotrados la pendiente es ee~o y el desplazamiento es cero, y que en todos los apoyos con pasador y con rodillo el desplazamiento es .:ero. • Establecer los ejes coordenados x y v. El eje x debe ser paralelo a la viga no flexionada y puede tene.r el origen en cualquier':punto. de la viga, con la dirección positiva que puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda. • Si hay varias cargas discontinuas presentes, definir las coordenadas x que sean válidas para cada región de la viga entre las discontinuidades. Escoger esas coordenadas para que simplifiquen el trabaio algebraico que siga. • En todos los casos, el eje v positivo correspondiente debe dirigirse hacia arriba.

Función de carga o de momento. • Para cada región en la que hay una coordenada x, expresar la carga w o el momento interno M en función de x. En particular, suponer siempre que.M actúa en direcci6n positiva al aplicar la ecuación de equilibrio de momentos para determinar M = [(x).

Pendiente y curva elástica. • Siempre que El sea constante, aplicar la ecuación de carga El d 4u/di4 = -w(x), para lo que se requiere cuatro integraciones para llegar a v = v(x), o la ecuación de momento El d 2vjdx 2 = M(x), que sólo requiere dos integraciones. Es importante incluir una constante de integracíón, en cada i,ntegración .. • Las constantes se evalúan usando las condiciones en la frontera para los apoyos (tabla 12-1) y las condiciones de continuidad que se apliquen a la pendiente y al desphlzamierito en puntos donde dos funciones se .encuentran. Una vez evaluadas las constantes., y sustituidas en las ecuaciones de pendiente y deflexión, se pueden detenninar entonces la pendiente y el desplazamiento en puntos especificos de la curva elástica. • Los valores numéricos obtenidos se pueden comprobar' en forma gráfica, comparándolos con el esquema de la curva elástica. Se debe tener en cuenta que los valores positivos de la pendiente son en contra de las manecillas del reloj, si el eje x se extiende positivo hacia la derecha, y en el sentido de las manecillas del reloj si el eje x se extiende positivo hacia la izquierda. En cualquier caso, el desplazamiento positivo es hacia arriba.

595

596

CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes

•

EJEMPLO La viga en voladizo de la figura 12-10a está sometida a una carga vertical P en su extremo. Deducir la ecuación de su curva elástica. El es constante. Solución I

Curva elástica. La carga tiende a flexionar a la viga como se ve en la figura 12-10a. Por inspección, el momento interno se puede representar en toda la viga con una sola coordenada x. Funci6n de momento. De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre, con M actuando en dirección positiva, figura 12-lOb, M v

Pendiente y curva elástica. veces se obtienen

d' v

dx'

t""'~e~,~~==~=if-"B-x

A1 VJ:3

:::-.-

-

Al apUear la ecuación 12-10 e integrar dos

EI-~

p

x--l

Curva elástica

r----------- L-----------1 (, )

e¡

(2)

-6 + e¡x + e,

~

Elv

(1)

Px 3

(3)

Se usan las condiciones en la frontera dv/dx = O en x = L, Y v = Oen x = L; entonces las ecuaciones 2 y 3 se transforman en PL'

- --- + e¡ 2

PL 3 - -6- + e¡L +

o~

Fig.12·10

-Px

El dv ~ - Px' -- + dx 2

o~

(h)

- Px

~

e,

Por consiguiente, C l = PL 2/ 2 y C2 = - P L 3/ 3. Se sustituyen estos resultados en las ecuaciones 2 y 3, con () = dv/dx , y se obtiene P e ~ -2E! (L' -

v

~

-

P

6EI

x')

( - x 3 + 3L' x - 2L3 )

Resp.

La pendiente y el desplazamiento máximos están en A (x = O), para el cual 8

PL' 2E!

(4)

PL 3 --3El

(5)

--

A -

SECCiÓN 12.2

Pendiente

y desplazamiento por integración

El resultado positivo para 9A indica una rotación en sentido contrario de las manecillas del reloj y el resultado negativo para VA indica que VA es hacia abajo. Esto concuerda con los resultados bosquejados en la figura 12-10a. Para tener alguna idea de la magnitud real de la pendiente y el desplazamiento en el extremo A, supongamos que la viga de la figura

12-1Oa tiene 15 pies de longitud, que sostiene una carga P ~ 6 klb Yque es de acero A-36 con E" ~ 29(10') klb /pulg2 Al aplicar los métodos de la sección 11.3, si esa viga estuviera diseñada sin factor de seguridad, al suponer que el esfuerzo normal admisible es igual al esfuerzo de fluencia Uadm = 36 klb /puJg2 , entonces se ve que es adecuada una viga

W12 x 26 (I ~ 204 pulg4 ). Con las ecuaciones 4 y 5 se obtienen

eA ~ v

6 klb(15 pies)'(12 pulgj pie)' 2[29(103 ) klbj pulg'](204 pulg4 )

~ A

6 klb(15 pies)'(12 pulgj pie)' 3[29(10') klbj pulg' ](204 pulg4 )

0.0164 rad

~-197pulg •

Ya que el ~ (dvjdx)' ~ 0.000270 rad' « 1, esto justifica el uso de lá ecuación 12-10, y el no aplicarla ecuación 12-4, más exacta, para calcular la deflexi6n de las vigas. También, como esta aplicación numérica es para una viga en voladizo, hemos obtenido valores mayores de 9 y V que los que se hubieran obtenido usando pasadores, rodillos u otros soportes fijos. Solución 11

También se puede resolver este problema usando la ecuación 12-8, El d'vjdx4 ~ -w(x). En este caso w(x) ~ Opara O

El

By

~

-

25

5 Fig.12-46

333.3By ----=c:-'-

El

10 klb

-10

I---,"~"---+I------. - . -""-. . . . x(pies)

Se sustituye en la ecuación 1 y se despeja como sigue: 3333

tt::===::::=1~8L-===::-:-:x (pies) 5

-40

O= -

(ldb)

Resp.

Ecuaciones de equilibrio. Al usar este resultado y aplicar las tres ecuaciones de equilibrio, se obtienen los resultados que muestra el diagrama de cuerpo libre de la viga, en la figura 12-46d. E n la figura 12-46e se ven los diagramas de cortante y de momento.

658

CAP[rULO 12 Deflexión de vigas y ejes

•

EJEMPLO Determine las reacciones sobre la viga de la figura 12-47a. Debido a las cargas y a defectos de construcción, el apoyo de rodillo en B se asienta 12 mm. Suponer que E = 200 OPa e 1 = 80(106 ) mm'. Solución rTTTTl.:::24nkN 1m

1')

";A~~~~~~~ ¡'-----4m

, l·

12 mm 4m --1

Viga real

Principio de superposición. Por inspección, la viga es indeterminada de primer grado. El soporte de rodillo en B se escogerá como la red undante. El principio de superposición se muestra en las figuras 12-47b y 12-47c. En este caso se supondrá que By actúa hacia arriba, en la viga. Ecuación de compatibilidad. Con referencia al punto B , con metros como unidades, se requiere que

11 24 kN/m

( b)

A

tr trtrtrt;;,;;,::! tr~t1 ¡ ~~~ _, ¡ " - 4m

81 . "8

(+ ~)

4m----l

0.012 m =

De acuerdo con la tabla del apéndice

(1)

vÍl

vB -

e, los desplazamientos son:

Redundante By eliminada

+

VB

(C)~

5wL' 5(24 kN/ m )(S m)' 640kN·m3 = 76SEI = 76SEI = El ~

PL3 By(S m)3 10.67 m 3B y vÍl = -4S-E-/ = 4SE/ El t

4m Sólo se aplica la redundante By

Entonces, la ecuación 1 se transforma en

96kN

r-----+------¡ (d)

A

0.012EI = 640 - 10.67 By

t-2m~ 2m-t__4m =_=t Ay

42.0 kN

Cy

Se expresan E e 1 en kN 1m2 y en m\ respectivamente, como sigue: 0.012(200)(106 )[S0(10-6)J = 640 - 10.67By

Fig.12.47

By = 42.0 kN

t

Resp.

Ecuaciones de equilibrio. Al aplicar este resultado a la viga, figura 12-47d, se pueden calcular las reacciones en A y e, usando las ecuaciones de equilibrio. Así se obtienen -96 kN(2 m)

+ 42.0 kN(4 m) + Cy(S m)

C y = 3.00 kN

Ay

-

t

96 kN + 42.0 kN + 3.00 kN

A y = 51 kN

t

=

O Resp.

=

O

Resp.

Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición)

SECCiÓN 12.9

•

659

EJEMPLO La viga de la figura 12-48a está empotrada a la pared en A , y está articulada a una varilla de pulg, Be. Si E = 29(103) klb /pulg' para ambos elementos, determine la fuerza desarrollada en la varilla, debida a las cargas. El momen to de inercia de la viga, respecto a su eje ne utro, es 1 = 475 pulg'.

t

e

8 Idb

A

A

A

Redundante F Be eliminada

Viga y varilla reales

Ca)

S610 se aplica la redundante F Be

Co)

Cb) Fig. 12-48

Solución I

Principio de superposición.

Por inspección, este problema es indeterminado de primer grado. En este caso B sufrirá un desplazamiento desconocido v'a, ya que la varilla se estira. Se considerará que la varilla es la redundante, y en consecuencia se quita la fuerza de la varilla en la viga, en B , figura 12-48b, para volverla a aplicar, figura 12-48c.

Ecuaci6n de compatibilidad. En el punto B se requiere que

vñ =

( + t)

VB -

va

(1)

Los desplazamientos VB Y v'B se determinan con la tabla del apéndice C. se calcula con la ecuación 4-2. En kilohbras y pulgadas se tiene que

v'a

VE

PL

= -

Fsd 8 pies)(12 pulgf pie)

( 7Tf4 )(~ pulg)'[29(103 ) klbf pulg' ]

AE

5(8 klb ) (10 pies )3(12 pulg f pie)3 48[29( 103) klbf pulg']( 475 pulg')

•

PL 3

VB = -

-

3E I

0.01686Fsc

= ---';-;'-'--'--;-:-'-'--'-:-=-'---'--:-- =

=

FBC (10 pies)3(12 pul g f pie)3

3[29(10)3 klbf pulg' ]( 475 pulg' )

=

=

t

0.1045 pulg

0.04181 F BC

t

t

Así, la ecuación 1 se transforma en

(+ t )

0.01686FBc = 0.1045 - 0.04181FBc FB C = 1.78 klb

Resp.

Contil1úa

660

•

CAPiTULO 12 Oeflexión de vigas y ejes

C

B Viga y varilla reales

A

Redundante FBe eliminada

Sólo se aplica la redundante

en

(e)

(d)

I determine la fuerza en la varilla.

L

I

1

w

o

B

A

L, Prob.12-124

PROBLEMAS

12·125. El conjunto consiste en tres vigas simplemente apoyadas, para las cuales el lecho bajo de la viga superior descansa sobre el lecho alto de las dos vigas inferiores. Si se aplica una carga uniforme de 3 kN1ma la viga superior, determine las reacciones verticales en cada uno de los apoyos. El es constante.

•

663

*12-128. Cada uno de los dos miembros es de aluminio 6061-T6, y tiene un corte transversal cuadrado de 1 X 1 pulg. Están articulados en sus extremos, y entre e llos se coloca un gato para abrirlas hasta que la fuerza que ejerce sobre cada miembro es 500 lb. Determine la fuerza máxima P que se puede aplicar en el centro del miembro superior sin hacer que haya fluencia en cualquiera de los dos miembros. En el análisis, no tener en cuenta la fuena axial en cada miembro. Suponer que el gato es rígido.

.

"

A E

r

B

Probo 12-12.5

e

D

F

6 pies

12-126. Determine las reacciones en A y B. Suponga que el soporte en A sólo ejerce un momento sobre la viga. El es constante.

6 pies

1

Probo U-128 p

A

12-129. La viga empotrada AS en ambos extremos se refuerza con la viga simplemente apoyada CD , y con el rodillo en P, que se ajusta en su lugar justo antes de aplicar la carga P. Determine las reacciones en los apoyos, si El es constante.

Prob.12-126

12-127. Los segmentos de la viga compuesta se encuentran en el centro, donde hay un contacto liso (rodillo). Determine las reacciones en los apoyos empotrados A y B , cuando se aplica la carga P. El es constante. p P

B

A A

e

~L

8

,1, Probo U·127

L

,1

l-

o

e

¡

.L

IF

Probo 12-129

¡ -I-- D ¡ - I

664

•

CAPiTULO 12 Oeflexión de vigas y ejes

12-130. El eje de acero A-36 de 1 pulg de diámetro está sostenido por cojinetes rígidos en A y C. E l cojinete B descansa en una viga 1 de acero sencillamente apoyada que tiene un momento de inercia de 1 = 500 pulg4 , Si

las bandas de la polea cargan 400 lb cada una, detennine las reacciones verticales en A , B Y C.

50N

1 - - - - ; -- 200 mm

-----l!

ll~~~~~~~~ B A

k =2N/mm

10 mm

Prob.12-132

12-133. La viga se hace con un material elástico suave con El constante. Si originalmente está a una distancia !l de la superficie del apoyo de su extremo, determine la distancia a que descansa sobre ese soporte, cuando se somete a la carga uniforme Wo, que es suficientemente grande como para que eso suceda.

Prob.12-130

12-131. Determine la fuerza en el resorte. El es constante en la viga.

~a}

~---------- L-----------=j~ Prob. 12·133

U -l34. La viga está apoyada en los soportes atornillados en sus extremos. Cuando hay carga, esos soportes no dan una conexión verdaderamente empotrada, sino que permiten una pequeña rotación a antes de funcionar como empotrados. Determine el momento en las conexiones, y la deflexión máxima de la viga.

A

I------ L p

Prob.12-131 A

"'12-132. Determine la deflexi6n en el extremo B de la barra de acero A-36 empotrada. La rigidez del resorte es k = 2 N/ mm. La solera tiene 5 mm de espesor y 10 mm de altura. También , trace los diagramas de cortante y de momento para la barra.

I---- ~ -----+-- - - ~ Prob.12-134

----1

REPASO DEL CApiTULO

REPASO DEL CApiTULO • La curva elástica refleja la flexión de la línea central de una viga o un eje. Se puede determinar su forma, usando el diagrama de momento. Los momentos positivos bacen que la curva elástica sea cóncava hacia arriba, y los momentos negativos hacen que sea cóncava hacia abajo. El radio de curvatura, en cualquier punto, se determina con IIp ~ MIEL • La ecuación de la curva elástica, y su pendiente, se pueden obtener de-

terminando primero el momento interno en el miembro, en función de x. Si sobre el miembro actúan varias cargas, se deben determinar por separado las funciones de momento entre cada una de las cargas. Al integrar una vez esas funciones, usando El (d 2 vjdx 2) = M(x), se obtiene la ecuación de la pendiente de la curva elástica, y al integrar otra vez se obtiene la ecuación de la cleflexión. Las constantes de integración se determinan con las condiciones en la frontera en los soportes. o en los casos en que intervienen varias funciones de momento, debe satisfacerse la continuidad de la pendiente y la deflexión, en los puntos donde se unen esas funciones. • Las funciones de discontinuidad permiten expresar la ecuación de la curva elástica como una función continua, independiente de la cantidad de cargas en el miembro. Este método elimina la necesidad de usar condiciones de continuidad, ya que se pueden determinar las dos constantes de integración únicamente a partir dejas dos condiciones en la frontera. • El método del momento de área ~s una técnica semigráfica para calcular la pendiente de las tangentes, o la desviación vertical de las tangentes, en puntos específicos de la curva elástica. Requiere determinar segmentos de área bajo el diagrama MIElo el momento de esos segmentos respecto a puntos en la curva elástica. El método funciona bien con los diagramas MIEl compuestos por formas sencillas, como los producidos por fuerzas concentradas o momentos de par. • La deflexión o la pendiente en un punlo de un miembro sometido a diversos tipos de cargas se pueden determinar con el método de la superposición. Para este fin está disponible la tabla en la parte final del libro. • Las vigas y los ejes estáticamente indeterminados tienen más reacciones desconocidas en los apoyos que las ecuaciones disponibles de equilibrio. Para resolverlas, primero se identifican las reacciones redundantes, y las demás reacciones desconocidas se escriben en función de esas redundantes. A continuación se pueden usar el método de integración o los teoremas de momento de área para determinar las redundantes desconocidas. También es posible determinarlas usando el método de superposición, donde se considera la continuidad del desplazamiento en la redundante. En este caso, se determina el desplazamiento debido a las cargas externas, quitando la redundante, y de nuevo con la redundante aplicada y la carga externa eliminada. Se pueden usar las tablas en la parte final de este libro para determinar esos desplazamientos necesarios.

•

665

666

•

CAPíTULO 12 Deflexión de vigas y ejes

PROBLEMAS DE REPASO U-U5. El eje sostiene las dos cargas en las poleas, como se muestra. Use las funciones de discontinuidad para formular la ecuaciÓn de la curva elástica. Los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. El es constan,te.

12-137.

Determine la deflexión m áxima e ntre los soportes

A y B. El es constante. Use el método de integración.

w

jJ L!J.1.~i

B

.lit t 12

¡

PUlg~12

~~

-l,---36 PUlg~

pUlg

S ttt

2

Al

70 lb

ProboU-137

l80lb Prob.12-135

*12-136. Determine las ecuaciones de la curva elástica para la viga, usando las coordenadas XI y X 2. Especifique la pendiente en A y la de Oexión máxima. El es constan te. Use el método de integración.

JU..! ! ! l±

12-138. Si los cojinetes en A y 8 sólo ejercen reacciones vertica les sobre el eje, determine la pendiente en B, y la dcflexión en C. El es constante. Use los teoremas del momento de área.

w

b~ L

A

I Probo 12-136

P

L~X2

118

!

A

\J

.. . I

a

l.

B

'2 a

Probo 12-138

·1

e

"~

PROBLEMAS DE REPASO

•

667

U.139. Los coj inetes de apoyo A, B YCsóloejercen reacciones verticales sobre el eje. Determine esas reacciones y a continuación trace los diagramas de cortante y de momento.·E/ es constante. Use los teoremas del momento de área. Prob.12-141 B

A

~ 'm--~- lm--+,I'----- 2 m----~

12·142. Determine el valor de a para que la deflexión en C sea cero. El es constante. Use los teoremas del momento de área.

200 N

Prob.12-139 p

"' U-140. El eje está apoyado en un cojinete recto en A , que sólo ejerce reacciones verticales sobre ese eje, y por un cojinete axia l en B, que ejerce reacciones tanto horizontales como verticales sobre el eje. Trace el diagrama de momento .f1exionante del eje y a continuación, de acuerdo con este diagrama , trace la curva de deflexión, o elástica, para la línea de centro del eje. Formule las ecuaciones de la curva elástica usando las coordenadas Xl y X2' E/ es constante.

80lb

I

A

B

4pulg

r-Xl-J

4 pulg

80 lb

!---12pulg

-----.l 1,

Probo 12-142

"'U-143. Con el método de superposición, determine la magnitud de Mo en términos de la carga distribuida w y de la dimensión a, para que la deflexión en el centro de la viga sea cero. El es constante.

I

!--X2--j

12pulg ----!

Probo 12-140

12-141. Determine las reacciones en los apoyos. El es constante. Use el método de superposición.

Prob.12-143

las columnas de este edilicio se usan para soportar la carga del suelo. loS ingenieroS diseñan estoS miembros para resistir la posibilidad de pandeo. (el

zris

Baker(foll)' SrolZe IIJ1(1ges. )