“Deflexión de Vigas Con Ecuaciones Diferenciales” Informe

UNIVERSIDAD CATÓLICA LOS ÁNGELES DE CHIMBOTE

FACULTAD DE INGENIERÍA E.A.P. INGENIERÍA CIVIL

ASIGNATURA

MATEMÁTICA III TEMA

DEFLEXIÓN DE VIGAS CON ECUACIONES DIFERENCIALES”

“

DOCENTE

ALVA VENTURA YSELA MARIELL INTEGRANTES

ALBA QUISPE ANGELA ALVA HUAMAN SAMUEL ALVA CARBAJAL JESUS LARA PALACIOS CAROLINE AREVALO ACEDO CARLOS GONZALES SANCHEZ JHOEL ECHEVARRIA PEÑALOZA CARLOS QUISPE RODRIGUEZ BRYAN VERDE TORRES JHEREMY

CHIMBOTE  –  PERÚ  PERÚ

2015

1.

INTRODUCCION: Las vigas o arcos son

elementos

estructurales

pensados

para

trabajar

 predominantemente en flexión. Geométricamente son prismas mecánicos cuya rigidez depende, entre otras cosas, del  momento de inercia de la sección transversal de las vigas. En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su  eje longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando una dimensión es dominante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, las que están diseñadas para trabajar, principalmente, por flexión. Igualmente, el concepto de flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o láminas. El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión  presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no varía con respecto al valor antes de la deformación. El esfuerzo que provoca la flexión se denomina momento flector.

2.

OBJETIVOS: 2.1 OBJETIVOS GENERALES: 

Conocer las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la deflexión de las

vigas.

2.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS: 

Poder calcular la deflexión máxima de una viga.



Poder aprender las fórmulas necesarias para la resolución de problemas de

deflexión de vigas. 

3.

Poder usar el momento flector en el análisis de deflexión de vigas.

AUTORES: ALBA QUISPE ANGELA ALVA HUAMAN SAMUEL ALVA CARBAJAL JESUS LARA PALACIOS CAROLINE AREVALO ACEDO CARLOS GONZALES SANCHEZ JHOEL ECHEVARRIA PEÑALOZA CARLOS QUISPE RODRIGUEZ VALDEMAR VERDE TORRES JHEREMY

4.

MARCO TEORICO: 4.1 DEFLEXIÓN DE VIGAS El cálculo de la deflexión máxima de una viga bajo una carga dada es de interés  particular, ya que las especificaciones de diseño incluyen generalmente un valor máximo admisible para la deflexión. También resulta de interés conocer las deflexiones para analizar las vigas determinadas. Éstas son vigas en las que el número de reacciones en los apoyos excede el número de las ecuaciones de equilibrio de que se dispone para determinar las incógnitas. Una viga prismática sometida a flexión pura se flexiona en forma de arco y dentro del rango elástico, la curvatura de la superficie neutra puede expresarse como: 1 P

 =

M EI

Siendo M el momento flector, E el módulo de elasticidad e I el momento de inercia de la sección transversal con respecto al eje neutro. Cuando una viga se somete a carga transversal, ecuación anterior permanece válida  para cualquier sección transversal., siempre que el principio de Saint-Venant sea aplicable. Sin embargo, el momento flector y la curvatura de la superficie neutra variarán en las diversas secciones. Si x es la distancia de la sección al extremo izquierdo de la viga, se tiene: 1 P

 =

M(x) EI

El conocimiento de la curvatura en varios puntos de la viga permitirá deducir algunas conclusiones generales con respecto a la deformación de la viga bajo cargas. Para determinar la pendiente y la deflexión de la viga en cualquier punto, se deduce  primero la siguiente ecuación diferencial de segundo orden que caracteriza a la curva elástica o forma de la viga deformada: d2 y dx 2

=

M(x) EI

Si el momento flector se representa para todos los valores de x, por una sola expresión M(x) como en el caso de vigas y cargas de la figura. La pendiente θ = dy/dx y la deflexión en

cualquier punto de la viga pueden obtenerse por dos integraciones sucesivas. Las dos constantes de integración introducidas en el punto se determinarán de las condiciones de frontera indicadas en la figura.

Si bien las vigas reales son  sólidos deformables, en teoría de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales.

Los inicios de la teoría de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados por Leonard Euler y Daniel Bernoulli.  Para el estudio de vigas se considera un sistema de coordenadas en que el eje X es siempre tangente a leje  baricéntrico de la viga, y los ejes Y y Z coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos básicos de la teoría de vigas para la flexión simple de una viga que flecte en el plano XY son:

1. Hipótesis de comportamiento elástico . El material de la viga es elástico lineal, con módulo de Young E y coeficiente de Poisson despreciable.

2. Hipótesis de la flecha vertical . En cada punto el desplazamiento vertical solo depende de x: u y(x, y) = w(x).

3. Hipótesis de la fibra neutra . Los puntos de la fibra neutra solo sufren desplazamiento vertical y giro: u x(x, 0) = 0. La tensión perpendicular a la fibra neutra se anula: σyy= 0.

4. Hipótesis de Bernoulli . Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado. Las hipótesis (1)-(4) juntas definen la teoría de vigas de Timoshenko. La teoría de Euler-Bernoulli es una simplificación de la teoría anterior, al aceptarse la última hipótesis como exacta (cuando en vigas reales es solo aproximadamente cierta).

¿Cuándo es importante estudiar las deflexiones de vigas? En estructuras: Las deflexiones, en estructuras,  se pueden estimar, mediante métodos de cálculo, que se hará mención del más conocido. En el estudio de una viga, ella podrá flectar de acuerdo a ciertos factores tales como: Distancia entre apoyos Tipos de vinculación

4.2 CLASIFICACION DE CATEGORIAS: 

1.- METODOS GEOMETRICOS Método de la doble integración: Este método permite ver, la ecuación de curvatura de la viga, la cual resulta del análisis de la ecuación diferencial de la línea elástica de una viga a flexión pura. Método de área momento Diagrama de momento por  partes Método de la viga conjugada.



2.- METODOS DE TRABAJO Y ENERGIA Son muy generales ya que puede aplicarse a varios tipos de estructuras, tienen la desventaja de que solo se puede calcular una deflexión o giro en una parte de la estructura.

4.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicación de las ecuaciones de la estática a un tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que intervienen sobre el tramo serían la carga exterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremas que delimitan el tramo. Si el tramo está en equilibrio eso implica que la suma de fuerzas verticales debe ser cero, y además la suma de momentos de fuerza a la fibra neutra debe ser cero en la dirección tangente a la fibra neutra. Estas dos condiciones solo se pueden cumplir si la variación de esfuerzo cortante y momento flector están relacionada con la carga vertical por unidad de longitud mediante:

5.

CONCLUSIONES: Las fuerzas internas de un elemento están ubicadas dentro del material, por lo que se distribuyen en toda el área; justamente se denomina esfuerzo a la fuerza por unidad de área. La resistencia del material no es el único parámetro que debe utilizarse al diseñar o analizar una estructura; controlar las deformaciones para que la estructura cumpla con el propósito  para el cual se diseñó tiene la misma o mayor importancia. Los materiales, en su totalidad, se deforman frente a una carga externa. Se sabe además que, hasta cierta carga límite, el sólido recobra sus dimensiones originales cuando se le descarga. La recuperación de las dimensiones originales al eliminar la carga es lo que caracteriza al comportamiento elástico del material.

6. RECOMENDACIONES Al escoger las dimensiones de las barras de madera, debemos tener en cuenta que estas se tienen que romper, por lo que es recomendable usar maderas de menor sección transversal,  para de esta manera, poder hacer más sencillo el ensayo. Se debe procurar tener la misma longitud en todas las barras de madera. Si en caso se complicara el ensayo debido a que la madera no rompe, le podemos asignar una mayor longitud a las vigas. Tener en cuenta que la viga esté nivelada, ya que podrían originar errores al momento de hacer los cálculos. En la carga distribuida debemos tratar que la fuerza sólo actúe en el área de contacto con la viga simulada, ya que esta podría hacer que cree momentos perpendiculares al eje y volcar la viga de los ensayos.

7.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS : Anónimo; Deflexiones; [Seriada en línea]; 16 de febrero de 2011; [Citado 2015 noviembre 20]: [09 Páginas]. Disponible en: http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/teoria%20deflexion/deflexiones.h tm

Carlos J; Deflexión de vigas; [Seriada en línea]; 21 de noviembre de 2011; [Citado 2015 noviembre 20]: [03 Páginas]. Disponible en: http://ctorrestrj.blogspot.pe/2011/11/deflexion-en-vigas.html

Jenny C, flexión en vigas; [Seriada en línea]; 18 de agosto de 2008; [Citado 2015 noviembre 20]: [28 Páginas]. Disponible en: http://es.slideshare.net/rafaellozano/flexion-de-vigas-1222544

ANEXOS Ejemplo demostrativo del cálculo de deflexión de una viga en un puente.