Definición de Álgebra

 

1. 

DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA.

El Álgebra es la rama de las matemáticas cuyo objeto es el estudio general de todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades, dicho de otra forma, es la rama de las matemáticas que tiene por objeto de estudio la generalización del cálculo aritmético mediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras). El concepto de cantidad en álgebra es mucho más amplio que en aritmética, pues en la aritmética, las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, mientras que en el álgebra tales cantidades pueden ser representadas mediante letras o números y letras. Los números se usan para representar cantidades conocidas y las letras para representar tanto cantidades conocidas como no conocidas. Como se dijo anteriormente, en el álgebra, una cantidad se puede representar mediante un número o una letra, sin embargo hay situaciones en que una sola letra o un solo número son insuficientes para representar una cantidad y se hace necesario utilizar números y letras combinados con las operaciones de multiplicación o división, cuando esto ocurre se llega al concepto de término algebraico. Ejemplos: a)   b)  c)  d) 

2x -5x2  2 5axy   4 (-4a+2c)x  

Como se puede observar, un término algebraico consta de un coeficiente representado mediante un número o varias letras que se combinan, una o más letras que representan incógnitas o variables, que son multiplicadas por el coeficiente y que se combinan entre sí multiplicándose o dividiéndose; y un número, letra o letras que hacen la función de exponentes de las letras que no forman parte del coeficiente.

Expresión algebraica  es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas. Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + (más) o – (menos) se llaman   términos de la expresión. Término es entonces una cantidad aislada o separada de otras por el signo + o -. Una expresión que contiene un término se llama monomio, si contiene dos términos se habla de binomio, de trinomio si contiene tres términos y si contiene más términos se habla de polinomio.

 

Las expresiones algebraicas establecen relaciones matemáticas y permiten describir situaciones especiales o fenómenos físicos. La idea de su uso es simplificar la transmisión de información. Los factores literales en las expresiones algebraicas representan objetos de la misma naturaleza que se pueden distinguir mediante sus características. Por ejemplo, dentro de un salón de clases, se pudiera utilizar la literal  x   para indicar ind icar el nú número mero de personas n nacidas acidas en una ciudad c iudad espe específica cífica y con la li literal teral  y a las personas que no nacieron en esa ciudad. El total de personas (literal T ) en el salón de clases estará dado por T = x + y. En casos donde aparecen paréntesis, éstos junto con lo que se encuentra dentro de ellos se consideran como una sola cantidad. Por ejemplo, (a+b)  se considera una sola cantidad.

2.  LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES Si n es cualquier entero positivo, entonces: a n = a * a4  *2 a4 *K a , al entero n se le llama 14 4  3 n  factores

exponente.  Ejemplos: a) a 3 = a * a * a   7

 b) 7 = 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7   c) 5a 3 = 5 * a * a * a   3

d) (5a ) = (5a )(5a )(5a )  

Leyes de los exponentes Si a y b son números reales y m y n son enteros positivos, entonces: m n m n a) a a  = a +  

 b) (ab )   = a n b n   n

( )

n

c) a m   = a mn   d)

am a

n

=  a m−n   n

an ⎛ a ⎞ e) ⎜ ⎟ = n   b ⎝ b ⎠ f) a 0 = 1  

g) a − n =

1 a

n

 

La raíz se indica por medio de

n

a , y se lee “la raíz enésima de a; el signo

se llama

radical y debe cubrir a la expresión cuya raíz quiera extraerse, n es el índice e indica el orden del radical y a es el radicando e indica la expresión a la cual se le debe extraer la raíz.

 

Ejemplos: n

a)

a = b  si y solo si b = a   n

16   = 4  ya que 4 2 = 16  

 b) 3

c)

3

− 8 = −2  ya que (− 2) = −8  

Leyes de los exponentes fraccionarios o radicales  q

a) a  p =  p  a q =  b)

( a)

n

n

 p

q

( a)  

= a 

ab   = n a n b  

c)

n

d)

n

e)

m n

a

=

b

n

a

n

b

 

a   = mn a  

2.1. 

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES.

Una de las aplicaciones más importantes de las leyes de los exponentes y de la factorización es en la simplificación   de expresiones algebraicas donde aparecen fracciones.   −3

a)  Escribiremos una expresión equivalente a (a −2b ) en la cual aparecerán solamente exponentes positivos. De las leyes de los exponentes, se tiene que: −3

(a b) −2

−3

⎛  b  ⎞ =⎜ 2⎟   ⎝ a  ⎠

−3

−3

b ⎛  b  ⎞ ⎜ 2 ⎟  = − 6   a ⎝ a  ⎠ b −3 −6

=

a6 3

 

a b Por lo tanto 6 a − 2 −3 a b  = 3   b

(

)

4

 x  x ⎞ b) Realizaremos la siguiente operación ⎛  ⎜ ⎟ . ⎝ 4 ⎠ 4

 x ⎛  x ⎞ ⎜ ⎟ = 4  4 ⎝ 4 ⎠  x 4

4

 x 4

4 4 = 256   Por lo tanto

 

4

4

 x ⎛  x ⎞   ⎜ ⎟ = 256 ⎝ 4 ⎠ 5

⎛ a 2b ⎞ c) Desarrollaremos la siguiente potencia ⎜⎜ 3 ⎟⎟ . ⎝  c  ⎠ 5

⎛ a 2b ⎞ (a 2 )5 b5 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ =   3 5 c ( c ) ⎝   ⎠ (a 2 )5 b5 = a10b5   c15 (c 3 ) 5

d) Simplificaremos la expresión  x 4 y  x 2 y 2

=

2 2 ( x  y ) x

( x 2 y ) y

 x 4 y 2

 x  y

2

.

 

Si xy es diferente de cero, se tiene que: ( x 2 y ) x 2  x 2 =    y ( x 2 y ) y Por lo tanto  x 4 y  x 2 =   2 2  x  y  y Ejercicios: Simplificar las siguientes expresiones:

⎛ a 3b 4  ⎞ ⎟ a) ⎜⎜ 3 ⎟ ⎝  2c  ⎠

2

4

⎛ 8a 2 c 3  ⎞ ⎟   ⎜⎜  2 ⎟ ⎝  2a  ⎠

 b) ( x −5 y 3 )2  ( x 3 y −2 )4   c)

8a 3b −5 4a −1b 2

  4

⎛ 9 x 2 a −1  ⎞ ⎛  1  ⎞ d) ⎜⎜  ⎟ ⎜ 2 a ⎟   a −1 ⎟  x 3  ⎠ ⎝ 3 x  ⎠ ⎝  2

e)

−3

−

6a b c 2

5

5 2

 

18a 3 b 4 2

⎛  3 12 2  ⎞⎛  − 12 12  ⎞ ⎜ 2 x  y  z ⎟⎜ x  y ⎟ 1 −1 f) ⎜ ⎟⎟   ⎜ 3 x 2 z 4 ⎟⎟⎜⎜  z  ⎠  ⎠⎝  ⎝  g) h)

2ab 3

2

3 8ab  

3 x 4 27 x 3  

 

12a 3 b 4 c 5

i)

2

3ab c

⎛ 2a 2 c 3  ⎞ ⎟  j) ⎜⎜ 4 ⎟ ⎝  15b  ⎠

 

2

3

3

⎛  30b 6  ⎞ ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟   ⎝ 4a c  ⎠ −2

⎛ 9 x −2 b 3  ⎞ k) ⎜⎜ 3 −3 ⎟⎟   ⎝   x c  ⎠ 5

l)

384 x 7 y 2 z 11 5 3

m)

9 x 2 y 9 z 5 15a 4 b 5 6ab

 

 

3. OPERACIONES BÁSICAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se dice que un término algebraico es semejante a otro, si ambos tienen exactamente las mismas variables elevadas exactamente a los mismos exponentes y solamente pueden diferir en los números conocidos que aparecen como coeficientes en dichos términos. Se dice que un término algebraico es igual a otro, si ambos tienen exactamente las mismas variables elevadas exactamente a los mismos exponentes y los números conocidos que aparecen como coeficientes en dichos términos también son iguales. Cuando en una expresión algebraica aparecen dos o más términos semejantes combinados mediante las operaciones de adición o sustracción, ésta se puede simplificar realizando las adiciones o sustracciones correspondientes, tomando en cuenta el mismo orden en que se realizan las operaciones con los números reales para los coeficientes y dejando las mismas literales elevadas a sus correspondientes exponentes. La nueva expresión obtenida se dice que es igual que la original y se pueden relacionar mediante el signo =. Por ejemplo, simplificaremos la expresión 4 x + 10 x − 5 x  + 13 x + 12 x − 15 x . Puesto que en la expresión algebraica dada aparecen puros términos semejantes, se suman y restan los coeficientes de la literal  x, en el orden en que aparecen, encontrándose que dicha expresión puede ser escrita en su forma más simple como: 19 x , en en ccuyo uyo caso caso se es escr cribe ibe 4 x + 10 x − 5 x + 13    x + 12 x − 15 x = 19 x .

Uso de paréntesis en expresiones algebraicas. En una expresión algebraica se efectúan primero las operaciones entre paréntesis, luego las multiplicaciones y/o divisiones, y finalmente las sumas y restas. Por ejemplo, ((a + 3b - 5a) + 4 a + (6b + 2d + 3b)) = ((3b- 4 a) + 4 a + (9b + 2d))= 3b + 9b + 2d = 12b + 2d

3.1. 

ADICIÓN.

Para sumar dos o más expresiones algebraicas, es recomendable observar si éstas tienen o no términos semejantes o iguales y en el caso de que los tengan se suman entre sí dichos términos y los términos no semejantes se escriben sin modificación alguna, al

 

aplicar las leyes o propiedades adecuadas, se obtiene de esta manera la nueva expresión que llamaremos la suma de las expresiones dadas. Ejemplos: a)   x + x = 2x  b)  4x + 8x = (4 + 8) x = 12x c)  (x + 1) + (5x + 4) = (x + 5x) + (1 + 4) = 6x + 5 d)  (2x + 3y – 5) + (4x – 5y) + (x 2 + 2x – 4) = (2x + 4x + 2x) + (3y – 5y) + (-5 – 4) 2

2

+ x   = 8x – 2y – 9 + x  

3.2. 

SUSTRACCIÓN.

Para restar una expresión de otra, es recomendable escribir entre paréntesis la expresión que corresponde al sustraendo y observar si éstas tienen o no términos semejantes o iguales y en el caso de que los tengan se restan entre si dichos términos y los términos no semejantes se escriben sin modificar los que están en el minuendo y cambiándole signo a los que se encuentran en el sustraendo, al aplicar las leyes o propiedades adecuadas, se obtiene de esta manera la nueva expresión que llamaremos la resta de las expresiones dadas. Ejemplos: a) 6x - x = 5x b) 4x - 8x = (4 - 8) x = -4x c) (x + 1) - (5x + 4) = (x - 5x) + (1 - 4) = -x - 3 d) (2x + 3y – 5) - (4x – 5y) = (2x + 3y - 5) + (-4x + 5y) = (2x – 4x) + (3y + 5y) – 5 = -2x + 8y - 5

3.3. 

MULTIPLICACIÓN.

Para multiplicar dos expresiones algebraicas podemos utilizar las mismas leyes de las operaciones con números reales, así como las de los exponentes. Ejemplos: a) a ( x  +  y ) . Aplicando la ley distributiva se tiene que: a ( x +  y ) = ax + ay    b) ( x +  y )( x −  y ) . Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que: ( x +  y )( x −  y ) =  x   ( x −  y ) +  y ( x −  y )   2 2 ( x +  y )( x −  y ) =   x − xy +  yx −  y   Simplificando la expresión, se encuentra que: ( x +  y )( x −  y ) =  x 2 −  y 2  

c) (ax + by )(ax − by )   Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que:

 

(ax + by )(ax − by ) = ax   (ax − by ) + by (ax − by )  

(ax + by )(ax − by ) = a  2 x 2 − abxy + byax − b 2 y 2   Simplificando la expresión, se encuentra que: (ax + by )(ax −  by ) = a 2 x 2 − b 2 y 2   d) Elevaremos al cuadrado el binomio  x +  y . El cuadrado del binomio indicado lo podemos escribir como: ( x +  y ) 2   Cuyo significado es: 2 ( x +  y ) = (  x +  y )( x +  y )   Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que: 2 ( x +  y ) =  x( x  +  y ) +  y ( x +  y )   2 2 2 ( x +  y ) =  x   + xy +  yx +  y   Simplificando la expresión, se encuentra que: 2 ( x +  y ) =  x   2 + 2 xy +  y 2  

e) Elevaremos al cuadrado el binomio  x −  y . El cuadrado del binomio indicado lo podemos escribir como: ( x −  y ) 2   Cuyo significado es: 2 ( x −  y ) = (  x −  y )( x −  y )   Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que: ( x −  y ) 2 =  x( x  −  y ) −  y ( x −  y )   2 2 2 ( x −  y ) =  x   − xy −  yx +  y   Simplificando la expresión, se encuentra que: ( x −  y ) 2 =  x   2 − 2 xy +  y 2  

f) ( x + a )( x + b) . Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que: ( x + a )( x + b) =  x   (2 x + b ) + a( x + b)   ( x + a )( x + b) =  x + bx + ax + ab Puesto que en esta última expresión no existen términos semejantes, no es posible simplificarla más.

g) Elevaremos al cubo el binomio  x +  y . El cubo del binomio indicado lo podemos escribir como: 3 ( x +  y )   Cuyo significado es: ( x +  y )3 = ( x +  y )( x +  y )( x +  y )   Aplicando la leyes asociativa y distributiva, y las leyes de los exponentes, se tiene que: ( x +  y )3 = [( x +  y )( x +  y )]( x +  y )   3 2 2 ( x +  y ) = ( x +  2 xy +  y )( x +  y )  

( x +  y )3 =  x 2 ( x +  y ) +  2 xy( x +  y ) +  y 2 ( x +  y )  

 

3 3 2 2 2 2 3 ( x +  y ) =  x + x  y + 2 x  y + 2 xy +  y  x +  y   Simplificando la expresión, se encuentra que: 3 3 2 2 3 ( x +  y ) =  x +  3 x  y + 3 xy +  y  

h) Elevaremos a la cuarta potencia el binomio  x −  y . La cuarta potencia del binomio indicado la podemos escribir como: 4 ( x −  y )   Cuyo significado es: 4

( x −  y ) = ( x −  y )(  x −  y )( x −  y )( x −  y )   Aplicando las leyes asociativa y distributiva, y las leyes de los exponentes, se tiene que:   −  y )][( x −  y )( x −  y )]   ( x −  y ) 4 = [( x −  y )( x

  +  y 2 )( x 2 − 2 xy +  y 2 )   ( x −  y ) 4 = ( x 2 − 2 xy   ( x 2 − 2 xy +  y 2 ) +  y 2 ( x 2 − 2 xy +  y 2 )   ( x −  y ) 4 =  x 2 ( x 2 − 2 xy +  y 2 ) − 2 xy   + 4 x 2 y 2 − 2 xy 3 +  y 2 x 2 − 2 xy 3 +  y 4   ( x −  y ) 4 =  x 4 − 2 x 3 y + x 2 y 2 − 2 x 3 y Simplificando la expresión, se encuentra que: ( x −  y ) 4 =  x 4 − 4 x 3 y   + 6 x 2 y 2 − 4 xy 3 +  y 4   i) ( x −  y )( x  2 + xy +  y 2 ) . Aplicando2 la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que: ( x −  y )( x + xy +  y 2 ) =  x( x  2 + xy +  y 2 ) −  y ( x 2 + xy +  y 2 )   ( x −  y )( x 2 + xy +  y 2 ) =  x 3  + x 2 y + xy 2 −  yx 2 − xy 2 −  y 3   Simplificando esta última expresión se encuentra que: ( x −  y )( x 2 + xy  +  y 2 ) =  x 3 −  y 3   2  ⎞⎛ 1 3  ⎞ ⎛ 1  j) ⎜ a 2 − ab + b 2 ⎟⎜ a − b ⎟ . 3  ⎠⎝ 4 2  ⎠ ⎝ 4 Aplicando la ley distributiva y las leyes de los exponentes, se tiene que: 2 2 ⎞⎛ 1 3  ⎞ 1 2 ⎛ 1 3  ⎞ 3  ⎞ 2 2 ⎛ 1 3  ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 2 ⎜ a − ab + b ⎟⎜ a − b ⎟ = a ⎜ a − b ⎟ − ab⎜ a − b ⎟ + b ⎜ a − b ⎟   3  ⎠⎝ 4 2  ⎠ 4 ⎝ 4 2  ⎠ 2  ⎠ 3 ⎝ 4 2  ⎠ ⎝ 4 ⎝ 4

2 3 ⎞⎛ 1 3  ⎞ 1 3 3 2 1 2 3 2 2 2 6 3 ⎛ 1 2 ⎜ a − ab + b ⎟⎜ a − b ⎟ = a   − a b − a b + ab + b a − b   3  ⎠⎝ 4 2  ⎠ 16 8 4 2 12 6 ⎝ 4 2 2 ⎞⎛ 1 3  ⎞ 1 3 5 2 5 2 ⎛ 1 2 3 ⎜ a − ab + b ⎟⎜ a − b ⎟  = a − a b + ab − b   3  ⎠⎝ 4 2  ⎠ 16 8 3 ⎝ 4

3.4 

DIVISIÓN.

En muchas ocasiones es necesario dividir una expresión entre otra, esto se puede hacer usando un algoritmo parecido al que se utiliza para dividir números naturales pero tomando en cuenta las leyes o reglas de los exponentes.

a) Dividiremos la expresión 2 x5 y 2  entre la expresión  x 2 y . Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: i) 2 x5 y  2 ÷ ( x 2 y )   5 2 2 ii) 2 x  y /( x  y )  

 

2 x 5 y 2

iii)

 x 2 y

 

iv)  x 2 y 2 x5 y 2   Cuando la expresión entre la que se divide (divisor) es una expresión algebraica que consta de un solo término cuyos elementos únicamente se encuentran multiplicando o dividiendo, como el caso que nos ocupa, la forma más simple de dividir, es usando la notación iii), y las leyes de los exponentes vistas con anterioridad, se encuentra que: 2 x 5 y 2 = 2 x 3 y    x 2 y

b)  Dividiremos 4ax − 10ax 2 − 5ax + 12 x 2 − 12ax + 15ax 2  entre 2ax . Como se puede ver, la expresión que se va a dividir (dividendo) puede escribirse en forma simplificada como − 13ax + 5 ax 2 + 12 x 2 , por lo que dividiremos esta última entre 2ax , en lugar de dividir la expresión original. Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: (−13ax + 5ax 2  + 12 x 2 ) ÷ (2ax)   (−13ax + 5 ax 2 + 12 x 2 ) /(2ax)  

−

+ 13ax

2

+

5ax 2ax

2

12 x  

2ax − 13ax  + 5ax 2 + 12 x 2   Cuando la expresión entre la que se divide (divisor) es una expresión algebraica que consta de un solo término cuyos elementos únicamente se encuentran multiplicando o dividiendo, como el caso que nos ocupa, la forma más simple de dividir, es usando la notación iii), en cuyo caso se encuentra que: − 13ax + 5ax 2 + 13 x 2 − 13ax 5ax 2 12 x 2   = + + 2ax 2ax 2ax 2ax Simplificando cada uno de los términos de la expresión que aparece a la derecha del signo =, se tiene que:

− 13ax + 5ax + 13 x = − 13 + 5 x + 6 x   2

2

2ax

2

2

a

c)  Dividiremos 4 x3h + 6 x 2 h 2 + 4 xh3 + h 4 − 9 x 2  h − 9 xh 2 − 3h3 + 4 xh + 2h 2 − h entre h. Utilizando la notación del ejemplo anterior, se tiene que: 4 x 3h + 6 x 2 h 2 + 4 xh3 + h 4 − 9 x 2h − 9 xh2 − 3h3 + 4 xh + 2h 2 − h

=

h 3

4 x h

2

+

6 x h

2

+

4 xh

3

+

h

4

2

−

9 x h

−

9 xh

2

−

3h

3

+

4 xh

h h h h h h h h 4 x3 + 6 x 2h + 4 xh2 + h3 − 9 x 2 − 9 xh − 3h 2 + 4 x + 2h − 1  

+

2h h

2

−

h

 

=

h

d)  Dividiremos el polinomio de cuarto grado x 4 + 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1   entre el binomio de primer grado x + 1 . Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: 4 3 2 i) ( x + 4 x + 6 x + 4 x + 1) ÷ ( x + 1)  

 

ii) ( x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1) /( x + 1)   iii)

 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1  x + 1

 

iv)  x + 1  x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1   4

Utilizando la notación iv), se divide el primer término del dividendo ( x ) entre el primer  x) y el cociente se multiplica por los términos del divisor término del divisor ( x escribiendo el producto debajo del dividendo, tratando de que queden las mismas  potencias  potenci as alineadas alineadas,, restándo restándose se a continua continuación ción dicho producto del dividendo, dividendo, según se muestra a continuación:

 x 3  x + 1  x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x +1  x 4 + x 3

   Nuevo dividendo

3 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1

La diferencia encontrada entre el dividendo y el producto mencionado resulta ser el nuevo dividendo. Se repite el proceso anterior, las veces que resulte necesario, hasta que el grado del  polinomio que aparece como nuevo dividendo sea menor que el grado del polinomio que está en el divisor, como se muestra enseguida: 3

2

 x2 3 x 4 3  x + 1  x + 4 x + 6 x ++4 x +1  x 4 + x3

3 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1   3 x 3 + 3 x 2 3 x 2 + 4 x + 1

 Nuevo dividendo

 x 3 + 3 x 2 + 3 x 4 3 2  x + 1  x + 4 x + 6 x + 4 x +1 4

3

 x + x 3 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1

3 x 3 + 3 x 2

 

3 x 2 + 4 x + 1 3 x 2 + 3 x  x + 1

 Nuevo dividendo

 

 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1  x + 1  x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x +1  x 4 + x 3

3 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 3 x 3 + 3 x 2 3 x 2 + 4 x + 1   3 x 2 + 3 x  x + 1  x + 1

0

Se termina el proceso El resultado anterior significa que la división es exacta y que el dividendo se puede escribir en la forma:  x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 = ( x3 + 3 x 2 + 3 x + 1)( x + 1)  

e)  Dividiremos el polinomio de cuarto grado x 4 + 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1   entre el trinomio de segundo grado x 2 + 2 x + 1 . Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: i) ( x 4 + 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1) ÷ ( x 2 + 2 x + 1)   ii) ( x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1) /( x 2 + 2 x + 1)   iii)

 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1  x 2 + 2 x + 1

 

iv)  x 2 + 2 x + 1  x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1   4

Utilizando la notación iv), se divide el primer término del dividendo ( x ) entre el primer 2 término del divisor ( x ) y el cociente se multiplica por los términos del divisor escribiendo el producto debajo del dividendo, tratando de que queden las mismas  potencias alineadas, restándose a continuación dicho producto del dividendo, según se muestra a continuación: 2

 x  x 2 + 2 x + 1  x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x +1  x 4 + 2 x3 + x 2

2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 1

 

 Nuevo dividendo La diferencia encontrada entre el dividendo y el producto mencionado resulta ser el nuevo dividendo. Se repite el proceso anterior, las veces que resulte necesario, hasta que el grado del  polinomio que aparece como nuevo dividendo sea menor que el grado del polinomio que está en el divisor, como se muestra enseguida:

 

 x + 2 x  x 2 + 2 x + 1  x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x +1 2

 x + 2 x + x 4

3

2

2 x 3 + 5 x 2 + 4 x + 1   2 x 3 + 4 x 2 + 2 x  x 2 + 2 x + 1

 Nuevo dividendo

 x 2 + 2 x + 1  x 2 + 2 x + 1  x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x +1  x 4 + 2 x 3 + x 2

2 x 3 + 5 x 2 + 4 x + 1 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x

 

 x 2 + 2 x + 1  x 2 + 2 x + 1

0 Se termina el proceso El resultado anterior significa que la división es exacta y que el dividendo se puede escribir en la forma:  x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x  + 1 = ( x 2 + 2 x + 1) 2  

f)  Dividiremos el polinomio de cuarto grado x 4 + 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1   entre el polinomio de tercer grado x 3 + 3 x 2 + 1 . Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: i) ( x 4 + 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1) ÷ ( x 3 + 3 x 2 + 1)   ii) ( x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1) /( x 3 + 3 x 2 + 1)   iii)

 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1  x 3 + 3 x 2 + 1

 

iv)  x 3 + 3 x 2 + 1  x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1   Utilizando la notación iv), se divide el primer término del dividendo ( x4) entre el primer 3 término del divisor ( x ) y el cociente se multiplica por los términos del divisor escribiendo el producto debajo del dividendo, tratando de que queden las mismas  potencias alineadas, restándose a continuación dicho producto del dividendo, según se muestra a continuación:  x 3 2 4 3 2  x + 3 x + 1  x + 4 x + 6 x + 4 x + 1  x 4 + 3 x 3 + 0 x 2 + x

 

 x 3 + 6 x 2 + 3 x + 1

 Nuevo dividendo La diferencia encontrada entre el dividendo y el producto mencionado resulta ser el nuevo dividendo. Se repite el proceso anterior, las veces que resulte necesario, hasta que el grado del  polinomio que aparece como nuevo dividendo sea menor que el grado del polinomio que está en el divisor, como se muestra enseguida:

 

 x + 1  x 3 + 3 x 2 + 1  x 4 + 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1  x 4 + 3 x 3 + 0 x 2 + x  x 3 + 6 x 2 + 3 x + 1

 

 x 3 + 3 x 2 + 0 x + 1

3 x 2 + 3 x

Se termina el proceso

El resultado anterior significa que la división no es exacta y que el dividendo se puede escribir en la forma:  x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 = ( x + 1)( x 3 + 3 x 2 + 1) + 3 x 2 + 3 x  

g)  Dividiremos el polinomio de tercer grado x 3  −  y 3   entre el binomio de primer grado x −  y . Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: i) ( x 3 −  y 3 ) ÷ ( x −  y )   ii) ( x 3 −  y 3  ) /( x −  y )   iii)

 x3 −  y 3

−

 

 x  y iv)  x −  y    x 3 −  y 3   3

3

Primero observamos que en el dividendo aparece dos términos,  x   y  y , si tomamos como variable principal del polinomio a la letra  x, entonces debemos escribir el binomio como un polinomio completo de tercer grado agregando ceros y considerando el 3 término y  como su término independiente, según se muestra a continuación:  x −  y  x 3 +  0 x 2 + 0 x −  y 3   3

Utilizando, ahora si, la notación iv), se divide el primer término del dividendo ( x ) entre el primer término del divisor ( x  x) y el cociente se multiplica por los términos del divisor escribiendo el producto debajo del dividendo, tratando de que queden las mismas  potencias alineadas, restándose a continuación dicho producto del dividendo, según se muestra en seguida:  x 2  x −  y  x 3 + 0 x 2 + 0 x −  y 3  x 3 − x 2 y  x 2 y + 0 x −  y 3

   Nuevo dividendo

La diferencia encontrada entre el dividendo y el producto mencionado resulta ser el nuevo dividendo. Se repite el proceso anterior, las veces que resulte necesario, respecto a la variable  principal considerada, hasta que el grado del polinomio que aparece como nuevo dividendo sea menor que el grado del polinomio que está en el divisor, como se muestra a continuación:

 

 x 2 + xy +  y 2 3 2 3  x −  y  x + 0 x + 0 x −  y

 x3 − x 2 y  x 2 y + 0 x −  y 3  x 2 y − xy 2

 

 xy 2 −  y 3  xy 2 −  y 3

Se termina el proceso

0

El resultado anterior significa que la división es exacta y que el dividendo se puede escribir en la forma:  x 3 −  y 3 = ( x −   y )( x 2 + xy +  y 2 )  

h)  Dividiremos el polinomio de tercer grado x 3  +  y 3   entre el trinomio de segundo grado − xy + x   2 +  y 2 . Algunas de las formas en que podemos denotar la división mencionada son: i) ( x 3 +  y 3 ) ÷ (  − xy + x 2 +  y 2 )   2 2 ii) ( x 3 +  y 3 ) /( −    xy + x +  y )  

iii)

 x3 +  y 3

− xy + x +  y 2

2

 

iv) − xy + x 2 +  y   2  x 3 +  y 3   3

3

Primero observamos que en el dividendo aparece dos términos,  x   y  y , si tomamos como variable principal del polinomio a la letra  x, entonces debemos escribir el binomio como un polinomio completo de tercer grado agregando ceros y considerando el 3 término  y  como su término independiente, también posemos observar que en el divisor el trinomio que aparece no está ordenado en forma decreciente respecto del grado de la variable considerada como principal, por lo que debemos también ordenarlo, para que la división indicada quede como se3 muestra a continuación: 2 2 3 2  x − xy +  y  x  + 0 x + 0 x +  y   3

Utilizando, ahora si, la notación iv), se divide el primer término del dividendo ( x ) entre 2 el primer término del divisor ( x ) y el cociente se multiplica por los términos del divisor escribiendo el producto debajo del dividendo, tratando de que queden las mismas  potencias alineadas, restándose a continuación dicho producto del dividendo, según se muestra en seguida:  x  x 2 − xy +  y 2  x 3 + 0 x 2 + 0 x +  y 3  x3 − x 2 y + xy 2 2

2

  3

 x  y − xy +  y  Nuevo dividendo La diferencia encontrada entre el dividendo y el producto mencionado resulta ser el nuevo dividendo. Se repite el proceso anterior, las veces que resulte necesario, respecto a la variable  principal considerada, hasta que el grado del polinomio que aparece como nuevo

 

dividendo sea menor que el grado del polinomio que está en el divisor, como se muestra a continuación:  x +  y  x 2 − xy +  y 2  x 3 + 0 x 2 + 0 x +  y 3  x 3 − x 2 y + xy 2  x 2 y − xy 2 +  y 3    x 2 y − xy 2 +  y 3

0

Se termina el proceso

El resultado anterior significa que la división es exacta y que el dividendo se puede escribir en la forma:  x 3 +  y 3 = ( x 2  − xy +  y 2 )( x +  y )   Ejercicios:

1 3 a) Encuentra la suma de las expresiones − 5 x + 3 y − 3 z   y −  x −  y − 4 z . 3 4 1 3  b) Resta la la expresión − 5 x + 3 y − 3 z  de la expresión −  x −  y − 4 z . 3 4 1 3 c) A la expresión − 5 x + 3 y − 3 z  réstale la expresión −  x −  y − 4 z . 3 4 d) Eleva al cuadrado la expresión ax + by . e) Eleva al cuadrado la expresión ax − by . f) Eleva al cuadrado la expresión 3a 4  − 5b 2 . g) Realiza la siguiente multiplicación (ax + by )(cx + ey ) . h) Realiza la siguiente multiplicación ( x 5 − 3 y 2 )( x 5 + 3 y 2 ) . i) Eleva al cubo la expresión  x −  y . 2 2  j) Efectúa la siguie siguiente nte multip multiplicación licación ( x +  y )( x  − xy +  y ) . 5 2 2 k) Divide la expresión 4 x  y  entre la expresión 2 xy .

l) Divide el polinomio 4ax − 10ax 2 − 5ax + 12 x 2 − 12ax + 15ax 2  entre 3ax 2 . m) Divide 4 x 3h − 6 x 2 h 2 − 4 xh3 − h 4 + 9 x 2  h + 9 xh2 + 3h3 − 4 xh − 2h 2 + h entre h. n) Divide el polinomio de cuarto grado x 4 + 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1   entre el binomio de  primer grado x − 1 . o) Divide el polinomio de cuarto grado x 4 + 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1   entre el trinomio de segundo grado x 2 − 2 x + 1 .  p) Divide el polinom polinomio io de cuarto grado x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1   entre el polinomio de tercer grado 3 x 2 + x 3 − 1 . q) Divide el polinomio de tercer grado x 3  −  y 3   entre el binomio de segundo grado 2 2  xy +  y   + x .

r) Divide el polinomio de tercer grado x   +  y  entre el binomio de primer grado x +  y . 3

3