Deduccion de La Integral de Duhamel

 

DEDUCCION DE LA FORMULA DE DUHAMEL

̇ =

 ()   

(4.2)



En vista de que la carga externa p ( ) desaparece en un instante infinitesimal, este incremento de velocidad se puede considerar como la velocidad inicial de vibración libre que comienza en el instante t – t –   . Por tanto, resulta válido hacer uso de la ecuación.



 =  ̇          

(4.3)

Que describe la respuesta libre de un sistema sencillo no amortiguado con condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad. En este caso:

 = 0 

 ̇ ≡ ̇ ̇ =  () 

(4.4)

Por tanto, se concluye que el desplazamiento producido en un instante t cualquiera es:

=

()  ( (   

) 

(4.5)

Como el sistema es lineal, la respuesta tota puede obtenerse sumando las contribuciones de cada impulso p ( ), es decir:



() (  )  () = ∫ 

(4.6)

Esta solución se conoce con el nombre de integral de Duhamel. En esta ecuación se ha supuesto que las condiciones iniciales del sistema de t = 0 son nulas. En el caso general, que , la respuesta total está dada por la suma de ecuaciones (4.3) y (4.6), es decir  

 ≠0, ̇ ≠ 0

 ()  ̇ () =    ∫   ((  ) 

(4.7)

 



La respuesta general de un sistema con fracción de amortiguamiento viscoso se deduce de manera semejante. El resultado es

()  −(−)   (  )  () =  −  ̇ +       ∫    (4.8)

Donde se ha hecho uso repetido de la ecuación (2.52)

APLICACIÓN Calcular la respuesta de un sistema sin amortiguamiento, ante la carga de forma rectangular mostrada en la figura 4.2 con condiciones nulas. La carga mostrada queda descrita matemáticamente por la ecuación

, 0 ≤ ≤   0,  >  En consecuencia, la respuesta entre t = 0 y t ≤   es P (t) =

  ̅  ((  )  () = ∫ 

0 ≤ ≤  

Lo que da como resultado

    ̅  () =  ((1 1)) 

0 ≤ ≤  

La expresión de la velocidad v elocidad correspondiente a este desplazamiento es

̅ ̇ () =   

(4.9)

 



En el instante t =    se suspende la vibración forzada y comienza una vibración libre con condiciones iniciales

 ≡ () = ̅ 2 (1)   ̇ ̅  ̇ ≡ ( ) =    Por tanto

() =     ̅  [ (1 )],

 >  

(4.10)