Deber Romerotercero

MATEMATICA FINACIERA

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE - EXTENSIÓN LATACUNGA DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

CARRERA DE INGENIERÍA DE SOFTWARE

MATEMATICA FINACIERA

TEMA: AMORTIZACION Y FONDOS DE AMORTIZACION

INTEGRANTES: ROMERO JHOSELIN

DOCENTE: ING.SERGIO TRUJILLO

ABRIL 2016 - AGOSTO2016

1

MATEMATICA FINACIERA

1. Hallar el pago anual necesario para amortizar una deuda

de $5000 con intereses al

4

1 2 %, en 12 años.

Datos: P=5000 i=4.5 =

4.5 =0.045 100

t=12 años

A=

A=

P 1−(1+i)−n i 5000 −12 1−(1+ 0.045) 0.045 A=548.33

2. Hallar el pago trimestral que debe hacer M para amortizar una deuda de $5000 con intereses al 4% convertible trimestralmente, en 10 años. Datos: P=5000 i=4 =

0.04 =0.01 4

t=10 años n=10∗4=40

A=

P 1−(1+i)−n i

2

MATEMATICA FINACIERA

5000 1−(1+ 0.01)−40 0.01

A=

A=152.2779

3. Una deudad de $10000 con interese al % convertible trimestralmente esta siendo amortizado mediante pagos trimestrales iguales durante los proximos 8 años. a) Hallar el capital insoluto justamente despues del 12vo pago. b) El capital insoluto justamente antes del 15vo pago. c) La distribucion del 20vo pago respecto al pago de interes y a la reduccion del capital. Datos: F=10000 i= 0.015 n= 8 * 4 = 32 A= A=

Fi ( 1+i ) [ (1+i )n−1]

10000∗0.015 ( 1+0.015 ) [ ( 1+0.015 )32−1] A=242.1 4

a)

( 1+i )n −1 F=A (1+i) i F=242.14(1+0.015)

( 1+0.015 )12−1 0.015

F=3205.17

Capital insoluto = 6794.83 b)

3

MATEMATICA FINACIERA

F=242.14(1+0.015)

( 1+0.015 )14 −1 0.015

F=3704.23

c)

Capital insoluto = 6258.48 ( 1+0.015 )20−1 ( 1+ 0.015 )19−1 RC=242.14 (1+ 0.015 ) −242.14 (1+ 0.015) 0.015 0.015 Reduccion del Capital=326.13

4. Una persona obtiene un prestamo de $10000 con interese 3

al

1 2

%. La deuda sera liquidada mediante un pago de

$2500 al término de 4 años, seguido de 6 pagos anuales iguales. a) Hallar el pago periodico necesario. b) Hallar el capital insoluto justamente despues del tecer pago periodico. c) Que parte del ultimo pago se aplica al pago de intereses Datos: P=10000 i= 0.0035 A= 2500 P=2500

[

]

1−( 1+0,035 )−10 =20791,51 0.035

I =20791,51 ( 0,035 )=727,70 C=A−I C=2500−727,70=472,3

4

MATEMATICA FINACIERA

a)

A=

10000 ( 0,035 ) =1876,68 −6 1−( 1+0,035 )

b) 4to año = 2369,58 c) I = 38,36 5. Construir una tabla de amortizacion de: a) Una deuda de $4000 con intereses al 4% mediante 5 pagos anuales iguales. b) Una deuda de $6000 con intereses al 6% convertible semestralmente, mediante 6 pagos semestrales iguales. Datos: deuda=$ 400 0 i=4 anual

n=5 años −n

1−i ¿ 1−¿ ¿ P= A ¿

1+ 0,04 ¿−5 1−¿ ( 4000)(0,04) A= ¿ A=$ 898.5084 abono

Año

Amortización

Interés

Abono

0 1 5

738,5048

160

898.5084

Saldo 4000 3261,4952

MATEMATICA FINACIERA

2

768,0485

130,4598

898.5084

2461,4466

3

798,7705

99.7377

898.5084

1694,6770

4

830.7284

67,78

898.5084

863,9476

5

863,9403

34,567

898.5084

0

Datos: deuda=$ 6000 i=6 capitalizable semestralmente i n=

0,06 =0,03 semestral cap . cada semestre 2

n=6 años

1−i ¿−n 1−¿ ¿ P= A ¿ 1+0,04 ¿−6 1−¿ (6000)( 0,03) A= ¿ A=$ 1107,5850 abono Semestre

Amortizació n

Interés

Abono

0

6

Saldo 6000

1

927,5850

180

1107,5850

5072,412

2

955,4125

152,17245

1107,5850

4117,0024

3

984,0749

123,5100

1107,5850

3132,9275

4

1013.5971

93,9878

1107,5850

2119,3303

5

1044,0050

63,5799

1107,5850

1075,3252

6

1075,3252

32,2597

1107,5850

0

MATEMATICA FINACIERA

6. Construir una tabla para el pago de una deuda de $200000, en bonos de $1000 que devengan intereses al 3%, durante un periodo de 5 años, procurando que el costo anual sea lo más igual posible. Datos: interes=

30 =0,03 El pago semestral igual 1000 R=200000 ( 0.22040391 )=44087.8 2

El interes vencido al final del primer año es=200000 ( 0.03 )=600 0 Quedan disponibles: 44087.82−6000=38087.82

Con lo cual pueden redimirse 19 bonos de 10000 cada uno. La tabla es la siguiente: Perio do

Capital insolut o

1 200000, 00 2 162000, 00 3 122000, 00 4 80000,0 0 5 38000,0 0 Total es

Interé s venci do 6000,0 0 4860,0 0 3660,0 0 2400,0 0 1140,0 0 18060, 00

Numero de bonos Adquiridos

Costo de los bonos

Pago Total anual

19,00

38000,00

44000,00

19,00

38000,00

42860,00

20,00

40000,00

43660,00

21,00

42000,00

44400,00

21,00

42000,00

43140,00

200000,0 0

218060,0 0

7. Construir una tabla para el pago de 5 bonos de $10000 cada uno, 20 bonos de $1000 cada uno, 35 bonos de $500 cada uno y 125 bonos de $100 cada uno, pagando 4% por 7

MATEMATICA FINACIERA

lo próximos 6 años, procurando que el costo anual sea lo más igual posible. Datos: 5b = 10000 = 50000 20b = 1000 = 20000 =100000 35b = 500 = 17500 125b = 100 = 12500 Año

Amortización

Interés

Abono

Saldo 4000

0

1

738,5048

160

898.5084

3261,4952

2

768,0485

130,4598

898.5084

2461,4466

3

798,7705

99.7377

898.5084

1694,6770

4

830.7284

67,78

898.5084

863,9476

5

863,9403

34,567

898.5084

0

8. Hallar el importe del depósito anual que es necesario hacer en un fondo de amortización que paga el

4

1 2 %, efectivo

para liquidar una deuda de $25000 con vencimiento en 10 años. Datos: F=25000 i=4.5 =

4.5 =0.045 100

t=10 años

A=F

8

(

1 (1+i )n−1 i

)

MATEMATICA FINACIERA

A=25000

(

1 ( 1+ 0.045 )1 0−1 0.04 5

)

A=2034.47

9. Una empresa obtiene un préstamo de $50000 a 10 años, acordando para interese del 5% al final de cada año, y al mismo tiempo, establece un fondo de amortización para el pago del capital. 1 a) Hallar el costo anual de la deuda si el fondo paga el 3 2 %. b) Cuanto habrá en el fondo justamente después del 7mo depósito. c) Que tanto del incremento al fondo en la fecha del 5to deposito es debido a intereses. a).M =50000 ( 1+ 0.05 )10 M =81444.7313 4

[

( 1+0.035 )10−1 81444.73134=A ( 1+ 0.035 ) 0.035

]

81444.73134=A ( 12.1420 ) A=6707.6911

b y c).Perio do 1 2 3 4 9

Cuota 6707.69 11 6707.69 11 6707.69 11 6707.69

Interés

234.7691 885 477.7552 986 729.2459

Cantidad Acumulada 6707.6911 6942.460289 7185.446399 7436.937023

Saldo 6707.691 1 13650.15 139 20835.59 779 28272.53

MATEMATICA FINACIERA

11 6707.69 11 6707.69 11 6707.69 11

5 6 7

225 989.5387 183 1258.941 762 1537.773 912

7697.229818 7966.632862 8245.465012

481 35969.76 463 43936.39 749 52181.86 25

10. Una deuda de $75000 va a ser liquidado al término de 20 años, teniéndose que pagar interese del 4% convertible trimestralmente, cada tres meses. Puede establecerse un fondo de amortización mediante depósitos trimestrales iguales, el primero de los cuales vencería en tres meses, ganando el fondo de intereses de 3% convertible trimestralmente: a) Hallar el costo trimestral de la deuda. b) La tasa nominal convertible trimestralmente a la cual podría ser amortizada la deuda con el mismo gasto trimestral. Datos : D:75000 n :20 x 4=80

4 i: =1=0.01 4 3 i 1 : =0.0075 4 El cargo por intereses es de 75000 ( 0.01 )=750

A=F

(

1 (1+i )n−1 i

A=75000

10

(

)

1 ( 1+0.0075 )80−1 0.0075

)

MATEMATICA FINACIERA

A=687.6158

El costo trimestral de la deuda es :687.6158+750=1437,62 1 m

j=m ( 1+i ) −1 1

j=20 ( 1+0.04 ) 20 −1 j=19.04 anualmente

j=4,75.04 trimestralmente

11. El 1ro de junio de 1960, una institución empezó a hacer depósitos anuales de R cada uno en un fondo de produce el 3% efectivo, para poder disponer de $15000 anuales durante los siguientes 5 años, con los cuales redimirá uno bonos emitidos. Los primeros bonos vencen el 1ro de junio de 1970. a) Hallar R si el último depósito en el fondo se hace el 1ro de junio del 1970. b) El segundo el 1ro de junio de 1974. Datos: i= 0.03% A= 15000 a).Datos: i= 0.03% A= 15000 nv= 4 n= 11

(

R= A 1+

11

i +i ( 1+i )n−1

)

(

1 i ( 1+ i )n −1

)

MATEMATICA FINACIERA

(

R=1500 0 1+

0.03 +0.03 ( 1+0.03 )4−1

)

(

1 0.03 ( 1+0.03 )11 −1

)

R=15000 ( 1.269 ) ( 12.8078 ) R=243796.47

b).Datos: i= 0.03% A= 15000 n= 5 n= 15 R= A

(

i (1+i )n−1

R=15000

(

)

(

1 i ( 1+i )n−1

0.03 ( 1+0.03 )5 −1

)

(

)

1 0.03 ( 1+0.03 )15−1

)

R=15000 ( 0.1884 )( 18.5989 ) R=52532.69

12. Construir una tabla para acumular: a) $6000 mediante depósitos anuales iguales, al término de cada uno de los próximos 4 años en un fondo que produce el 3% efectivo. b) $8000 mediante depósitos anuales iguales, al término de cada uno de los próximos 5 años en un fondo que produce el efectivo. a).Datos :

12

2

1 2 %

MATEMATICA FINACIERA

P: 6000

n :4 i:3 =0.03

A=

Pi 1−( 1+i )−n

A=

6000(0.03) −4 1−( 1+0.03 )

A=1614. 16 AÑOS

INTERES

ABONO

SALDO

0 1

AMORTIZACI ON 0 1434.16

0 180

0 1614.16

6000 4565.84

2

1751.14

136.98

1614.16

2814.70

3

1698.601

84.44

1614.16

1116.1

4

1647.64

33.48

1614.16

b).Datos :

P: 80 00 n :5

i:2.5 =0.025 A=

Pi 1−( 1+i )−n

A=

8000(0.025) −5 1−( 1+0.035 )

A=1721. 97

13

MATEMATICA FINACIERA

AÑOS

AMORTIZACI ON 0 1921.97 1873.92 1848.09 1792.65 1705.07

0 1 2 3 4 5

INTERES

ABONO

SALDO

0 200 151.95 126.12 70.68 16.90

0 1721.97 1721.97 1721.97 1721.97 1721.97

8000 6078.03 4204.11 2356.02 563.37

13. Una cierta maquinaria cuyo costo es de $1500, se estima que tendrá una vida útil de 5 años y al término de dicho periodo un valor de salvamiento de $200. Preparar una tabla de depreciación utilizando el método de fondo de amortización con intereses al 5%. Datos :

C :15 00 S :200

n :5 i:5=0.05

C :1500−200=1300 A=F

(

1 (1+i )n−1 i

A=13 00

(

)

1 ( 1+0.05 )5−1 0.05

)

A=235.27

AÑOS

0 14

CARGO DE INTERES DEPRECIAC SOBRE ION EL FONDO 0 0

INCREMEN IMPORTE TO DE DE FONDO FONDO

VALOR

0

1500

0

MATEMATICA FINACIERA

1 2 3 4 5

235.27 235.27 235.27 235.27 235.27

0 11.76 24.11 24.73 24.76

235.27 247.03 259.38 260 260.03

235.27 482.3 494.66 495.27 495.30

1264.73 1017.7 558.04 298.04 38.01

14. Para depreciar una maquinaria cuyo valor es $40000 y un valor de salvamiento de $5000 al termino de 25 años, se utiliza el método de fondo de amortización con interese al 4%. Hallar el valor en libros al término de 15 años. n 1+i¿ −1 (¿ ¿i ) ¿ F= A ¿ 1+i¿ n−1 ¿ ABONO: Fi A= ¿ 1+ 0,04 ¿25−1 ¿ 45000(0,04) A= ¿ A=$ 1080,54 TABLA DE FONDO DE AMORTIZACION AÑO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15

CANTIDAD INICIAL 0 1080,54 2204,30 3373,01 4588,47 5852,55 7167,19 8534,42 9956,34 11435,13

INTERES

DEPOSITO

MONTO FINAL

0 43,22 88,17 134,92 183,54 234,10 286,69 341,38 398,25 457,41

1080,54 1080,54 1080,54 1080,54 1080,54 1080,54 1080,54 1080,54 1080,54 1080,54

1080,54 2204,30 3373,01 4588,47 5852,55 7167,19 8534,42 9956,34 11435,13 12973,08

MATEMATICA FINACIERA

10 11 12 13 14 15

12973,08 14572,54 16235,98 17965,96 19765,14 21636,29

518,92 582,90 649,44 718,64 790,61 865,45

1080,54 1080,54 1080,54 1080,54 1080,54 1080,54

14572,54 16235,98 17965,96 19765,14 21636,29 23171,27

15. Se estima que una maquina con costo de $6400 tendrá una vida útil de 8 años y al termino de los cuales un valor de salvamiento de $400. Hallar el valor en libros al final de 5to ano si se utiliza el método de fondo de amortización con intereses de 3%. Datos :

C :6400 S :400

n :8 i:3=0.03

C :6400−400=6000 A=F

(

1 (1+i )n−1 i

A=6000

(

)

1 ( 1+0.03 )8 −1 0.03

)

A=674.74

AÑOS

0 1 2 16

CARGO DE INTERES DEPRECIAC SOBRE ION EL FONDO 0 0 674.74 0 674.74 20.24

INCREMEN IMPORTE TO DE DE FONDO FONDO

VALOR DE LIBROS

0 674.74 694.98

6400 5725.26 5030.28

0 674.74 1369.72

MATEMATICA FINACIERA

3 4 5

674.74 674.74 674.74

41.09 41.71 41.73

715.83 716.45 716.47

1390.57 1391.19 1391.21

4314.45 3598 2881.52

16. Se espera que una mina de carbón tenga un rendimiento anual de $30000 por los próximos 25 años. Hallar el precio de la compra sobre la base de rendimiento del 7% anual, suponiendo que el fondo de rembolso produce el 4%. P=30000

Datos: n=25 i 1=0.07 i 2=0.04

30000∗0.07 12 A= 25 0.07 1+ −1 12

(

)

A=1118.116417

[ ( [

F=

F=

(

25

1+

1+

0.04 −1 12 0.04 12

)

0.04 25 −1 12 0.04 12

)

] ]

F=29100.13221

17. Se estima que el rendimiento anual de un pozo petrolero será de $75000 y al término de 15 años el pozo no tendrá valor alguno. Hallar el precio que debe pagarse por el pozo petrolero para que produzca el 10% sobre la

17

MATEMATICA FINACIERA

inversión, si puede disponerse de un fondo de amortización que produce el 3%. 0 .1 P+ P

P=

1 =75000 (1+i )n−1 i

(

)

75000 1 0,1+ ( 1+ 0.03 )15−1 0.03

(

)

P=487752.28

18.

M paga $25000 por los derechos sobre la patente de

un invento por 10 años. Si puede acumularse al

3

1 2 %,

que ingreso anual le producirá 8% sobre la inversión. 0 . 0 8 P+ P

P=

(

1 =2 5000 ( 1+i )n−1 i

)

2 5000 1 0.0 8+ ( 1+0.03 5 )10−1 0.03 5

(

)

P=4131.04

19. Se espera que una mina de carbón con costo de $225000 produzca un ingreso anual de $25000 en los próximos 20 años. Suponiendo que puede establecerse un 18

MATEMATICA FINACIERA

fondo de amortización con rendimiento de 4%. Que tasa de interese ganara el comprador.

A=

25000∗0.04 =998.81 ( 1+0.04 )20−1 998.81 es lo que se depositara cada Año.

Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19

Fondo de Inicio 0 998,81 2037,5724 3117,8852 96 4241,4107 08 5409,8771 36 6625,0822 22 7888,8955 1 9203,2613 31 10570,201 78 11991,819 86 13470,302 65 15007,924 76 16607,051 75 18270,143 82 19999,759 57 21798,559 95 23669,312 35 25614,894

Interés Ganado 0 39,9524 81,502896 124,71541 18 169,65642 83 216,39508 54 265,00328 89 315,55582 04 368,13045 32 422,80807 14 479,67279 42 538,81210 6 600,31699 02 664,28206 98 730,80575 26 799,99038 27 871,94239 8 946,77249 4 1024,5957

Deposito final de año 998,81 998,81 998,81 998,81

Monto Final 998,81 2037,5724 3117,885296 4241,410708

998,81

5409,877136

998,81

6625,082222

998,81

7888,89551

998,81

9203,261331

998,81

10570,20178

998,81

11991,81986

998,81

13470,30265

998,81

15007,92476

998,81

16607,05175

998,81

18270,14382

998,81

19999,75957

998,81

21798,55995

998,81

23669,31235

998,81

25614,89484

998,81

27638,30064

MATEMATICA FINACIERA

20

84 27638,300 64

94 1105,5320 25 9766,4426 62

998,81

29742,64266

19976,2

Fondo de amortizacion=9766,4426+19976,2=¿ 29742,6427

Por lo que la ganancia del comprador es de 7.75% =

7

3 4

20. Una cierta maquinaria avaluada en $3000 tiene una vida útil de 3 años, produce 250 unidades anuales y se gastan $750 anuales por mantenimiento. Hallar el costo unitario de producción C si se desea un rendimiento de 4% sobre la inversión.

( 870 )+ 3000( C=

C=

1 ) s ¬ 3.04

250

870 + 250

1 ) s ¬ 3.04 250

3000(

C=3.45+12(

1 ) s ¬ 3.04

El costo unitario de la producción es de:

C=3.45+12(

1 ) s ¬ 3.04

21. Un comprador puede escoger entre dos máquinas: La primera produce 100 unidades anuales, cuesta $2000, tiene una vida útil de 8 años y requiere $600 anuales para mantenimiento; la segunda produce 125 unidades anuales, cuesta $2500, la vida útil es de 10 años y requiere de $750 anuales para mantenimiento. Comparar el costo unitario en

20

MATEMATICA FINACIERA

cada máquina suponiendo que se desea un rendimiento de 3

1 2 %.

1 ) s ¬ 8 .035 10 0

( 1 70 ) +2 000( C=

C=

170 + 10 0

2000 (

C=1.7+2 0(

1 ) s ¬ 8.035 10 0

1 ) s ¬8 .035

El costo unitario de la producción es de:

C=1.7+20(

1 ) s ¬8.035

1 ) s ¬10.035 125

( 87.5 )+ 25 00( C=

C=

87.5 + 125

25 00 (

C=0 .7+2 0(

1 ) s ¬10.035 125

1 ) s ¬10.035

El costo unitario de la producción es de: 1 C=0 .7+20( ) s ¬10.035 22. La maquinaria del problema 28 puede ser reacondicionada en tal forma que su vida útil sea de 5 años. Si en estas condiciones produce 300 unidades anuales y se necesitan únicamente $500 anuales para

21

MATEMATICA FINACIERA

mantenimiento. Cuanto debe estar dispuesto a gastar el propietario en el reacondicionamiento sobre la base de 4%. ( ( 1+ 0,04 ¿5 −1 )) F=500 0,04

F=2.708,16 A=

2.708,16 ( 0,04 ) 1−(1+0,04)−5

A=107,11

23. Un préstamo de $4500 va a ser amortizada en los próximos 10 años mediante pagos mensuales iguales. La tasa de interés es 3% convertible mensualmente durante los primeros 4 años y luego el 4% convertible mensualmente. Hallar el pago mensual. Datos: P=4500 i1=3 =

0.03 =0.0025 12

i2=4 =

0.04 =0.003 12

t=10 años n 1=4∗12=48

n 2=6∗12=72

A=

22

P 1−(1+i)−n i

MATEMATICA FINACIERA

A=

1−( 1+0.0025 ) 0.0025

−48

4500 1− (1+ 0.0033 )−72 −48 + ∗( 1+0.0025 ) 0.0033

A=

4500 45.18+ 56.76

A=44.1423 24. Demostrar que cuando un fondo de amortización puede ser acumulado a la misma tasa de interés que está pagando por la deuda, el costo periódico de la deuda es igual al cargo periódico por amortización. n D(1+i) , para poderla amortizar luego de Si se tiene una deuda n años se tiene que cancelar una cantidad fija cada año n−1 Para la primera anualidad se tiene que A (1+i) y para cada anualidad vamos a elevar el valor del exponente del binomio hasta que en la última anualidad se conserva Sumando los valores obtenidos de cada anualidad tenemos S=A+A(1+i)+….. +A(1+i)^(n-2)+ A(1+i)^(n-1) Para poder encontrar la suma de la progresión utilizamos n

a( r −1) s= r −1

siendo r la razón

Donde igualamos las ecuaciones

D(1+i)n =

La cantidad anual depositada será:

A=

A( 1+i)n−1 i

D(1+i)n i (1+i)n−1

Con esto se demuestra que cuando un fondo de amortización puede ser acumulado a la misma tasa de interés que se está pagando por la deuda, el costo periódico de la deuda es igual al cargo periódico por amortización. 25. Una deuda está siendo amortizada al 5% mediante pagos de $500 anuales. Si el capital insoluto es $9282,57 justamente después del k-esimo pago: 23

MATEMATICA FINACIERA

a) Cuanto era justamente después del (k-1) pago. b) Cuanto será justamente después del (k+1) pago. a)

S=R

[ [

( 1+i )n−1 i

( 1+i )n−1 R=S i

] ]

−1

[

0.05 10 1+ −1 12 R=( 9282.87−500 ) 0.05 12

(

)

]

−1

=$ 9316.73

b)

[

1−( 1+i ) S=R i

n

]

S=( 9282.87−500 )

[

(

0.05 12 0.05 12

1− 1+

10

)

]

=$ 9246.70

26. Un fondo de amortización está siendo acumulado al 3% mediante depósitos de $300 anuales. Si el fondo tiene $10327,94 justamente después del k-asimos deposito: a) Cuanto tendrá justamente después del (k-1) depósito. b) Cuánto tendrá justamente después del (k+1) deposito. Cuánto tendrá justamente después de (k-1): i=292,08 porlo tanto 292,08+300=592,08

10327,94−592,08=9735,86 Cuánto tendrá justamente después de (k+1): 10327,94∗0.03=309,84

24

MATEMATICA FINACIERA

309,84+300=609,84

10327,94+609,84=10937,78

27. Si una deuda A con interés a la tasa i por periodo de interese está siendo amortizada mediante n pagos de R cada uno. Demostrar que el capital insoluto justamente después del k-esimos pago es: El capital insoluto es igual a capital anterior menos la amortización del periodo quedándonos el capital insoluto después de k-esimos de la siguiente manera: CI =F

CI =R

(

1 n −A (1+i ) n (1+i ) −1 i

(

1 K − A ( 1+i ) K ( 1+i ) −1 i

)

)

28. Si en el problema 35, A es el precio de la compra de un activo, demostrar que el interés del comprador por el activo, justamente después del k-esimo pago es:

( R− Ai ) skℸi Rskℸi −Ais kℸi

25

[ A ( 1+i )k −Rskℸi ]− A ( R− Ai ) skℸi

k

k

A ( 1+ i ) −Rskℸi −A ( 1+i ) + Ais kℸi ( x−1 )