Deber Modelado - Grupo5 PDF

 

  “

TEORIA DE CONTROL” 

TEMA: DEBER 1 “MODELADO MATEMATICO” 

CARRERA:

Ingeniería Mecánica Automotriz

NOMBRES: 

Luis Buñay. Diego Quiridumbay. Julio Tenecela. Andres Tapia. Jose Ramon. Henry Yunga.

DOCENTE:

Ing. Diego Valladolid. 

CICLO:

 Noveno.

CUENCA –  ECUADOR  ECUADOR 

 

Ejercicio E2.14  Obténgase la ecuación diferencial en función de i1 e i2 para el circuito de la Figura E2.14. 

MALLA 1

1∗1 1  11 ∫1−22∗1=

 

MALLA 2

22−1222  1∫ 22−12 11 ∫1−2 1−2 2∫ 12 ∫22=0

 

 

Ejercicio P2.12 Se muestra un sistema de control de caudal, donde un fluido incompresible entra en un depósito abierto. Supongamos que el cambio en el caudal de salida   es proporcional Al cAmbio en Altura . En el estAdo estAcionArio  y

⁄

∆   =   =

∆

. Usando una aproximacion lineal, obténgase la función de transferencia del

∆  ∆ Considerando:

deposito

Supóngase un estanque de área transversal con un caudal de entrada, el volumen es función de la altura del líquido, el estanque cuenta con un desfogue ubicado en el fondo, este último está compuesto por una tubería de área transversal.

Tenemos que tener conocimiento del modelo estático que determina la velocidad de flujo que sale por el desfogue. Para esta condición se aplica Bernoulli entre un punto de referencia en la superficie y el  punto de salida.

1 =  2 =  1 =  2 =  1 =  2 = 

  son cero.

 y

Considerando que la presión manométrica entre los puntos

Donde m es la masa de las partículas del fluido entre los puntos Donde v es la velocidad de la salida de las partículas

1  = 2  =  2 2  

 

 y

 y

 

 

 

El flujo de salida del tanque para el caso de una sección transversal es S.

=  =  2 2  

 

Como el ejercicio el flujo que lo da es mediante una válvula y su ecuación es:  

 √ ∆∆  :  : =    :   ∆:   −  √ ∆:

 

Se puede concluir que el flujo que pasa por la válvula es proporcional al área de abertura de la válvula en caso de que la diferencia de presiones sea constante.

2  =  2

 

Donde tómanos la ecuación del ejercicio que nos da de salida



 = ⁄

.

Vamos a suponer que el flujo de entrada es  es proporcional a la abertura de la válvula de entrada considerando un suministro constante.

 = 

 

 MODELO MATEMATICO QUE REPRESENTA AL COMPORTAMIENTO DEL  NIVEL DENTRO DEL TANQUE. TANQUE.

Donde

  ℎ = −

 

ℎ :    ::         = =⁄   ℎ = −  

 

 

 

 

Reemplazando con los valores Q1 Q2 EN LA FUNCION BASE:      ⁄    ℎ =   − 2

 

El tanque tiene que trabajar sobre un cierta cie rta operación o nivel para encontrar un modelo

 se hace = 0 

matemático lo que significa que todo lo que entra sale. Por lo que

=  = 2⁄

 

 

 

 que va a ser la altura estando en equilibrio despejando tenemos

Se denota

 = 

 = 2⁄  =  2 



 

 

Tenemos que linealizar la ecuación para ello utilizaremos series de TAYLOR utilizando en el punto donde el líquido va a estar en equilibrio

 ,ℎ= ℎ ∆1|(|(̅1,̅ℎ )   ∆ℎ∆ℎ|(|(̅1,ℎ̅ )  , ℎ ≈ (̅1,ℎ̅ )   ∆1 ̅ ∆1=1− 1 ℎ 1 ∆ℎ=ℎ−ℎ̅   ℎ =  −2√ℎ  

 

 

 

 

Utilizando derivadas parciales a la ecuación se obtiene respecto a1 y a2

̅   ̅   ̅  , ℎ ≈11−2 ℎ 1∆1−2− 2ℎ∆ℎ      , ℎ =  ℎ|( |(̅1,,ℎ̅ℎ) =1∆12 1∆12    2 ̅ ℎ ∆ℎ ℎ     

Reemplazando en la ecuación:

  ℎ ≈  ℎ |(|(̅1,ℎ̅ ) 1∆12 2̅ℎ∆ℎ ̅   ℎ ℎ ̅    −   |(|(̅1,ℎ ) ≈1∆12 2ℎ∆ℎ  ̅ℎ ∆ℎ ∆  ≈1∆12 2 ∆ℎ  

 

 

 

 

TRANSFORMANDO LAPLASE

̅        ℎℎ  =11 =11 2 2ℎ ℎ ̅   =11  ℎℎ −2 2ℎ ℎ =11 ℎ  − − 22 2̅ℎ =11 =11 ℎ11 = 1  − − 22 2̅ℎ ∆∆ = 1  −2 −2 2̅ℎ

 

 

 

 

 

 

 Ejercicio P2.29. Se desea equilibrar una pelota que rueda sobre una viga inclinada. Se supondrá que la corriente de entrada del motor i controla el par con una fricción despreciable.

∅=

Supóngase que la viga se puede equilibrar cerca de la horizontal  por lo tanto se tendra una pequeña desviación de ( . Averiguese la funcion de transferencia   y dibújese un diagrama de bloques que ilustre la función de transferencia que muestre

/

∅ ∅,   .

 

Ilustración 1. Modelo de un motor eléctrico de corriente continua con viga _ bola.

 Modelo matemático del motor DC Se supone que el par desarrollado por el motor está relacionado linealmente con ϕ y con la corriente del inducido, es decir:

 =   

 

Es evidente que, para mantener la proporcionalidad de la ecuación, la corriente de armadura debe ser constante, mientras que la corriente de campo es la generada por el voltaje de entrada, lo que proporciona una sustancial amplificación de potencia. Entonces se tiene:

 =. 

 

 

Considerando que

   ̈ =. 

 

Donde J es el momento de inercia Despejando J de la ecuación anterior tenemos

  ̈ =   .

 

Integrando ambos lados de la ecuación tenemos

∫   ̈ = ∫   . ∫  ̇ = ∫   .  =  .

   

(1) 

 

 Modelo matemático del sistema mecánico. Aplicano la segunda ley de newton de sumatoria de fuerzas tenemos: t enemos:

  .  =..−. 

 

Donde m = masa de la esfera  b = Coeficiente de fricción Asumiendo que el Angulo

≈ 

 tenemos  

.̈ = ..−.̇ ̈ = .−  ̇ ̈ −  ̇ = .

Dividiendo toda la ecuación para m = masa tenemos

Despejamos

..

 

 tenemos

 

(2)

Remplazando (1) en (2) tenemos:

̈ −  ̇ = .  .   

 

 

Realizando la trasformada de Laplace tenemos

   .  = .   .

 

Sacamos factor común de x(s) tenemos:

       .=. .=.  .

Despejando la función de salida sobre la función de entrada

 .     =     . 

/

 tenemos:

 

Diagrama de bloques



 ʃ  

 

 

g

 

i

 

 

 

 Ejercicio P2.47 Una carga añadida a un camión produce en una fuerza F sobre el soporte del resorte y la rueda flexa tal como se muestra en la figura P2.47 (a). En la figura f igura P2.47 (b) se muestra el modelo del movimiento de la rueda. Determínese la función de transferencia X1(s)/F(s)

Diagramas de Cuerpo Libre

  −  

 − 

 

  

 

 − 

 

 

 − 

 

 

    

 



 

 

Ecuación 1 (masa mv)

  −          −  =           −     −  =   



 

Laplace

        −   −   =        −      =

 

 

 

 

 

Ecuación 2 (masa mt)

        −  −  −  −  = 0         −      −    = 0              −   −  = 0               −   −   = 0            −      = 0     =         

 

 

Laplace

 

Se despeja:

 

Y se reemplaza en la ecuación 1:



 

      −     =        −             =                        −           =     1    =       −        

 

 

   = [           1     −    ]       =                                   −        



 





 





      =                                  −        



 

 

 





 

 

 Ejercicio PA3.5 La Figura PA3.5 muestra una masa M suspendida de otra masa m por p or medio de una varilla ligera de longitud L. Obténgase la ecuación matricial diferencial en variables de estado utilizando un modelo lineal al considerar un Angulo pequeño para θ



Mg sen  

Mg



Mg cos  

Realizamos la sumatoria de fuerzas en x

sin =0      −   cos sin

 

(1)

Sacamos momentos momentos con respecto al pivote

− =     −

 

Las condiciones que nos da el libro es que coloca con un valor de 0:

(2)



va a ser el valor mas pequeño por lo rtasnto le lo

 

=0      −   cos0 sin0=0   −0=  coscos00  

 

 

(3) (4)

Donde nos queda de la siguiente manera:

   −  =−   −=    ̈  −  −  = ̈

 

(5)

 

(6)

Donde de esta manera reemplazamos la ecuación la 6 en la ecuación 5 para de esa manera lograr obtener una ecuación de primer orden necesaria

      −−  =−   −  − −  =−  

 

(7) (8)



  −−=− =   − + −   = +    + −    ̈   = +  

 

 

 

 

(9) (10) (11) (12)

De la misma manera lo reemplazamos en la ecuación anterior

+ −   −  = ̈  +   + + −    −     = ̈      −   −  = ̈ ̈ =     

(13) (14) (15) (16)

Una vez obtenido las ecuaciones de primer orden se procede a encontrar las variables de estado

 =   = ̇ 3 =  4  ̇  =

     

 

 ̇= ̇  ̇ = ̈ 3 ̇=   ̈ 4 ̇   ̈  =  

 

 

 

 

De esa manera reemplazamos los valores en las ecuaciones anteriores

+ −     ̈   = +   + −  4 ̇=   +  

(17)  

(18)

En la segunda ecuación

̈ = ̇=  −   ̇  ̇  3̇  4̇  

(19)  

(20)

Representado en matrices queda de la siguiente manera

 

0

1

0

0

 

0

0

   

0

 

0

0

0

1

 

0

0

+ +  

0

  3 4

   

0 +

  

 

0

 

  

