deber dinámica de rotación

Departamento de Ciencias Exactas Física Jhonny Sánchez

Deber nº11.- Inercia Nrc.-1332

PROBLEMA 1. En la fig., el peso Wc=2g lb es movido hacia abajo con una velocidad de V=16 pies/s2. El momento de Inercia del tambor B es I=12 pie-lb-s2, el cual rota sin fricción. Si el coeficiente de rozamiento entre el freno A y el tambor es µ =0,40; cual será la fuerza P necesaria para detener el sistema en t=2s. Cuál es la reacción en D sobre la barra.

𝑎𝑡 =

𝑉 16 = = 8𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑟 2 𝑎𝑡 = 𝛼 ∗ 𝑟

−8 = 𝛼 + 1.25 𝛼 = −6.4 𝑎 = 𝛼 ∗ 𝑟 = −6.4 ∗ 1.25 = −8 𝑚/𝑠 2 𝐹 = 𝑚∗𝑎 T

𝑚∗𝑔−𝑇 =𝑚∗𝑎 28 − 𝑇 =

m*g

28 ∗ −8 32.3

𝑇 = 34.96 𝑁 𝜏=𝐼∗𝛼 𝐹𝐹𝑟 ∗ 𝑅 − 𝑇 ∗ 𝑟 = 𝐼 ∗ 𝛼 − 𝐹𝐹𝑟 ∗ 2 + 34.96 ∗ 1.25 = 12 ∗ −6.4 𝐹𝐹𝑟 = 60.25 𝑁

𝑁=

𝐹 60.25 = = 150.62 𝑁 𝜇 0.4

−𝑁 0.66 + 𝑃 2.66 + 𝐹𝑟 0.25 = 0 − 150.62 0.66 + 𝑃 2.66 + 60.25 0.25 = 0 𝑃 2.66 = 150.62 0.66 − 60.25 0.25 𝑃 2.66 = 85.85 𝑃 = 32.27 𝑁 𝐹𝑥 = 0 𝑁 − 𝑃 − 𝐷𝑥 = 0 150.62 − 32.27 = 𝐷𝑥 𝐷𝑥 = 116.9 𝐹𝑦 = 0 𝐷𝑦 − 𝐹𝑟 = 0 𝐹𝑟 = 𝐷𝑦 𝐷𝑦 = 60.25 PROBLEMA 2. Determinar el momento de inercia del ensamble de la fig., que consta de dos barras delgadas y una placa circular, con respecto a su centro de masa. Masa de las barras: 3kglm Placa delgada: L2kglmz R=0,3 m; r=0,1m

𝛿𝑏1 =

𝑚 𝑚 = 𝐿 1.5

𝑘𝑔 ∗ 1.5𝑚 = 𝑚 𝑚 𝑚𝑏1 = 4.5𝑘𝑔 𝑚 𝑚 𝛿𝑏2 = = 𝐿 0.8 3

3𝑘𝑔 ∗ 0.8𝑚 = 𝑚𝑏2 𝑚 𝑚𝑏2 = 2.4𝑘𝑔 𝑚 𝑚 𝛿𝑝 = = 2 𝐴 𝜋𝑟 𝑚𝑝 = 3.39𝑘𝑔 𝑟𝑐 =

𝑚1 𝑟1 + 𝑚2 𝑟2 + 𝑚3 𝑟3 4.5 ∗ .75 + 3.39 ∗ 1.8 + 2.4 ∗ 0 = = −0.92099𝑗 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 4.5 + 3.39 + 2.4

PROBLEMA 3. En la fig. se muestran dos masas: m1 y m2 que están conectadas la una con la otra por una cuerda ligera que pasa por dos poleas idénticas, cada una con un momento de inercia I. Determinar la aceleración de cada masa y las tensiones T1, T2 y T3 en las cuerdas.

𝐹 =𝑚∗𝑎 𝑚1 ∗ 𝑔 − 𝑇1 = 𝑚1 ∗ 𝑎 𝑇1 = 𝑚1 𝑔 − 𝑎 𝐹 =𝑚∗𝑎 𝑇3 − 𝑚2 ∗ 𝑔 = 𝑚2 ∗ 𝑎 𝑇3 = 𝑚2 𝑎 + 𝑔 𝑇1 𝑅 − 𝑇3 𝑅 = 𝐼 ∗ 𝛼 𝑚1 𝑔 − 𝑎 𝑅 − 𝑚2 𝑎 + 𝑔 𝑅 = 2 𝐼 ∗ 𝑚1 𝑔 − 𝑎

− 𝑚2 𝑎 + 𝑔

=2 𝐼∗

𝑎 𝑅

𝑎 𝑅

𝑚1 ∗ 𝑔 − 𝑚1 ∗ 𝑎 − 𝑚2 ∗ 𝑎 − 𝑚2 ∗ 𝑔 = 2 𝐼 ∗ 𝑚1 ∗ 𝑔 − 𝑚2 ∗ 𝑔 = 𝑎 𝑔 𝑚1 − 𝑚2 = 𝑎 𝑎=

2𝐼 + 𝑚1 + 𝑚2 𝑅2

2𝐼 + 𝑚1 + 𝑚2 𝑅2

𝑔 𝑚1 − 𝑚2 2𝐼 𝑅2

+ 𝑚1 + 𝑚2

𝑎 𝑅

PROBLEMA 4. Cuál es la aceleración angular de la polea de la figura. Datos: I=12,2 slug-pie2 R=0,9 pies; Wa=20 lb; Ws=30Ib.

T1

T1 W1

W1

W1

W1

𝐹𝑦 = 𝑚 ∗ 𝑎 ; 𝑎 =∝∗ 𝑅 𝑊1 − 𝑇1 = 𝑚1 𝑎1

; 𝑇1 = 20 − 0.62 ∝ 𝑅1

;

𝑇1 = 20 − 0.55 ∝

𝑊2 − 𝑇2 = 𝑚2 𝑎2

; 𝑇2 = 30 − 0.93 ∝ 𝑅2

;

𝑇2 = 30 − 0.83 ∝

𝜏 =𝐼∗𝑎 30 − 0.83 ∝ 0.9 + −20 − 0.55 0.9 = 12.2 ∝ 27 − 0.747 ∝ −18 − 0.5 ∝= 12.2 ∝ 9 = 13.45 ∝ ∝= 0.669𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 PROBLEMA 5. Una cuerda pasa sobre una polea sin fricción y soporta un peso W1 y el otro extremo esta enrollado alrededor de un cilindro de peso W2, el cual rueda sobre un plano horizontal. Cuál es la aceleración del peso W1.

𝐹𝑦 = 𝑚𝑎 𝑤1 − 𝑇 = 𝑚1𝑎1 𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑐 𝑇 + 𝐹 = 𝑚2. 𝑎2 𝑀=𝐼𝛼

𝑇. 𝑟 − 𝐹. 𝑟 = 0,5. 𝑚2. 𝑟 2 . 𝛼 𝑇 − 𝐹 = 0,5. 𝑚2. 𝑟.

𝑎𝑐 𝑟

𝑇 − 𝐹 = 0,5. 𝑚2. 𝑎2 𝑇 + 𝐹 = 𝑚2𝑎2 𝑇 − 𝐹 = 0,5. 𝑚2. 𝑎2 3 2𝑇 = 𝑚2𝑎𝑐 2 3 𝑇 = 𝑚2𝑎 4 Consideración 𝑎1 = 2𝑎2 𝑤1 − 𝑇 = 𝑚1𝑎1 3 𝑇 = 𝑚2𝑎2 4 3 𝑤1 = 𝑚1𝑎1 + 𝑚2𝑎2 4 3 𝑤1 = 2𝑚1𝑎2 + 𝑚2𝑎2 4 Despejando 3 𝑤1 = 𝑎2 2𝑚1 + 𝑚2 4 𝑎2 = pero 𝑎1 =

𝑤1 𝑤1 2 𝑔

3 𝑤2 𝑔

+4

𝑎1 = 2𝑎2 2𝑤1 𝑤1 2 𝑔

3 𝑤2 𝑔

+4

PROBLEMA 6. Un cilindro Homogéneo rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal. Determinar la aceleración del C.M., la fuerza de rozamiento y la reacción del plano, peso del cilindro: Wc= 483lb.

a) 𝑀𝑜 = 𝐼 ∝ 1 𝑎 𝐹1 𝑟 − 𝐹2 𝑟 = 𝑚𝑟 2 ∗ 2 𝑟 1 483 200 − 250 𝑟 = ∗ 𝑟𝑎 2 32.2

𝑎 = −6.667 𝑓𝑡/𝑠 2 b) 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎 483 𝐹1−𝐹2 + 𝑓𝑟 = ∗ (−6.667) 32.2 483 200 − 250 + 𝑓𝑟 = ∗ (−6.667) 32.2 𝑓𝑟 = 150 𝑙𝑏 c) 𝐹𝑦 = 0 𝑁 − 𝑊𝑐 = 0 𝑁 = 𝑊𝑐 𝑁 = 483 𝑙𝑏 PROBLEMA 7. La carga B se conecta a una polea doble mediante uno de los cables mostrados en la fig. El cable C controla el movimiento de la polea, con una aceleración constante de ac=pies/s', y una velocidad inicial Vo=12 pulg/s, ambas dirigidas hacia la derecha. Determinar: a) El numero de revoluciones realizadas por la polea en 2s. b) La velocidad y el cambio de posición de la carga B después de 2s. c) La aceleración del punto D localizado en el borde de la polea interna cuando t=0 s..

𝑉0𝐷 = 𝑉0𝐶 = 12

𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠

;

𝑎𝐷 = 𝑎𝐶 = 9

𝑉0𝐷 = 𝑟𝑤0 12 = 3𝑤𝑜

𝑤𝑜 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑎𝐷 = 𝑟 ∝ 9=3∝ ∝= 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 Para t=2s 𝑤 = 𝑤0 +∝ 𝑡 𝑤 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠 + (3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 )(2 𝑠) 𝑤 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 1 𝜃 = 𝑤0 𝑡 + 𝛼𝑡 2 2 4𝑟𝑎𝑑 1 3𝑟𝑎𝑑 𝜃= 2𝑠 + ( 2 )(2𝑠)2 𝑠 2 𝑠 𝜃 = 14 𝑟𝑎𝑑

𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠2

a)

1 𝑟𝑒𝑣 ) 2𝜋𝑟𝑎𝑑 𝑛𝑟𝑒𝑣 = 2.23 𝑟𝑒𝑣

𝑛𝑟𝑒𝑣 = (14 𝑟𝑎𝑑)( b) 𝑣𝐵 = 𝑟𝑤

𝑟𝑎𝑑 ) 𝑠 𝑣𝐵 = 50 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠

𝑣𝐵 = (5 𝑝𝑖𝑒𝑠)(10

𝑌𝐵 = 𝑟𝜃 𝑌𝐵 = 5 𝑝𝑖𝑒𝑠 14𝑟𝑎𝑑 𝑌𝐵 = 70 𝑝𝑖𝑒𝑠 c)

𝑎𝐷 = 𝑎𝑐 = 9𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 𝑡 = 0𝑠 ; 𝑤0 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑎𝐷 = 𝑟𝐷 𝑤𝑜 2 4𝑟𝑎𝑑 𝑎𝐷 = 3𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠2 𝑎𝐷 = 48 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2

PROBLEMA 8. Determine el mínimo coeficiente de fricción estático para que el cilindro empiece a rodar. La polea carece de peso y sin fricción. Wcilindro=150 lb, ko=1.25 pies, R1=1,5 pies, R2=2,0 pies y W=75lb.

𝐼 = 𝐾2 ∗ 𝑚

150 32.2 𝐼 = 7.278 𝑙𝑏 − 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 𝐼 = 1.252 ∗

𝐹𝑦 = 0 𝑁 − 𝑤𝑐𝑜𝑠30 = 0 𝑁 = 129.904 𝐹𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑎 𝑇 − 𝑓𝑟 − 𝑊𝑐 𝑠𝑒𝑛30 = 𝑚𝑐 𝑎𝑐 𝑊−𝑇 =𝑚∗𝑎 𝑀𝑜 = 𝐼 ∝ −𝑇𝑅1 − 𝑓𝑟𝑅2 = 7.278 ∝ 𝑇 = 10.48𝑙𝑏 𝑓𝑟 = −44.502𝑙𝑏 1.5𝑇 − 2𝑓𝑟 = 7.25 ∝

𝑇 = 75 − 1.125 ∝ 1.5 75 − 1.165 ∝ − 2 10.481 ∝ = 7.278 ∝ 4.24𝑟𝑎𝑑 ∝= − 𝑠2 𝑓𝑟 𝜇= 𝑁 44.502 𝜇= 129.904 𝜇 = 0.343

PROBLEMA 9. Una varilla delgada de masa m=20 kg, gira en un plano vertical y en el instante mostrado en la fig., tiene una velocidad angular ω=5 rad/s. Determinar la aceleración angular de la varilla y las componentes horizontal y vertical de la reacción del perno en ese instante.

𝑀=𝐼𝛼 𝑀𝐿2 ∗𝛼 3 20 ∗ 32 20 ∗ 9.8 ∗ 1.5 + 60 = ∗𝛼 3 354 𝛼= 60 𝛼 = 5.9 𝑚. 𝑔 ∗ 1.5 + 60 =

𝐹𝑛 = 𝑚 ∗ 𝑤 2 ∗ 𝑟 𝑅𝑥 = 20 ∗ 52 ∗ 1.5 𝑅𝑥 = 750𝑁 𝐹𝑡 = 𝑚 ∗ 𝛼 ∗ 𝑟 𝑅𝑦 + 𝑤 = 20 ∗ 5.9 ∗ 1.5 𝑅𝑦 = 177 − 20 ∗ 9.8 𝑅𝑦 = 19𝑁

PROBLEMA 10. Una polea de W=12lb y radio k=8pulg, esta conectada a dos bloques como muestra en la fig. Si se supone que no hay fricción en el eje, determinar la aceleración angular de la polea y la aceleración de cada bloque.R1=6pulg, R2=10pulg, Wa=5lb, Wb=10lb.

T1

T1

W1

W2 W1

W2

8 𝐼 = 𝑟 ∗ 𝑚𝐼 = 12

2

2

∗

12 32.2

𝐼 = 0.165𝑠𝑙𝑢𝑔 − 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 𝐹𝑦 = 𝑚 ∗ 𝑎 ;

𝑎 =∝∗ 𝑅

𝑊1 − 𝑇1 = 𝑚1 𝑎1

; 𝑇1 = 10 − 0.31 ∝ 𝑅1

;

𝑇1 = 10 − 0.15 ∝

𝑇2 − 𝑊2 = 𝑚2 𝑎2

; 𝑇2 = 5 + 0.15 ∝ 𝑅2

;

𝑇2 = 5 − 0.125 ∝

𝜏 =𝐼∗𝑎 − 𝑇2 ∗ 𝑅2 + 𝑇1 ∗ 𝑅1 = 0.165 ∗∝ − 5 + 0.125 ∝ 0.833 + 10 − 0.15 ∝ 0.5 = 0.165 ∝ −4.16 − 0.104 ∝ +5 − 0.07 ∝= 0.165 ∝ 0.84 = 0.355 ∝ ∝= 2.36 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 𝑎𝐴 =

5 𝑎 3 𝐵

5 −4.16 − 0.125𝑎𝐵 + 5 − 0.15 ∗ 𝑎𝐵 = 0.389 3 0.451 = 0.38𝑎𝐵 𝑎𝐵 = 1.186𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠 2 𝑎𝐴 =

5 1.18 3

𝑎𝐴 = 1.966𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠 2