Deber de Métodos Numéricos

DEBER MÉTODOS NUMÉRICOS 5.1 Úsese el método de Newton-Raphson para determinar la raíz mayor de: 2 f  ( ( x )=−0.875  x + 1.75 x + 2.625  x i=3.1

Emp Emplées léese e un valo alor inic inicia iall de hasta !ue

ϵ  0

 sea menor del

ϵ 

s

. Real Realíc íces ese e los los clc clculo ulos s

=0.01 . "am#ién veri$í!uese los

errores en la respuesta %nal. 2 Sea la función f  ( ( x )=−0.875  x +1.75 x +2.625  tenemos que:

En la gr!ca "o#emos $er que la función corta en #os "artes al e%e & "or lo que ten#r'amos #os ra'ces( "ero el "ro)lema solo nos "i#e la ra'* ma+or, -a fórmula que $amo amos a utili*ar "ara ara calc alcular el $al $alor #e las f  ( xi )  x i+1= x i− a"ro&imaciones ser: f ' ( xi ) Sien#o la función inicial

f  ( x )=−1.75 x + 1.75  ' 

 la "rimera #eri$a#a #e la función

&oluci'n: El $alor #e la ra'* ma+or es  x i=3  +a que el error "orcentual

es inferior al error "e#i#o al "rinci"io, −12 Sea f  ( ( 3 ) =−1.75 x 10 5.( )etermínese las raíces reales de: 2 3 f  ( ( x )=−2.1 + 6.21 x −3.9 x + 0.667 x a* +r%camente #* ,sando el método de Newton-Raphson Newton-Raphson hasta !ue

Sea la función

f  ( ( x )=−2.1 + 6.21 x −3.9 x + 0.667 x 2

3

ϵ 

s

=0.01 .

 tenemos que:

En la gr!ca "o#emos o)ser$ar que tenemos que la función corta al e%e & en tres ocasiones "or lo que $amos a tener . $alores #e ra'ces, -a "rimera #eri$a#a #e la función es

 ' 

f  ( x )=6.21−7.8 x + 2.001 x

2

&oluci'n: El $alor #e la ra'* ma+or es  x i=3  +a que el error "orcentual

es inferior al error "e#i#o al "rinci"io, −12 Sea f  ( ( 3 ) =−1.75 x 10 5.( )etermínese las raíces reales de: 2 3 f  ( ( x )=−2.1 + 6.21 x −3.9 x + 0.667 x a* +r%camente #* ,sando el método de Newton-Raphson Newton-Raphson hasta !ue

Sea la función

f  ( ( x )=−2.1 + 6.21 x −3.9 x + 0.667 x 2

3

ϵ 

s

=0.01 .

 tenemos que:

En la gr!ca "o#emos o)ser$ar que tenemos que la función corta al e%e & en tres ocasiones "or lo que $amos a tener . $alores #e ra'ces, -a "rimera #eri$a#a #e la función es

 ' 

f  ( x )=6.21−7.8 x + 2.001 x

2

/i 0 1,2

/i 0 3

/i 0 .

-os $alores #e /i se 4an toma#o seg5n se acercan a la ra'*, &oluciones: Ra'* 6:  x i=0.46263285

+

f  ( ( 0.46263285 ) =−9,7744  x 10

Ra'* 3:

 x i=1.98364208

+

f  ( ( 1.98364208 )=−2.6198 x 10

Ra'* .:

 x i=3.43078685

+

−10

−7

−7

f  ( ( 3.43078685 )=3,7994  x 10

5. Empléese el método de Newton-Raphson para determinar las raíces reales de: 2 3 4 5 f  ( x )=−23.33 + 79.35 x −88.09 x + 41.6 x −8.68 x +0.658 x  ,sando el valor inicial de a*  x i=3.5  #*  x i=4.0  y c*  x i=4.5 . /rué#ense y 0sense los métodos r%cos para e2plicar cual!uier peculiaridad en los resultados.

Como nos muestra la !gura la gr!ca corta al e%e & en 2 "untos( resultn#onos 2 ra'ces( "ero solo $amos a calcular el $alor #e las "e#i#as "or el e%ercicio, -a "rimera #eri$a#a #e la función es 2

3

f ' ( x )=79,35 −176,18 x + 124,8  x −34,72 x + 3,29 x

/i 0 .,2

/i 0 7

4

/i 0 7,2

&oluciones: Ra'* 6:  x i=3.84408306

+

f  ( 3.84408306 ) =0

Ra'* 3:

 x i=3.84408306

+

f  ( 3.84408306 ) =0

Ra'* .:

 x i=0.56220287

+

−16

f  ( 0.56220286 ) =4,86 x 10

-os $alores #e las ra'ces se aseme%an a los $alores #el gra!co #e la función, 5.3 )etermínese la raíz real menor de: 2 3 f  ( x )= 9.36 – 21.963 x + 16.2965 x −3.70377 x a* +r%camente #* ,sando el método de la secante4 hasta un valor de correspondiente a tres ci$ras sini%cativas.

ϵ 

s

4

-a gr!ca nos muestra . ra'ces "ero el e%ercicio nos "i#e calcular la menor #e ellas "or lo que nuestro inter$alo a tra)a%ar ser entre 81,9 6,6;, -a "rimera #eri$a#a #e la función es: 2 f ' ( x )=−21,963 + 32,593 x −11,11131 x

&oluci'n:

-a menor #e las ra'ces toma un $alor #e

 x i−1 =1,11960202

 con un $alor #e

−14

f  ( x i−1 )=−3.11 x 10

5.5* ocalícese la raíz positiva de: f  ( x )=0.5 x − sen x )onde 2 est dada en radianes. Úsese un método ra%co y después calc0lese tres interacciones con el método de NewtonRaphson con un valor inicial de  x i=2.0   para calcular la raíz. Repítanse los clculos pero con un valor inicial de  x i=1.0 . Úsese el método ra%co para e2plicar los resultados.

-a gra!ca nos muestra #os ra'ces una "ositi$a + otra negati$a "ero el e%ercicio nos "i#e calcular solo el $alor #e la "ositi$a, -a "rimera #eri$a#a #eri$a#a #e la función es:

/i 0 3

/i 0 6

&oluci'n:

f ' ( x )= 0,5−cos ( x )

ercicio 3 %2ecante % X1 clear clc syms x cf= .3'-($1.'3"x&(1'.$'5"(x#$-(3.!03!!"(x#3 f=inline(cf )er=)iff(cf*x )f=inline()er x0=0. xi= 1.1 tol=0.001 error=100 n=1 )isp(+ n xi-1 xi xi&1 error + )isp(+ 0 0. 1.1 ----100+ while (error,=tol x$ = xi - (xi-x0"f(xi(f(xi-f(x 0   error=as(((x$-xix$"100   x0=xi   xi=x$ fprintf(+ %i %.f %.f %.f %.f/n+*n * x0* xi* x$ *error   n=n&1 en) % X$ syms x cf= .3'-($1.'3"x&(1'.$'5"(x#$-(3.!03!!"(x#3 f=inline(cf )er=)iff(cf*x )f=inline()er x0=1.1 xi= 1.$ tol=0.001 error=100 n=1 )isp(+ n xi-1 xi xi&1 error + )isp(+ 0 0. 1.1 ----100+ while (error,=tol x$ = xi - (xi-x0"f(xi(f(xi-f(x 0

     

error=as(((x$-xix$"100 x0=xi xi=x$ fprintf(+ %i %.f * x0* xi* x$   n=n&1 en)

%.f

%.f *error

%.f/n+*n

% X3 syms x cf= .3'-($1.'3"x&(1'.$'5"(x#$-(3.!03!!"(x#3 f=inline(cf )er=)iff(cf*x )f=inline()er x0=$.1 xi= $.3 tol=0.001 error=100 n=1 )isp(+ n xi-1 xi xi&1 error + )isp(+ 0 0. 1.1 ----100+ while (error,=tol x$ = xi - (xi-x0"f(xi(f(xi-f(x 0   error=as(((x$-xix$"100   x0=xi   xi=x$ fprintf(+ %i %.f %.f %.f %.f/n+*n * x0* xi* x$ *error   n=n&1 en)

E>ercicio 5 %Newton-Raphson %xi=$ clear clc syms x cf= (0.5"x-sin(x f=inline(cf )er=)iff(cf*x )f=inline()er xi= $ tol=0.01 error=100 n=1 )isp(+ n xi error + )isp(+ 0 $ 100+ while (n=3 x1 = xi - f(xi )f(xi   error=as(((x1-xix1"100   xi=x1 fprintf(+/t%i /t%3.5f /t%f/n+*n error   n=n&1

* xi*