Deber 8

Andrés Miniguano Trujillo

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber 8: Teorema Del Límite Central 1. La joyería “Calidad Asegurada” solo produce joyas de tipo A y de tipo B. Para las de tipo A utiliza 30 gramos de oro y para las de tipo B 60 gramos. 1.1. Halle la media y la varianza de la cantidad de oro que se utiliza en la joyería.

A → 30 [ g ] B → 60 [ g ] X : cantidad de oro usado 1 , x=30 2 p ( x )= 1 , x=60 2 1 1 μ=E [ X ] =30 +60 =45 [ g ] 2 2

{

() ()

2

σ 2=V [ X ]= E [ X 2 ] −( E [ X ] ) =30 2

( 12 )+ 60 ( 12 )−45 =225 [ g ] 2

2

2

1.2. Si una persona va a comprar tres joyas, halle la media y la varianza de la media de las posibles tres joyas que puede comprar. Muestra n=3 Datos: x 1 , x 2 , x 3 ´ Media muestral: X

μ X´ =E [ X´ ] =μ=45 [ g ] 2 σ 255 σ 2X´ =V [ X´ ] = = =85 [ g2 ] n 3

2. Si en el ejercicio 1 se acepta que el número de joyas del tipo A que se produce es el triple del número de joyas B y que el cliente va a comprar cuatro joyas, halle:

{

3 p ( x )= 4 1 4

, x=30 , x=60

Muestra n=4 Datos: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ´ Media muestral: X 2.1. La media y la varianza de la cantidad de oro que se utiliza en la joyería.

( 34 )+60( 14 )=37.5000[ g] 3 1 σ =V [ X ]= E [ X ] −( E [ X ] ) =30 ( )+ 60 ( )−37.5 =168.7500 [ g ] 4 4 μ=E [ X ] =30 2

2

2

2

2

2

2

2.2. La media y la varianza de la media de las posibles cuatro joyas que puede comprar.

Andrés Miniguano Trujillo

Por el teorema del límite central:

μ X´ =E [ X´ ] =μ=37.5000 [ g ] 2 σ 168.75 2 ´ [ ] σ X´ =V X = = =42.1875 [ g2 ] n 4 3. Al analizar el rendimiento de cierta máquina que tiene distribución normal se ha observado que el 10% de la producción media de 20 días de trabajo es mayor que 800 unidades y el 8% de la producción media de 20 días es menor que 500 unidades. ¿Qué porcentaje de producción media de 20 días es mayor que 700 unidades? X : producción diaria. Muestra : n=20 ´ Media muestral: X

P ( X´ >800 ) =0.10 P ( X´ 700 )=?

t−student , con ν =n−1=19 . 800−μ s P ( X´ >800 ) =0.10 ⇒ P T > =0.10 ⇒1.328 =800−μ s √ 20 √ 20

Estandarizando trabajamos con

(

)

( )

por interpolación:

500−μ =t 0.08 ( 19 ) s √ 20 α =0.10 ⇒t =1.328 α =0.05 ⇒ t=1.729 t=m α +b 1.328 ¿ m ( 0.10 ) +b 1.729 ¿ m ( 0.05 ) +b m=−8.02, b=2.13, t ≈ 1.4884

{

(

P ( X´ 700 )=P T > =P ( T > 0.3894 ) ≈ 0.35067 476.43 √ 20

(

)

Andrés Miniguano Trujillo

4. La panadería “El buen sabor” solo produce los tipos de pan A y B. Para A se utiliza 150 gramos y para B 200 gramos. De A se produce 4 veces lo que produce de B. X : cantidad de gramos usados.

{

4 , x=150 5 p ( x )= 1 , x=200 5 Muestra n=4 Datos: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ´ Media muestral: X 4.1. Halle la media y la varianza de la cantidad de harina que se usa en la panadería.

( 45 )+200 ( 15 )=160 [ g] 4 1 σ =V [ X ]= E [ X ] −( E [ X ] ) =150 ( )+200 ( )−160 =400 [ g ] 5 5 μ=E [ X ] =150 2

2

2

2

2

2

2

4.2. Si una persona desea comprar cuatro panes, halle la media y la varianza de la media de los cuatro posibles panes que puede adquirir. Por el teorema del límite central:

μ X´ =E [ X´ ] =μ=160 [ g ] 2 σ 400 σ 2X´ =V [ X´ ] = = =100 [ g2 ] n 4 5. Una muestra aleatoria de tamaño 81 se extrae de una población infinita con media 76 y varianza 256. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una media entre 75 y 78? Muestra n=81 Datos: x 1 , x 2 , … , x 81

μ=76 σ 2=256

Media muestral:

X´

P ( 75< X´