Deber 2

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA ENERGIA Y MECANICA CARRERA DE x Mecánica

ASIGNATURA x Instrumentación Industrial Mecánica Instrumentación Mecatrónica 1

Mecatrónica

Instrumentación Mecatrónica 2

TITULO DEL TRABAJO/PROYECTO/CONSULTA/DEBER: Deber 2

INTEGRANTES Nombre

Paralelo

Carla Villacís

FECHA DE ENTREGA

04 de Octubre de 2011

A

HORA

23:30 5:05

DEBER 2 Realice todos los ejercicios de característica estática del libro de Bentley, 4 ed. 1. The e.m.f. at a thermocouple junction is 645 μV at the steam point, 3375 μV at the zinc point and 9149 μV at the silver point. Given that the e.m.f.–temperature relationship is of the form E(T) = a1T + a2T2 + a3T3 (T in °C), find a1, a2 and a3. 645 = a1(645) + a2(645) 2 + a3(645) 3 3375 = a1(420) + a2(420) 2 + a3(420) 3 9149 = a1(962) + a2(962) 2 + a3(962) 3 a1 = 5.845 μV°C-1 a2 = 6.303*10-3 μV°C-2 a3 = -2.592*10-6 μV°C-3 2. The resistance R(θ) of a thermistor at temperature θ K is given by R(θ) =αexp(β/θ). Given that the resistance at the ice point (θ =273.15 K) is 9.00 kΩ and the resistance at the steam point is 0.50 kΩ, find the resistance at 25 °C. Con R(θ) = 9.00 kΩ

9  αe

β 273.15

β 373.15

0.5  αe 0.5 α β

9

α e

Con R(θ) =0.50 kΩ

β 273.15

e 373.15

De lo que se tiene:

9 e

β 273.15

β β  373.15 273.15

0.5

 e

β 373.15

1 18 β β 1   ln   373.15 273.15  18  β  2946.04 K e

A los 25ºC = 298.15 2946.04

R θ   1.86 *10 -4 * e 298.15 R θ   3.637 kΩ



9

α e α

β 273.15

9 2946.04 273.15

e α  1.86 *10  4 kΩ

3. A displacement sensor has an input range of 0.0 to 3.0 cm and a standard supply voltage Vs = 0.5 volts. Using the calibration results given in the table, estimate: a) The maximum non-linearity as a percentage of f.s.d. b) The constants KI, KM associated with supply voltage variations. c) The slope K of the ideal straight line. Displacement x cm Output voltage millivolts (Vs= 0.5) Output voltage millivolts (Vs= 0.6)

0.0 0.0 0.0

0.5 16.5 21.0

1.0 32.0 41.5

1.5 44.0 56.0

2.0 51.5 65.0

2.5 55.5 70.5

3.0 58.0 74.0

Voltaje de salida [mV]

Característica Estática 80 70 60 50 40 30 20 10 0

y = -8,261x2 + 49,39x - 0,381

y = -6,5x2 + 38,89x - 0,428 V = 0.5 V

V = 0.6 V

0

1

2

3

4

x [cm]

c)

Omax  Omin Imax  Imin 58  0 K 3-0 K  19.33 mV cm -1 K

a) V(x) = -6.5x2 + 38.98x – 0.428  Aproximando del gráfico V(x) = 19.33x  Ideal V(x) = 19.33x + N(x)  Ajuste para curvas no lineales N(x) = -6.5x2 + 38.98x – 0.428 -19.33x = -6.5x2 + 19.65x – 0.428  V(x) ideal y V(x) real N’(x) = -13x + 19.65 = 0  para que sea máxima  x = 1.51  n = Nmax = N(1.51) = -6.5(1.51)2 + 19.65(1.51) – 0.428 = 14.42

n *100 Omax  Omin 14.42 nl%  *100 58  0 nl%  24.87 nl% 

b) KI = 0  No existe desplazamiento de la curva a lo largo de ningún eje. IM = Vs1-Vs2 = 0.1 mV

O' max  O' min Imax  Imin 74  0 K'  3-0 K'  24.67 mV cm -1 K' 

24.67 = 19.33 + KM(0.1) KM = 53.37 mV cm-1 V-1 4. A liquid level sensor has an input range of 0 to 15 cm. Use the calibration results given in the table to estimate the maximum hysteresis as a percentage of f.s.d. Level h cm Output volts h increasing Output volts h decreasing

0.0 0.00 0.14

1.5 0.35 1.25

3.0 1.42 2.32

4.5 2.40 3.55

6.0 3.43 4.43

7.5 4.35 5.70

9.0 5.61 6.78

10.5 6.50 7.80

Característica estática 12 y = -0,008x 2 + 0,822x + 0,025

Voltaje

10 8

6 y=

4

0,010x2 + 0,532x -

0,213

Voltaje de salida incrementando Voltaje de salida decreciendo

2 0

0

5

10 I [cm]

15

20

12.0 7.77 8.87

13.5 8.85 9.65

15.0 10.2 10.2

H(I) = Ob(I) – Os(I) H(I) = -0,008x2 + 0,822x + 0,025 - 0,01x2 - 0,532x + 0,213 = -0,018x2 + 0.29x + 0.238 H’(I) = -0.036x+0.29 = 0  para que sea máxima x = 8.055 h = maxH(I) = H(8.055) = 1.406 h h%  *100 Omax  Omin 1.406 h%  *100 10.2 - 0 h%  13.78 5. A repeatability test on a vortex flowmeter yielded the following 35 values of frequency corresponding to a constant flow rate of 1.4x10-2 m3 s-1: 208.6; 208.3; 208.7; 208.5; 208.8; 207.6; 208.9; 209.1; 208.2; 208.4; 208.1; 209.2; 209.6; 208.6; 208.5; 207.4; 210.2; 209.2; 208.7; 208.4; 207.7; 208.9; 208.7; 208.0; 209.0; 208.1; 209.3; 208.2; 208.6; 209.4; 207.6; 208.1; 208.8; 209.2; 209.7 Hz. a) Using equal intervals of width 0.5 Hz, plot a histogram of probability density values. b) Calculate the mean and standard deviation of the data. c) Sketch a normal probability density function with the mean and standard deviation calculated in (b) on the histogram drawn in (a). b)

O

1 N 1 35 O  Ok  k 35  N k 1 k 1

O  208.637  208.6 σO 

1 N 1 35 (O k  O ) 2  (O k  208.637) 2   N k 1 35 k 1

σ O  0.6302  0.6 c) p(O) 

p(O) 

1 σo

 (O  O) 2  exp   2 2σ o  2π 

 (O  208.637) 2  exp   2(0.6302) 2  0.6302 2π  1

a) Ejemplo para O = 208.8  (208.8  208.637) 2  1 p(208.8)  exp   2(0.6302) 2 0.6302 2π   p(208.8)  0.6122

p(O)

Histograma 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

1

2

3

4

5

6

7

Oi

6. A platinum resistance sensor is used to interpolate between the triple point of water (0 °C), the boiling point of water (100 °C) and the freezing point of zinc (419.6 °C). The corresponding resistance values are 100.0 Ω, 138.5 Ω and 253.7 Ω. The algebraic form of the interpolation equation is: RT = R0(1 + αT + βT 2 ) where RT Ω = resistance at T °C R0 Ω =resistance at 0 °C α, β =constants. Find the numerical form of the interpolation equation. 100 = R0(1 + α(0) + β(0) 2 )  R0 = 100 Ω 138.5 = R0(1 + α(100) + β(100) 2 )  0.385 = 100α + 10000β 253.7 = R0(1 + α(419.6) + β(419.6) 2 )  1.537 = 419.6α + 176064.16β  α = 3.908*10-3  β = -5.821*10-7 Entonces, la ecuación es: RT = 100(1 + 3.908*10-3T + -5.821*10-7T 2 ) 7. The following results were obtained when a pressure transducer was tested in a laboratory under the following conditions: I. Ambient temperature 20 °C, supply voltage 10 V (standard) II. Ambient temperature 20 °C, supply voltage 12 V III. Ambient temperature 25 °C, supply voltage 10 V Input (barg) Output (mA) I II

0

2

4

6

8

10

4 4

7.2 8.4

10.4 12.8

13.6 17.2

16.8 21.6

20 28

III

6

9.2

12.4

15.6

18.8

22

(a) Determine the values of KM, KI, a and K associated with the generalised model equation O = (K + KMIM)I + a + KI II . (b) Predict an output value when the input is 5 barg, Vs =12 V and ambient temperature is 25 °C. a) Se tiene dos efectos, el del voltaje y el de la temperatura ambiental.  El del voltaje es entre I e II, y nos proporciona IM, así: IM = 12 – 10 = 2  El de la temperatura es entre I e III, y nos proporciona II, así: II = 25 – 20 = 5 Para I, K = 1.6; a = 4 Para II, K’ = 2.4, y como K’ = K + KMIM  2.4 = 1.6 + 2KM  KM = 0.4 Para III, a’ = 6, y como a’ = a + KIII  6 = 4 + 5KI  KI = 0.4 b) P = 5 barg, Vs =12 V, y T = 25 °C. O = (K + KMIM)I + a + KI II . O = (1.6 + (0.4)(2))(5) + 4 + (0.4)(5) O = 18 mA 8. A force sensor has an output range of 1 to 5 V corresponding to an input range of 0 to 2x105 N. Find the equation of the ideal straight line. Si para Imin = 0, Omin = 1, entonces a = 1. Omax  Omin K Imax  Imin 5 1 K 2 * 10 3 - 0 K  2 * 10 3 O(I) = 2*10-3I + 1 9. A differential pressure transmitter has an input range of 0 to 2x10 4 Pa and an output range of 4 to 20 mA. Find the equation to the ideal straight line. Si para Imin = 0, Omin = 4, entonces a = 4. Omax  Omin K Imax  Imin 20  4 K 2 * 10 4 - 0 K  8 * 10  4 O(I) = 8*10-4I + 4

10. A non-linear pressure sensor has an input range of 0 to 10 bar and an output range of 0 to 5 V. The output voltage at 4 bar is 2.20 V. Calculate the non-linearity in volts and as a percentage of span. Si para Imin = 0, Omin = 0, entonces a = 0. Omax  Omin K Imax  Imin 50 K 10 - 0 K  0.5 Oi(I) = 0.5I Si I = 4 bar  Oi(4) = 0.5*4 = 2 V Si I = 4 bar  O(4) = 2.2 V N(I) = O(I) – Oi(I) N(4) = 2.2 – 2 N(4) = 0.2 V N *100 Omax  Omin 0.2 nl%  *100 5-0 nl%  4 nl% 

11. A non-linear temperature sensor has an input range of 0 to 400 °C and an output range of 0 to 20 mV. The output signal at 100 °C is 4.5 mV. Find the non-linearity at 100 °C in millivolts and as a percentage of span. Si para Imin = 0, Omin = 0, entonces a = 0. Omax  Omin K Imax  Imin 20  0 K 400 - 0 K  0.05 Oi(I) = 0.05I Si I = 100ºC  Oi(100) = 0.05*100 = 5 mV Si I = 100ºC  O(100) = 4.5 mV N(I) = O(I) – Oi(I) N(4) = 4.5 – 5 N(4) = -0.5 mV

N *100 Omax  Omin - 0.5 nl%  *100 20 - 0 nl%  2.5 nl% 

12. A thermocouple used between 0 and 500 °C has the following input–output characteristics: Input T°C 0 Output E μV 0

100 5268

200 10777

300 16325

500 27388

a) Find the equation of the ideal straight line. b) Find the non-linearity at 100 °C and 300 °C in μV and as a percentage of f.s.d. a) Si para Imin = 0, Omin = 0, entonces a = 0. Omax  Omin Imax  Imin 27388  0 K 500 - 0 K  54.776 K

Ei(T) = 54.776T b) Ei(T) = 54.776T T = 100ºC Ei(100) = 54.776*100 = 5477.6 μV E(100) = 5268 μV

T = 300ºC Ei(300) = 54.776*300 = 16432.8 μV E(300) = 16325 μV

N(T) = E(T) – Ei(T) N(100) = 5268 – 5477.6 N(100) = -209.6 μV

N(T) = E(T) – Ei(T) N(300) = 16325 – 16432.8 N(300) = -107.8 μV

N *100 Omax  Omin - 209.6 nl%  *100 27388 nl%  0.765

nl% 

nl% 

N *100 Omax  Omin - 107.8 nl%  *100 27388 nl%  0.394

13. A force sensor has an input range of 0 to 10 kN and an output range of 0 to 5 V at a standard temperature of 20 °C. At 30 °C the output range is 0 to 5.5 V. Quantify this environmental effect. El efecto medioambiental es la temperatura, que se puede cuantificar así: IM = 30ºC – 20ºC = 10ºC Tambiental = 20ºC Omax  Omin K Imax  Imin 50 K 10 - 0 K  0.5

Tambiental = 30ºC Omax  Omin K'  Imax  Imin 5.5  0 K'  10 - 0 K'  0.55

K'  K  K M I M 0.55  0.5  10K M K M  5 *10 3 V kN -1 º C -1

Como no existe desplazamiento de la curva respecto al eje I u O, entonces: KI = 0 14. A pressure transducer has an output range of 1.0 to 5.0 V at a standard temperature of 20 °C, and an output range of 1.2 to 5.2 V at 30 °C. Quantify this environmental effect. El efecto interferente es la temperatura, que se puede cuantificar así: II = 30ºC – 20ºC = 10ºC

Tambiental = 20ºC a=1

Tambiental = 30ºC a' = 1.2

a'  a  K I I I 1.2  1  10K I K I  0.02 V º C -1

Como no existe cambio en el rango de salida, entonces: KM = 0 15. A pressure transducer has an input range of 0 to 104 Pa and an output range of 4 to 20 mA at a standard ambient temperature of 20 °C. If the ambient temperature is increased

to 30 °C, the range changes to 4.2 to 20.8 mA. Find the values of the environmental sensitivities KI and KM. Tambiental = 20ºC Tambiental = 30ºC II = 30-20 =10ºC IM = 30-20 =10ºC a'  a  K I I I K'  K  K M I M Omax  Omin Omax  Omin K K'  Imax  Imin Imax  Imin 4.2  4  10K I 0.1596  0.1538  10K M -1 20  4 20.8  4.2 K I  0.02 mA º C K M  6 *10 4 mA Pa -1 º C -1 K K'  104 - 0 104 - 0 K  0.1538 K'  0.1596 a=4

a' = 4.2

16. An analogue-to-digital converter has an input range of 0 to 5 V. Calculate the resolution error both as a voltage and as a percentage of f.s.d. if the output digital signal is: a) 8-bit binary b) 16 -bit binary 8 bits 5 2 1 5 ΔI R  8 2 1 ΔI R  0.0196 V  19.61 mV I R Resolucion %  *100 Imax  Imin 0.0196 Resolucion %  *100 5 Resolucion %  0.392 ΔI R 

n

16 bits

5 2 1 5 ΔI R  16 2 1 ΔI R  7.63 *10 5 V  76.3 μV I R Resolucion %  *100 Imax  Imin 7.63 *10 5 Resolucion %  *100 5 Resolucion %  1.526 *10 3 ΔI R 

n

17. A level transducer has an output range of 0 to 10 V. For a 3 metre level, the output voltage for a falling level is 3.05 V and for a rising level 2.95 V. Find the hysteresis as a percentage of span. H(I) = O(I)bajada – O(I)subida H(3) = 3.05 – 2.95 H(3) = 0.1 V H *100 Omax  Omin 0.1 H%  *100 10 - 0 H%  1 H% 

Realice tres ejercicios de Característica estática del compendio de ejercicios. 1. Para un sensor bimetálico de hierro y níquel, cuyo rango de medición es de 10 a 150 ºC, Determine: a. Rango de salida. b. Alcance. c. Sensibilidad Las placas del sensor son de 100x10x1 mm y los valores de E y α para el Fe y el Ni son 211.4 GPa, 12.1x10‐6 K-1, 99.5 Gpa, y 13.3x10‐6 K-1.

a) Para T = 20ºC (temperatura ambiente) Δl  (α Ni - α Fe ) * l o * ΔT l - l o  (α Ni - α Fe ) * l o * ΔT l  l o  (α Ni - α Fe ) * l o * ΔT lmax  0.1  (13.3 *10 6 - 12.1 *10 -6 ) * 0.1 * (150 - 20) lmax  0.1000117 m lmin  0.1  (13.3 *10 6 - 12.1 *10 -6 ) * 0.1 * (10 - 20) lmin  0.0999991 m

b) Asalida = Omax – Omin Asalida = 0.1000117 – 0.0999991 Asalida = 1.26*10-5 m Aentrada = Imax – Imin Aentrada = 150 – 10 Aentrada = 140ºC c) Sensor lineal  sens = K = (Omax – Omin)/(Imax – Imin) = (1.26*10-5)/140  sens = 9*10-8

2. La placa rectangular, mostrada en sección vertical AB, es de 4m de alto y 6m de ancho (normal al plano del dibujo) y bloquea la salida de un tanque de agua de vaciado rápido. La puerta está sujeta en su parte superior por un pasador en A y en la inferior por una pieza, en B, que puede descender para permitir su apertura. Si sobre la pieza en B se coloca un sensor piezoeléctrico para medir el nivel del líquido, determine cuál es la variación de su voltaje de salida suponiendo que el mínimo nivel de agua en el tanque es de 25 cm y el máximo de 3.5 m. Suponga que la característica estática del cristal piezoeléctrico es el indicado en la gráfica.

A = 25 cm P = γ*h P = (1000 kg/m3)*(9.8 m/s2)*(0.025 m/2) P = 1.225 kPa = 1225 Pa

A = 3,5 m P = γ*h P = (1000 kg/m3)*(9.8 m/s2)*(3.5 m/2) P = 17.15 kPa = 17150 Pa

P = F/A  F = P*A F = (1225 Pa)*(0.25 m)*(6 m) F = 1.8375 kN yc = 0.25/3 = 8.33*10-2 m  MA  0 Bx*4 – 1.8375*(4 – 8.33*10-2) = 0 Bx = 1.8 kN

P = F/A  F = P*A F = (17150 Pa)*(3.5 m)*(6 m) F = 360.15 kN yc = 3.5/3 = 1.166 m  MA  0 Bx*4 – 360.15*(4 – 1.166) = 0 Bx = 255.16 kN

Para Bx = 1.8 kN, el voltaje de salida es aproximadamente 0 V. Para Bx = 255.16 kN, el voltaje de salida es aproximadamente 13.5 V. 3. En el tanque de almacenamiento de agua de la figura, calcule el valor de la presión sobre el manómetro cuando se le imprime una aceleración de 10 m/s2, y determine cuál debe ser el rango de entrada del sensor de presión para esta aplicación. Suponga que el aire sobre el líquido se encuentra a una presión de 60 kPa. El tanque tiene 1 m de altura, 1.20 m de longitud y 0.6 m de profundidad.

Pman = Paire + Pagua Pman = 60 kPa + γah Pman = 60000 Pa + (1000 kg/m3)*(10 m/s2)h Pman = 60000 + 10000h

0  h  0.8 Pmanmin = 60000 + 10000 (0) = 60000 Pa Pmanmax = 60000 +10000 (0.8) = 68000 Pa Las otras dimensiones no se toman en cuenta porque la presión del agua sólo depende de la columna de fluido. Consulte los siguientes términos:       

Sensores activos y pasivos Precisión, repetibilidad y reproducibilidad. Tolerancia Incertidumbre en la medición. Deriva de cero y deriva de sensibilidad Respuesta frecuencial o respuesta en frecuencia Estabilidad.

Sensores activos y pasivos Son aquellos que emiten energía sobre el objeto y reciben la señal reflejada por el mismo. Los sensores activos más comunes son los sensores de RADAR (Radio Detection And Ranging), estos sensores trabajan en el rango de las microondas, razón por la cual es posible trabajar sobre cualquier condición atmosférica. Otro tipo de sensor activo es el LIDAR (Light Detection and Ranging), este sensor permite conocer información de alturas y variaciones de altura en superficie calculando el tiempo de retorno de una señal. Sensores Pasivos Son aquellos que utilizan fuentes externas de energía para obtener información de los objetos. La mayoría de los sensores utilizados para la observación de la tierra son pasivos; estos sensores generalmente trabajan sobre el rango del visible dentro del espectro electromagnético. Dentro de ellos se encuentran algunos sistemas fotográficos, sensores multiespectrales e hiperespectrales. Precisión La precisión representa la capacidad de un instrumento de dar el mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas condiciones. Se obtiene el error de

precisión de una serie de medidas al restar la máxima medida de la mínima medida. Es decir, precisión es lo mismo que rango. Tener un error de precisión alto significa variabilidad e incertidumbre en un instrumento, y eso es lo más indeseable en la ingeniería. Repetibilidad La repetibilidad se define como la proximidad de concordancia entre los resultados de mediciones sucesivas del mismo mensurando bajo las mismas condiciones de medición. Las condiciones de repetibilidad incluyen: el mismo procedimiento de medición, el mismo observador, el mismo instrumento de medición, utilizado bajo las mismas condiciones, el mismo lugar, repetición en un periodo corto de tiempo. La repetibilidad puede ser expresada cuantitativamente en términos de la dispersión característica de los resultados (precisión). Reproducibilidad La reproducibilidad determina la proximidad de concordancia entre los resultados de mediciones sucesivas del mismo mensurando bajo condiciones de medición que cambian. Una declaración válida de reproducibilidad requiere que se especifique la condición que cambia. Las condiciones que cambian pueden incluir: principio de medición, método de medición, observador, instrumento de medición, patrón de referencia, lugar, condiciones de uso, tiempo. Tolerancia La tolerancia es una definición propia de la metrología industrial, que se aplica a la fabricación de piezas en serie. Dada una magnitud significativa y cuantificable propia de un producto industrial (sea alguna de sus dimensiones, resistencia, peso o cualquier otra), el margen de tolerancia es el intervalo de valores en el que debe encontrarse dicha magnitud para que se acepte como válida, lo que determina la aceptación o el rechazo de los componentes fabricados, según sus valores queden dentro o fuera de ese intervalo. Incertidumbre en la medición Es un parámetro asociado a los resultados de una medición que caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser atribuidos razonablemente al mensurando o magnitud sujeta a una medición. La incertidumbre está presente en todos los aspectos de la metrología. Al medir temperatura con un termómetro, al medir longitud con una regla, o al pesar una carga en una balanza. Esto, por las circunstancias o condiciones que rodean a la medición.

Deriva de cero Se suelen considerar la deriva de cero a la variación en la señal de salida para el valor cero de la medida atribuible a cualquier causa interna. Es el cambio en la lectura del cero de un instrumento que pueda suceder con el tiempo (figura 1).

Figura 1: Efecto de la deriva de cero.

Deriva de sensibilidad La deriva de sensibilidad es la cantidad que varía la sensibilidad como resultado de cambios en las condiciones ambientales (figura 2).

Figura 2: Deriva de la sensibilidad.

Respuesta frecuencial o respuesta en frecuencia Es un parámetro que describe las frecuencias que puede recibir o emitir un dispositivo. Es decir, la respuesta de un sistema en estado de régimen permanente ante una entrada sinusoidal. Cuando aplicamos a un sistema una entrada senoidal, la salida también será senoidal y de la misma frecuencia. La salida puede diferir de la entrada en amplitud y fase. Estabilidad Aptitud de un instrumento de medición para mantener constante en el tiempo, sus características metrológicas. En el caso de que la estabilidad se considere en función de otra magnitud diferente del tiempo, esta debe ser mencionada claramente. La estabilidad puede ser cuantificada en varias formas, por ejemplo: - Por el tiempo en el cual cambia una característica metrológica por una cantidad dada. - El cambio de una característica en un tiempo determinado. Bibliografía -

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