Deber 2 (Prop. Basicas de Probab.)

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS INGENIERÍA EMPRESARIAL

Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber N. 2: Propiedades Básicas, Métodos de Conteo, Probabilidad Condicional 1. Si P ( A)  0.4 ; P( B)  0.3 ; P( A  B)  0.1 , halle : c P   A  B  P  A   B  Ac  P  Bc  A P  A  B   a) ; b) ; c) ; d) c 2. Si P( A  B)  0.3 ; P ( B )  0.6 ; P ( A  B )  0.2 Halle : P  Ac  B c  P  Ac  B  P  A P  B  A a) ; b) ; c) ; d)

P  Ac  B c  P  A   0.25 P( B)  0.41 3. Si A y B son mutuamente excluyentes, y , halle P  A  B c   0.1 4. Si P ( B)  0.6 ; P( A  B)  0.2 ; , halle : c c P A  B  P  A P  A  B P  B  A a) ; b) ; c) ; d) 5. Si

P  A  B   0.6

6. Demuestre que

,

P  A   0.58

P  A  B c  P  Ac  B c  y P ( B )  0.4 Halle y

P  A  B   P  A   P  Ac  B 

7. Cuando se arrojan simultáneamente 4 monedas, a) ¿cuáles son los resultados posibles que se puede obtener? b) ¿cuántos casos hay en que salgan 2 caras y 2 cruces? Considere los casos de monedas iguales y monedas diferentes 8. En una venta de promoción de pantalones y camisas, cierto almacén ofrece 30 pantalones buenos, 70 pantalones con fallas, 60 camisas buenas y 90 camisas con fallas. Considerando los siguientes eventos y si se toma al azar una prenda, A : La prenda es pantalón B : La prenda es buena C : La prenda es camisa D : La prenda es con fallas Halle : P  Bc  C c  P  A  D P  C  B P  A  B a) ; b) ; c) ; d) 9. Se lanzan dos dados legales: Considere los siguientes eventos: A : La suma de los resultados es igual a 8 B : El producto de los resultados es igual a 8 C : La suma de los resultados es mayor que el producto D : La suma de los resultados es par o menor que 7 Halle las siguientes probabilidades: P  A P  B P C P  D P  A  D a) ; b) ; c) ; d) ; e)

2

10. Si se extrae una carta de un naipe (52 cartas), halle la probabilidad de obtener: a) Un As diamante o una figura trébol b) Una carta mayor que 2 y menor que 8 11. Explique porque son falsas las siguientes proposiciones: a) La probabilidad de que una muestra de mineral contenga plata es 0.58 y la probabilidad de que no contenga plata es 0.35 b) La probabilidad de que un estudiante obtenga 9 en un examen es 0.37 y de que obtenga 9 o 7 es 0.31 c) Una empresa trabaja en la construcción de dos edificios. La probabilidad de que el mas grande quede terminado en el tiempo estipulado es 0.39 y la probabilidad de que los dos se terminen en el tiempo estipulado es 0.5 12. En un almacén de ropa, la probabilidad de que una persona compre una camisa es 0.4, de que no compre un pantalón es 0.7 y de que no compre una camisa y no compre un pantalón es 0.55 a) Halle la probabilidad de que compre una camisa o un pantalón b) Halle la probabilidad de que compre una camisa y un pantalón c) Halle la probabilidad de que compre un pantalón y no una camisa 13. Se lanza una moneda dos veces y se consideran los eventos. A : Cara en el primer lanzamiento B : Al menos una vez sello en los dos lanzamientos. Halle: P  Bc  P  A  B P  A  B P  A  B a) ; b) ; c) ; d) 14. En una caja se hallan 10 juguetes buenos, 4 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se toma al azar 1 juguete, halle la probabilidad de que : a) A : No tenga defectos, b) B : Sea bueno o tenga pequeños defectos c) C : No tenga defectos graves 15. Se sabe que en un curso hay 50 personas de las cuales 8 son mujeres que fuman y 10 hombres que no fuman; si hay tantas personas que fuman como personas que no fuman, si se toma al azar una persona, halle las siguientes probabilidades: a) que sea mujer; b) sea mujer que fuma; c) si es mujer, que sea de las que fuman; d) sea mujer o que fume; e) si fuma que sea hombre 16. En una reunión se hallan : 5 hombres mayores, 4 hombres jóvenes, 6 mujeres mayores, 3 mujeres jóvenes Si se toma al azar una persona y se consideran los siguientes eventos : A : La persona es mayor B : La persona es joven C : La persona es hombre D : La persona es mujer. Halle: P  Bc  Dc  P  D  Ac  P B C P B C P AC a) ; b) ; c) ; d) ; e)

3

17. La probabilidad de que un alumno apruebe Contabilidad es de 2 3

3 4

y la probabilidad de que

apruebe Estadística es de . Si la probabilidad de que apruebe las dos materias es de es la probabilidad de que apruebe los dos cursos?

4 5

¿Cuál

18. Las probabilidades de que las personas A, B, C aprueben un examen son: 0.7, 0.8 y 0.9 respectivamente. Halle la probabilidad de que: 1. Sola una de las tres personas apruebe el examen 2. Dos de las tres aprueben el examen 3. De que A apruebe dado que C aprobó 19. En una Universidad el 30% de los alumnos son costeños, el 10% estudia medicina, el 1% son costeños y estudian medicina. Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea costeño o estudie medicina? 20. En una urna se hallan cinco bolas enumeradas del 1 al 5. Para ganar el único premio se deben sacar las tres bolas enumeradas del 1 al 3 sin devolución y con cierta condición. Si le dan a usted la posibilidad de escoger la condición; con cuál de las siguientes aceptaría jugar, para ganar el premio? a) Sacar la enumerada 1, luego la enumerada con 2 y por último la enumerada con 3 b) Sacar las tres de cualquier manera 21. Determine el número de parejas formadas por los elementos de los conjuntos A y B si:  4, 3 a)  5, 4 b)  13, 5 c)

     

     

22. Cuántos arreglos se pueden formar con los elementos de los conjuntos cuya cardinalidad se indica:  4,  2, 5 a)  5,  7,  4, 5 b)

   

   

   

 

23. En una Carrera de 400 metros participant 8 atletas. De cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medulla de oro, plata y bronce? 24. En un hospital se utilizan cinco símbolos para clasificar las historias clínicas de sus pacientes, de manera que los dos primeros son letras y los tres últimos son dígitos. Suponiendo que hay 25 letras, ¿cuántas historias clínicas podrán hacerse si: a) no hay restricciones sobre letras y números, b) las dos letras no pueden ser iguales? 25. Tres atletas toman parte en una competición. ¿De cuántas maneras podrán llegar a la meta? (pueden llegar juntos)

4

Un alumno puede estudiar cero, una o dos horas cada noche para un examen de probabilidades. Halle el número de formas diferentes con las cuales puede estudiar 6 horas en total durante las 4 noches anteriores al examen. 26. Un entrenador de baloncesto tiene un equipo formado por 11 niños de los cuales uno es su hijo. Cuántos quintetos de baloncesto se pueden formar: a) si todos los niños tienen igual oprtunidad de jugar b) si su hijo siempre debe jugar 27. Un matrimonio decide comprar un radio y una cocina. Si en el lugar donde harán la compra hay 4 marcas de radio y 2 clases de cocinas, ¿de cuántas maneras distintas pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez? 28. En un restaurant de comida rápida se indica al cliente que su hamburguesa, a más del pan y la carne, puede ir con todo lo siguiente o sin ello: salsa de tomate, mostaza, mayonesa, lechuga, tomate o queso. ¿Cuántos tipos diferentes de hamburguesa son posibles? 29. ¿De cuántas maneras diferente un padre puede divider 8 regalos entre sus tres hijos, si el mayor debe recibir 4 regalos y los menores 2 cada uno? 30. Cuántas parejas se pueden elegir de 4 hombres y 6 mujeres, si cierto varón rehusa tener como pareja a dos de las mujeres? 31. En una rifa se vendieron 50 boletos y se sortean 8 premios. Una persona se acerca a la urna que contiene los boletos y saca 5. Halle el número de maneras en que se puede sacar los boletos de modo que a) dos de ellos sean premiados b) por lo menos dos de ellos sean premiados 32. De los 8 profesores disponibles de un colegio, 5 son mujeres y se van a elegir dos inspectores. ¿De cuántas maneras se pueden elegir: a)Dos cualesquiera?; b) Del mismo sexo?; c) Sólo hombres?; d) Un hombre y una mujer? 33. Una empresa cuenta con 10 ingenieros, dos de los cuales son hermanos. Halle la probabilidad de que al menos uno de los hermanos sea escogido para un trabajo en el que se va a necesitar 4 ingenieros. 34. En un concurso literario se presentan 25 trabajos, de los cuales 15 los han realizado mujeres. Se van a otorgar un primero, segundo y tercer premio. ¿De cuántas maneras se puede decidir que los ganadores sean: a) Tres cualesquiera? b) Del mismo sexo? c) Primero y segundo premio a hombres?, d) primero y tercer premio a mujeres? 35. ¿Cuántos números pares de 5 cifras se pueden hacer con 3, 4, 5, 8, 9? ¿Cuántos números telefónicos diferentes de 6 dígitos se pueden formar si el primer dígito no puede ser igual a 0? 36. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 se escriben todos los números posibles de tres cifras, sin repetir cifras en cada número. Si se señala un número al azar, a) ¿cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de a? b) ¿de que sea múltiplo de 3?

5

37. Tres hombres y tres mujeres se sientan, al azar, alrededor de una fogata. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres mujeres ocupen lugares continuos? 38. En una caja hay 10 discos compactos, de los cuales 4 están en buen estado. Una persona toma al azar 3 discos. Halle la probabilidad de que por lo menos uno esté en buen estado. 39. Sobre una mesa se colocan 7 manzanas, 3 naranjas y 5 limones, poniéndolas en 3 paquetes de modo que cada uno de estos contenga igual cantidad de frutas. Encuentre la probabilidad de que: a) en cada uno de los paquetes haya una naranja b) un paquete determinado no contiene naranjas 40. En un concurso literario se presentan 15 trabajos, de los cuales 8 los han realizado mujeres. Se van a otorgar un primer premio y un segundo premio. ¿De cuántas maneras se puede decidir que los ganadores sean: a) Dos cualesquiera? b) Del mismo sexo? c) Un hombre y una mujer? 41. Un almacén tiene en existencias: 9 pares de zapatos de color negro, 10 pares de zapatos de color café, 5 pares de zapatos de color vino tinto, 6 pares de zapatos de color blanco. Se recibe un pedido por fax de cuatro pares de zapatos, halle la probabilidad de que pidan : a) Que los cuatro pares sean de distinto colorb) Que dos pares sean de color negro y uno de color café c) Que al menos dos pares sean de color caféd) Que los cuatro pares sean del mismo color 42. Una urna contiene 10 bolas de las cuales 5 son verdes, 2 azules y 3 rojas. Se sacan 3 bolas de la urna, sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 bolas sean verdes? 43. Una urna contiene 6 bolas negras y 4 blancas. Si se van a sacar 3 bolas ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 negras, si: a) Se sacan las 3 con reposición? b) Se sacan las 3 sin reposición? 44. Se reciben al azar dos cartas de una baraja normal de 52 cartas. Halle la probabilidad de recibir as y trébol, si: a) Se sacan de una en una sin reponer la primera; b) Se sacan de una en una reponiendo la primera;c) Se sacan las dos al mismo tiempo

 n  k , 45. En una urna se hallan k bolas enumeradas del 1 al k . Se saca n veces una bola devolviendo la bola a la urna después de apuntar el número. Halle la probabilidad de que los n números obtenidos sean diferentes. 46. En una urna se hallan 5 bolas blancas y 4 bolas negras. Se sacan al mismo tiempo 3 bolas. ¿Cuál de los dos siguientes eventos tiene mayor probabilidad? A : Las bolas son de igual color, B : Las bolas son de diferente color 47. En una reunión se hallan: 5 hombres mayores, 4 hombres jóvenes, 6 mujeres mayores, 3 mujeres jóvenes. Se toma al azar una persona ; considerando los siguientes eventos : A : La persona es mayor; B : La persona es joven; C : La persona es hombre; D : La persona es mujer

6

Halle:

P B C

;

P  Bc  Dc 

;

P  D  Ac 

48. Se lanzan tres monedas perfectas y se anota el número de caras que quedan hacia arriba. Si: A es el evento: "Se observa exactamente una vez cara" B es el evento: "Se observa al menos una cara". P  Ac  B  P  A B P  A  B P  A  B Halle: a) ; b) ; c) ; d) 49. En el cuadrado unidad se consideran los siguientes eventos: 1 A : El triángulo limitado por x  0 , y  1 y = 1, y  x  3 ; B : El triángulo limitado por y  0 , x  0 , y  1 x P  B  A P  B A a) Halle y ; b) Pruebe si A y B son mutuamente excluyentes; c) Pruebe si A y B son independientes

50. La probabilidad de que Ernesto le regale una joya a su novia es igual a 0.4 ; de que le regale un perfume es igual a 0.5 y de que le regale la joya y el perfume es igual a 0.15. Halle la probabilidad de que: a) De que no le regale ni la joya ni el perfume; b) De que le regale máximo una de las dos cosas; c) De que le regale el perfume dado que no le regala la joya 51. Se sabe que en cierto grupo social, el 90% de los niños, el 70% de los jóvenes y el 40% de los adultos gustan de las fiestas navideñas. De 130 niños, 90 jóvenes y 80 adultos de ese grupo, se toma al azar a una persona. Halle la probabilidad de que esa persona: a) Sea joven dado que no gusta de las fiestas navideñas; b) No sea adulto conociendo que no gusta de las fiestas navideñas c) Si es niño guste de las fiestas navideñas d) No guste de las fiestas navideñas dado que no es niño 52. De 800 personas : el 45% son mujeres, el 30% son hombres y el resto son jóvenes. 220 personas viven en el sur, 300 personas viven en el centro y el resto viven en el norte. 170 mujeres viven en el centro ; 80 hombres viven en el sur ; 90 mujeres viven en el norte y 105 jóvenes viven en el norte. Se escoge al azar a una persona. Halle la probabilidad que esa persona : a) No sea mujer; b) Sea joven dado que no vive en el centro c) Si es hombre o mujer viva en el norte; d) Sabiendo que es hombre, viva en el sur o en el centro 53. De 200 aspirantes a cierto cargo 48 tienen experiencia previa, 40 tienen formación académica adecuada y 32 tienen experiencia pero no formación. Si se otorga el cargo a una persona al azar, halle la probabilidad de que esa persona sea: a) Con experiencia y formación; b) Sin experiencia c) Con experiencia dado que tiene formación; d) Sin experiencia o con formación 54. Cierta empresa ha sacado, como promoción, 500 banderines de tamaños : grande (G), mediano (M) y pequeño (P) ; los banderines son : rojos (R) o blancos (B). 250 son grandes, 260 son rojos, 100 son pequeños, 40 son pequeños rojos y 20 son medianos blancos.

7

Se toma al azar un banderín, halle la probabilidad de que: a) Sea mediano o rojo; b) Sea rojo, y, grande o pequeño c) Sea mediano dado que es blanco; d) Sea blanco dado que no es grande 55. Se sabe que en un avión van 100 personas de las cuales 10 son mujeres que fuman y 20 hombres que no fuman; si van tantas personas que fuman como personas que no fuman, halle las siguientes probabilidades: a) Si se escoge una persona al azar, sea mujer; b)Si se escoge una persona al azar, sea mujer que fuma c) Si se escoge una mujer, que sea de las que fuman; d) Si se escoge una persona al azar, sea mujer o que fume 56. Supongamos que hay una prueba para diagnosticar el cáncer que da positivo en el 95% de los casos cuando se aplica a personas que tienen esta enfermedad y da negativa en el 95% de los casos cuando se aplica a personas sanas. Si la probabilidad de que una persona tenga cáncer es 0.005. ¿cuál es la probabilidad de que una persona tenga realmente cáncer cuando la prueba le de positivo? 57. Un alcoholímetro utilizado por la policía para determinar si el nivel de alcohol en la sangre









  de los conductores excede cierto limite satisface que: Donde A es el evento: “el aparato indica que el límite legal se excedió” y es el evento: “la cantidad de alcohol en la sangre en la sangre del conductor exceed el límite legal”. Se conoce que una noche de sábado el 5% de los conductores excede el límite legal



a) Describa en palabras el significado de b) Calcule



 si

 0,95

c) Cuál debe ser el valor de p para que





  0,90

58. Tres cajas iguales tienen las siguientes bolas: La primera caja 12 bolas blancas y 16 negras. La segunda caja 13 bolas blancas y 15 negras. La tercera caja 18 bolas blancas y 10 negras. Se toma una caja al azar, se extrae una bola y resulta ser blanca. ¿Qué probabilidad hay de que pertenezca a la segunda caja? 59. Una fábrica tiene dos máquinas A y B que hacen el 60% y el 40% de la producción, respectivamente. A produce 3% de productos defectuosos y B el 5% de defectuosos. Se toma al azar un artículo y se observa que es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que ese artículo haya sido producido por B? 60. Tres cursos tienen los siguientes alumnos: El primero 25 varones y 15 mujeres, El segundo 30 varones y 10 mujeres, El tercero 20 varones y 20 mujeres Se toma al azar el carné de uno de los estudiantes y resulta ser el de una mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que la dueña del carné sea del segundo curso? 61. Tres empresas tienen los siguientes empleados: Empresa R : 25 hombres y 14 mujeres; Empresa B : 23 hombres y 17 mujeres; Empresa D : 21 hombres y 12 mujeres a) Si se toma al azar el carné de afiliación al IESS, cual es la probabilidad de que sea de un hombre?

8

b) Si el carné de afiliación al IESS ha sido de una mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que la dueña del carné sea empleada de la empresa B? 62. Tres caballos A, B y C participan en una carrera. El suceso “A vence a B” se designa por AB, el suceso “A vence a B, el cual vence a C” como ABC, y así sucesivamente. Se sabe que 2 2 1     3, 3 2. y Además ,

        venza  . ¿Son







y

,

63. Demostrar que si

1

 

,

,

y

2



.

Calcular





venza 





  venza  ,

,

son independientes? 3

son independientes, entonces también lo son

1

,

2

y

3

. Y que si 1 , 2 y 3 son independientes, entonces son independientes por pares, pero que lo recíproco no es cierto. 64. Sean

1

y

2

suficiente para que

dos sucesos mutuamente excluyentes. Dar una condición necesaria y 1

y

2

sean independientes

   13 , 

65. Dado que a) A y B son independientes b) c)

 



  13 , determinar si se cumple que:



  23

d) 66. ¿Son ciertas las igualdades? a) b) c)

  

     

  1

 1

67. Dilema del concurso televisivo. En un concurso de televisión se le ofrece al concursante la posibilidad de elegir una entre tres puertas (A, b, C9 para quedarse lo que hay tras ella. El presentador le informa de que sólo una de ellas tiene un buen regalo mientras que las otras dos están vacías. El concursante opta por una y tras decidirlo, el presentados (que conoce exactamente dónde está el regalo) le abre una de las otras dos puertas no elegidas por el concursante donde no está el regalo. Luego le ofrece al concursante la opción de cambiar su decisión inicial eligiendo la otra puerta aún no abierta. ¿Qué debe hacer el concursante? Es decir, ¿debe el concursante aceptar la nueva posibilidad cambiando la puerta que eligió originalmente, o no?

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68. Dilema del prisionero. En una cárcel hay tres prisioneros (A, B, C) con historiales similares. En un momento dado, los tres solicitan el indulto a un tribunal, y sin conocerse más detalles llega la información al prisionero A de que han concedido el indulto a 2 de los 3 prisioneros. El prisionero A conoce a uno de los miembros del tribunal y puede intentar hacerle una pregunta para obtener algo de información. Sabe que no puede preguntar si él es uno de los dos indultados, pero sí puede pedir que le den el nombre de uno de los otros dos (nunca él) que esté indultado. Pensando un poco concluye que si no hace tal pregunta, entonces la probabilidad de ser uno de los dos indultados es 2/3, mientras que si la hace obtendrá respuesta y entonces la probabilidad de ser el otro indultado es ½. Por ello, concluye que es mejor no hacer la pregunta, porque sea cual sea la respuesta, solo le servirá para disminuir la probabilidad de ser uno de los dos indultados. ¿Dónde está el error de su razonamiento?

69. Sean A y B dos sucesos tales que ciertas o falsas las siguientes relaciones: a)  b) A y B son independientes

   14 , 

  12 , 

  14 . Decir si son

c) y son independientes d) A y B son incompatibles 1  2 e)





f)



 

 1

70. Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de 0.001. En cambio todo cliente sin fondos pone una fecha errónea en sus cheques. El 90% de los clientes del banco tienen fondos. Se recibe hoy en caja un cheque con fecha equivocada. ¿Qué probabilidad hay de que sea de un cliente sin fondos?