Deber 12

Andrés Miniguano Trujillo

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber 12: PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA Y LA VARIANZA 1. El peso de cierto tipo de soportes plásticos para cámaras fotográficas se supone tiene un comportamiento normal con media 22.5 [ g ] y varianza 3 [ g2 ] . Se toma una muestra y se obtienen los resultados: 20,18, 22, 21,23 . 1.1. Halle la media y la varianza de la muestra. n

5

1 1 104 X´ = ∑ x i= ∑ x i= =20.8 n i=1 5 i=1 5

s 2=

1 n−1

(

n

2

i=1

5

) (∑

∑ x 2i −n ( X´ ) =

1 4

i=1

)

x 2i −5 ( 20.8 )2 =3.7

1.2. En base a los resultados obtenidos en 1.1. plantee una hipótesis alternativa para la varianza y realice la prueba correspondiente.

H o : σ 2=σ 2o=3 [ g2 ] H a : σ 2 >3 [ g 2 ] ( n−1 ) s 2 4∗3.7 74 E . d . P .: χ 2o= = = ≈ 4.933 3 3 15 σ 2o 2 2 R . d . R .: χ o> χ α 2 2 χ α = χ 0.05 ( 4 )=9.487 7 ⇒ χ 2o < χ 2α Se acepta H o y rechaza H a ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el la varianza del peso de los soportes σ es posiblemente 3 [ g 2 ] . 1.3. En base a los resultados obtenidos en 1.1. plantee una hipótesis alternativa para la media y realice la prueba correspondiente en concordancia con lo obtenido en 1.2.

H o :μ=μo =22.5 [ g ] H a : μ< 22.5 [ g ] X´ −μo 20.8−22.5 −17 E . d . P .:t o= = = √ 15 ≈−2.1947 30 σ /√n √ 3/ √ 5 R . d . R .:t o χ 2α Se rechaza H o ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el la varianza mayor a 1.7 [ punto s 2] .

σ

es

Para la media:

H o :μ=μo =7 [ puntos ] H a : μ< 7 [ puntos ] X´ −μo 6.7−7 −3 E . d . P .:t o= = = √ 17 ≈−0.7276 σ √1.7 17 √n √ 10 R . d . R .:t o χ 2α 2

Andrés Miniguano Trujillo

Se rechaza H o ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el la varianza σ es 2 diferente a 3 . Cambiando H a por H a : σ >3 , se tiene que en efecto ésta se cumple. 7. Se conoce que la varianza de una población normal es s 2=25 . Si la hipótesis inicial es H o=40 y la alternativa H 1=35 . Halle el tamaño de la muestra para que la probabilidad de error tipo I y la probabilidad de error tipo II sean iguales a 10%.

n=

σ 2 ( zα + zβ ) 2 2

( μ1−μ2 )

=

25 ( z 0.10 + z 0.10 )2

( 40−35 )2

=7

8. En un experimento se obtuvieron los siguientes datos, respecto al tiempo empleado (en minutos), en la ejecución completa de la prueba: 1.19, 1.23, 1.18, 1.21, 1.27, 1.17, 1.15, 1.14, 1.19, 1.20. Si se supone que la media de la prueba es 1.2, plantee la alternativa correspondiente y la prueba usando α =5 .

X´ =1.193 1301 s 2= ≈ 0.0014456 900000 μo=1.2 α =0.5 n=10 H o :μ=μo =1.2 [ minutos ] H a : μ> 1.2 [ minutos ] X´ −μo 1.193−1.2 E . d . P .:t o= = ≈−0.5822 σ 1301 √n 900000 √10 R . d . R .:t o >t α t α =t 0.5 ( 9 )=0 ⇒ t o 0.1 9∗1301 ( n−1 ) s 900000 1301 2 E . d . P .: χ o= = = =0.1301 2 0.1 10000 σo R . d . R .: χ 2o> χ 2α χ 2α = χ 20.10 ( 9 ) =14.6837 2 2 ⇒ χo < χ α 2

Andrés Miniguano Trujillo

No se rechaza H o ; es decir, hay evidencia estadística para afirmar que el la varianza 2 posiblemente 0.1 [ minutos ] .

σ

es