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Andrés Miniguano Trujillo

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA DEBER 10: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA VARIANZA Y PROPORCION 1. Se sabe que la población de la cual se obtiene la siguiente muestra es normal. 11, 9, 26, 27, 22, 21, 3, 13, 29 Halle intervalos de confianza para la varianza de la población, con una confiabilidad del 90%

161 X´ = , s=9.1576 9 α 2 2 1−α =0.90 ⇒ α=0.10⇒ =0.05 ⇒ χ α =15.507 , χ α =2.733 1− 2 2 2 n=9 ,

σ2 ∈

[

2

2

( n−1 ) s ( n−1 ) s , 2 χ2α χ α 1−

2

2

]

[

64∗9.1576 64∗9.1576 , 15.507 2.733 2 σ ∈ [ 37.79,214.48 ] σ2 ∈

]

2. De una población normal se ha obtenido la siguiente muestra: 84, 92, 68, 90, 86, 92, 72, 61, 54, 55, 97, 63, 77, 67, 85, 73, 96, 92, 97, 94, 63, 80. Halle los intervalos de confianza al 95% y 90% para la desviación estándar de la población. n=22 , X´ =79 , s=14.2962 a) 95%

α 2 2 1−α =0.95 ⇒ α=0.05⇒ =0.025 ⇒ χ α =35.479, χ α =10.283 1− 2 2 2

[

2

2

( n−1 ) s ( n−1 ) s σ ∈ , 2 χ2α χ α 2

1−

2

2

]

[

212∗14.2962 212∗14.2962 σ ∈ , 35.479 10.283 2 σ ∈ [ 177.7,613.12 ] 2

]

b) 90%

α 2 2 1−α =0.90 ⇒ α=0.10⇒ =0.05 ⇒ χ α =32.671 , χ α =11.591 1− 2 2 2

σ2 ∈

[ [

2

2

( n−1 ) s ( n−1 ) s , 2 2 χ α χ α 2 2

1−

2 2

]

21 ∗14.2962 21 ∗14.2962 , 32.671 11.591 2 σ ∈ [ 192.98 ,543.91 ] σ2 ∈

]

3. Un instrumento de precisión asegura leer con un error máximo de 2 unidades. Una muestra de cuatro lecturas del mismo objeto dio como mediciones 353, 351, 351 y 355. Calcule el intervalo de confianza al 90% para la varianza de la población. ¿Es adecuada la garantía?

Andrés Miniguano Trujillo

√

11 n=4 , X´ =352.5 , s= 3 α 2 2 1−α =0.90 ⇒ α=0.10⇒ =0.05 ⇒ χ α =7.8147 , χ α =0.3518 1− 2 2 2 σ2 ∈

[ [

2

2

( n−1 ) s ( n−1 ) s , 2 χ2α χ α 1−

2

√

2

√

11 11 9∗ 3 3 σ2 ∈ , 7.8147 0.3518 2 σ ∈ [ 2.21, 48.98 ] 9∗

]

]

La garantía es mala, ya que hay mucha variabilidad. 4. En el trabajo de un laboratorio es deseable verificar cuidadosamente la variabilidad de las lecturas obtenidas de muestras estándar. En un estudio de la concentración de calcio en agua potable como parte de la valoración de la calidad del agua, se pasó el mismo patrón de medida seis veces por el laboratorio en intervalos aleatorios. Las lecturas, en partes por millón, fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar s2, la varianza de la población para las lecturas obtenidas del patrón, con un intervalo de confianza del 90%. n=6 , X´ =9.49 , s=0.16897

α 1−α =0.90 ⇒ α=0.10⇒ =0.05 ⇒ χ 2 α =11.07 , χ 2 α =1.145 1− 2 2 2 σ2 ∈

[

2

2

( n−1 ) s ( n−1 ) s , 2 χ2α χ α 1−

2

2

]

[

25∗0.16897 25∗0.16897 , 11.07 1.145 2 σ ∈ [ 0.0129, 0.1247 ] σ2 ∈

]

El aparato de medición es bueno pues el intervalo es relativamente pequeño. 5. ¿Con qué número de animales se debe hacer un experimento para obtener un intervalo de confianza para la proporción de los que permanecen vivos, con un nivel del 95%, si el error máximo permitido es de 0.2?

α 1−α =0.95 ⇒ α=0.05⇒ =0.025 ⇒ z α =1. 95996 2 2 ∧

p∈ p ± z α 2

√

E=0.2=z α ⇒ n=25

2

∧ ∧

pq n

√

∧ ∧

√

( 0.5 )2 pq =1.95996 n n

6. De 424 encuestas se han obtenido 100 favorables respecto a un producto intervalo de confianza al 90% para la proporción de favorables a X . ∧

p=

100 25 = ≈ 0.2358 424 106

X . Halle el

Andrés Miniguano Trujillo

α 1−α =0.90 ⇒ α=0.10⇒ =0.05 ⇒ z α =1.6449 2 2 ∧

p∈ p ± z α 2

√

∧ ∧

pq n

√

25 81 25 106 106 p∈ ±1.6449 106 424 p∈ [ 0.2019 ,0.2698 ] ¿Con qué tamaño de muestra se puede obtener que el error sea a lo más 0.015?

E=0.015=z α 2

⇒ n=2168

√

√

25 81 pq 106 106 =1.6449 n n ∧ ∧

7. En una muestra al azar de 400 agricultores, el 65% resultaron propietarios y el 35% no. Determine los límites del 95% de confianza para el porcentaje de propietarios de granjas en la población. ∧

∧

p=0.65, q =0.35

α 1−α =0.95 ⇒ α=0.05⇒ =0.025 ⇒ z α =1.95996 2 2 ∧

p∈ p ± z α 2

√

∧ ∧

pq n

p∈ 0.65 ±1.95996

√

0.65∗0.35 400

p∈ [ 0.6033,0.6967 ]

8. Al aplicar un nuevo medicamento a 258 pacientes cardíacos se observó que 234 reaccionaron positivamente. 8.1. Halle el intervalo de confianza para la proporción de pacientes al 95%, para la proporción de pacientes que reaccionaron positivamente ∧

234 39 = ≈ 0.90698 258 43 α 1−α =0.95 ⇒ α=0.05⇒ =0.025 ⇒ z α =1.95996 2 2 p=

∧

p∈ p ± z α 2

√

∧ ∧

pq n

√

39 ∗4 43 43 258

39 ± 1.95996 43 p∈ [ 0.8715,0.9424 ] p∈

Andrés Miniguano Trujillo

8.2. Halle el mínimo número de pacientes a los que se debe aplicar el medicamento si el error máximo permitido es 0.02, el nivel de confianza es 99% y la proporción de pacientes con reacción positiva debe ser 0.95

α 1−α =0.99 ⇒ α=0.01⇒ =0.005 ⇒ z α =2.5758 2 2

E=0.02=z α 2

√

∧ ∧

√

( 0.95 ) ( 0.05 ) pq =2.5758 n n

⇒ n=788 9. Supóngase que se desea estimar el promedio de pH de las lluvias en cierta zona. Se sabe que la desviación estándar de la población es igual a 0.5 pH y se desea que la estimación difiera a lo más en 0.1 respecto a la media de la población, con una probabilidad de 0.95 9.1. ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra?

σ =0.5 E=0.1 ∧

p=0.95

σ 0.5 =1.95996 ⇒ n=97 √n 2 √n

E μ=0.1=z α

9.2. Se sugiere tomar todas las muestras de una sola lluvia. ¿Aceptaría usted esa sugerencia? ¿Por qué? ∧

p∈ p ± z α 2

√

∧ ∧

pq n

p∈ 0.95 ±1.95996 p∈ [ 0.52,1.38 ]

√

0.95∗0.05 1

No pues el intervalo de confianza para la proporción en base a los datos nos arroja un extremo superior mayor a uno, lo cual es imposible. 10. En el trabajo de un laboratorio es deseable verificar cuidadosamente la variabilidad de las lecturas obtenidas. En un estudio de la concentración de calcio en agua potable como parte de la valoración de la calidad del agua, se pasó el mismo patrón de medida seis veces por el laboratorio en intervalos aleatorios. Las lecturas, en partes por millón, fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estime la varianza y la media de la población para las lecturas obtenidas del patrón, con intervalos de confianza del 90%.

1897 X´ = =9.485, s=0.168967 200 α 1−α =0.90 ⇒ α=0.10⇒ =0.05 ⇒t α =2.015 2 2 s μ ∈ X´ ± t α 2 √n 1897 0.168967 ⇒ μ∈ ± 2.015 200 √6 ⇒ μ ∈ [ 9.346 , 9.624 ] n=6 ,

Andrés Miniguano Trujillo

α 2 2 1−α =0.90 ⇒ α=0.10⇒ =0.05 ⇒ χ α =9.488 , χ α =0.711 1− 2 2 2

[

2

2

( n−1 ) s ( n−1 ) s σ ∈ , 2 2 χ α χ α 2

1−

2

2

]

[

25∗0.168967 25∗0.168967 , 9.488 0.711 2 σ ∈ [ 0.4452,5.9435 ] σ2 ∈

]

11. En una encuesta realizada a 500 votantes respecto a que el Congreso Nacional elija a los miembros de la Corte Suprema de Justicia, el 20% respondió estar de acuerdo. 11.1. Halle el intervalo de confianza al 95% para la proporción de votantes que están de acuerdo con ese planteamiento. ∧

p=0.2

α 1−α =0.95 ⇒ α=0.05⇒ =0.025 ⇒ z α =1.95996 2 2 ∧

p∈ p ± z α 2

√

∧ ∧

pq n

√

0.2∗0.8 500 p∈ [ 0.1649 , 0. 2351 ] p∈ 0.2 ±1.95996

11.2. Si la muestra es representativa de la población y se considera existen en total 5 millones de votantes, ¿Qué número mínimo y qué número máximo de votantes estarían de acuerdo con ese planteamiento? 6

n ∈5∗10 [ 0.1649,0.2351 ] ⇒ nmín =804004, nmáx =1195996 12. Una empresa distribuidora de computadoras desea analizar la aceptación en el mercado del nuevo modelo que se desea introducir. ¿A cuántas personas mínimo se debe entrevistar para que con un nivel de confianza del 95% se tenga un error máximo de 0.04, si: 12.1. Se tiene información para pensar que la proporción de aceptación es de 0.6.

α 1−α =0.95 ⇒ α=0.05⇒ =0.025 ⇒ z α =1.95996 2 2

E=0.04= z α 2

√

∧ ∧

√

( 0.6 )( 0.4 ) pq =1.95996 n n

⇒ n=164670 [ personas ] 12.2.

Se desea conocer la opinión del público sin el supuesto adicional del punto 12.1.

E=0.04= z α 2

√

∧ ∧

√

pq 0.52 =1.95996 n n

⇒ n=178711 [ personas ]

Andrés Miniguano Trujillo

13. Para un mercado de pruebas se necesita resolver los dos siguientes problemas: 13.1. Calcular el tamaño necesario de la muestra para estimar la proporción de consumidores satisfechos con un producto nuevo, con un intervalo de confianza de longitud 0.1 y un nivel de confianza de 95%

E=0.05=z α 2

√

∧ ∧

√

( 0.5 ) ( 0.5 ) pq =1.96 n n

⇒ n=385 13.2. Encontrar el error aceptable para que el intervalo de confianza tenga un nivel del 90%, con una muestra de tamaño 100 y el 80% de los consumidores esté satisfecho con el producto.

α 1−α =0.90 ⇒ α=0.10⇒ =0.05 ⇒ z α =1.6449 2 2 E=z α 2

√

∧ ∧

√

( 0.8 )( 0.2 ) pq =1.6449 =0. 06579 n 100

14. Una encuesta incluyó las entrevistas a 241 mujeres respecto a la importancia que asignaban al sexo del candidato a presidente; 115 contestaron que preferían que el candidato sea hombre. ¿Es posible asegurar que el sexo no influye en la decisión del voto? ∧

p=

115 241

α 1−α =0.95 ⇒ α=0.05⇒ =0.025 ⇒ z α =1.95996 2 2 ∧

p∈ p ± z α 2

√

∧ ∧

pq n

√

115 ∗126 241 241 241

115 ±1.95996 241 p∈ [ 0.4141,0.54024 ] p∈

No pues se puede estimar que exista aproximadamente un 50% de votantes femeninos que voten por un candidato masculino por este factor, lo cual ya influye en la elección. 15. Se entrevistó a 82 asesores informáticos sobre si piensan publicitar sus servicios durante el año y se obtuvieron los siguientes resultados: Muy probablemente el 16% Bastante probable el 19% Talvez el 18% Algo improbable el 6% Muy improbable el 12% Absolutamente no el 29% ¿Es aceptable asegurar que el 60% de los asesores informáticos piensan “Al menos Talvez” publicitar los servicios durante el año? ∧

p=0.18+ 0.19+0.16=0.53 α 1−α =0.95 ⇒ α=0.05⇒ =0.025 ⇒ z α =1.95996 2 2 ∧

p∈ p ± z α 2

√

∧ ∧

pq n

Andrés Miniguano Trujillo

p∈ 0.53 ±1.95996 p∈ [ 0.441,0.619 ]

√

0.53∗0.47 82

Es aceptable pues entra en el intervalo de confianza para la proporción.