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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:25-01-2012 En una rampa se colocan cajas a intervalos uniformes de tiempos tR y se deslizan hacia abajo de la rampa con aceleración uniforme. Si se sabe que cuando se suelta la caja B, la caja A ya se ha deslizado s y que en t después están separadas por una distancia de N m, determine: a) El valor de tR b) La aceleración de las cajas
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
a
dv dt
t
v
0
v0
a.dt
dv
a.t v v0 v v0 a t . Luego:
v
t
0
dx dt s
v.dt dx s0
v t
0
0
a t . dt. s s0
a.t 2 v0 .t s 2 a) Tramo AB: Para A
xs Cuando: t tR
, entonces:
v0 A 0
tR 2 s a . 2 2 s a t .R 2 ....(1)
a) Cuando t= t Para B:
x a.
t 2
2
Para A:
N s x a
t 2
2
. v A t .
c)
v A a t R . v0 A vA a tR . Reemplazando en (1)
2s a tR. 2 2s VA tR.
Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:25-01-2012 En una rampa se colocan cajas a intervalos uniformes de tiempos tR y se deslizan hacia abajo de la rampa con aceleración uniforme. Si se sabe que cuando se suelta la caja B, la caja A ya se ha deslizado 6m y que 1s después están separadas por una distancia de 10m, determine: a) El valor de tR b) La aceleración de las cajas
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO: a) Tramo AB: Para A
a
t
0
dv dt vA
a.dt dv 0
a.t v A -( VA) o Luego:
v t
dx dt x
a.t.dt x 0
v.dt dx 0
t
0
t2 a. x 2 Cuando x=6, entonces:
tR 2 a. 6 2 a.tR 2 1 2....(1) a) Cuando t=1 s Para B:
x a. x
a 2
1 2
2
Para A:
1
4 xa
2
2
. v A
.1
a vA 2 4 x x vA 4 x
vA
m 4s
/
c)
v A a t R . v0 A a.t R
4
Reemplazando en (1)
a.tR 2 1 2 a.tR .tR 1 2 4.tR
12
tR
s
3
Finalmente:
a.t R 2
12
a. 3 1 2 2
a a
4 m 100 cm 1pu lg 1pie . . . . 3 s 2 1m 2,54 cm 12pu lg pies 4, 4 pies 4
Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:25-01-2012 Un golfista golpea una pelota desde el punto A con una velocidad inicial v0 A un ángulo con la horizontal. Determine el radio de curvatura de la trayectoria descrita por la pelota. a) En el punto A b) En el punto más alto de la trayectoria.
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
Solución: Para determinar el radio de curvatura en el punto A y en la altura máxima, tenemos que utilizar la siguiente fórmula:
v2 v2 an an Como la magnitud de la velocidad disminuye, la aT se dirige al punto A. a) En el punto A el radio de curvatura es: A
V02 an
A
V02 g . sen 90
b) En la altura máxima
h.max
V .cos 0
2
g
Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:25-01-2012 Un golfista golpea una pelota desde el punto A con una velocidad inicial de 50 m/s a un ángulo de 250 con la horizontal. Determine el radio de curvatura de la trayectoria descrita por la pelota. a) En el punto A b) En el punto más alto de la trayectoria.
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
Solución: Para determinar el radio de curvatura en el punto A y en la altura máxima, tenemos que utilizar la siguiente fórmula:
v2 v2 an an Como la magnitud de la velocidad disminuye, la aT se dirige al punto A.
a) En el punto A el radio de curvatura es:
A
VA2 an
502 9,81 .sen 65 A 281,18 A
B) En la altura máxima
h.max h.max
45,3152 209,32m 9,81 209,32m
Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: TRABAJO Y ENERGÍA
LECTURA:
NOTA:
ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA
CLAVE: HORARIO:
CODIGO:
FECHA:29-02-2012
1) El collar tiene masa de 20kg y se desliza a lo largo de la barra lisa. Dos resortes están unidos al collar y a los Extremos de la barra como se muestra. Si cada resorte tiene longitud no comprimida de un metro y el collar tiene rapidez de 2m/s cuando s=0, determine la compresión máxima de cada resorte debido al movimiento del vaivén (Oscilatorio) del collar.
Desarrollo : Calculo de la deformación máxima del collar ; Por el principio de trabajo y energía ,
1 2
+
= +
=
Como
1 2
+
=
1 2
, ,
=2 / ;
1 1 20(2) − (50), ( 2 2 .
De donde :
1 2
=
1 (50)( 2
Á
= 0 y m=20kg 1 ) − (100)( 2
= 0.730
1 ) + (100)( 2
Á
) =0
Á
)
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: TRABAJO Y ENERGIA
LECTURA:
ALUMNO: GRUPO Nº 4
CLAVE:
CURSO: DINÁMICA
FECHA:29-02-2012
HORARIO:
NOTA: CODIGO:
1.a) El collar tiene masa de M kg y se desliza a lo largo de la barra lisa. Dos resortes están unidos al collar y a los Extremos de la barra como se muestra. Si cada resorte tiene longitud no comprimida de “m” metro y el collar tiene rapidez de “V” m/s cuando s=0, determine la compresión máxima de cada resorte debido al movimiento del vaivén (Oscilatorio) del collar.
Desarrollo : Calculo de la deformación máxima del collar ; Por el principio de trabajo y energía ,
1 2
+
= +
=
Como 1 2
1 2
=
.
+
1 2
=" " / ;
1 ( ) − ( 2 .
De donde :
)(
=
1 2 = 0 y m=M kg
1 ) − ( 2
)(
Á
) =0
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: TRABAJO Y ENERGIA
LECTURA:
ALUMNO: GRUPO Nº 4
CLAVE:
CURSO: DINÁMICA
FECHA:29-02-2012
NOTA:
HORARIO:
CODIGO:
2) Un bloque de 2 lb descansa sobre la superficie lisa cilíndrica. Una cuerda elástica de rigidez k=2 lb/pie esta unida al bloque en B y a la base del semicilindro en el punto C. si el bloque es liberado del reposo en A (θ=0), determine la longitud no alargada de la cuerda de manera que el bloque empiece a dejar el semicilindro en el instante θ= 45. Desprecie el tamaño del bloque.
Solución: Calculo de la longitud inicial del resorte; 2da ley en la dirección radial para θ=45° ∑
2sen45°= . ( . ) = 5.8441 / ;
=
Por el principio de de conservación de la energía entre A-B; tenemos +
.
= +
+ =
;
.
+
………..(1)
Bloque en A con = 0; Situación b; el bloque en B en θ=45° Como = 0; = 5.8441 / y m=2lb La línea de referencia o para la energía potencial es la horizontal que pasa por A; Estos datos en (1) tenemos; 1 1 2 1 0 + (2)(1.5 − ) = ( )(5.844) + (2) 1.5 − (1.5) − 2 2 32.2 2 4 : = 2.77 .
+ 2(1.5
45°);
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: TRABAJO Y ENERGIA
LECTURA:
NOTA:
ALUMNO: GRUPO Nº 4
CLAVE:
CURSO: DINÁMICA
FECHA:29-02-2012
HORARIO:
CODIGO:
1) Un bloque de peso w lb descansa sobre la superficie lisa cilíndrica. Una cuerda elástica de rigidez “k lb/pie” esta unida al bloque en B y a la base del semicilindro en el punto C. si el bloque es liberado del reposo en A (θ=0), determine la longitud no alargada de la cuerda de manera que el bloque empiece a dejar el semicilindro en el instante θ= 45. Desprecie el tamaño del bloque.
Solución: Calculo de la longitud inicial del resorte; 2da ley en la dirección radial para θ=45° ∑
wsen45°=
=
= 3.896 ;
.
( )
Por el principio de de conservación de la energía entre A-B; tenemos +
.
= +
+ =
;
.
+
………..(1)
Bloque en A con = 0; Situación b; el bloque en B en θ=45° Como = 0; = 3.896 y peso=w La línea de referencia o para la energía potencial es la horizontal que pasa por A; Estos datos en (1) tenemos; 1 1 1 0 + ( )(1.5 − ) = ( )(3.896 ) + ( ) 1.5 − (1.5) − 2 2 9.81 2 4 :
+ ( .
45°);
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: Cantidad de movimiento ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO: Diagrama de cuerpo libre
La carretilla B de WB esta apoyada en rodillos de tamaño insignificante. Si se lanza horizontalmente una maleta A de WA sobre la carretilla a vA cuando está en reposo, determine el tiempo durante el cual A se desliza con respecto a B, y la velocidad final de A y B. El coeficiente de fricción cinética entre A y B es k . Por conservación de la cantidad de movimiento:
m1v1 m2 v2 WA WA WB v A 1 vA 2 g g WA vA 2 v A 1 W W A B Para vB 2 :
v A vB v A
B
v A vB
Rpta.
vB 2 v A 2
Por principio de impulso y cantidad de movimiento lineal: t2
m1v1 Fdt m2 v2 t1
WA WA vA 1 k WA t2 t1 vA 2 g g W t ( k ) WA A (vA2 vA1 ) g vA vA1 t 2 Rpta k g .
Ing. MC Yrma Rodríguez Llontop
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: Cantidad de movimiento ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
Diagrama de cuerpo libre La carretilla B de 20 libras está apoyada en rodillos de tamaño insignificante. Si se lanza horizontalmente una maleta A de 10 libras sobre la carretilla a 10 pies/s cuando está en reposo, determine el tiempo durante el cual A se desliza con respecto a B, y la velocidad final de A y B. El coeficiente de fricción cinética entre A y B es k =0.4
Por conservación de la cantidad de movimiento:
m1v1 m2 v2 10 30 10 vA 2 32.2 32.2 vA 2 3.33 pies / s...Rpta Para vB 2 :
v A vB v A
B
v A vB
vB 2 v A 2 vA 2 3.33 pies / s...Rpta vB 2 vA 2 3.33 pies / s. Por principio de impulso y cantidad de movimiento lineal: t2
m1v1 Fdt m2 v2 t1
10 10 10 (0.4)(10) t2 t1 (3.33) 32.2 32.2 t 0.52segundos...Rpta
Ing. MC Yrma Rodríguez Llontop
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: Impulso y Cantidad de Movimiento •
ALUMNOS: Becerra Hernández Ana Julia Coronel Díaz Juan Antonio Guevara Barrera Jorge Israel Guevara Dávila Javier
CURSO: Dinámica 41 42 43 44
G. HORARIO:
Grupo: # 04 FECHA:
08/02/12 Gráfico
Enunciado: El bloque de M kg es mantenido en reposo sobre el plano inclinado por medo del tope colocado en A. Si la bala de m g está viajando a A m/s cuando se incrusta en el bloque de M kg, determine la distancia que el bloque se deslizara hacia arriba del plano antes de detenerse momentáneamente.
Solución: Calculo de la distancia que sube el bloque por el plano inclinado hasta parar: Por conservación de momento lineal :(+
)
mv mv 1
2
Instante 1: Bala antes de chocar al bloque Instante 2: Bala incrustada en bloque luego del choque En la dirección paralela al eje inclinado: se tiene mbvb ( mb mB )vx (+
m m ( A cos30) ( M )v 1000 1000
)
Entonces la velocidad inicial del bloque con la bala es: v= v
m( A cos 30) m 1000M
Luego aplicamos la conservación de energía mecánica= T 1 V 1 T 2 V 2 Instante 1: Bloque después del impacto Instante 2: Bloque se detiene al subir Con los datos conocidos : 0
De donde : h=
1 ( M m)(v 2 ) 0 ( M )( g )h 2
1 m 2 (a cos 30) 2 ( ) 2000 Mg (m 1000 M )
La distancia que sube en el plano es D =
D=
1 m 2 (a cos 30) 2 ( ) /sin30 2000 Mg (m 1000 M )
1 m2 (a cos 30)2 ( ) 2000sen30 Mg (m 1000M )
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: Impulso y Cantidad de movimiento •
ALUMNOS: Becerra Hernández Ana Julia Coronel Díaz Juan Antonio Guevara Barrera Jorge Israel Guevara Dávila Javier
CURSO: Dinámica 41 42 43 44
G. HORARIO:
Grupo: # 04 FECHA:
08/02/12 Gráfico
Enunciado: El bloque de 10 kg es mantenido en reposo sobre el plano inclinado por medo del tope colocado en A. Si la bala de 10 g está viajando a 300 m/s cuando se incrusta en el bloque de 10 kg, determine la distancia que el bloque se deslizara hacia arriba del plano antes de detenerse momentáneamente.
Solución: Calculo de la distancia que sube el bloque por el plano inclinado hasta parar: Por conservación de momento lineal :(+
)
mv mv 1
2
Instante 1: Bala antes de chocar al bloque Instante 2: Bala incrustada en bloque luego del choque En la dirección paralela al eje inclinado: se tiene mbvb ( mb mB )vx Como mb=0.10kg , mB=10kg (+
) 0.01(300 cos 30) (0.01 10)v
Entonces la velocidad inicial del bloque con la bala es: v=0.259548 m/s Luego aplicamos la conservación de energía mecánica= T 1 V 1 T 2 V 2 Instante 1: Bloque después del impacto Instante 2: Bloque se detiene al subir Con los datos conocidos : 0
1 (10 0.01)(0.2595482 ) 0 (10)(9.81)h 2
De donde : h= 0.003433498= 3.433498 mm La distancia que sube en el plano es d=3.433498/sin30= 6.867mm
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: VIBRACIONES ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA
FECHA:15-02-2012
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
Primero vamos a calcular la constante equivalente ( Calcular la frecuencia y el periodo, con la que oscilará el carrito de masa”m”, considerando que todos los resortes son iguales y de constante K.
K Eq ) del conjunto de
resortes:
(2 K )( K ) 2K K (2 K )( K ) K1 3K 2 K1 K 3 K1
La configuración mostrada es equivalente a dos resortes en paralelo. La Kfrecuencia K con Kla que oscilará será: Eq
K Eq K 5 K Eq K 3
Entonces:
1
2 K 3
f
f
1 2 1 2
1 f 2
K Eq m 5 K 3 m 5 K 3 m
Calculamos el periodo de oscilación:
T 2
m K Eq
T 2
m K Eq
T 2
m 5 K 3
3 m T 2 5 K
Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: VIBRACIONES ALUMNO: GRUPO Nº 4
LECTURA: CLAVE:
NOTA:
CURSO: DINÁMICA
FECHA:15-02-2012
El sistema mecánico mostrado, constituido por dos resortes, una barra ingrávida y una esferita de masa “m”; está en equilibrio. Si la esferita es desviada ligeramente hacia abajo y soltada; ¿Cuánto será el periodo de las oscilaciones de la esferita?
HORARIO:
CODIGO:
Hacemos el diagrama de cuerpo libre(al sistema), para la situación de equilibrio mostrada:
(Considere en la situación mostrada que el resorte (K1) está estirado y el resorte (K2) está comprimido)
Si queremos calcular el periodo de oscilaciones, haremos el D.C.L. a la barra cuando la esferita ha sido desviada de su posición de equilibrio (P.E) El observador agrega en el D.C.L. la fuerza inercial (F´= ma); en dirección opuesta a la aceleración del M.A.S. medido desde tierra. Si consideramos un desplazamiento angular pequeño, los arcos girados serán aproximadamente segmentos de recta; luego:
El observador no inercial observa equilibrio en el sistema. Luego cumple:
De (I); simplificando:
En el Gráfico:
También:
Luego:
Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: VIBRACIONES
LECTURA:
NOTA:
ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA
FECHA:15-02-2012
El sistema mecánico mostrado, constituido por dos resortes, una barra ingrávida y una esferita de masa “m = 30 kg”; está en equilibrio. Si la esferita es desviada ligeramente hacia abajo y soltada; ¿Cuánto será el periodo de las oscilaciones de la esferita?
CLAVE: HORARIO:
CODIGO:
Hacemos el diagrama de cuerpo libre(al sistema), para la situación de equilibrio mostrada:
(Considere en la situación mostrada que el resorte (K1= 7N/m) está estirado y el resorte (K2=2N/m) está comprimido)
Si queremos calcular el periodo de oscilaciones, haremos el D.C.L. de la barra cuando la esferita ha sido desviada de su posición de equilibrio (P.E) El observador agrega en el D.C.L. la fuerza inercial (F´= ma); en dirección opuesta a la aceleración del M.A.S. medido desde tierra. Si consideramos un desplazamiento angular pequeño, los arcos girados serán aproximadamente segmentos de recta; luego:
El observador no inercial observa equilibrio en el sistema. Luego cumple:
De (I); simplificando:
En el Gráfico:
También:
Luego:
Entonces reemplazando valores, obtenemos:
T 2(3.14)
30 Kg 4(7 N / m) 2 N / m
T 6.28 s
Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: VIBRACIONES
LECTURA:
NOTA:
ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA
FECHA:15-02-2012
CLAVE: HORARIO:
CODIGO:
Primero vamos a calcular la constante
K Eq ) del conjunto de
equivalente ( Calcular la frecuencia y el periodo, con la que oscilará el carrito de 1Kg de masa, considerando que todos los resortes son iguales y de constante K= 240N/m
resortes:
(2 K )( K ) 2K K (2 K )( K ) K1 3K 2 K1 K 3 K1
La configuración mostrada es equivalente a dos resortes en paralelo.
K
K K
Eq La frecuencia con1 la que oscilará será:
K Eq K
2 K 3
5 K Eq K 3 5 K Eq (240N /m ) 3 K Eq 400 N / m
Entonces:
f
1 2
K Eq
f
1 2
400 N / m 1kg
m
10 Hz f 3.1831 Hz f
Calculamos el periodo de oscilación:
T 2
m 1 K Eq f
1 0.314 s 3.18 T 0.3 s T
Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico de Ingeniería Civil
TEMA: Vibraciones Mecánicas
•
ALUMNOS: Becerra Hernández Ana Julia Coronel Díaz Juan Antonio Guevara Barrera Jorge Israel Guevara Dávila Javier
CURSO: Dinámica
41 42 43 44
G. HORARIO:
Grupo: # 04
FECHA:
1. Enunciado: La fuerza inicial de la vibración armónica de una partícula es igual a cero. Cuando la Elongación del punto es igual a x1 cm su velocidad es igual a v1 cm/s y cuando dicha elongación es de x2 cm la velocidad es igual a v2 cm/s. Hallar la amplitud y el periodo de esta vibración.
15/02/12
Gráfico
Solución: Ya que la fase inicial es nula, se tendrá que: X (T) = A Sen (wt) y V (T) = A w Cos (wt) De acuerdo con los datos se tiene que: X1 = A Sen (wt) y V1 = A w Cos (wt),
de donde:
Sen (wt) = X1 /A y Cos (wt) = V1 /Aw
De estas últimas ecuaciones, elevando al cuadrado , se llega a: = A2………………………… (a)
+ Asimismo se tendrá que: 2,8 = A Sen (wt) y 2 = Aw Cos (wt),
de donde:
Sen (wt) =
Elevando al cuadrado estas ecuaciones se tiene que:
,
y Cos (wt) =
= A2………………………. (b)
7,84 +
Igualando las ecuaciones (a) y (b) y resolviendo: 2,08 =
, de donde w =
Dado que: W=
= 1,55 rad/s y que
,
= 1,55 rad/s
es el periodo del movimiento, se tiene:
= La amplitud del movimiento es: A = √7,84 +
, ( )( ,
= 4,05 s
)
cm = 3,1 cm
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico de Ingeniería Civil
TEMA: Vibraciones Mecánicas
•
ALUMNOS: Becerra Hernández Ana Julia Coronel Díaz Juan Antonio Guevara Barrera Jorge Israel Guevara Dávila Javier
CURSO: Dinámica
41 42 43 44
G. HORARIO:
Grupo: # 04
FECHA: Gráfico
2. Enunciado: La fuerza inicial de la vibración armónica de una partícula es igual a cero. Cuando la Elongación del punto es igual a x1 cm su velocidad es igual a v1 cm/s y cuando dicha elongación es de x2 cm la velocidad es igual a v2 cm/s. Hallar la amplitud y el periodo de esta vibración.
15/02/12
Solución: Ya que la fase inicial es nula, se tendrá que: X (T) = A Sen (wt) y V (T) = A w Cos (wt) De acuerdo con los datos se tiene que: x1= A Sen (wt) y v1 = A w Cos (wt),
de donde:
Sen (wt) = x1/A y Cos (wt) = v1 /Aw
De estas últimas ecuaciones, elevando al cuadrado , se llega a: x1 2+ v12 /w2= A2………………………… (a) Asimismo se tendrá que: x2 = A Sen (wt) y v2 = Aw Cos (wt),
de donde:
Sen (wt) = x2 /A y Cos (wt) = v2/Aw
Elevando al cuadrado estas ecuaciones se tiene que: x22 + v22 /w2 = A2………………………. (b) Igualando las ecuaciones (a) y (b) y resolviendo: X2 2 – x12= (v12- v22 )/w2 , de donde w
v12 v22 X22 – x12
Dado que: W=
y que
es el periodo del movimiento, se tiene:
2 (v v2 ) / (X22 – x12 ) 2 1
2
La amplitud del movimiento es:
v22 A x2 ((v12 v2 2 ) / (X 2 2 – x12 )) 2
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico de Ingeniería Civil
TEMA: Vibraciones Mecánicas
•
ALUMNOS: Becerra Hernández Ana Julia Coronel Díaz Juan Antonio Guevara Barrera Jorge Israel
CURSO: Dinámica
41 42 43
Grupo: # 04
G. HORARIO:
Guevara Dávila Javier
44
FECHA:
15/02/12
1. Enunciado: Un bloque de 30 kg. Se mueve entre guías Gráfico verticales como se muestra el bloque que es empujado 10 mm hacia abajo desde su posición de equilibrio y se suelta. Para cada arreglo de resorte, determine el periodo de la vibración, la máxima velocidad del bloque y su máxima aceleración.
Solución: -Resortes conectados en serie: Se determina primero la constante K de un solo resorte equivalente para los dos resortes determinando la elongación total d de los resortes bajo una carga estática determinada p. d = d1 + d2 = p = Kd
d=
=
=
=
Periodo de vibración: Wn2 =
=
.
,
=
Velocidad máxima:
( )
=
/ =
(
+
+
.
)
.P
= 2,4 KN/m = 2,4 x 103 N/m
Wn = 8,944 rad/s
,
= 0,702 s
Vm = Xm . Wn = (0,010 m) (8,944 rad/s)
Vm = 0,089 m/s
Aceleración Máxima: a m = Xm . Wm2 = (0,010 m) (8,944 rad/s)2
am = 0,800 m/s2
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: Vibraciones Mecánicas •
CURSO: Dinámica
ALUMNOS: Becerra Hernández Ana Julia Coronel Díaz Juan Antonio Guevara Barrera Jorge Israel Guevara Dávila Javier
41 42 43 44
G. HORARIO:
Grupo: # 04 FECHA:
15/02/12
2. Enunciado: Un bloque de 30 kg. Se mueve entre guías Gráfico verticales como se muestra el bloque que es empujado 10 mm hacia abajo desde su posición de equilibrio y se suelta. Para cada arreglo de resorte, determine el periodo de la vibración, la máxima velocidad del bloque y su máxima aceleración. Solución: - Resortes conectados en serie: Se determina primero la constante K de un solo resorte equivalente para los dos
resortes determinando la elongación total d de los resortes bajo una carga estática determinada p. d = d1 + d2 =
+
p = Kd =
=
=
Periodo de vibración: Wn2 =
=
.
,
=
Velocidad máxima:
( )
=
/ =
+
.
)
p
= 2,4 KN/m = 2,4 x 103 N/m
Wn = 8,944 rad/s
,
Vm = Xm . Wn = (0,010 m) (8,944 rad/s)
(
d=
= 0,702 s Vm = 0,089 m/s
Aceleración Máxima: a m = Xm . Wm2 = (0,010 m) (8,944 rad/s)2
a m = 0,800 m/s2
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINETICA DEL SOLIDO ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:22-02-2012
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
SOLUCION:
Una varilla homogénea de longitud AB=L m y de m
DCL:
kg de masa se encuentra en reposo sobre una superficie
horizontal
lisa.
Se
aplica
instantáneamente en B una fuerza de FN horizontal y perpendicular a la varilla. Calcular en dicho instante: a) La aceleración del centro G de la varilla. b) La aceleración angular de la varilla. c) La aceleración de los puntos A y B.
Para encontrar la aceleración del centro G de la varilla.
F
j
maG
F maG F ˆ j m F aG m / s 2 m aG
Para encontrar la aceleración angular de la varilla. M G IG
L mL2 F( ) 2 12 L F ( ) x12 2 mL2 6 xF mL Aceleración de A:
a A aG xrA / G L F 6F ˆ a A ˆj k ´x ( iˆ) 2 m mL F 3F ˆ a A ˆj j m m Aceleración de B: aB aG xrB / G F 6F ˆ L ˆ aB ˆj kx( i ) 2 m mL F 3F ˆ aB ˆj j m m
Ing. MC Yrma Rodríguez Llontop
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINETICA DEL SOLIDO ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:22-02-2012
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
SOLUCION:
1. Una
varilla
homogénea
de
longitud
DCL:
AB=1.2m y de 8kg de masa se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Se aplica instantáneamente en B una fuerza de 16 N horizontal y perpendicular a la varilla. Calcular en dicho instante: a) La aceleración del centro G de la varilla. b) La aceleración angular de la varilla. c) La aceleración de los puntos A y B.
Para encontrar la aceleración del centro G de la varilla.
F
j
m aG
F m aG F ˆ j m 16 N ˆ j 8Kg
aG aG
a G 2 m / s 2 ˆj
Para encontrar la aceleración angular de la varilla.
M
G
I G
L ml 2 F( ) 2 12 1.2 8 x (1.2) 2 16 x ( ) 2 12 10 rad / s.kˆ
Aceleración de A:
a A aG xrA / G a A 2 ˆj 10kˆ´x(0.6iˆ) a A 2 ˆj 6 ˆj a A 4 ˆjm / s 2 Aceleración de B:
aB aG xrB / G ˆ (0.6iˆ) a 2 ˆj 10kx B
aB 2 ˆj 6 ˆj aB 8 ˆjm / s 2
Ing. MC Yrma Rodríguez Llontop
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: Cinética del Solido Rígido •
ALUMNOS: Becerra Hernández Ana Julia Coronel Díaz Juan Antonio Guevara Barrera Jorge Israel Guevara Dávila Javier
CURSO: Dinámica 41 42 43 44
Grupo: # 04 FECHA:
29/02/12 Gráfico
Enunciado: El automóvil deportivo tiene un peso de W lb y centro de gravedad en G. Si parte del reposo tus ruedas posteriores deslizan cuando acelera. Determine cuánto tiempo le toma alcanzar una rapidez de V pies/s. ¿Cuáles son las reacciones normales en cada una de las cuatro ruedas sobre el camino? Los coeficientes de fricción estática y cinemática en el camino son
μ
s
ruedas.
y
μ
k
G. HORARIO:
respectivamente. Desprecia la masa de las
Solución: La figura muestra el diagrama de cuerpo libre del automóvil. Como solo deslizan las ruedas posteriores se tiene que:
FA =0; FB = μk . NB ← FX = m (aG ) x; 2 FB =
(aG) 2 μk . NB =
(aG)…………………………….(1)
+ ↑ Fy = m (aG ) y; 2NA + 2NB –W = O………….………………………………… (2) + MG = 0; 2 (μk . NB) (z) + (2 NA) (Y) – (2NB) (X) = 0………………………..….(3) Resolviendo (2) y (3) tenemos: NB =
(
..
.
)
NA =
(
(
.
.
) )
aG =
. . .
Luego para determinar el tiempo para adquirir la velocidad de “V” utilizamos la siguiente expresión:
() V = Vi + (aG) (T) V = 0 + (aG) (T) T=
(
.
. .
)
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: Cinética del Solido Rígido •
ALUMNOS: Becerra Hernández Ana Julia Coronel Díaz Juan Antonio Guevara Barrera Jorge Israel Guevara Dávila Javier
CURSO: Dinámica 41 42 43 44
Grupo: # 04 FECHA:
22/02/12 Gráfico
Enunciado: El automóvil deportivo tiene un peso de 4500 lb y centro de gravedad en G. Si parte del reposo tus ruedas posteriores deslizan cuando acelera. Determine cuánto tiempo le toma alcanzar una rapidez de 10 pies/s. ¿Cuáles son las reacciones normales en cada una de las cuatro ruedas sobre el camino? Los coeficientes de fricción estática y cinemática en el camino son
μ
s
= 0.5 y
μ
k=
masa de las ruedas.
G. HORARIO:
0.3 respectivamente. Desprecia la
Solución: La figura muestra el diagrama de cuerpo libre del automóvil. Como solo deslizan las ruedas posteriores se tiene que:
FA = O; FB = 0.3 NB ← FX = m (aG ) x; 2 ( 0.3NB) = (
) (aG )
(1)
+ ↑ Fy = m (aG ) x; 2NA + 2NB – (4500) = O
(2)
.
+ MG = 0 (2) (0.3 NB) (2.5) + (2NA) (2) – (2NB) (4) = 0
(3)
Resolviendo las ecuaciones (2) (3) tenemos que: NB = 857 Ib; NA = 1393 Ib aG = 3.68 pies/ s2 Luego para determinar el tiempo para adquirir la velocidad de 10 pies/s utilizamos la siguiente expresión: () = + aG 10 = 0 + (3.68) ()
= 2.72 s
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:22-02-2012
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
Realizamos el D.C.L del cuerpo:
El camión con brazo de levantamiento y el operador tienen un peso combinado de “W” lb y centro de masa en G. Si el camión se usa para levantar y el tubo de concreto de “WP” lb, determine las reacciones normales en cada una de sus cuatro ruedas si el tubo recibe una aceleración hacia arriba de “a” pies/s2.
Aplicando la ecuación de movimiento rotatorio en A, tenemos:
M
A
(M k ) A
W (WP )(b ) (2 N B )( d c ) (W )(c ) P a b g W (2 N B )( d c ) P a b (W )(c ) (WP )(b ) g W P a b (W )(c ) (WP )(b ) g NB 2 (d c) W P g NB
a b gb (W )(c ) 2 (d c)
Luego, aplicamos la ecuación de movimiento: +↑
F
y
m( aG ) y ;
W 2N A P a g W 2 N A P a WP W 2 N B g WP g a WP W 2 N B NA 2
Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:22-02-2012
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
Realizamos el D.C.L del cuerpo:
El camión con brazo de levantamiento y el operador tienen un peso combinado de 10 000 lb y centro de masa en G. Si el camión se usa para levantar y el tubo de concreto de 2000 lb, determine las reacciones normales en cada una de sus cuatro ruedas si el tubo recibe una aceleración hacia arriba de 4 pies/s2.
Aplicando la ecuación de movimiento rotatorio en A, tenemos:
M Donde: b=5 pies c=4 pies d=6 pies
A
(M k ) A
2000 (2000)(5) (2 N B )(10) (10000)(4) 4 5 32.2 N B 1437.9 lb
Luego, aplicamos la ecuación de movimiento: +↑
F
y
m( aG ) y ;
2000 2 N A 2 N B 2000 10000 4 32.2 2000 2 N A 2(1437.9) 2000 10000 4 32.2 N A 4686.3 lb Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: Cinética del Solido Rígido: Impulso y Cantidad de Movimiento •
ALUMNOS: Becerra Hernández Ana Julia Coronel Díaz Juan Antonio Guevara Barrera Jorge Israel Guevara Dávila Javier
41 42 43 44
CURSO: Dinámica
G. HORARIO:
Grupo: # 04 FECHA: Gráfico
Enunciado: En el disco de W lb mostrada actúan un momento de par de M lb.pie y una fuerza de F lb la cual se aplica a una cuerda enrollada alrededor de su periferia. Determine la velocidad angular del disco T segundos después de que empieza a moverse del reposo. Además ¿Cuáles son los componentes de la reacción en el pasador?
29/02/12
Solución: Diagrama de cuerpo libre: El centro de masa del disco no se mueve; sin embargo, la carga hace que el disco gire en el sentido de las manecillas del reloj. El momento de inercia del disco con respecto a su eje de rotación es:
IA
1 2 1 W Wr mr ( )(r ) 2 2 2 g 2g
Principio de impulso y cantidad de movimiento: ) m(vAx)1
(+
t1
t
2
Fxdt m(vAx)2
0 Ax (T ) 0 ) m(vAy )1
(+
t1
t
2
Fydt m(vAy)2
0 AY (T ) W (T ) F (T ) 0 (+
)
t1 IAw1 MAdt IAw2 t2
0 M (T ) ( F (T ))(r )
Wr w2 2g
Al resolver estas ecuaciones resulta: AX=0 AY=(W+F)lb W2= (2gT(M+Fr) / Wr )
rad/s
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: Cinética del Solido Rígido: Impulso Y Cantidad de movimiento •
ALUMNOS: Becerra Hernández Ana Julia Coronel Díaz Juan Antonio Guevara Barrera Jorge Israel Guevara Dávila Javier
41 42 43 44
CURSO: Dinámica
G. HORARIO:
Grupo: # 04 FECHA:
Enunciado: En el disco de 20 lb mostrado actúan un momento de par de 4lb.pie y una fuerza de 10 lb la cual se aplica a una cuerda enrollada alrededor de su periferia. Determine la velocidad angular del disco 2 segundos después de que empieza a moverse del reposo. Además ¿Cuáles son los componentes de la reacción en el pasador?
29/02/12 Gráfi co
Solución: Diagrama de cuerpo libre: El centro de masa del disco no se mueve; sin embargo, la carga hace que el disco gire en el sentido de las manecillas del reloj. El momento de inercia del disco con respecto a su eje de rotación es:
IA
1 2 1 20lb mr ( )(0.75) 2 0.1747 slug . pie 2 2 2 2 32.2 pies / s
Principio de impulso y cantidad de movimiento: (+
) m(vAx)1
t1
t
2
Fxdt m(vAx)2 0 Ax (2) 0
) m(vAy )1
(+
t1
t
2
Fydt m(vAy)2
0 AY (2) 20(2) 10(2) 0 (+
)
t1 IAw1 MAdt IAw2 t2
0 4(2) (10(2))(0.75) 0.1747w2 Al resolver estas ecuaciones resulta: AX=0 AY=30lb W2=132rad/s
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:29-02-2012
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
SOLUCIÓN
Cuando la barra AB de masa M igual a 10 kg , está en posición horizontal está en reposo y el resorte no está alargado. Determine la rigidez “K” del resorte de modo que el movimiento de la barra se detenga momentáneamente cuando ha girado 90 º en sentido de las manecillas de reloj.
Hacemos el DCL:
Aplicamos el principio de la conservación de la energía: Donde : a = 1.5 m b= 1.5 m g= 9.81 m/s2
T1 V1 T2 V2 2 1 a 2 0 0 0 k a b a 2 b Mg 2 2 Mga k 2 a b 2 a 2 b (10).(9.81)(1.5) k 2 1.5 1.5 2 1.52 1.5
k 42.8
Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
N m
Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA LECTURA: CUERPO RÍGIDO ALUMNO: GRUPO Nº 4 CLAVE: CURSO: DINÁMICA FECHA:29-02-2012 HORARIO:
NOTA:
CODIGO:
SOLUCIÓN
Cuando la barra AB de masa M está en posición horizontal, está en reposo y el resorte no está alargado. Determine la rigidez “K” del resorte de modo que el movimiento de la barra se detenga momentáneamente cuando ha girado 90 º en sentido de las manecillas de reloj.
Hacemos el DCL:
Aplicamos el principio de la conservación de la energía:
T1 V1 T2 V2 2 1 a 2 2 0 0 0 k a b a b Mg 2 2 Mga k 2 a b2 a2 b
Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: TRABAJO Y ENERGIA DEL SOLIDO RIGIDO ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:22-02-2012
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO: SOLUCION
1. La barra delgada uniforme de masa mkg está en reposo en la posición
DIAGRAMA CINETICO Posición De Reposo
que se muestra cuando se aplica una fuerza P Determine su velocidad angular cuando alcanza la posición vertical.
Posición Vertical
Ahora primero hallamos la energía cinética; como VG1=0 entonces:
T1 0 Para hallar T2 primero hallamos:
(VG ) 2 2 (rG /CI ) 2 (2.5) Hallamos IG:
1 1 I G ml 2 (mkg )(52 ) 2.083mkg.m 2 2 12
Reemplazamos los valores en T2:
1 1 T2 m(vG ) 2 2 I G2 2 2 2 1 1 2 T2 (m) 2 (2.5) (2.083m)2 2 4.167 * m2 2 2 2 Hallamos los trabajos de la fuerza P y del peso W:
U P P ( s p ) P (3) 3PJ
U w W (h) m(9.81)(2.5 2.5sin(53)) U w 4.905mJ Aplicando el principio de trabajo y energía
T1 U12 T2 0 3P 4.94m 4.167 * m2 2 2
3P 4.905m 4.167 * m
Ing. MC Yrma Rodríguez LLontop
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: TRABAJO Y ENERGIA DEL SOLIDO RIGIDO ALUMNO: GRUPO Nº 4 CURSO: DINÁMICA FECHA:22-02-2012
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO: SOLUCION
2. La barra delgada uniforme de masa 50kg está en reposo en la posición
DIAGRAMA CINETICO Posición De Reposo
que se muestra cuando se aplica una fuerza P=600N. Determine su velocidad angular cuando alcanza la posición vertical.
Posición Vertical
Ahora primero hallamos la energía cinética; como VG1=0 entonces:
T1 0 Para hallar T2 primero hallamos:
(VG ) 2 2 (rG /CI ) 2 (2.5) Hallamos IG: IG
1 2 1 ml (50 kg )(5 2 ) 104.17 kg .m 2 2 12
Reemplazamos los valores en T2:
1 1 T2 m(vG ) 2 2 I G2 2 2 2 1 1 2 T2 (50) 2 (2.5) (104.17)2 2 208.332 2 2 2 Hallamos los trabajos de la fuerza P y del peso W:
U P P ( s p ) 600(3) 1800 J
U w W (h) 50(9.81)(2.5 2.5sin(53)) U w 245.25 J Aplicando el principio de trabajo y energía
T1 U12 T2 0 1800 245.25 208.332 2 2 2.732rad / s
Ing. MC Yrma Rodríguez LLontop
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINETICA IMPULSO Y MOMENTUM
LECTURA:
ALUMNO: GRUPO Nº 4
CLAVE:
CURSO: DINÁMICA
FECHA:29-02-2012
HORARIO:
NOTA: CODIGO:
El disco tiene masa de 20kg y originalmente está girando en el extremo del puntal con una velocidad angular de w= 60rad/s. si entonces es colocado contra la pared para la cual el coeficiente de fricción cinética es = 0.3, determine el tiempo requerido para que el movimiento cese. ¿Cuál es la fuerza en el puntal BC durante este tiempo?
Desarrollo: Aplicando el principio de impulso y momentum Eje x: ( )∑∫ = ( ) 0+ 30°( ) − =0 0.5 = Eje y:
0+ 0.86603
= 193
) +
(
)
30°( ) − 20(9.81) + 0.3 + 0.3 = 196.2
= 96.553 Ahora aplicando, (
=
=(
)
=0
1 (20)(0.15) (60) − 0.3(96.553) (0.15) = 0 2 t=3.11s
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINETICA IMPULSO Y MOMENTUM
LECTURA:
ALUMNO: GRUPO Nº 4
CLAVE:
CURSO: DINÁMICA
FECHA:29-01-2012
HORARIO:
NOTA: CODIGO:
El disco tiene masa de mkg y originalmente está girando en el extremo del puntal con una velocidad angular de w rad/s. si entonces es colocado contra la pared para la cual el coeficiente de fricción cinética es determine el tiempo requerido para que el movimiento cese. ¿Cuál es la fuerza en el puntal BC durante este tiempo?
Desarrollo: Aplicando el principio de impulso y momentum Eje x: ( )∑∫ = ( ) 0+ 30°( ) − =0 0.5 = Eje y:
=
(
193 (0.86603 + 0.5
)
0+ 0.86603 =
30°( ) − (9.81) + + = 196.2
= 0.5 Ahora aplicando, (
) +
)
( )(0.15) ( ) − 1 (0.15) =2
=(
(
)
=0
) (0.15) = 0
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