de Clase Semana 12

 

MATEMÁTICA DISCRETA SESIÓN SESI ÓN 12 12:: Re Rela laci cion ones es de or orde denn y di diag agra rama mass de Hasse

Departamento Departamen to de Ciencias

 

INTRODUCCIÓN Cocina y grafos Un ingeniero electrónico ha sido contratado para construir una maquina que permita realizar panqueques mediante la siguiente receta Los ingredientes son 1 huevo, 1 taza de mezcla de panqueques, 1 cucharada de aceite y 3/4 de una taza de leche. Para hacer panqueques la maquina debe calentar la una plancha, mezclar todos los ingredientes y derramar la mezcla mez cla sobre sobre una planch plancha a calien caliente. te. Cua Cuando ndo los panque panqueque quess empiece empiecen n a burbujear, deles vuelta y deje que se cocinen hasta que estén dorados en la  parte de abajo. Antes de comer sus panqueques, la maquina deberá calentar  un poco de jarabe dulce. ¿Es posible representar los pasos para ha hace cerr olos lodirigido? s pa panq nque uequ es medi median antte un gr graf afo o acíclico acíclic dirigido ? ques

 

SABERES PREVIOS • ¿Qué es una relación de Equivalencia? • ¿Qué es una relación de Orden? • ¿Qué es la relación menor? • ¿Qué es la transitividad? • ¿Qué diferencia un relación de orden parcial de una

de orden total?

 

LOGRO DE SESIÓN

Al fi fin nali lizzar la se sesi sió ón de ap aprrend endiza izaje, je, el estudiante reconoce las relaciones de orden y sus propie opieda dad des es,, con onsstr tru uye di dia agr gra amas de Hasse, usando las definiciones básicas de Matemática Discreta e interpretando los resultados de forma forma cor correct recta. a.

 

CONTENIDOS 1.

Conjunto parcialmente ordenados

2.

Diagramas de Hasse

3.

Elementos maximales y minimales

 

CONJUNTO PARCIALMENTE ORDENADO Definición. Sea   ℛ una relació ción sob sobre el conj njuunto   .ℛ es una relación de orden parcial si y sólo si   ℛ es

reflflex re exiv iva, a, anti antisi simé métr tric icaa y tran transi sititiva va.. SiSiaℛb entonces  es anterior a  o  es posterior a     = {1,2,3,4,5,6} ℛ es una relación de orden total si y sólo si   ℛ es re rela laci ción ón d,e ∈orde→n ℛy pyaroc yℛx ial .y dados ℛ Notación: Si una relación ℛ sobre A es una relación de orden parcial  , ℛ = , ≼

 

CONJUNTO PARCIALMENTE ORDENADO Ejemplo:   Da Dado el conjunto    = {, , }   . La relación   ⊆   definida sobre el conjunto potencia de    es una relación de orden total. Ejemplo: Dado el conjunto   = { ∈ ℕ/    36}. La relación  |  definida como | ↔    

es una relación de orden parcial.

 

DIAGRAMAS DE HASSE Un diagrama de Hasse es una representación de un conjun con junto to pa parci rcial alme mente nte ord orden enado ado fin finito ito.. La representación se hace mediante un grafo, o sea un di diagr agram ama. a. Si   = {1,2,3,4,5,6}

 

DIAGRAMAS DE HASSE Un diagrama de Hasse elimina la necesidad de representar lazos, puesto que se tiene que la relación parcialmente ordenada es reflexiva.. reflexiva Puesto que la transitividad también está implicada, se puede prescindir  prescindir de de mo most stra rarr líne líneas as entr entree ele eleme ment ntos os que que te teng ngan an un el ele eme men nto interm int ermedi edioo rel relaci aciona onado, do, pue puess se sobren sobrentie tiende nden. n.

 

EJEMPLO 01 Hallar el diagrama diagrama de Hasse de la Rela Relación ción R5 R5 = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,12); (2,2); (2,4); (2,12); (3,3);(3,12); (4,4); (4,12); (12,12)} 12

Hacemos el grafo 4

3 2

1

 

EJEMPLO 01 Eliminamos los pares reflexivos

12

R5 = {(1,1) {( 1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,12) (2,2) (2,4) (2,12) (3,3) (3,12) 3 (4,4) (4,12) (12,12) } (12,12)

4

2

1

 

EJEMPLO 01 Eliminamos los pares pare s t ransitivos

12

R5 = {(1,1) { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,12) (2,2) (2,4) (2,12) (3,3) (3,12) 3 (4,4) (4,12)}

4

2

1

 

EJEMPLO 01 12

Eliminamos los sentidos 4 3 2

Diagrama de Hasse de R5

1

 

EJEMPLO 02 Dado A = { a, b, c}, se cumple que a < b a”

Los elementos elementos máximal máximales es son a1, a2,a3

 

ELEMENTO ELEMENT OM MÍNIMO ÍNIMO En una relación parcialmente ordenada elemento mínimo elemento “ “a” a” tal que no existe   “c <  a”

es el

Los eleme lement ntos os mínim ínima ale less son son b1, b2, b3 . observar que b2,no es comp co mpar arab able le co con n b3

 

COTA COT A SUP SUPERIOR ERIOR Y SUPREMO SUPREMO Cot Cota a sup superi erior  or . Es el valor que sucede a cualquier valor de la relación. Supremo (Mínima cota superior). Es la cota que precede a cualquier  cota EJEMPLO: Sea S = {1, 2, 3, . . . , 8} y A = {4, 5, 7}.

Las cotas superiores de A son 1, 2 y 3. Aquí sup(A) = 3, ya que 3 precede a las las otra otrass cot cotas su supe peri rior ores es 1 y 2.

 

COTA COT A IN INFERIOR FERIOR E ÍNFIMO ÍNFIMO Cota Inferior . Es el valor valor que precede a cu cualquier alquier valor de la relación. Ínfimo (máxima cota inferior). Es la cota que sucede a cualquier otro elemento de la relación EJEMPLO: Sea S = {1, 2, 3, . . . , 8} y A = {4, 5, 7}.

La únic ica a cota in infe feri rio or es 8. Ob Obse serv rve e que 7 no es una cota infe inferi rioor puesto sto que 7 no precede a 4. Observe rve que ínf(A f(A) = 8 porque 8 es la única cota inferi rioor.

 

TRABAJO EN EQUIPO Instrucciones 1. Ingrese a la sala de grupos reducidos asignada. 2. Desarrolle las actividades asignadas 3. Presente su desarrollo en el Padle Padlett del cu curso rso..

 

METACOGNICIÓN ¿Qué dificultades se presentaron?

¿Qué hemos aprendido en esta sesión?

¿Cómo se absolvieron las dificultades las dificultades encontradas?

¿Qué tipos de problemas se pueden resolver mediante diagramas de Hasse?

 

REFERENCIAS •   Kenneth

H. Rosén ((2009) 2009) Matemática Discreta y sus aplicaciones: McGraw Hill.

▪

 Miller H. (2015) Matemáticas: Razonamiento y Aplicaciones: McGraw Hill.

 

GRACIAS