DC1_4sc_2018

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Exercice 1 ( 4 points )

x→–∞

Durée : 2 h Coefficient : 3 Devoir de contrôle 1

Soit φ la fonction définie sur R par : φ(x) = x3

1. Calculer lim φ(x) et lim

x→–∞

φ(x) x

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Epreuve : Mathématiques

Republique Tunisienne Lycée Hamouda Pacha La Manouba ♦♦♦♦♦ 2017-2018 Section : Sciences expérimentales

√

%

x2 + 3 – 1.

. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. Montrer que φ est continue sur R. 3. On admettra que φ est strictement croissante sur R. (a) Donner les images de chacun des intervalles [0, 1] et [0, +∞[ par φ. (b) Montrer que l’équation φ(x) = 0 admet une solution réelle unique α dans l’intervalle [0, 1]. (c) Donner suivant les réels x de l’intervalle [0, 1] le signe de φ(x).

Exercice 2 ( 5 points ) . La courbe (C) donnée ci-contre représente dans le − → − → plan rapporté à un repère orthonormé (O; i , j ), une fonction f impaire, définie et continue sur R, π π dont les droites d’équations y = et y = – 2 2 sont deux asymptotes à (C) ainsi que le point de ( π) est un point de (C). coordonnées 1, 4

1 π 4 –5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

–1 –2

1. Donner f(–1) et lim f(x). x→–∞

 ( ) π 1+x   +x–1+f si x > 1  2 1–x 2. g est la fonction définie sur l’intervalle [1, +∞[ par : g(x) =    0 si x = 1 ( ) 1+x π (a) Montrer que lim f = – , puis montrer que g est continue à droite en 1. x→1+ 1–x 2 ( ) 1+x π (b) Montrer que lim f =– . x→+∞ 1–x 4 ( ( ) ) 1+x (c) Calculer lim f – x puis montrer que la courbe représentative de g dans un repère x→+∞ 1–x − → − → orthonormé (O; i , j ) possède une asymptote oblique δ que l’on précisera une équation cartésienne. 1

4

Exercice 3 ( 5 points ) Dans la figure ci-jointe voir feuille annexe, on donne dans le plan rapporté à un repère π − → \ → → → orthonormé direct (O; − u ,− v ) le triangle OAB tels que A le point d’affixe 4, OB = 5 et (− u , OB) ≡ (mod 2π) 3 √ 2i 3 → = z−→ . On note b et h les affixes respectives de B et H. et soit H le point d’affixe vérifiant : z− AH 5 OB 1. Donner la forme exponentielle b puis déduire que b =

5(

√ ) 1+i 3 .

2 √ 2. Montrer que h = 1 + i 3 puis vérifier que O, H et B sont alignés. 3. On note K le milieu du segment [AH].

(a) Calculer l’affixe zK du point K puis montrer que (BK) et (OA) sont perpendiculaires. (b) Montrer que K est l’orthocentre du triangle OAB. (c) Placer H, puis K.

Exercice 4 ( 6 points ) . 1. Resoudre dans R l’équation (E) : x2 + x – 1 = 0. 2π i

2. On donne le nombres complexe a = e 5 . (a) Vérifier que a5 = 1. (b) Vérifier que a4 = a et a2 = a3 . (c) En remarquant que, a5 – 1 = (a – 1)(1 + a + a2 + a3 + a4 ), vérifier que a + a2 + a3 + a4 = –1. 3. On donne u = a + a et v = a2 + a2 . (a) Vérifier que u + v = –1 et uv = –1. (b) Déduire que u et v sont les solutions de (E). √ 2π 5–1 (c) Déduire que cos = . 5 4 ( √5 – 1 ) 4. On considère dans C, l’équation (E′ ) : z2 + z + 1 = 0. 2 (a) Montrer que –a est une solution de (E′ ). (b) Déduire la forme exponentielle de chacune des solutions de (E′ ).

2

Feuille annexe

B

4

3

2

1

− → v –2

–1

O

0

− → u

1

2

–1

–2

–3

3

3

4

A