Datos Enum 2018-i

Estadistica industrial

1/06/2018

PRUEBA DE JI CUADRADO X² ESTADISTICA INDUSTRIAL  DATOS ENUMERATIVOS 

OBJETIVOS:  as características de la distribución  ji  1.- Enumerar Enumerar l as cuadrada .

2.- Realizar una prueba de hipótesis hipótesis comparando comparando un conjunto observado de frecuencias frecuenci as y una distribución esperada. hipótesis de normalidad  3.- Efectuar una prueba de hipótesis aplicando la distribución  ji cuadrada .  4. Llevar a cabo una prueba de hipótesis para determinar si están relacionados dos criterios de clasificación. 

 MG. ROSMERI MAYTA H 2018 

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1

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2

PROPIEDADES: 

DISTRIBUCION X 2 



 La

prueba X²  es una una medi medida da de comp compat atib ibililid idad ad entre una frecuencia observada (ƒo) de un dete determ rmin inad adoo even evento to o una una de sus sus cara caract cter erís ístitica ca y la frec frecue uenc ncia ia teóri eórica ca espe espera rada da (ƒe) (ƒe),, con con base base en una una dist distri ribu buci ción ón supu supues esta ta.. Cada Cada X² depende del tamaño de la muestra (n); para muestras ras pequ pequeñ eñas as (o poco pocoss grad gradoo de libe libert rtad ad,, g .l.) . l.) esta esta distribución esta fuertemente sesgada en dirección dirección positiva. positiva.

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  

 

1.-L 1.-Los os valo valore ress de X² son son mayo mayore ress o igua iguale less que que cero cero.. 2.-L 2.-Laa form formaa de una una dist distrib ribuc ució iónn X ²  depe depend ndee del del gl =n-1 =n-1.. en conse consecu cuen encia cia hay hay una una familia familia de distrib distribuc ución ión X ² . 3.-E 3.-Ell área área bajo bajo una una curv curvaa X²  y sobr sobree el eje eje horiz horizon onta tall es uno. 4.- La distr istrib ibuución ión X²  no son son simé imétric tricaas tie tienen cola olas estre estrech chas as que que se exti extien ende denn a la dere derech cha; a; esto esto es, es, está estánn sesgada sesgadass hacia hacia la derecha. derecha. 5.-E 5.-Ell valo valorr de X² siempre siempre es positivo positivo.. 6.-E 6.-Enn Tant Tantoo que que la mues muestr traa se incr increm emen enta ta en tama tamaño ño,, X²  tiend tiendee a aprox aproxima imarse rse a la distrib distribuci ución ón norma normal.l.

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 2-2

CHI-SQUARE DISTRIBUTION P r o b a b i l i d a d

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE :

Frecuencias Esperadas iguales Sean fo y fe las frecuencias observada y esperada respectivas.  Procedimiento para realizar la Prueba de Hipotesis  1.- Ho : No hay hay dife diferen rencia cia entre entre fo y fe Ha : Existe una diferencia diferencia entre fo y fe  significancia:α  2.- El nivel de significancia: estadístico : X2 :  3.- Definir el estadístico aceptación y rechazo: rechazo:  4.- Establecer la región de aceptación  El valor crítico es: X 2 (α,K-1)  Grados de Libertad: K-1  K= Numero de categorías 

 gl  = 3  gl  = 5  gl  = 10

2   χ   χ χ  χ2    01/06/2018

Rochi smeri M-aytcuadrada a Valores Valores deEstadistica Industrial

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1

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PROBLEMA  5.-Calculo

del estadístico y tomar una



decisión:

 (  f

 x 2 = Σ 



0

−

 f e

2 f e ) 

 

 Si

Xk pertenece a la región critica entonces se rechaza la hipótesis nula de lo contrario se acepta

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En el siguien iente cuadro se encuentra tra los los datos de ausentismo se recolectaron en una planta manufa manufactu cturer rera. a. Con un nivel nivel de signif significa icanc ncia ia de 0.05, 0.05, realizar una prueba para determinar si existe dife iferencia en el tasa de ausentismo por día de la semana. Día Frecuencia Lunes

120

Martes

45

Miércoles

60

Jueves

90

Viernes

130

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Solución  1.1.- H 0 : No exis existed ted ifer iferen enci cia a entr entre e las las frec frecu u en en cia cias s o bse bserv rvad adas as

y espera esperadas das conrespectoa conrespectoa la tasa tasa de ausent ausentism ismo. o. H a: Exis te te u n na a d ifif er ere nc nc ia ia en ttrre l as as f re re cu cue nc ncia s o b bs se rv rv ad ad as as y esper esperada adas s conrespec conrespecto to a la tasa tasa de ausent ausentism ismo o.

X2 0.05,4 =9.488  5) Como el X2 k es mayor que el teórico entonces se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa.  Si existe diferencia en la frecuencia observada y esperada del ausentismo 

significancia: cia:α =0.05 2.- Nivel de significan 3.3.- El esta estadí díst stic icoo es :X2 Calculo Calculo de frecuenc frecuencias ias esperada esperadass iguales: iguales: (120 + 45 + 60 + 90 + 130) / 5 = 89.

X2 k = (120 (120 – 89) 89) 2 /89 + (45-89) 2 /89+…. (130-89) 2 /89 = 60.89 60.89 4.- Estab Establec lecer er la regla regla de decis decisión ión:: G.L: G.L: k-1 =5-1=4 =5-1=4 01/06/2018

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PROBLEMA 1

El direc directo torr de segu segurid ridad ad de la empre empresa sa Hond Hondaa , de Esta Estados dos Unido Unidoss , tomó tomó mues muesttras ras al azar azar el arch archiv ivoo de acci accide dent ntes es meno menore ress , y los clasi a sificó c ó de acue acuerd rdoo con con el tiemp iempoo en que tuvo uvo luga lugarr cad cada uno uno . Utili Utiliza zand ndoo la prueba prueba de bonda bondadd de ajust ajustee y el nivel nivel de signi signififican cancia cia de 0.01, Determine si los accidentes están distribuidos uni uniform formem emen entte o no dura durannte el día día . De una una brev brevee expl explicac i cació iónn acer acerca ca de la conc conclu lusi sión ón . Hora

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8 a 9 am. 9 a 10 am. 10 a 11 am. 11 a 12 pm. 1 a 2 pm. 2 a 3 pm. 3 a 4 pm. 4 a 5 pm.

Mg. Rosmeri Mayta H.

Nº de de ac accidentes

6 6 20 8 7 8 19 Ros6 meri Mayta

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Hora

Nª accid. ( fo)

Fe

( fo – fe fe )

( fo –fe )2 /fe

8-9

6

10

-4

16

1.6

9-10

6

10

-4

16

1.6

10-11

20

10

10

100

10

11-12

8

10

-2

4

0.4

1-2

7

10

-3

9

0.9

2-3

8

10

-2

4

0.4

3-4

19

10

9

81

8.1

4-5

6

10

4

16

1.6

∑ = 80 11

( fo – fe fe )2

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∑ = 24.6 Rosm eri Mayta Estadistica Industrial

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X2 0.01 , 7 = 18.475 4) gl = k – 1 = 8 – 1 = 7

Soluci Solución ón :

X2 0 .0.0 1 , 7 = 18.475 18.475

1)

Plan Plante team amos os la hipó hipóte tesi siss nula nula y la hipó hipóte tesi siss alte altern rnat ativ ivaa Ho : La can cantid tidad de accid cidentes tes está stán distr istrib ibuuido idos unifo uniform rmem emen ente te dura durant ntee el día día . Ha : La cant cantid idad ad de acci accide dent ntes es no está estánn dist distri ribu buid idos os unifo uniform rmem emen ente te dura durant ntee el día día . 2) Nive Nivell de Sign Signifi ifica canc ncia ia : α = 0.01 0.01 3)

5) Como X2 k cae en la región critica , rechazamos la Ho y aceptamos la Ha , esto quiere decir que los accidentes no están distribuidos uniformemente durante el día .

X2 = ∑ [ ( fo f o – fe f e )2 / fe]

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FRECUENCIAS ESPERADAS DESIGUALES  El

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Cálculos

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

U.S. Bureau of the Census indica que 63. 63.9% de la pobla blación está casa asada, 7.7% es viuda, 6.9% divorciada (y no vuelta a casar) y 21.5% soltera (nunca casada). Una muestra de 500 adultos del área de Filad Filadelf elfia ia indic indicaa que 310 pers persona onass estaba estabann casad asadaas, 40 viu viudas das, 30 divor vorciadas adas y 120 solt solter eras as.. Para Para .05 .05 de nive nivell de sign signifific ican anci ciaa ¿Se puede concluir que el área de Filad Filadelf elfia ia es difere diferent ntee al de Esta Estados dos Unidos Unidos como como un todo todo??

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Estado

 f  0

Casado

310

3 1 9 .5

. 28 2 5

Viudo

40

3 8. 5

. 0 58 4

Divorciado

30

34.5

. 58 7 0

Soltero

1 20

1 0 7 .5

1.4535

Total

50 0

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f e

( f0 −fe)2 / f e

2.3814

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PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE PARA PROBAR LA NORMALIDAD

1.- H 0 : El área de Filadelfia es igual al de Estados Unidos en cuanto a su estado civil. Ha : El área de Filadelfia es diferente al de Estados Unidos en cuanto a su estado civil. 2.-  α =0.05 3.3.- X2 k = 2.38 24  x 2

= 2.3824 3824

 Propósito :

Probar si las frecuencias observadas en una distribución de frecu frecuenc encias ias se ajust ajustaa a la dist distrib ribuci ución ón norma normall teórica.  Procedimiento : • Dete Determ rmiinar nar la medi mediaa y la desv desvia iaci ción ón está estánd ndar ar de la distri distribuc bución ión de frecue frecuenci ncias. as. • Cal Calcul cular el val valor z  para el lím ite inferior y superi superior or de cada cada clase. clase. • Dete Determi rmina narr la Fe para para cada cada cate catego gorí ríaa • Usar Usar la prue prueba ba de bond bondad ad de ajus ajuste te X 2 y lueg luegoo segu seguir ir el mism mismoo proc proced edim imie ient ntoo para para la prue prueba ba de hipótesis. hipótesis.

 x 2 > 7.815, gl = 3,

4.- X2 0.05,3 =7.815 es mayor que el X2 k = 2.38 24 se acepta la hipótesis nula 

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PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE PARA PROBAR LA NORMALIDAD

La estación radiodifusora de FM, cuyo distintivo es ALFA, cree que la edad de sus radioescuchas siguen una distribución probabilística normal para confirmar esto se tomo una muestra de 50 oyentes y los resultados fueron ordenados en la siguiente tabla de distribución de frecuencias. Tiene una media µ=44.8 y una σ = 9.36 Al nivel de significancia significancia del 10% ¿Se puede concluir razonablemente que distribución de las edades se aproximan a una de tipo normal?

Nota: Los grados de libertad de X 2 esta dado por: K-m-1 K: Es el número de categorías m: Es el número de parámetros calculados

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Edad

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Frecuencia

20 hasta 30

1

30 hasta 40

15

40 hasta 50

22

50 hasta 60

8

60 hasta 70

4

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20

Solución

Calculamos  µ  los valores de Z :

Z30 =

 X  − µ 

=

σ 

Z40 =

40 − 44.8 9.36

30 − 44.8 9.36

= -1.58

EDAD

Fo

Valor de Z

area

Fe

De menos a 40

16

MENOS a -0.51

0.3059

15.295

40 – 50

22

-0.51 a 0.55

0.4029

20.145

50 A mas

12

0.55 a MAS

0.2912

14.56

= -0.51

Z50 =

50 − 44.8 9.36

=0.55

Z60 =

60 − 44.8

=1.62

9.36

Luego procedemos a calcular las áreas que vienen a ser las probabilidades , se reducen a tres categorías, porque las frecuencias esperadas deben ser mayor que cinco , se suman las áreas y luego se determinan las frecuencias esperadas. 01/06/2018

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

Las Las edad edades es se dist distri ribu buye yenn en form formaa norm normal al Ha : Las Las edad edades es no está estánn dist distri ribu buid idas as en form formaa norm normal al 2.-α = 0.10 0.10 ∑ (Fo − Fe)2 3.3.- El esta estadi dist stic icoo es X 2



4.4.- Xk2 =



 

 



gl:k-1 gl : 3-1 = 2

X2 0.1,2 = 4.60 4.60 ( delatabladejicua delatabladejicuadr drad adoo )

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 Una

Fe

5.5.- Como Como Xk2 = 0. 0.6534 es me n o r que X2 0.1,2 = 4.60 4.60 pert perten enec ecee a la regi región ón de acep acepta taci ción ón ento entonc nces es acep acepta tamo moss la H0 . Quiere Quiere decir decir que las edades edades se distri distribuyen b uyen en forma forma normal normal .Nota Se han unidos categorías por tener las frecuencias espe espera rada dass mas mas del del 20% 20% de las las casi casillllaa una una frec frecue uenc ncia ia meno menoss de cinco.

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PROBLEMA NORMALIDAD

1) Ho :





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mues uestra de 500 dona donattivos a la Fund undaci acion de artritis se presenta con la siguiente distribución de frecuencias. ¿Es razonable concluir uir que que se tien iene una dis distribuc bución norm ormal con con media edia de $10 $10 y des desviac viació iónn est estánda ándarr de $2? $2?  f  Use Use .05 .05 de nivel nivel de signi sie gnific ficanc ancia. ia. para la primera clase,  Nota : Para calcular prim primer eroo se calc calcul ulaa  f la prob probab abililid idad ad de esta esta clas clase. e. P(X