Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 7

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

1

Daniel ALIBERT Arithmétique et algèbre commutative : entiers, polynômes à une indéterminée, idéal.

Objectifs : Savoir utiliser la divisibilité (théorème de Bézout, théorème de Gauss, éléments premiers). Etudier des équations à coefficients entiers. Racines d'un polynôme. Connaître des généralisations à des sous-anneaux de C (idéal, entiers de Gauss, …).

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

2

Organisation, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d'un usage pratique simple. Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l'assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants. Ce livre comporte quatre parties.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

3

La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formée d'énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d'explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : (☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, ( ) lorsqu'une méthode plus générale est décrite, ( ) renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie 3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

4

en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires)

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

5

Table des matières

1 A Savoir........................................................................... 6 1-1 Arithmétique des entiers ................................. 6 1-2 Polynômes ....................................................... 9 1-3 Algèbre commutative .................................... 16 2 Pour Voir ....................................................................... 18 2-1 Arithmétique des entiers ............................... 18 2-2 Polynômes ..................................................... 33 2-3 Algèbre commutative .................................... 52 Comprendre et Utiliser ..................................................... 60 3-1 Énoncés des exercices ................................... 60 3-2 Corrigés des exercices ................................... 78 3-3 Corrigés des questions complémentaires .... 120 4 Pour Chercher .............................................................. 125 4-1 Indications pour les exercices ..................... 125 4-2 Méthodes ..................................................... 133 4-3 Lexique........................................................ 138

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

1

volume 7

6

A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

1-1 Arithmétique des entiers Théorème

Soient p et q des entiers relatifs, avec q différent de 0. Il existe un couple unique d'éléments de Z, (b, r) , tels que : p = b q + r, et 0 ≤ r < |q|. Soient p et q des éléments non nuls de Z, on dit que q divise p, dans Z, s'il existe un élément b de Z tel que p = b q. On note dans ce cas q | p. On dit que q est un diviseur de p. Si a et b sont des entiers et si q divise à la fois a et b, on dit que q est un diviseur commun à a et b. La relation q | p n'est pas une relation d'ordre. Cette relation n'est pas antisymétrique : si q | p et p | q, alors p = a q avec a un élément inversible dans l'anneau Z, c'est-à-dire 1 ou –1. Proposition

Soient a et b des entiers non tous deux nuls. Il existe un unique entier strictement positif d vérifiant : 1) d divise a et b ; 2) Si d' est un diviseur commun à a et b, alors d' divise d.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

7

On dit que d est le plus grand diviseur commun à a et b (PGCD), et on note d = (a,b). On définit de même le PGCD d'une famille (a, b, c, …) d'entiers. On a les propriétés élémentaires suivantes : ((a,b),c) = (a,(b,c)). Si k n'est pas nul, k(a,b) = (ka,kb). Pour tout entier q, (a,b) = (b,a – bq). Si a est non nul, (a,0) = a. Définition

On dit que a et b sont premiers entre eux, ou étrangers, si 1 est le PGCD de a et b. a b Ainsi, si d = (a,b), et si on pose a ′ = , et b ′ = , alors (a',b') = 1. d d Théorème (Bézout)

Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers u et v vérifiant : au + bv = 1. Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide

Cet algorithme permet de déterminer le pgcd de deux entiers a et b par une suite de divisions euclidiennes : a = bq + r b = r q1 + r1 r = r1q2 + r2 … rn-1 = rnqn+1 + rn+1. Cette suite est poursuivie jusqu'à ce que le reste obtenu soit nul.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

8

Le dernier reste non nul est le pgcd cherché. Théorème (Gauss)

Soient a, b, c des éléments de Z, non nuls. Si a divise bc, et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. En particulier, si a et b sont premiers entre eux, et si a et b divisent c, alors ab divise c. Définition

Soit p un élément de Z. On dit que p est un élément premier s'il est supérieur ou égal à 2, et premier avec tout entier q tel que 0 < q < p. Un entier p est premier si et seulement si il a exactement 2 diviseurs positifs distincts. Un entier p est premier si et seulement si il est supérieur ou égal à 2 et ses seuls diviseurs sont 1 et p. Si p est premier, il est premier avec tout élément de Z qu'il ne divise pas. Si p est premier, et si p divise un produit ab, alors p divise a ou b. Théorème

L'ensemble des nombres premiers est infini. Proposition

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Il existe une famille finie de nombres premiers, p1, … , pr , et une famille finie d'entiers strictement positifs n1, … , nr tels que n = p1n1 p2n2 … prnr . De plus cette décomposition est unique. Théorème (Fermat)

Soit p un nombre premier, et a un entier quelconque. Alors p divise ap - a. En particulier, si p ne divise pas a, alors p divise ap-1 - 1.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

9

1-2 Polynômes Définition :

Soit K un corps, on appelle polynômes formels à coefficients dans K, ou plus simplement polynômes, les suites finies d'éléments de K. Un polynôme est noté généralement : A = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn. L'ensemble des polynômes à coefficients dans K est noté K[X]. Dans ce livre, K sera en général Q, R ou C. Si A = (ap) est un polynôme, mais n'est pas la suite nulle, on pose : deg(A) = max{p | ap ≠ 0}, cet entier est le degré de A. On notera que cet entier n'est pas défini si A est nul. Si n est le degré de A, le coefficient an est appelé le coefficient dominant de A. S'il vaut 1, le polynôme est dit unitaire. On note Kn[X] l'ensemble des polynômes de degré au plus n, et du polynôme nul. On définit le produit de deux polynômes formels de la manière suivante : Soient P = (a0, a1, … , an, … ) et Q = (b0, b1, … , bn, … ) des polynômes, le polynôme PQ est le polynôme dont le terme d'indice n est : n

cn = ∑ ak bn −k . k= 0

L'ensemble K[X] est un anneau. L'ensemble K[X] est un K-espace vectoriel, dont une base (infinie), souvent appelée "base canonique", est 1, X, …, Xn, … L'ensemble Kn[X] est un K-espace vectoriel de dimension n + 1.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

10

Proposition

Si A et B sont des polynômes non nuls, la relation suivante est vérifiée : deg(AB) = deg(A) + deg(B), et si de plus A + B n'est pas nul, on a également la relation : deg(A + B) ≤ max(deg(A),deg(B)), et l'égalité est vraie si deg(A) ≠ deg(B). Soit P un polynôme formel à coefficients dans K. On définit la fonction polynôme associée à P, notée encore P de K dans K en posant, pour P = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn, et x ∈ K : P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn. Proposition

(Division euclidienne dans K[X]). Soient P et Q des polynômes, avec Q différent de 0. Il existe un couple unique d'éléments de K[X], (B, R), tels que : P = B Q + R, et deg(R) < deg(Q), ou R = 0. On dit que P est divisible par Q, ou que Q est un diviseur de P si le reste de la division de P par Q est nul, c'est-à-dire s'il existe un polynôme B tel que P = BQ. On note : Q | P. La relation Q | P n'est pas une relation d'ordre : si Q | P et P | Q , alors P = a Q avec a un élément inversible dans l'anneau K[X], c'est-à-dire un scalaire (élément de K) non nul. Soient P et Q deux polynômes, on dit qu'un polynôme R est un diviseur commun à P et Q si R divise P et R divise Q.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

11

Proposition

Soient A et B des éléments non tous les deux nuls de K[X], il existe un unique élément D unitaire de K[X] tel que : 1) D divise A et B, 2) Si D1 est un diviseur commun à A et B, alors D1 divise D. On dit alors que D est le plus grand diviseur commun (PGCD) de A et B. On note D = (A,B). On dit souvent d'un polynôme non nul multiple du PGCD par un scalaire que c'est un PGCD. Le PGCD est le "plus grand" par le degré, et aussi par la relation de divisibilité. Définition

Si le PGCD de A et B est le polynôme 1, on dit que A et B sont premiers entre eux, ou étrangers. Théorème (de Bézout)

Deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si il existe des polynômes U et V vérifiant : A.U + B.V = 1. Calcul de PGCD

Pour calculer un PGCD de deux polynômes P et Q, on peut utiliser l'algorithme d'Euclide. On fait la suite d'opérations suivantes 1) Effectuer la division euclidienne de P par Q : P = BQ + R 2) Effectuer la division euclidienne de Q par R : Q = B1R + R1. 3) Effectuer la division euclidienne de R par R1 : R = B2R1 + R2

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

12

et ainsi de suite, d'où une suite de polynômes Ri. Le degré de la suite des polynômes Ri est strictement décroissant, donc il existe un rang k pour lequel Rk est nul. Le PGCD de P et Q est obtenu à partir du reste précédent Rk ("dernier reste non nul ") en le divisant par son coefficient dominant. Théorème (Gauss)

Soient A, B, C des polynômes non nuls. Si A divise BC, et si A et B sont premiers entre eux, alors A divise C. En particulier, si A et B sont premiers entre eux, et si A et B divisent C, alors AB divise C. Proposition

Soit P un élément de K[X], et a un élément de K. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1) P(a) = 0. (On dit alors que a est une racine de P dans K). 2) X – a divise P, c'est-à-dire il existe un polynôme Q tel que : P(X) = (X – a) Q(X). NB : on a noté de la même manière le polynôme P et la fonction polynôme associée. On peut en déduire qu'un polynôme non nul de degré n a au plus n racines distinctes. Théorème

Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans C, a au moins une racine dans C. Définition

On appelle polynôme irréductible un polynôme P de degré supérieur ou égal à 1 qui n'a pas de diviseur Q tel que :

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

13

1 ≤ deg(Q) < deg(P). Si K = R, les polynômes irréductibles unitaires sont d'une part les polynômes de degré 1, α(X – a) (avec α et a dans R, α non nul), d'autre part les polynômes de degré 2 sans racine, α(X2 + aX + b) (avec α, a, b dans R, α non nul et a2 – 4b < 0). Si K = C, les polynômes irréductibles sont ceux de degré 1. Tout polynôme est produit de polynômes irréductibles. Définition

On dit que l'élément a de K est une racine multiple de multiplicité k du polynôme P si (X – a)k divise P, et (X – a)k+1 ne divise pas P. On caractérise les racines multiples de P à l'aide de la dérivée : Soit P un polynôme, P = a0 + a1 X + a2 X2 + … + anXn, on appelle polynôme dérivé de P, et on note DP le polynôme : a1 + 2a2X + 3a3X2 … + nanXn-1. Proposition

Soit a un élément de K, et p un entier. L'élément a est une racine multiple de multiplicité p du polynôme Q si et seulement si on a les relations suivantes : P(a) = 0 , et pour tout k entier naturel, 1 ≤ k < p : k D P(a) = 0 , et enfin D n P(a) ≠ 0 . En particulier, les racines multiples de P (quel que soit leur ordre de multiplicité) sont les racines communes à P et DP, ce qu'on peut traduire en disant que a est une racine multiple de P si et seulement si (X – a) est un diviseur commun à P et DP.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

14

Fractions rationnelles

On suppose maintenant K = R. On définit sur R[X] × R[X]* une relation d'équivalence R : (P, Q) R (P1, Q1) si et seulement si : PQ1 = P1Q. L'ensemble quotient est le corps des fractions rationnelles à coefficients dans R. On le note R(X). Soit F un élément de R(X) et (P, Q) un de ses représentants. On notera en général : P(X ) F(X) = . Q(X) On cherche à simplifier l'écriture de F, en en donnant une forme standardisée. Décomposition en éléments simples

1 Si deg(P) ≥ deg(Q), notons S le quotient de la division euclidienne de P par Q, et R le reste. On écrit :

P(X ) R( X) = S(X) + . Q(X) Q(X) R(X ) On passe au point 2 pour la fraction . Q(X) Si deg(P) < deg(Q), on passe directement à 2 . 2 Factoriser Q en un produit de polynômes du premier degré, ou du second degré sans racine réelle. (Ce point peut être difficile, voire impossible à réaliser dans la pratique puisqu'il suppose qu'il est possible

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

15

de déterminer les racines de Q). On obtient une décomposition de la forme : (α1X + β1)n1..(αkX + βk)nk(γ1X2 + δ1X + ε1)m1..(γrX2 + δrX + εr)mr. On a supposé que les polynômes figurant ci-dessus sont deux à deux non proportionnels. 3 Il existe alors des familles de réels : (a1,i1)i1 = 1 , … , n1; … ; (ak,ik)ik = 1 , … , nk (c1,j1, d1,j1)j1 = 1, … , m1 ; … ; (cr,jr, dr,jr)jr = 1, … , mr , telles qu'on ait l'égalité : a1,1 a1,n1 cr, mr X + dr,mr R(X ) = + …+ . n1 + … + Q(X) (α1 X + β1 ) (α1 X + β1 ) (γ r X 2 + δ r X + ε r )mr Dans la pratique, pour déterminer ces réels, il y a diverses méthodes ou astuces. Si elle n'est pas trop compliquée, on écrit la fraction sous la forme cidessus, avec des coefficients indéterminés, puis on réduit au même dénominateur, et on identifie le numérateur à P, ce qui permet de calculer les coefficients.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

16

1-3 Algèbre commutative Dans ce livre, les anneaux sont supposés unitaires (il existe un élément neutre pour la multiplication) et intègres (le produit de deux éléments non nuls est différent de 0). On s'intéresse principalement aux anneaux de polynômes sur un corps, à Z et aux sous-anneaux de C. Définition

Soit A un anneau commutatif, dont les opérations sont notées + et ×. On appelle idéal de A une partie I de A ayant les deux propriétés suivantes : 1) I est un sous-groupe de (A,+), 2) Pour tout a de A et tout x de I, le produit a × x est un élément de I. A et {0} sont des idéaux. Si A est un corps, ce sont les seuls idéaux de A. Si t est un élément de A, l'ensemble des multiples de t : t.A = {t × a | a ∈ A} est un idéal de A. Un tel idéal est dit principal. Il est engendré par t, qui est un générateur. Si un idéal est engendré par t d'une part et par s d'autre part alors s est le produit de t par un élément inversible de A (c'est-à-dire un élément qui a un symétrique pour la multiplication). Si u et v sont des éléments de A, l'ensemble des combinaisons de t et u : t.A + u.A= {t × a + u × b | a, b ∈ A} est un idéal de A. Il est engendré par t et u, qui en sont des générateurs. Un anneau dans lequel tout idéal est un idéal principal est appelé un anneau principal.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

17

Théorème

L'anneau des entiers relatifs, Z, et, pour tout corps K, l'anneau des polynômes à coefficients dans K, K[X], sont des anneaux principaux. Si U et V sont des polynômes (ou des entiers), l'idéal engendré par U et V a pour générateur le PGCD de U et V. Définition

Dans un anneau principal, on appelle PGCD de deux élément a et b un diviseur commun d tel que tout autre diviseur commun de a et b soit un diviseur de d. Un PGCD de a et b est un générateur de l'idéal engendré par a et b. Si un PGCD est inversible, ils le sont tous, et on dit que les éléments sont étrangers. On peut étendre le théorème de Gauss et le théorème de Bézout à cette situation. On dit qu'un élément est premier s'il n'est pas inversible, et si ses seuls diviseurs sont les produits de lui-même par un élément inversible. Définition

On dit qu'un idéal est maximal s'il est différent de l'anneau, et maximal pour la relation d'inclusion entre idéaux. Un élément extrémal est un élément qui engendre un idéal maximal. Dans un anneau principal, un élément est extrémal si et seulement si il est premier. Dans un anneau principal, si p est premier, et si p divise un produit ab, alors p divise a ou p divise b.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

2

volume 7

18

Pour Voir

Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très élémentaires à propos d'autres exemples, pour vérifier votre compréhension. 2-1 Arithmétique des entiers "Soient p et q des entiers relatifs, avec q différent de 0. Il existe un couple unique d'éléments de Z, (b, r) , tels que : p = b q + r, et 0 ≤ r < |q|." exemple 1

Les entiers p, b, q peuvent être négatifs, seul le reste r est supposé positif ou nul. Pour p et q positifs, il s'agit de la division usuelle pratiquée dès les classes primaires. Soit p = 345, q = 103. On pose la division : 345 | 103 36 | 3 Le quotient est 3, le reste est 36. exemple 2 (à traiter)

Si p ou q est négatif, on procède d'abord à la division usuelle de |p| par |q|, puis on passe à l'égalité ci-dessus. Effectuer de cette manière la division de 431 par – 29, puis de – 107 par – 19. # réponse

Pour les valeurs absolues, 431 et 29, on obtient : 431 = 29 × 14 + 25

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

19

donc : 431 = (–29) × (–14) + 25. Le quotient est –14, le reste 25. Pour 107 et 19, on obtient : 107 = 19 × 5 + 12 – 107 = (– 19) × 5 – 12 – 107 = (– 19) × 6 + 7. Le quotient est 6 et le reste 7. "Soient p et q des éléments non nuls de Z, on dit que q divise p, dans Z, s'il existe un élément b de Z tel que p = b q. On note dans ce cas q | p. On dit que q est un diviseur de p." exemple 3

Les diviseurs positifs de 918 sont 2, 17, 27, puisque 918 = 2 × 17 × 27, mais aussi : 1, 3, 6, 9, 18, 34, 51, 54, 102, 153, 306, 459, 918. Méthode : la recherche des diviseurs d'un entier doit s'effectuer par essais successifs, en notant bien, pour chaque diviseur trouvé, le quotient correspondant, qui est un autre diviseur. Il faut arrêter le calcul quand le quotient devient inférieur au diviseur, en effet on ne pourra plus obtenir que des diviseurs déjà trouvés à partir de ce moment. Il est inutile d'essayer des diviseurs supérieurs à la racine carrée de l'entier étudié. Dans l'exemple de 918, les couples obtenus sont : (1, 918), (2, 459), (3, 306), (6, 153), (9, 102), (17, 54), (18, 51), et enfin (27, 34). exemple 4 (à traiter)

Parmi les entiers suivants, lesquels sont des diviseurs de 378 :

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

20

7, 27, 36, 127, 189, 212. # réponse

Il s'agit bien sur de 7, 27, 189. "Si a et b sont des entiers et si q divise à la fois a et b, on dit que q est un diviseur commun à a et b." exemple 5

Les nombres – 1323 et 945 ont 189 comme diviseur commun, ainsi que – 189. Les diviseurs de 189 sont également des diviseurs communs, par exemple 27, 63… exemple 6 (à traiter)

Chercher tous les diviseurs communs aux deux entiers 351 et 234. (Méthode suggérée : factoriser ces deux nombres). Quelle observation peut-on faire sur l'ensemble de ces diviseurs communs ? # réponse

On verra que la méthode n'est pas optimale, surtout si les nombres sont grands. Ici, toutefois, elle reste applicable. Rappelons qu'elle consiste en un essai systématique de division par les nombres premiers successifs, jusqu'à épuisement. Ainsi, 351 n'est pas divisible par 2, est divisible par 3, par 9, par 27, mais pas par 81, ni par 5, 7, 11, enfin est divisible par 13 : 351 = 27 × 13. De même : 234 = 2 × 9 × 13. Les diviseurs communs sont 1, 3, 9, 13, 39, 117, et leurs opposés.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

21

On observe que ce sont les diviseurs du plus grand d'entre eux, 117. "Soient a et b des entiers non tous deux nuls. Il existe un unique entier strictement positif d vérifiant : 1) d divise a et b ; 2) Si d' est un diviseur commun à a et b, alors d' divise d." exemple 7

Revoir l'exemple précédent, on a bien constaté que les diviseurs communs à 351 et 234 étaient les diviseurs du plus grand d'entre eux, soit 117. exemple 8 (à traiter)

Chercher les diviseurs communs à 134 et 335 et vérifier l'énoncé proposé. # réponse

On voit que 134 est divisible par 2. Le quotient est 67 qui est premier, comme on le voit en essayant de le diviser par 2, 3, 5, 7, qui ne conviennent pas (méthode de l'exemple 3) : 134 = 2 × 67. De même, on voit que 335 n'est pas divisible par 2, ni 3, mais par 5. Le quotient est encore 67. Le plus grand diviseur commun est 67. Les seuls diviseurs communs sont 1 et 67 (et leurs opposés). "On dit que d est le plus grand diviseur commun à a et b (PGCD), et on note d = (a,b)." exemple 9

Ainsi 117 = (351, 234). exemple 10 (à traiter)

Calculer, par la méthode précédente, le PGCD de 918 et 810.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

22

# réponse

On a déjà donné les diviseurs de 918 : 1, 2, 3, 6, 9, 17, 18, 27, 34, 51, 54, 102, 153, 306, 459, 918. Pour 810, on obtient : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 81, 90, 135, 162, 270, 405, et 810. Le plus grand diviseur commun est donc 54. "On définit de même le PGCD d'une famille (a, b, c, …) d'entiers." exemple 11

La même méthode s'applique pour un nombre quelconque fini d'entiers, sous réserve de la longueur des calculs. Ainsi pour 918, 810, et 351, on obtient à partir des listes ci-dessus et de celle des diviseurs de 351 : 1, 3, 9, 13, 27, 39, 117, 351, PGCD(918, 810, 351) = 27. Remarquer que, comme on pouvait s'y attendre, on obtient un diviseur du PGCD de 918 et 810. exemple 12 (à traiter)

Chercher, par cette méthode, le PGCD de 552, 828, 667. # réponse

On obtient les listes suivantes de diviseurs : Pour 552 {1, 2, 3, 4, 6, 12, 23, 24, 46, 69, 92, 138, 184, 276, 552} Pour 828 {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 23, 36, 46, 69, 92, 138, 207, 276, 414, 828}

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

23

Pour 667 {1, 23, 29, 667}. Le PGCD est donc 23. "On a les propriétés élémentaires suivantes : ((a,b),c) = (a,(b,c)), si k n'est pas nul, k(a,b) = (ka,kb), pour tout entier q, (a,b) = (b,a – bq), si a est non nul, (a,0) = a. exemple 13

Dans l'exemple 12 : (552, 828) = 276 (276, 667) = 23, puisque les diviseurs de 276 sont : {1, 2, 3, 4, 6, 12, 23, 46, 69, 92, 138, 276}. D'autre part : (828, 667) = 23 (552, 23) = 23 puisque 23 est un nombre premier. exemple 14 (à traiter)

Utiliser la seconde relation (a, b) = (a – qb, b) pour chercher le PGCD des entiers 337 et 233. Indication : remplacer dans le couple (a, b), le plus grand des deux entiers par la différence entre le plus grand et le plus petit, jusqu'à obtenir 0 pour l'un d'entre eux. Conclure. # réponse

On écrit successivement : (337, 233) = (104, 233) = (104, 129) = (104, 25) = (79, 25) = (54, 25)

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

24

= (29, 25) = (4, 25) = (4, 21) = (4, 17) = (4, 13) = (4, 9) = (4, 5) = (4, 1) = (3, 1) = (2, 1) = (1, 1) = (0, 1) = 1. Le PGCD est 1. NB : le lecteur attentif aura reconnu une version de l'algorithme d'Euclide (voir plus loin). Noter également le caractère élémentaire des opérations en jeu, par comparaison avec la méthode de recherche de la liste des diviseurs des deux entiers. "On dit que a et b sont premiers entre eux, ou étrangers, si 1 est le PGCD de a et b." exemple 15

Ainsi, 337 et 233 sont étrangers. exemple 16 (à traiter)

Les entiers 567 et 249 sont-ils étrangers ? On utilisera la méthode de l'exemple 14. # réponse

On fait les réductions successives : (567, 249) = (318, 249) = (69, 249) = (69, 180) = (69, 111) = (69, 42) = (27, 42) = (27, 15) = (12, 15) = (12, 3) = (9, 3) = (6, 3) = (3, 3) = (3, 0) = 3. Les entiers considérés ne sont pas étrangers, leur PGCD est 3. "Ainsi, si d = (a,b), et si on pose

a′ =

a b , et b ′ = , alors : (a',b') = 1." d d

exemple 17

Ainsi, les nombres 567/3 = 189 et 249/3 = 83 sont étrangers :

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

25

(189, 83) = (106, 83) = (23, 83) = (23, 60) = (23, 37) = (23, 14) = (9, 14) = (9, 5) = (4, 5) = (4, 1) = (3, 1) = (2, 1) = (1, 1) = (1, 0) =1. exemple 18 (à traiter)

Calculer le PGCD de 272 et 187, et appliquer ce résultat. # réponse

On utilise encore la même méthode, qui n'est qu'un algorithme d'Euclide non perfectionné : (272, 187) = (85, 187) = (85, 102) = (85, 17) = (68, 17) = (51, 17) = (34, 17) = (17, 17) = (17, 0) = 17. Par division, on voit que 272/17 et 187/17, c'est-à-dire 16 et 11 sont étrangers. "Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers u et v vérifiant : au + bv = 1." exemple 19

Pour 11 et 16 : 3 × 11 – 2 × 16 = 1. La méthode employée ici est simple : écrire les multiples successifs de 11 et 16 jusqu'à en trouver deux dont la différence est 1. exemple 20 (à traiter)

Pour 189 et 83, chercher a et b. # réponse

Utilisons la même méthode : multiples de 189 = {189, 378, 567, 756…}

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

26

multiples de 83 = {83, 166, 249, 332, 415, 508, 591, 674, 757,…} On voit donc : 9 × 83 – 4 × 189 = 1. "Calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide." exemple 21

Pour 568 et 249, on effectue les opérations suivantes : 568 = 2 × 249 + 70 249 = 3 × 70 + 39 70 = 1 × 39 + 31 39 = 1 × 31 + 8 31 = 3 × 8 + 7 8 = 1 × 7 + 1. Le PGCD est donc 1. exemple 22 (à traiter)

Traiter de même le PGCD de 488 et 828. # réponse

Les opérations sont : 828 = 1 × 488 + 340 488 = 1 × 340 + 148 340 = 2 × 148 + 44 148 = 3 × 44 + 16 44 = 2 × 16 + 12 16 = 1 × 12 + 4 12 = 3 × 4 + 0. Le PGCD est donc 4.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

27

"Soient a, b, c des éléments de Z, non nuls. Si a divise bc, et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. " exemple 23

Si 3 divise un nombre pair, alors ce nombre est divisible par 6 : 3 | 2p (3, 2) = 1 donc 3 | p, il existe q entier tel que p = 3q. On obtient 2p = 6q. exemple 24 (à traiter)

Quel est le plus petit multiple de 17 divisible par 13 ? # réponse

Un multiple de 17 est de la forme 17 × c. Si 13 | 17× c, alors 13 | c. Le plus petit c est donc 13, et le plus petit multiple de 17 divisible par 13 est 17 × 13, soit 221. "En particulier, si a et b sont premiers entre eux, et si a et b divisent c, alors ab divise c." exemple 25

Ci dessus, comme 17 et 13 sont premiers entre eux, un multiple de 17 et de 13 est un multiple de 17 × 13. exemple 26 (à traiter)

Donner un exemple où a et b ne sont pas premiers entre eux et où ce résultat est faux. # réponse

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

28

C'est très facile : un nombre pair divisible par 4 n'est pas toujours divisible par 8, comme 12 par exemple. "Soit p un élément de Z. On dit que p est un élément premier s'il est supérieur ou égal à 2, et premier avec tout entier q tel que : 0 < q < p." exemple 27

Le premier nombre premier est donc 2. exemple 28 (à traiter)

En application directe de cette définition, on a une méthode pour voir si un nombre donné est un nombre premier : il suffit de calculer son PGCD avec tout nombre qui lui est inférieur. Ce n'est pas une méthode très efficace pour les grands nombres, comme on l'imagine bien. # réponse

Par cette méthode, vérifier que 17 est premier. (17, 1) = 1, bien entendu, (17, 2) = (2, 1) = 1 (17, 3) = (3, 2) = (1, 1) = 1 (17, 4) = (4, 1) = 1 (17, 5) = (5, 2) = (2, 1) = 1 (17, 6) = (6, 5) = (5, 1) = 1 (17, 7) = (7, 3) = (3, 1) = 1 (17, 8) = (8, 1) = 1 (17, 9) = (9, 8) = (8, 1) = 1 (17, 10) = (10, 7) = (7, 3) = (3, 1) = 1 (17, 11) = (11, 6) = (6, 5) = (5, 1) = 1

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

29

(17, 12) = (12, 5) = (5, 2) = (2, 1) = 1 (17, 13) = (13, 4) = (4, 1) = 1 (17, 14) = (14, 3) = (3, 2) = (2, 1) = 1 (17, 15) = (15, 2) = (2, 1) = 1 (17, 16) = (16, 1) = 1. "Un entier p est premier si et seulement si il a exactement 2 diviseurs positifs distincts." exemple 29

C'est effectivement le cas de 2 et 17. exemple 30 (à traiter)

Le nombre 1 est-il premier ? # réponse

Non puisqu'il a un seul diviseur positif, lui-même. "Si p est premier, il est premier avec tout élément de Z qu'il ne divise pas." exemple 31

Si 17 n'est pas premier avec un entier n, ils ont un diviseur commun supérieur à 1. Ce diviseur, qui doit diviser 17, est nécessairement 17. Donc 17 divise n. exemple 32 (à traiter)

L'énoncé est-il vrai pour des nombres non premiers : si p ne divise pas n alors p est premier avec n. # réponse

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

30

Non, bien sûr. Si p n'est pas premier, il se peut que p ne divise pas n, mais qu'ils aient un diviseur commun autre que 1 : p = 6, n = 33, on voit que 6 ne divise pas 33, mais leur PGCD est 3. "Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Il existe une famille finie de nombres premiers, p1, … , pr , et une famille finie d'entiers strictement positifs n1, … , nr tels que n = p n1 1

p n2 … p nr ." 2

r

exemple 33

Décomposition de 547560 : 547560 = 23 × 34 × 5 × 132. Méthode (si on ne dispose pas d'un logiciel) : on procède de proche en proche, en trouvant les facteurs premiers par essai, puis l'exposant en divisant autant que possible par un facteur premier trouvé, avant de passer au nombre premier suivant. Ici, 547560 est pair, donc divisible par 2 : 547560 = 2 × 273780. Le quotient 273780 est encore pair … d'où : 547560 = 2 × 2 × 2 × 68445. Le nombre 68445 n'est pas pair. On essaie de le diviser par 3 : 68445 = 3 × 22815, … 68445 = 3 × 3 × 3 × 3 × 845. Le nombre 845 n'est pas divisible par 3. Il est divisible par 5 : 845 = 5 × 169. Le nombre 169 n'est pas divisible par 5, 7, 11, mais par 13 : 169 = 13 × 13. exemple 34 (à traiter)

Décomposer de cette manière 218025. # réponse

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

31

On trouve 218025 = 33 ×52 × 17 × 19. "Soit p un nombre premier, et a un entier quelconque. Alors p divise ap - a. En particulier, si p ne divise pas a, alors p divise ap-1 – 1." exemple 35

Formons, pour a de 1 à 9, les expressions a5 – a : a

a5

a5 - a

1

1

0

2

32

30

3

243

240

4

1024

1020

5

3125

3120

6

7776

7770

7

16807

16800

8

32768

32760

9

59049

59040

On voit bien qu'elles sont toutes divisibles par 5. exemple 36 (à traiter)

Pour p = 7, former de même les expressions a7 – a, et les expressions a6 – 1, pour a de 7 à 14. Conclure. # réponse

On obtient le tableau : a

a6

a7

(a6-1)/7

(a7-a)/7

7

117649

823543

16806,8571

117648

8

262144

2097152

37449

299592

9

531441

4782969

75920

683280

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

32

10

1000000

10000000

142857

1428570

11

1771561

19487171

253080

2783880

12

2985984

35831808

426569

5118828

13

4826809

62748517

689544

8964072

14

7529536

105413504

1075647,86

15059070

On vérifie bien sur cet exemple l'énoncé général. On voit aussi que si a est divisible par 7, le nombre a6 – 1 n'est pas nécessairement divisible par 7. (Essayer aussi a = 49).

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

33

2-2 Polynômes "Soit K un corps, on appelle polynômes formels à coefficients dans K, ou plus simplement polynômes, les suites finies d'éléments de K." exemple 37

La suite a0 = 1, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 0, a4 = 1, a5 = 0, a6 = 1, définit un polynôme, noté habituellement : 1 + X + X4 + X6. Il faut bien comprendre qu'il n'y a aucune information supplémentaire dans cette écriture usuelle par rapport à celle d'une suite finie : les valeurs successives prises par la suite sont les valeurs des coefficients, les indices correspondant sont les exposants de X. L'écriture usuelle se justifie par sa grande facilité d'usage dans les calculs (ce qui est extrêmement important). exemple 38 (à traiter)

Ecrire la suite correspondant au polynôme (1 + X)5. # réponse

Pour faire apparaître les coefficients correspondant aux différents exposants, il faut développer : (1 + X)5 = 1 + 5X + 10X2 + 10X3 + 5X4 + 1. La suite est : 0 → 1, 1 → 5, 2 → 10, 3 → 10, 4 → 5, 5 → 1.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

34

"Si n est le degré de A, le coefficient an est appelé le coefficient dominant de A. S'il vaut 1, le polynôme est dit unitaire." exemple 39

Dans l'exemple 37, le coefficient dominant est 1. C'est un polynôme unitaire. exemple 40 (à traiter)

Quel est le coefficient dominant du polynôme (1+ 2X)6(1 – X)4 ? # réponse

Pour un produit, inutile de développer. Le coefficient dominant est le produit des coefficients dominants, soit ici 26 × (–1)4 = 64. "Si A et B sont des polynômes non nuls, la relation suivante est vérifiée : deg(AB) = deg(A) + deg(B), et si de plus A + B n'est pas nul, on a également la relation : deg(A + B) ≤ max(deg(A),deg(B)), et l'égalité est vraie si deg(A) ≠ deg(B). exemple 41

Ainsi, dans l'exemple 40, le coefficient dominant est 64, il correspond à 64 X10. Le degré est bien 6 + 4. exemple 42 (à traiter)

Calculer le degré du polynôme : (1 + X)5 + (1 – X)5. # réponse

On prévoit, d'après le résultat rappelé, que ce degré est au plus 5. Pour le déterminer, il faut développer les polynômes (1 + X)5 et (1 – X)5.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

35

On obtient : (1 + X)5 + (1 – X)5 = 2 + 20 X2 + 10 X4. Le degré est donc 4. Noter que c'est seulement parce que les degrés des deux polynômes de la somme sont égaux qu'il a pu y avoir une simplification. "Soient P et Q des polynômes, avec Q différent de 0. Il existe un couple unique d'éléments de K[X], (B, R), tels que : P = B Q + R, et deg(R) < deg(Q), ou R = 0." exemple 43

Les deux conditions sont indispensables pour que le couple (B, R) soit bien déterminé. Ainsi, les deux égalités suivantes sont vraies : X5 + X + 1 = (X4 – X3 + X2 – X + 2)(X + 1) – 1, X5 + X + 1 = (X4 – X3 + X2 – X)(X + 1) + 2 X + 1. Seule la première correspond à l'égalité de la division euclidienne. exemple 44 (à traiter)

Effectuer la division euclidienne de 3 X4 + 2 X3 – X + 4, par X2 + X + 1. # réponse

On obtient le quotient 3 X2 – X – 2, et le reste 2 X + 6. Vérifier au moins le terme dominant (3 × 1 = 3). "On dit que P est divisible par Q, ou que Q est un diviseur de P si le reste de la division de P par Q est nul, c'est-à-dire s'il existe un polynôme B tel que P = BQ. On note Q | P." exemple 45

La plupart du temps, il faut faire la division pour vérifier qu'un polynôme est un diviseur d'un autre (voir des cas particuliers en exercice). Ainsi, on voit que X2 + X + 1 est un diviseur de X4 + X3 – X – 1.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

36

Le quotient, qui est un autre diviseur, est (X2 – 1) : X4 + X3 – X – 1 = (X2 + X + 1)(X2 – 1). exemple 46 (à traiter)

Chercher les diviseurs de degré 1, dans R[X], du polynôme X4 – 1. # réponse

Il suffit de chercher les diviseurs unitaires, c'est à dire les polynômes de la forme X – a, a étant un réel. On observe que le reste est constant, et que c'est a4 – 1. Il suffit donc de connaître les réels vérifiant a4 = 1. Il s'agit de 1 et – 1. Les diviseurs de degré 1 dans R[X], du polynôme X4 – 1 sont donc les polynômes de l'une des deux formes suivantes : c (X – 1), d (X + 1), c et d étant des réels non nuls. "Soient P et Q deux polynômes, on dit qu'un polynôme R est un diviseur commun à P et Q si R divise P et R divise Q." exemple 47

D'après les exemples précédents, X + 1 est un diviseur commun à X4 – 1 et X4 + X3 – X – 1. exemple 48 (à traiter)

Vérifier que X2 + 1 est un diviseur commun à : X5 + X3 – X2 – 1 et X5 + 2 X3 + 2 X2 + X + 2. # réponse

On obtient en effet, par division, les égalités :

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

37

X5 + X3 – X2 – 1 = (X2 + 1)(X3 – 1), X5 + 2 X3 + 2 X2 + X + 2 = (X2 + 1)(X3 + X + 2). Une autre méthode, utilisant la connaissance des racines de X2 + 1, est possible. Voir plus bas. "Soient A et B des éléments non tous les deux nuls de K[X], il existe un unique élément D unitaire de K[X] tel que : 1) D divise A et B, 2) Si D1 est un diviseur commun à A et B, alors D1 divise D. exemple 49

Reprenons l'exemple 47. Le polynôme X + 1 n'est pas le seul diviseur commun à X4 – 1 et X4 + X3 – X – 1 dans R[X]. Les calculs déjà faits montrent que le polynôme X2 – 1 est aussi un diviseur commun. C'est d'ailleurs le polynôme unitaire de plus haut degré qui soit diviseur commun : X4 – 1 = (X2 – 1)(X2 + 1) X4 + X3 – X – 1 = (X2 – 1)(X2 + X + 1). Un diviseur commun de plus haut degré serait un multiple de X2 – 1 par un diviseur commun, et non constant, à X2 + 1 et X2 + X + 1, ce qui n'existe pas dans R[X] (ni dans C[X] d'ailleurs). En effet ces polynômes n'ont pas de diviseur de degré 1 (raisonnement de l'exemple 46). exemple 50 (à traiter)

Chercher par cette méthode de factorisation le PGCD de : X4 + X3 – X2 + X – 2, et X4 + X3 – 3 X2 – X + 2. (Bien noter dans cette méthode l'importance de la recherche des racines des polynômes. La méthode de l'algorithme d'Euclide évite d'avoir à résoudre ce problème).

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

38

# réponse

En recherchant les diviseurs de degré 1, à partir des racines "évidentes" des polynômes, on trouve les factorisations : X4 + X3 – X2 + X – 2 = (X – 1)(X + 2)(X2 + 1) X4 + X3 – 3 X2 – X + 2 = (X – 1)2(X + 2)(X + 1). Le PGCD est (X – 1)(X + 2). "Le PGCD est le "plus grand" par le degré, et aussi par la relation de divisibilité." exemple 51

Dans les deux exemples précédents, on a vu que le PGCD était un multiple des autres diviseurs communs, et le seul polynôme unitaire de degré 2 qui soit un diviseur commun. exemple 52 (à traiter)

Déterminer le PGCD des polynômes suivants, sachant qu'ils sont divisibles par X2 + X + 1 : X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2, X5 – X4 – 2 X3 – X2 + X + 2. # réponse

Le PGCD est un multiple de X2 + X + 1. On factorise d'abord les polynômes : X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2 = (X2 + X + 1)(X3 – 3 X + 2), X5 – X4 – 2 X3 – X2 + X + 2 = (X2 + X + 1)(X3 – 2 X2 – X + 2). Il suffit maintenant de trouver un diviseur commun à : X3 – 3 X + 2 et X3 – 2 X2 – X + 2. On peut passer par la recherche de racines.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

39

On peut aussi remarquer que, comme dans le cas des entiers, un tel diviseur commun est aussi commun à : X3 – 3 X + 2 et X3 – 3 X + 2 – (X3 – 2 X2 – X + 2) = 2 X2 – 2 X. Les diviseurs de degré 1 de 2 X2 – 2 X sont évidents : X et (X – 1) (et leurs multiples par une constante non nulle, bien entendu). On vérifie que X ne divise pas X3 – 3 X + 2 (ni X3 – 2 X2 – X + 2), par contre X – 1 divise ces deux polynômes : X3 – 3 X + 2 = (X – 1)(X2 + X – 2), X3 – 2 X2 – X + 2 = (X – 1)(X2 – X – 2). En conclusion le PGCD est (X – 1)(X2 + X + 1). Retenir cette méthode de simplification par combinaison des polynômes dont on cherche un diviseur commun. Elle n'est, bien sûr, pas sans rapport avec l'algorithme d'Euclide ! "Si le PGCD de A et B est le polynôme 1, on dit que A et B sont premiers entre eux, ou étrangers." exemple 53

Les polynômes X2 + X + 1 et X2 + 1 sont étrangers. En effet un diviseur commun à ces polynômes serait un diviseur de leur différence X. Or X ne divise ni l'un ni l'autre. exemple 54 (à traiter)

Les polynômes P = X5 + 1 et Q = X6 – 1 sont-ils étrangers ? # réponse

Premier raisonnement : on "voit" que ces polynômes ont – 1 pour racine, donc sont divisibles par X + 1. Ils ne sont donc pas étrangers.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

40

Second raisonnement (si on ne voit pas) : on procède par combinaison. Un diviseur commun à P et Q est un diviseur de toute combinaison de P et Q : Q – XP = X6 – 1 – X (X5+ 1) = – 1 – X. Donc, soit X + 1 est un facteur commun, soit les polynômes sont étrangers. On vérifie alors que X + 1 convient. Comme c'est le seul facteur commun possible, c'est le PGCD. Deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si il existe des polynômes U et V vérifiant : A.U + B.V = 1. exemple 55

Dans l'exemple 53, A = X2 + X + 1, B = X2 + 1. On peut alors écrire : A – B = X, B = (A – B)2 + 1 B – A2 + 2AB – B2 = 1 A (2B – A) + B (1 – B) = 1. On peut donc prendre U = 2B – A, V = 1 – B. exemple 56 (à traiter)

Les polynômes U et V sont-ils uniques ? # réponse

Il suffit de reprendre l'exemple précédent pour voir que non. On aurait pu choisir U = – A, V = 2A + 1 – B. Pour calculer un PGCD de deux polynômes P et Q, on peut utiliser l'algorithme d'Euclide. exemple 57

C'est le même calcul, d'un point de vue formel, que pour les entiers.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

41

Retrouvons de cette manière le PGCD de X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2 et X5 – X4 – 2 X3 – X2 + X + 2 (exemple 52). X5 – X4 – 2 X3 – X2 + X + 2 = (X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2) + (– 2 X4 + 2X). X5 + X4 – 2 X3 – X2 – X + 2 = (– 2 X4 + 2X)(–1/2 X – 1/2)+ (– 2 X3 + 2). – 2 X4 – 2X = (– 2 X3 + 2)(X) + 0. Le PGCD est donc le polynôme unitaire obtenu à partir de – 2 X3 + 2, soit X3 – 1. exemple 58 (à traiter)

Chercher le PGCD de P = X5 + 1 et Q = X6 – 1 par cette méthode. # réponse

On a les calculs suivants : Q = P X + (– X – 1) P = (– X – 1)(– X4 + X3 – X2 + X – 1) + 0. Le PGCD se calcule à partir de – X – 1 : c'est X + 1. Soient A, B, C des polynômes non nuls. Si A divise BC, et si A et B sont premiers entre eux, alors A divise C. exemple 59

Ainsi, comme X2 + X + 1 est étranger à X2 + 1 et X2 – 1, il ne divise pas leur produit X4 – 1. exemple 60 (à traiter)

A partir de l'égalité (exemple 55) :

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

42

(X2 + X + 1) (X2 – X + 1) + (X2 + 1) (– X2) = 1, trouver d'autres polynômes U et V vérifiant : (X2 + X + 1) U + (X2 + 1) V = 1.

# réponse

L'égalité : (X2 + X + 1) (X2 – X + 1) + (X2 + 1) (– X2) = (X2 + X + 1) U + (X2 + 1) V s'écrit : (X2 + X + 1) (X2 – X + 1 – U) = (X2 + 1) (V + X2). Comme X2 + X + 1 et X2 + 1 sont étrangers, on voit que X2 + X + 1 divise V + X2, donc il suffit de prendre U et V tels que : V = – X2 + T (X2 + X + 1) U = X2 – X + 1 – T (X2 + 1), T étant un polynôme quelconque. Par exemple pour T = 1, on obtient : V = X + 1, U = – X, 2 (X + X + 1) (– X) + (X2 + 1) (X + 1) = 1. En particulier, si A et B sont premiers entre eux, et si A et B divisent C, alors AB divise C. exemple 61

Le résultat n'est pas vrai si A et B ne sont pas supposés premiers entre eux. Il ne suffit pas, par exemple, que A ne divise pas B et que B ne divise pas A: X2 – 1 divise X4 – 1, X3 – X2 + X – 1 divise X4 – 1, mais X5 – X4 – X + 1 ne divise pas X4 – 1.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

43

Pourtant X2 – 1 ne divise pas X3 – X2 + X – 1. Par contre ils ne sont pas étrangers, puisque X – 1 est un diviseur commun. exemple 62 (à traiter)

Sans calculer de division, montrer que – X4 + 3 X3 – 2 X est divisible par X2 – X. # réponse

Il est clair que ce polynôme est divisible par X et par X – 1 qui sont étrangers. Soit P un élément de K[X], et a un élément de K. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1) P(a) = 0, 2) X – a divise P, c'est-à-dire il existe un polynôme Q tel que P(X) = (X – a) Q(X). exemple 63

On a déjà utilisé ce résultat, très important, dans quelques exemples (exemple 46). C'est un test très facile d'emploi pour vérifier qu'un polynôme de degré 1 est un diviseur. Remarquer toutefois que la résolution d'une équation algébrique de degré supérieur à 2 est, en général, difficile, voire impossible à traiter autrement que par un calcul approché. exemple 64 (à traiter)

Un polynôme P à coefficients réels a pour racine le complexe i. Montrer qu'il est divisible par X2 + 1. # réponse

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

44

Si P(i) = 0, alors, par conjugaison complexe, P(–i) = 0. Donc P est divisible par X – i et par X + i. Comme ces polynômes sont étrangers, P est divisible par leur produit X2 + 1. On peut en déduire qu'un polynôme non nul de degré n a au plus n racines distinctes. exemple 65

Ainsi X3 – 1 a une racine (dans R) ou trois racines (dans C). exemple 66 (à traiter)

Combien de racines distinctes a le polynôme : X5 – 3 X4 + 4 X3 – 4 X2 + 3 X – 1. # réponse

Il s'annule pour 1, donc se factorise par X – 1 : X5 – 3 X4 + 4 X3 – 4 X2 + 3 X – 1 = (X – 1)(X4 – 2 X3 + 2 X2 – 2 X + 1). Le quotient s'annule encore pour 1, on obtient ainsi par deux divisions : X5 – 3 X4 + 4 X3 – 4 X2 + 3 X – 1 = (X – 1)3(X2 + 1). Dans R, ce polynôme a une seule racine ; dans C, il en a trois. Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans C, a au moins une racine dans C. exemple 67

Le résultat est vrai dans R pour les polynômes de degré impair (en raison du théorème des valeurs intermédiaires). Par contre il y a des polynômes de degré pair n'ayant pas de racine dans R (X2 + 1 par exemple).

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

45

exemple 68 (à traiter)

Comme l'énoncé est vrai pour tout polynôme, il a pour conséquence que tout polynôme à coefficients dans C est produit de facteurs du premier degré dans C[X]. Mettre X5 – 1 sous forme d'un produit de facteurs du premier degré. Sontils tous distincts ? # réponse

Les complexes z tels que z5 = 1 sont les racines cinquièmes de l'unité, il y en a cinq distinctes :  2kπ   2kπ  zk = cos + i sin , k = 0, 1, 2, 3, 4.  5 5  On a donc la factorisation :   2π   2π    4π   4π   X − cos X 5 − 1 = ( X − 1) X − cos − i sin − i sin  5  5    5   5  

  6π  6π   8π  8π X − cos  − isin    X − cos  − isin  .  5 5  5 5  "Si K = R, les polynômes irréductibles unitaires sont d'une part les polynômes de degré 1, α(X – a) (avec α et a dans R, α non nul), d'autre part les polynômes de degré 2 sans racine, α(X2 + aX + b) (avec α, a, b dans R, α non nul et a2 – 4b < 0)." exemple 69

Le polynôme X2 + X + 1 est irréductible sur R puisqu'il n'a pas de racine réelle.

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

46

exemple 70 (à traiter)

Le polynôme X4 + 1 est de degré supérieur à 2, donc il n'est pas irréductible sur R, quoique n'ayant pas de racine réelle. Le factoriser sur R. # réponse

Deux méthodes peuvent s'appliquer ici : Factoriser sur C, puis apparier les facteurs du premier degré conjugués (qui existent toujours). Considérer X4 + 1 comme une partie de développement d'un carré. Première méthode : elle est analogue à celle utilisée en 68. Les racines quatrième de – 1 dans C s'écrivent sans problème : iπ / 4 ikπ / 2 yk = e e , k = 0, 1, 2, 3,

2 2 2 2 (1+ i), y1 = (−1 + i), y2 = (−1 − i), y3 = (1 − i). 2 2 2 2 On déduit :  2  2  2  2  4 X +1 =  X − (1 + i)  X − (−1 + i)  X − (−1− i)  X − (1 − i)  2  2  2  2  et les facteurs 1 et 4, et 2 et 3 respectivement sont conjugués, donc leur produit réel : y0 =

X 4 + 1 = (X 2 + 2X + 1)(X 2 − 2X + 1).

Deuxième méthode : X4 + 1 = (X2 + 1)2 – 2 X2, d'où le même résultat, par application de a2 – b2 = (a – b)(a + b).

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

47

"On dit que l'élément a de K est une racine multiple de multiplicité k du polynôme P si (X – a)k divise P, et (X – a)k+1 ne divise pas P." exemple 71

Dans l'exemple 66, X5 – 3 X4 + 4 X3 – 4 X2 + 3 X – 1 a une racine de multiplicité 3, a = 1. exemple 72 (à traiter)

Déterminer les racines de X6 + 4 X5 + 8 X4 + 10 X3 + 8 X2 + 4 X + 1, avec leur ordre de multiplicité. On vérifiera que ce polynôme est divisible par X2 + X + 1. # réponse

On voit que – 1 est racine, et après division par X + 1, que sa multiplicité est 2 : X6 + 4 X5 + 8 X4 + 10 X3 + 8 X2 + 4 X + 1 = (X+1)(X5 + 3 X4 + 5 X3 + 5 X2 + 3 X + 1). X5 + 3 X4 + 5 X3 + 5 X2 + 3 X + 1 = (X + 1)(X4 + 2 X3 + 3 X2 + 2 X + 1). Pour factoriser X4 + 2 X3 + 3 X2 + 2 X + 1, on peut utiliser la méthode des polynômes symétriques (voir exercice 11), ou de la dérivée (voir plus bas). On trouve : X4 + 2 X3 + 3 X2 + 2 X + 1 = (X2 + X + 1)2. Les racines sont donc –1, j, et j2 avec multiplicité 2. −1 3 (Rappel : j = ). +i 2 2

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

48

"Soit a un élément de K, et p un entier. L'élément a est une racine multiple de multiplicité p du polynôme Q si et seulement si on a les relations suivantes : P(a) = 0 , et pour tout k entier naturel, 1 ≤ k 0 et y > 0. exercice 5

Sur les nombres premiers. Etant donné un nombre premier p, on note φ(p) le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à p. On suppose dans cet exercice p ≥ 5. 1) Soit q = 2φ(p) – 1. Montrer (☺) ( ) que q est de la forme 4k + 3. Montrer que si q n'est pas premier il a un facteur premier ( ) supérieur à p de la forme 4k + 3. En déduire que l'ensemble : {4k + 3 | k entier naturel} contient une infinité de nombres premiers. 2) Montrer (☺), de même, qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme 6k + 5. 3) En considérant les entiers φ(p) + 2, φ(p) + 3 … φ(p) + p, montrer qu'il existe dans N des intervalles de longueur arbitrairement grande où il n'y a pas de nombre premier (☺).

exercice 6

Equations diophantiennes.

☺ indications pour résoudre - méthode -

lexique

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

64

Il s'agit d'équations, ou de systèmes d'équations à une ou plusieurs inconnues entières, et à coefficients entiers. On s'intéressera ici aux équations du premier degré. 1) Résoudre (☺) ( ) l'équation suivante, en discutant selon les valeurs du paramètre a : 18 x + 15 y = a. Généraliser la méthode à une équation quelconque de cette forme : ux + vy = a. 2) Résoudre (☺) le système d'équations : x + 15 y = 2 x + 14 z = 3. Plus généralement, soient p et q des entiers strictement supérieurs à 1, et premiers entre eux, a et b des entiers. Résoudre le système : x+py=a x + q z = b. exercice 7

Equations modulo p ( ). Soit p un entier strictement positif. On dit que des entiers a et b sont "égaux modulo p" si la différence a – b est divisible par p. On n'a pas introduit dans ce livre la notion de congruence, ni celle de groupe (ou anneau) quotient. Le lecteur familier de ces domaines traduira les énoncés. 1) Inverse modulo p : soit p un entier strictement supérieur à 1, et a un entier. Un entier b est un "inverse modulo p" de a s'il existe un entier n tel que : ab + pn = 1. Trouver les inverses modulo p, s'ils existent (☺) ( ) dans les cas suivants : p = 13, a = 7 p = 12, a = 4 ☺ indications pour résoudre - méthode -

lexique

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

65

p = 12, a = 7 A partir de ces exemples, et d'autres éventuellement, discuter l'existence, pour p donné, d'un inverse modulo p de a. 2) Ordre modulo p : soit a un entier, on dit que a est d'ordre fini modulo p s'il existe un entier n, n > 0, tel que an – 1 soit divisible par p. Dans ce cas, le plus petit entier vérifiant cette propriété est appelé l'ordre de a modulo p, noté ici ω(a) (p est sous-entendu). (☺). Montrer qu'une condition nécessaire pour que a soit d'ordre fini modulo p est que a et p soient étrangers ( ). Soit a étranger à p. On note ai le reste de la division de ai par p. Montrer que ai ≠ 0, pour tout i. Considérer l'ensemble : {a1, a2,…, ap} et montrer que deux de ses éléments, au moins, sont égaux. Déduire que a est d'ordre fini modulo p. Soit a d'ordre fini modulo p, ω(a) son ordre, et n un entier, n > 0, tel que : an – 1 est divisible par p. Soit r le reste de la division euclidienne de n par ω(a). Montrer que ar – 1 est divisible par p. En déduire que n est divisible par ω(a). 3) Soit G l'ensemble des entiers strictement positifs, inférieurs à p, et étrangers à p. On note ici N le nombre de ses éléments (voir exercice suivant). On veut montrer que pour tout a de G, ω(a) divise N. Pour les relations d'équivalence, se reporter au volume 1. On peut admettre ce résultat qui sera utilisé dans l'exercice suivant. On définit une relation ~ dans G par : x ~ y s'il existe t entier, 0 < t ≤ ω(a), x – aty est divisible par p. Montrer que ~ est une relation d'équivalence dans G. Montrer que les classes d'équivalence ( ) ont toutes le même nombre d'éléments (☺), égal à ω(a). Conclure. ☺ indications pour résoudre - méthode -

lexique

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

66

exercice 8

Soit n un entier strictement supérieur à 1. On appelle indicatrice d'Euler de n, et on note ϕ(n), le nombre d'entiers compris entre 1 et n – 1 qui admettent un inverse modulo n. On pose ϕ(1) = 1. 1) Calculer ϕ(n) si n est premier (☺). 2) Démontrer que si a est premier avec n, alors aϕ(n) – 1 est divisible par n (☺). 3) On suppose m et n premiers entre eux. Démontrer (☺) ( ) : ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). 4) Soit p un nombre premier, et n entier naturel. Démontrer : ϕ(pn) = (p – 1)pn-1. 5) Pour un entier quelconque, exprimer ϕ(n) à l'aide des entiers donnés dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers ( ) (☺). exercice 9

Nombres de Mersenne. 1) Soit q un entier. Montrer que si q est pair et supérieur à 2, alors 2q – 1 n'est pas premier, et que ce nombre est divisible par 3 (☺). 2) Soit q un entier impair. Montrer que si q n'est pas premier, alors 2q – 1 n'est pas premier (☺). 3) On suppose maintenant q premier et impair. On appelle nombre de Mersenne les nombres : Mq = 2q – 1. Il se peut qu'un nombre de Mersenne ne soit pas premier (M11 par exemple). Dans ce cas, soit p un facteur premier de Mq. 3-1) Soit A = {n ∈ N | p divise 2n – 1}. Peut-il être vide ? On note ω le plus petit élément strictement positif de A. Montrer que ω divise tous les éléments de A ( ) . En déduire que ω = q. 3-2) Démontrer que q divise p – 1. ☺ indications pour résoudre - méthode -

lexique

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

67

3-3) Utiliser ce résultat pour factoriser M11. (☺). exercice 10

Nombres de Carmichael. On sait que si p est premier et a premier avec p, alors p divise ap-1 – 1. La réciproque est fausse : il existe des entiers non premiers N tels que pour tout entier a premier avec N, N divise aN-1 – 1. On les appelle les nombres de Carmichael. 1) Soient p1, p2, …, pk des nombres premiers distincts, et N leur produit. On suppose que pour tout i entre 1 et k, pi – 1 divise N – 1. On montre dans cette question que N est un nombre de Carmichael. On note bi le quotient de N – 1 par pi – 1. 1-1) Soit a un entier premier avec N. Montrer que a est premier avec pi, pour tout i. Déduire que pour tout i il existe un entier ti tel que (☺) : aN-1 = (1 + piti)bi. 1-2) Déduire que pi divise aN-1 – 1, quel que soit i (i = 1, …, k) puis que N divise aN-1 – 1 (☺). On admettra que, réciproquement, tout nombre de Carmichael est de cette forme. 2) Vérifier que 561, 1105, 1729 sont des nombres de Carmichael. 3) Dans cette question, on montre qu'un nombre de Carmichael a au moins trois facteurs premiers distincts. Soient p et q des nombres premiers tels que p < q, et q – 1 divise pq – 1. 3-1) Montrer (☺) que si q – 1 divise pq – 1, alors q – 1 divise p – 1. 3-2) Déduire qu'il n'existe pas de nombre de Carmichael ayant exactement deux facteurs premiers. 4) On étudie les nombres de Carmichael ayant trois facteurs premiers. Soient p, q, r trois nombres premiers, tels que p < q < r, et N = pqr. On suppose que N est un nombre de Carmichael. (☺).

☺ indications pour résoudre - méthode -

lexique

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

68

4-1) Montrer qu'il existe des entiers t et u vérifiant : pr – 1 = (q – 1)t pq – 1 = (r – 1)u. 4-2) Exprimer q en fonction de p, t, u et r en fonction de p, q, u. 4-3) Démontrer ( ) : 2 ≤ u ≤ p – 1, 2 p p2 + p < t < 1+ . u u 4-4) Existe-t-il des nombres de Carmichael pairs produit de trois facteurs ( )? Existe-t-il des nombres de Carmichael produit de trois facteurs, et multiples de 3 ( ) ? Dans chaque cas, donner toutes les valeurs possibles, s'il en existe. (☺) .

☺ indications pour résoudre - méthode -

lexique

Daniel ALIBERT

cours et exercices corrigés

volume 7

69

Polynômes : savoir utiliser les propriétés algébriques, savoir utiliser la divisibilité (théorème de Bezout, théorème de Gauss, éléments irréductibles). Racines d'un polynôme. exercice 11

Fonctions symétriques des racines de polynômes. 1) Développer les produits : (X – a)(X – b), (X – a)(X – b)(X – c), i =n

∏ (X − a ) , i

i=1

en déduire (☺) des relations entre les coefficients d'un polynôme : P(X) = a0 + a1X + … + anXn et certaines expressions calculées à partir de ses racines. Remarquer que expressions ne changent pas lorsqu'on permute les racines entre elles. On appelle ces expressions les "fonctions symétriques élémentaires" des racines du polynôme. Soient α1,…, αn les n racines complexes de P, on note les fonctions symétriques élémentaires σp (0 < p ≤ n = deg(P)) : σ1 = α1 + … + αn,

σ 2 = ∏ α iα j , i≠ j

σp =

∏α α

i1 i1