Daniel Alibert - Cours Et Exercices Corrigés - Volume 2

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volume 2 1

Daniel ALIBERT Relations d'ordre. Entiers. Anneaux et corps. Nombres réels.

Objectifs : -Majorer, minorer, chercher le plus grand élément d'un ensemble ordonné, la borne supérieure, faire une récurrence. - Calculer dans un anneau, un corps. - Utiliser l'ordre dans un groupe, un anneau, un corps. - Calculer dans le corps ordonné des réels : chercher une borne supérieure (ou inférieure), majorer, minorer, utiliser les intervalles.

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Organisation, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d'un usage pratique simple. Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l'assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants.

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Ce livre comporte quatre parties. La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formé d'énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d'explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : (☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, ( ) lorsqu'une méthode plus générale est décrite, ( ) renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie 3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique.

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Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires).

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Table des matières

1 A Savoir........................................................................ 9 1-1 Ensembles ordonnés ..................................... 9 1-2 Segments, intervalles.................................. 11 1-3 Entiers ........................................................ 13 1-4 Anneaux et corps ........................................ 15 1-5 Les nombres réels ....................................... 17 2 Pour Voir .................................................................... 19 2-1 Ensembles ordonnés ................................... 19 2-2 Segments, intervalles.................................. 28 2-3 Entiers ........................................................ 32 2-4 Anneaux et corps ........................................ 40 2-5 Les nombres réels ....................................... 44 3 Pour Comprendre et Utiliser ...................................... 55 3-1 Énoncés des exercices ................................ 55 3-2 Corrigés des exercices ................................ 73 3-3 Corrigés des questions complémentaires . 129 4 Pour Chercher ........................................................... 139 4-1 Indications pour les exercices .................. 139 4-2 Méthodes .................................................. 147 4-3 Lexique..................................................... 151

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1

A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

1-1 Ensembles ordonnés Définition

Une relation réflexive, antisymétrique et transitive est une relation d'ordre. On la note généralement ≤ , (ou ≥). Un ensemble muni d'une relation d'ordre est dit ordonné. Soient x et y des éléments d'un ensemble ordonné, la relation : x ≤ y et x ≠ y, est notée : x < y. Une relation d'ordre est dite totale si pour tout x et tout y on a x ≤ y ou y ≤ x. L'ensemble est alors dit totalement ordonné. Dans le cas contraire, on dit que l'ordre est partiel. Définitions

Soit E un ensemble ordonné et F une partie de E. On dit que y est un majorant de F dans E, si y est un élément de E et si pour tout x de F, y ≥ x. On définit de même les minorants de F dans E par : y ∈ E, et pour tout x de F, y ≤ x.

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L'ensemble des majorants de F dans E est noté MajorE(F), et l'ensemble des minorants MinorE(F). Si F admet un majorant, on dit que c'est une partie majorée de E. On définit de même une partie minorée. Si F est à la fois majorée et minorée, on dit que c'est une partie bornée. Propriété

Un plus grand élément de F est un majorant de F qui appartient à F : si F a un plus grand élément, il est unique, on le note max(F). De même un plus petit élément de F, s'il existe, est unique, et noté min(F). Définition

Un élément a de E est la borne supérieure de F dans E si a est le plus petit des majorants de F dans E. Si F n'est pas majoré dans E, il n'a donc pas de borne supérieure. Si a existe, il est unique, on le note supE(F). Un élément de E est la borne inférieure de F dans E si c'est le plus grand des minorants de F dans E. Si cet élément de E existe, il est unique, on le note infE(F). Propriété

Si max(F) existe, alors supE(F) existe aussi et on a max(F) = supE(F). Définition

Soient E et F des ensembles ordonnés, et f : E → F une application. On dit que f est croissante si on a l'implication, pour tout x et tout y de E: x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y). On définit de même les applications décroissantes. On dit que f est monotone si elle est croissante ou décroissante.

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Enfin, on dit que f est strictement croissante si l'implication suivante est vraie : x < y ⇒ f(x) < f(y).

1-2 Segments, intervalles Définition

Soit (E, ≤) un ensemble ordonné ; on appelle segment fermé d'extrémités a et b, avec a ≤ b pour fixer les idées, la partie de E définie par : [a , b] = {x ∈ E | a ≤ x ≤ b}. On définit de même les segments ouverts, semi-ouverts. On appelle section finissante, fermée, d'origine a, la partie de E définie par : [a , →[ = {x ∈ E | a ≤ x}. On définit de même une section commençante, noté ]← , a], et les sections ouvertes. Propriété

Un segment est une partie bornée, qui admet une borne supérieure et une borne inférieure. Définition

Soit (E, ≤) un ensemble ordonné et I une partie de E. On dit que I est un intervalle de E si pour tout x et tout y de I tels que x ≤ y on a : Tout élément z de E tel que x ≤ z ≤ y , est un élément de I. Propriété

Tout segment est un intervalle.

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Propriété

Dans un ensemble totalement ordonné, si I est un intervalle, et si a = inf(I) et b = sup(I) existent, alors I est un segment contenu dans [a , b] et contenant ]a , b[.

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1-3 Entiers Définition

Soit E un ensemble totalement ordonné, et x, x' des éléments de E. On dit que x' est le successeur de x, et on note x' = succ(x), si : x < x' et, ]x , x'[ = ∅. On définit de même le prédécesseur de x, noté pred(x). Propriété

Un élément x de E a au plus un prédécesseur, et au plus un successeur. S'ils existent, on a pred(succ(x)) = succ(pred(x)) = x. Définition

a- Soit E un ensemble ordonné. On dit que E est bien ordonné (BO) si toute partie non vide A de E admet un plus petit élément. b- Soit E un ensemble bien ordonné. On dit que E est naturellement bien ordonné (NBO) si tout élément de E, sauf min(E), a un prédécesseur. Propriété

Un ensemble bien ordonné est totalement ordonné. Définition

On définit N comme un ensemble totalement ordonné, n'ayant pas de plus grand élément, dans lequel toute partie non vide a un plus petit élément, et tout élément sauf min(N) a un prédécesseur. L'ensemble N est donc un ensemble naturellement bien ordonné, sans élément maximum.

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Propriété

Si E est un ensemble NBO sans élément maximum, alors il existe une bijection croissante de N sur E. En ce sens, N est "unique". Propriété

Dans N, tout élément a un successeur. Définition

Soit P : N →{vrai, faux} une propriété. Soit a un élément de N. On dit que P est récursive à partir de a si pour tout x de N supérieur ou égal à a on a l'implication : si P(x) = vrai, alors P(succ(x)) = vrai. Théorème

Soit P une propriété sur N, récursive à partir de a. S'il existe un élément b de N, plus grand que a, tel que P(b) = vrai, alors P(x) est vrai pour tout x supérieur à b. Propriété

Dans N, 1) toute partie majorée a un plus grand élément. 2) les intervalles sont les segments fermés et les sections finissantes fermées.

1-4 Anneaux et corps Définition

Soit (E, T, ×) un ensemble muni de deux lois de composition interne. On dit que (E, T, ×) est un anneau si :

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1- (E, T) est un groupe commutatif, 2- × est associative et admet un élément neutre différent du neutre de T, 3- × est distributive par rapport à T. Si de plus × est commutative, on dit que l'anneau est commutatif. Dans la pratique, on note le plus souvent + et × les lois d'un anneau, et 0, et 1 les éléments neutres respectifs de ces lois. NB : on n'inclut pas toujours l'existence d'un élément neutre pour × dans la définition d'un anneau. Dans ce cas, la définition donnée ci-dessus correspond à un "anneau unitaire". Définition

Soit (E, T, ×) un ensemble muni de deux lois de composition interne. On dit que (E, T, ×) est un corps si : 1- (E, T, ×) est un anneau commutatif, 2- Tout élément de E sauf le neutre de T a un symétrique pour × . Définition

Dans un anneau (A, +, ×), un élément a est un diviseur de 0 s'il existe un élément b de A, non égal à 0, tel que : a × b = 0. Un élément a est nilpotent s'il existe un entier naturel n tel que : an = 0. Un élément a est inversible s'il existe un élément b de A tel que : a × b = 1. Un anneau est dit intègre s'il ne possède pas de diviseur de zéro différent de 0.

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1-5 Les nombres réels Définition

On appelle groupe ordonné un groupe (G, T) muni d'une relation d'ordre ≤ compatible avec T, c'est-à-dire telle que pour tout x, tout y, tout x', tout y' de G on ait l'implication : x ≤ y et x' ≤ y' ⇒ x T x' ≤ y T y'. (On peut composer des inégalités.) Définitions

On dit qu'un groupe (G, T, ≤) totalement ordonné, d'élément neutre e est archimédien, si pour tout x tel que e < x, et tout y de G, il existe un entier n tel que : y < x n. Un anneau A est ordonné si le groupe (A, +) est ordonné, et si, de plus, on a l'implication : x ≥ 0 et y ≥ 0 ⇒ x.y ≥ 0. Si A est un corps, on dit que c'est un corps ordonné s'il est totalement ordonné. Propriété

Dans un anneau totalement ordonné, pour tout élément a, le carré a2 est supérieur ou égal à 0. Théorème et définition

Il existe un unique corps ordonné (R, +, ×) ayant la propriété suivante : Toute partie non vide majorée de R a une borne supérieure dans R.

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Partie entière d'un réel. Pour tout réel a, il existe un unique entier n tel que : n ≤ a < n+1, cet entier est appelé la partie entière de a, et notée E(a), ou [a]. Développement décimal d'un réel, à l'ordre n. Pour tout réel a, et tout entier n, il existe un unique rationnel Dn tel que : 10nDn est entier, et Dn ≤ a < Dn + 10–n , ce nombre rationnel est appelé le développement décimal à l'ordre n de a. Propriété

Dans R, les intervalles sont les segments, les sections finissantes ou commençantes, et R.

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2

Pour Voir

Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très élémentaires pour vérifier votre compréhension. 2-1 Ensembles ordonnés "Une relation réflexive, antisymétrique et transitive est une relation d'ordre." exemple 1

Sur N*= N – {0}, outre la relation d'ordre usuelle, on utilise souvent la relation de divisibilité : a | b s'il existe un entier naturel n tel que : b = n a. D'abord, a | a, évidemment, quel que soit a. Si a | b et b | a, il existe p et q entiers naturels tels que a = pb, b = qa, donc a = pqa, 1 = pq donc p = q = 1 et a = b. Enfin, si a | b et b | c, il existe p et q tels que b = ap, c = bq d'où c = (pq)a, et a | c. Noter toutefois que ces deux relations sont très différentes : la première est une relation d'ordre total, la seconde est une relation d'ordre partiel. Ainsi, si → symbolise la relation entre un plus petit et un plus grand, on a les schémas : 1 → 2 →3 →4→5 →6 pour le premier ordre, et pour le second ordre :

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exemple 2 (à traiter)

D'autres relations d'ordre sont importantes, comme l'inclusion entre parties d'un ensemble. Dans P({1, 2, 3}), muni de la relation d'inclusion, faire un schéma de relation analogue à celui dessiné ci-dessus. Cet ordre est-il total ? # réponse

Il y a six éléments : Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}. Le schéma ci-dessous montre, à l'évidence, que l'ordre n'est pas total.

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exemple 3 (à traiter)

On définit également un ordre sur les ensembles de fonctions à valeurs dans un ensemble ordonné (R par exemple). Dans l'ensemble F(]0 , 1], R) des applications de ]0 , 1] dans R, on pose : f ≤ g si, pour tout x de ]0 , 1], f(x) ≤ g(x). Vérifier que c'est bien une relation d'ordre. Ordonner l'ensemble des fonctions "puissance" : x → xn (n entier naturel). Cet ordre est-il total ? # réponse

La vérification ne pose aucune difficulté. Soit f, g : ]0 , 1] --. R, on a : ∀x, f(x) ≤ f(x), donc f ≤ f. ∀x, f(x) ≤ g(x) et g(x) ≤ f(x) entraîne f(x) = g(x), donc f = g. ∀x, f(x) ≤ g(x), et g(x) ≤ h(x) entraîne f(x) ≤ h(x).

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xm

x n,

Si m ≤ n, pour x dans ]0 , 1], ≥ la fonction "puissance m" est donc supérieure à la fonction "puissance n". Le sous-ensemble des fonctions puissances est totalement ordonné. Par contre, l'ensemble F(]0 , 1], R) ne l'est pas ; ainsi la fonction définie par : f(x) = cos(π x) est positive ou nulle pour x dans ]0 , 1/2], et négative ou nulle dans [1/2 , 1]. Elle n'est donc ni supérieure, ni inférieure, à la fonction constante égale à 0. "Si F admet un majorant, on dit que c'est une partie majorée de E. On définit de même une partie minorée." exemple 4

Ci dessus, dans F(]0 , 1], R) : E = {x → xn | n entier naturel}. Cette partie est majorée (par la fonction constante égale à 1) et minorée (par la fonction constante égale à 0). exemple 5 (à traiter)

La propriété d'être majoré, ou minoré, pour un ensemble donné, dépend de l'ensemble de référence. Une partie F peut être majorée dans un ensemble E qui la contient et non majorée dans une autre partie E' qui la contient également. Soit F = {{1}, (2}, {3}}. On utilise l'ordre de l'inclusion. la partie F est-elle majorée, minorée, dans : E1 = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}} ;

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E2 = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}} ; E3 = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}}. # réponse

Pour E1, la réponse est oui aux deux questions : Ø est un minorant, et {1, 2, 3} est un majorant. Pour E2, F n'est pas minorée, mais est majorée. Pour E3, F est minorée et non majorée. Bien noter qu'un ensemble peut être fini et non borné. "Un plus grand élément de F est un majorant de F qui appartient à F : si F a un plus grand élément, il est unique, on le note max(F)." exemple 6

Ci-dessus, F n'a pas de plus grand, ni de plus petit, élément. Dans F(]0 , 1], R), la partie : {x→xn | n entier naturel}, a un plus grand élément, obtenu pour n = 0. En effet c'est un majorant qui est un élément de cette partie. exemple 7 (à traiter)

Dans N*, muni de l'ordre de la division, soit A = {p | p ≤ 12}. Cette partie a-t-elle un plus grand élément, un plus petit élément ? # réponse

Explicitons A : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

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Un minorant de A est un diviseur commun à tous ses éléments : ce ne peut être que 1. Or 1 est un élément de A, donc 1 = min(A). Un majorant de A est un multiple commun à tous ses éléments, en particulier à 2, 3, 5, donc il vaut au moins 30. Il n'y a pas de plus grand élément dans A. "Un élément a ∈ E est la borne supérieure de F dans E si a est le plus petit des majorants de F dans E." exemple 8

On reprend l'exemple précédent : E = P({1, 2, 3}), F = {{1}, (2}, {3}}. Il y a un seul majorant, {1, 2, 3}, c'est donc la borne supérieure. Il y a un seul minorant, Ø, c'est donc la borne inférieure. exemple 9 (à traiter)

Dans N*, muni de l'ordre de la division, on appelle F la partie : F = {2, 3, 5, 12, 30}. Cette partie a-t-elle une borne supérieure, une borne inférieure : dans N*, dans {2, 3, …, 60}, dans {2, 3, 5, 12, 30, 120} ? # réponse

Une borne supérieure est un multiple commun, le plus petit possible, une borne inférieure est un diviseur commun, le plus grand possible. Dans N*, inf(F) = 1, sup(F) = 60. Dans {2, 3, …, 60}, inf(F) n'existe pas, sup(F) = 60.

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Dans {2, 3, 5, 12, 30, 120}, inf(F) n'existe pas, et sup(F) = 120. Bien noter que l'existence, la valeur des bornes supérieure et inférieure dépendent de l'ensemble de référence, et pas seulement de la partie étudiée. "Si max(F) existe, alors supE(F) existe aussi et on a : max(F) = supE(F)." exemple 10

Ce résultat est intéressant par les énoncés qu'on peut en déduire : - si supE(F) existe et max(F) n'existe pas, on conclura que supE(F) n'est pas un élément de F. - si supE(F) existe et n'appartient pas à F, max(F) n'existe pas. exemple 11 (à traiter)

Dans l'exemple 9, discuter l'existence de min(F), max(F). Cette existence dépend-elle de l'ensemble de référence ? Essayer de généraliser. # réponse

Dans N*, muni de l'ordre de la division, on appelle F la partie : F = {2, 3, 5, 12, 30}. Il n'y a ni plus grand élément (un multiple commun est au moins 60) ni plus petit élément (1 est le seul diviseur commun). Ces résultats ne dépendent pas de l'ensemble dans lequel F est plongé. C'est un résultat général : max(F) est un élément de F supérieur aux autres pour la relation d'ordre restreinte à F.

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"Soient E et F des ensembles ordonnés, et f : E --. F une application. On dit que f est croissante si on a l'implication, pour tout x et tout y de E, x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)." exemple 12

On connaît de nombreuses applications monotones, au moins sur une partie de leur domaine de définition : sin : [0 , π/2] → R, Ln :]0 , +∞[→ R. exemple 13 (à traiter)

Soit E : R+ → N, l'application qui à x associe sa partie entière E(x). Dessiner le graphe de E sur l'intervalle [0 , 5]. Cette application est-elle croissante ? # réponse

Le graphe est représenté ci-dessous. Il a été tracé à l'aide du logiciel MAPLE, on a donné l'instruction correspondante. Il est clair que cette application est croissante, non strictement.

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2-2 Segments, intervalles "Soit (E, ≤) un ensemble ordonné, on appelle segment fermé d'extrémités a et b, avec a < b pour fixer les idées, la partie de E définie par [a, b] = {x ∈ E / a ≤ x ≤ b}." exemple 14

Ainsi, dans N*, muni de l'ordre de la division : [2 , 12] = {2, 4, 6, 12}.

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Dans Z, avec l'ordre usuel : [2 , 12] = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Noter que certains segments fermés sont aussi des segments ouverts : Dans Z, [2 , 12] =]1 , 13[. exemple 15 (à traiter)

Dans P({1, 2, 3, 4}), avec l'ordre de l'inclusion, écrire le segment fermé [{1} , {1, 3, 4}], et le segment ouvert ]{2, 3} , {2, 3, 4}[. # réponse

Le segment [{1}, {1, 3, 4}] est en gras. Quant au segment ouvert ]{2, 3} , {2, 3, 4}[, on voit qu'il est vide.

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"Soit (E, ≤) un ensemble ordonné et I une partie de E. On dit que I est un intervalle de E si pour tout x et tout y de I tels que x ≤ y on a : Tout élément z de E tel que x ≤ z ≤ y, est un élément de I." exemple 16

Dans R, la partie définie par I = {x | |x| ≥ 1} n'est pas un intervalle :

Dans Z*, la partie définie par I = {x | |x| ≥ 1}, est un intervalle. En effet, il n'y a pas d'élément strictement compris entre –1 et 1 dans Z*, donc l'énoncé caractérisant un intervalle n'a pas de contre-exemple. exemple 17 (à traiter)

Dans R, l'ensemble I suivant est-il un intervalle : I = {x | |x| > 0}.

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# réponse

Non, puisque, par exemple, –12 et 36 sont dans I alors que 0 n'y est pas. "Dans un ensemble totalement ordonné, si I est un intervalle, et si a = inf(I) et b = sup(I) existent, alors I est un segment contenu dans [a , b] et contenant ]a , b[." exemple 18

On utilise cet énoncé pour identifier tous les intervalles de R ou de N. La condition "totalement ordonné" est importante : par exemple, pour N* muni de l'ordre de la division, on peut utiliser les notions (sur lesquelles on reviendra) de plus grand diviseur commun (PGCD) et plus petit multiple commun (PPCM) d'une famille finie d'entiers. Ainsi, un intervalle fini de cet ensemble ordonné a une borne supérieure (PPCM) et une borne inférieure (PGCD), pourtant : {2, 3, 5, 7} est un intervalle car ses éléments ne sont pas liés par la relation d'ordre (aucun n'est divisible par un autre), on voit que : 1 = PGCD(2, 3, 5, 7), et 210 = PPCM(2, 3, 5, 7), mais {2, 3, 5, 7} ≠ ]1 , 210[. exemple 19 (à traiter)

Dans (P({1, 2, 3}), ⊂), vérifier que I = {{1}, {2}, {2, 3}} est un intervalle. Est-ce un segment ? # réponse

Les seuls éléments comparables sont {2} et {2, 3}. Aucun élément n'est strictement compris entre les deux. L'ensemble I est bien un intervalle.

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Le seul majorant de I est {1, 2, 3}, c'est sup(I). Le seul minorant est Ø, c'est inf(I). Ces éléments n'appartiennent pas à I, donc, si I est un segment, on a : I = ]Ø , {1, 2, 3}[, ce qui est faux, bien sûr. 2-3 Entiers "Soit E un ensemble totalement ordonné, et x, x' des éléments de E. On dit que x' est le successeur de x, et on note x'= succ(x), si x < x' et si le segment ]x , x'[ est vide ; on définit de même le prédécesseur de x, noté pred(x)." exemple 20

Dans P({1, 2, 3}), Ø ⊂ {1}, ]Ø , {1}[ est vide, Ø ⊂ {2}, ]Ø , {2}[ est vide, de même pour {3}. On voit ici l'utilité de la condition "totalement ordonné" pour que le successeur soit bien défini s'il existe. Dans Z, ou N, avec l'ordre usuel, on voit que le successeur d'un élément n existe, c'est n+1 (selon le point de vue, ce peut être la définition de n + 1). exemple 21 (à traiter)

Dans Q, le nombre 0 a-t-il un successeur, un prédécesseur ? Généraliser. # réponse

Si un successeur existe, soit

p . q

p p p p < , ce qui contredit le fait que > 0, alors 0 < q 2q q q soit un successeur. On voit que si

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a c a Plus généralement, soit un rationnel, et > . On vérifie que b d b ad + bc est entre ces deux nombres. Il n'existe donc aucun successeur 2bd dans Q. "Soit E un ensemble totalement ordonné. On dit que E est bien ordonné (BO) si toute partie non vide A de E admet un plus petit élément min(A)." exemple 22

Dans E = {2n | n naturel}, ordonné par division, toute partie non vide a un plus petit élément : il suffit de prendre l'élément 2k, k étant le plus petit exposant utilisé dans cette partie. Cet ensemble est bien ordonné. NB : ceci repose en fait sur la définition axiomatique de N, puisqu'on admet implicitement dans ce raisonnement que l'ensemble des exposants a un plus petit élément. exemple 23 (à traiter)

1 | n est l'opposé d'un naturel non nul}. Vérifier que A, n ordonné par l'ordre usuel de Q, est bien ordonné. Soit A = {

# réponse

Soit B une partie non vide de A. Soit B' l'ensemble des opposés des dénominateurs des éléments de B. C'est une partie non vide de N. Soit m son plus petit élément. 1 1 1 ∈ B, –n > m, donc > , Si n n −m

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1 de plus m ∈ B', donc ∈ B, −m 1 = min(B). donc −m A est bien ordonné. "Soit E un ensemble bien ordonné. On dit que E est naturellement bien ordonné (NBO) si tout élément de E, sauf min(E), a un prédécesseur." exemple 24

Les parties finies de (Z, ≤) sont naturellement bien ordonnées. exemple 25 (à traiter)

Dans Z, tout élément a un prédécesseur (pred(n) = n – 1). Est-ce un ensemble naturellement bien ordonné ? # réponse

Non, car Z n'est pas bien ordonné : certaines parties n'ont pas de plus petit élément (Z par exemple). "Soit P : N → {vrai, faux} une propriété. Soit a un élément de N. On dit que P est récursive à partir de a si pour tout x de N supérieur ou égal à a on a l'implication : si P(x) = vrai, alors P(succ(x)) = vrai." exemple 26

Soit P la propriété : "le nombre de parties d'un ensemble à n éléments est 5.2n."

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Cette propriété est récursive à partir de 0 : on voit facilement que le nombre de parties d'un ensemble à n+1 éléments est le double de celui d'un ensemble à n éléments (voir exemple 28). Remarquer que cette propriété est récursive à partir de 0, mais fausse : (P(0) = faux). exemple 27 (à traiter)

Vérifier que la propriété "La somme des n premiers entiers naturels est n2 n 1 égale à + + " est récursive à partir de 1. 2 2 2 # réponse

Supposons la propriété vraie pour n. La somme des n + 1 naturels est alors : n2 n 1 + + + n + 1. 2 2 2 2 (n + 1) n + 1 1 Or + + s'écrit : 2 2 2 n 2 + 2n + 1 n 1 1 + + + , 2 2 2 2 2 n n 1 + n + + + 1. 2 2 2 C'est bien la même formule, donc la propriété est récursive.

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"Soit P une propriété sur N, récursive à partir de a. S'il existe un élément b de grand que a, tel que P(b) = vrai, alors P(x) est vrai pour tout x supérieur à b."

N, plus

exemple 28

Le nombre d'éléments de l'ensemble des parties d'un ensemble à n éléments est 2n ; si n = 0, c'est vrai (une seule partie, la partie vide). Supposons le résultat vrai pour n. Si E est un ensemble à n + 1 éléments, on note a l'un d'entre eux. Les parties de E sont de deux types, celles qui contiennent a, et les autres. Elles se correspondent biunivoquement puisque toute partie H ne contenant pas a est associée à une partie qui contient a, soit H ∪ {a}. Les parties qui ne contiennent pas a sont les parties de l'ensemble E-{a} qui a n éléments. Il y en a 2n en tout. Le nombre de parties de E est donc 2n + 2n = 2n+1. D'où, par récurrence, le résultat annoncé. exemple 29 (à traiter)

La propriété : "La somme des n premiers entiers naturels est égale à

n2 n 1 + + " est2 2 2

elle vraie (cf. 27) ? # réponse

On a vu que cette propriété est récursive. Pour n = 1 elle n'est pas vraie, 1 ≠ 3/2. Elle n'est même jamais vraie, n2 n 1 puisque le nombre + + n'est jamais entier (n(n + 1) est pair donc 2 2 2 n2 n + entier). 2 2

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Revenant au raisonnement du (27) on voit que toute formule de la forme n2 n + + c est récursive quel que soit c. Il suffit de choisir c pour que la 2 2 propriété soit vraie pour n = 0, soit c = 0. On retrouve une formule bien connue : n(n + 1) 1 + 2 + 3 + …+ n = . 2 "Dans N, toute partie majorée a un plus grand élément, les intervalles sont les segments fermés et les sections finissantes fermées." exemple 30

Soit I = {n ∈ N | n2 + 2n + 13 ≤ 37}. C'est un intervalle ; en effet la fonction x → x2 + 2x + 13 est croissante sur R+, donc : si n1, n2 ∈ I et n1 ≤ m ≤ n2, m2 + 2m + 13 ≤ n22 + 2n2 +13 ≤ 37. De plus I est borné puisque si n2 + 2n + 13 ≤ 37 , alors n2 ≤ 37, donc n ≤ 6. C'est donc un segment fermé. Le graphe est tracé ci-contre (avec MAPLE).

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Le segment est donc [0 , 4]. La fonction étant monotone, on pouvait aussi établir une table de valeurs : n

0 13

1 16

2 21

3 28

4 37

5

exemple 31 (à traiter)

Soit A = {n ∈ N | | – n2 + 6n + 3 | ≤ 7}. Est-ce un intervalle ? Vérifier que c'est une partie majorée, et trouver son plus grand élément. On pourra s'aider d'un graphique, et de calcul numérique.

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# réponse

Graphiquement :

La partie au-dessous de 7 correspond aux abscisses 0, 6, 7. Ce n'est pas un intervalle, c'est une partie majorée de plus grand élément 7. Par le calcul, on établit le tableau de variations de la fonction u définie par : u(x) = | – x2 + 6x + 3 |. x 0 – 2x + 6 – x2 + 6x + 3 | – x2 + 6x + 3 | La partie A est donc bornée.

+

3 0 12 12

+∞ – 0 0

–∞ +∞

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2-4 Anneaux et corps "Soit (E, T, ×) un ensemble muni de deux lois de composition interne. On dit que (E, T, ×) est un anneau si 1- (E, T) est un groupe commutatif, 2- × est associative et admet un élément neutre différent du neutre de T, 3- × est distributive par rapport à T." exemple 32

Les anneaux usuels sont (Z, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×). On en rencontrera d'autres (matrices, polynômes, suites…). L'ensemble Z[x] des fonctions sur R, polynomiales à coefficients entiers relatifs, est un anneau, par exemple, pour les opérations usuelles d'addition des fonctions, et de multiplication des fonctions. L'élément neutre de l'addition est la fonction 0, l'élément neutre de la multiplication est la fonction constante égale à 1. exemple 33 (à traiter)

Appelons A l'ensemble des endomorphismes de (R2, +), c'est-à-dire des applications u de R2 dans lui-même qui ont la propriété suivante : pour tout couple de vecteurs (V, W) du plan, u(V + W) = u(V) + u(W). On définit l'addition de deux endomorphismes comme d'habitude : (u + v) (X) = u(X) + v(X) pour tout vecteur X. On considère une seconde loi interne (le vérifier) dans A, la composition des applications : uov (X) = u(v(X)). Vérifier que (A, +, o) est un anneau. Questions identiques si on considère B, ensemble de toutes les applications du plan dans lui-même, avec les mêmes opérations.

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# réponse

(A, +) est un groupe commutatif : l'opération + est définie à partir de l'addition des vecteurs, qui est une loi de groupe commutatif. Il n'y a aucun problème de vérification. De même, il est facile de voir que l'opération o est interne. L'opération o est associative ; pour tout vecteur X : uo(vow)(X) = u(v(w(X))) = uov(w(X)) = (uov) ow(X). Pour la distributivité ; pour tout vecteur X : uo (v + w)(X) = u(v(X) + w(X)), = u(v(X)) + u(w(X)), = uov(X) + uow(X). L'élément neutre pour o est l'application identique id(X) = X pour tout X du plan. (A, +, o) est un anneau. Pour B, on voit facilement que toutes les vérifications subsistent, sauf la distributivité, qui utilise le fait que u est un endomorphisme. (B, +, o) n'est donc pas un anneau.

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"Soit (E, T, ×) un ensemble muni de deux lois de composition interne. On dit que (E, T, ×) est un corps si 1- (E, T, ×) est un anneau commutatif, 2- Tout élément de E sauf le neutre de T a un symétrique pour × ." exemple 34

Les corps que l'on utilise souvent au niveau de la Licence sont les corps de nombres : Q, R, C. On rencontrera, par exemple dans certaines résolutions d'équations par MAPLE, des "extensions" du corps des rationnels : ce sont des corps contenant Q, et contenus dans C, ou dans R. Notons Q[i] l'ensemble des nombres (complexes) de la forme p + iq, où p et q sont des rationnels, et i désigne le complexe de module 1 et argument π/2, comme d'habitude. Ce sous-ensemble de C est stable par les deux opérations de multiplication et d'addition. On peut donc examiner la question : (Q[i], +, ×) est-il un corps ? On va voir que oui : Il est clair que les propriétés des opérations telles que associativité, commutativité, distributivité, subsistent puisqu'elles ne sont pas relatives au contexte. (Q[i], +) est un sous-groupe de (C, +) ; il est non vide et : (a + i b) – (p + iq) = (a – p) + i (b – q), si a, b, p, q sont des rationnels, alors a – p et b – q également. Tout élément de Q[i] autre que 0 a un inverse dans Q[i] ; l'inverse de p + iq dans C est : p − iq , p2 + q 2 soit : p q , 2 2 −i 2 p +q p + q2

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c'est bien un élément de Q[i]. exemple 35 (à traiter)

Un autre exemple de corps se rencontre en arithmétique, et joue un rôle important dans les applications comme la cryptographie : il s'agit des corps finis. Appelons K l'ensemble {0, 1, 2, 3, 4} muni de deux opérations, + et × , supposées commutatives, et définies par les tables ci-dessous. On admettra que ces opérations sont associatives, et × distributive par rapport à +. Vérifier que cet ensemble K de 5 éléments est bien un corps. + 0 1 2 3 4 ×

0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0

1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4

2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

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# réponse

On constate en effet que K est un anneau commutatif. Dans la seconde table, on vérifie que dans chaque ligne autre que celle de 0, l'élément neutre 1 apparaît, ce qui signifie que les éléments différents de 0 sont inversibles pour × . L'ensemble K est bien un corps.

2-5 Les nombres réels "On appelle groupe ordonné un groupe (G, T) muni d'une relation d'ordre ≤ compatible avec T, c'est-à-dire telle que pour tout x, tout y, tout x', tout y' de G on ait l'implication x ≤ y et x' ≤ y' entraîne x T x' ≤ y T y' (on peut composer des inégalités)." exemple 36

Vous connaissez déjà des groupes ordonnés : (Z, +, ≤), (Q, +, ≤), (R, +, ≤) par exemple, où on ajoute membre à membre des inégalités. Les groupes de la forme F(A, G), ensemble des applications d'un ensemble A quelconque dans un groupe ordonné G, sont également de façon naturelle des groupes ordonnés. exemple 37 (à traiter)

Le groupe multiplicatif (Q*, ×) des rationnels non nuls est également un ensemble ordonné. Est-ce un groupe ordonné ? Examiner la même question pour le groupe multiplicatif (R+*, ×) des réels strictement positifs.

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# réponse

Peut-on multiplier membre à membre des inégalités ? On sait bien qu'en général, cela conduit à un résultat faux (c'est une erreur classique) : – 2 ≤ – 1, – 3 ≤ 1, "donc" 6 ≤ –1. Par contre, lorsqu'il s'agit de nombres strictement positifs, il n'y a plus de difficulté. "On dit qu'un groupe (G, T, ≤) totalement ordonné, d'élément neutre e est archimédien, si pour tout x tel que e < x, et tout y de G, il existe un entier n tel que y < xn." exemple 38

Reprenons les groupes ordonnés de l'exemple 32 : (Z, +, ≤) est totalement ordonné. Si x > 0, et y sont des relatifs, existe-t-il un entier n tel que y < n.x ? Intuitivement, la réponse est affirmative. On peut effectivement le démontrer à partir des axiomes de définition de N. Ce groupe est bien archimédien. exemple 39 (à traiter)

Le groupe additif des rationnels est-il archimédien ? Et le groupe multiplicatif des rationnels strictement positifs ? # réponse

p r un rationnel strictement positif, et un rationnel. On suppose p, q s q, s strictement positifs, ce qui est toujours possible. Soit

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Peut-on trouver un multiple entier du premier, qui soit supérieur au r second. C'est évident si est négatif ou nul. s r Si est positif, on doit résoudre l'inéquation : s nps > qr. On voit donc que cela est possible, puisque (Z, +) est archimédien. Le groupe additif des rationnels est archimédien. Pour le groupe multiplicatif des rationnels strictement positifs, il faut résoudre le problème suivant : p r strictement plus grand que 1, et , étant donné q s p r existe-t-il une puissance de qui dépasse ? q s Ici encore, on peut, à première vue, dire que c'est bien le cas puisque, si x > 1, xn tend vers l'infini, donc dépasse n'importe quel rationnel fixé à l'avance. On peut cependant se demander comment on prouve que : si x > 1, xn tend vers l'infini (laissé au lecteur).

"Un anneau (A, +, ×) muni d'une relation d'ordre ≥ est ordonné si le groupe (A, +) est ordonné, et si de plus on a l'implication : si x ≥ 0 et y ≥ 0 alors x.y ≥ 0. Si A est un corps, on dit que c'est un corps ordonné s'il est totalement ordonné." exemple 40

L'anneau des entiers relatifs est un anneau ordonné, de même l'anneau des rationnels. Bien noter que, dans le cas d'un corps, cela ne suppose pas que le groupe multiplicatif des éléments non nuls (différents de l'élément neutre de l'addition) soit un groupe ordonné. La condition est plus faible.

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exemple 41 (à traiter)

On a vu qu'il existe des corps finis, par exemple : Z/3Z = {0, 1, 2}. En envisageant tous les cas possibles, vérifier que cet ensemble ne peut pas être un corps ordonné. # réponse

Un corps ordonné est totalement ordonné, donc il faut voir toutes les façons d'ordonner totalement un ensemble à trois éléments : a) 0 < 1 < 2, b) 0 < 2 < 1, c) 1 < 0 < 2, d) 1 < 2 < 0, e) 2 < 1 < 0, f) 2 < 0 < 1. Compatibilité avec + : (rappel 3 = 0) a) 0 < 1 et 1 < 2 entraîne 1 < 3 donc 1 < 0, mais 1 ≠ 0. Cas impossible. b) 0 < 2 et 2 < 1 entraîne 2 < 3 donc 2 < 0, mais 2 ≠ 0. Cas impossible. c) 1 < 2 et 1 < 2 entraîne 2 < 4 donc 2 < 1, mais 2 ≠ 1. Cas impossible. d) 1 < 2 et 2 < 0 entraîne 3 < 2 donc 0 < 2, mais 2 ≠ 0. Cas impossible. e) 2 < 1 et 2 < 1 entraîne 4 < 2 donc 1 < 2, mais 2 ≠ 1. Cas impossible. f) 0 < 1 et 0 < 1 entraîne 0 < 2 donc 0 < 2, mais 2 ≠ 0. Cas impossible. Ce corps n'est pas ordonné. NB : en fait on n'a utilisé que la structure de groupe ordonné. On voit que ce groupe ne peut pas être totalement ordonné.

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"Dans un anneau totalement ordonné, pour tout élément a, le carré a2 est supérieur ou égal à 0." exemple 42

C'est évidemment une propriété bien connue et souvent utilisée dans les corps ordonnés usuels (rationnels, réels). Remarquer que cela exclut que le corps des complexes soit un corps ordonné, quelle que soit la structure d'ordre qu'on pourrait y définir : on devrait avoir les inégalités : 12 > 0, i2 > 0, soit : 1 > 0, – 1 > 0, d'où : 0 > 0. exemple 43 (à traiter)

Utiliser ce résultat pour prouver que Z/3Z ne peut pas être un corps ordonné. Généraliser à un corps Z/pZ. # réponse

On devrait avoir : 1 > 0, donc – 1 < 0. (cf. le cas des complexes). Mais –1 = 2 = 1 + 1 donc -1 > 0. Dans le cas général, – 1 = p – 1 = 1 + 1 + … + 1 > 0, on conclut de même.

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"Il existe un unique corps totalement ordonné (R, +, ×) ayant la propriété suivante : Toute partie non vide majorée de R a une borne supérieure dans R." exemple 44

L'ensemble : E = {x ∈ R | x2 < 3}, est majoré, par 2 par exemple : si x > 2, x2 > 4, donc x n'appartient pas à E. Il en résulte (comme R est totalement ordonné) que si x est dans E, alors x ≤ 2. Soit b la borne supérieure de E. C'est un nombre positif puisque 0 est dans E. Si b2 ≠ 3, on étudie les deux autres cas : b2 < 3, b2 > 3. Dans le premier cas, b est le plus grand élément de E. Or, on peut trouver 1 1 n assez grand pour que (b + )2 < 3 , donc (b + ) est un élément de E, n n ce qui est une contradiction. Dans le second cas, b n'est pas un élément de E. On peut trouver n assez 1 1 grand pour que (b − )2 > 3, donc (b − ) est un majorant de E inférieur n n à b, ce qui est également une contradiction. Il en résulte que b2 = 3. L'existence d'une borne supérieure entraîne l'existence d'une racine carrée pour 3. On montrerait de la même façon l'existence d'une racine n-ème. (Les arguments développés ci-dessus reposent sur le fait que R est archimédien, ce que nous vérifierons en exercice, cf. exercice 18.)

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exemple 45 (à traiter)

L'existence de bornes supérieures entraîne l'existence de nombres irrationnels, c'est-à-dire n'appartenant pas à Q. Vérifier, par un raisonnement par l'absurde, que la borne supérieure b ci-dessus ne peut p être égale à une fraction irréductible . q On montrera que p est divisible par 3 (raisonner dans le corps Z/3Z), puis, après simplification, que q est également divisible par 3, d'où une contradiction. # réponse

On devrait avoir : p2 = 3 q2, donc, p2 = 0 dans le corps Z/3Z, donc p = 0 dans le corps Z/3Z. Il existe un entier p' tel que : p = 3 p', d'où, 3 p'2 = q2, et par le même raisonnement q est divisible par 3, ce qui contredit le fait p que la fraction est irréductible. q On trouve par cet argument très classique que 3 n'est pas un nombre rationnel.

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"Partie entière d'un réel : pour tout réel a, il existe un unique entier n tel que n ≤ a < n+1, cet entier est appelé la partie entière de a, et notée E(a), ou [a]." exemple 46

La partie entière n'est pas la partie "avant la virgule" dans l'écriture d'un réel, du moins dans le cas des réels négatifs : E(– 12, 345) = – 13, E(11, 0034) = 11. exemple 47 (à traiter)

Partie entière et opérations ; en prenant d'abord des exemples, voir si les relations suivantes sont vraies ou non : E(– a) = – E(a), E(a + b) = E(a) + E(b), E(a.b) = E(a).E(b). # réponse

Pour la première : E(– 12, 345) = – 13, E(12, 345) = 12. La relation est donc fausse. Pour la seconde : E(0, 6) = 0, E(0, 7) = 0, E(1, 3) = 1. La relation est donc fausse en raison des retenues. Pour la dernière : E(2, 5) = 2,

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E(2, 6) = 2, E(6, 5) = 6. La relation est également fausse. Développement décimal d'un réel, à l'ordre n : pour tout réel a, et tout entier n, il existe un unique rationnel Dn tel que 10nDn est entier, et Dn ≤ a < Dn + 10–n, ce nombre rationnel est appelé le développement décimal à l'ordre n de a. exemple 48

On fera la même remarque que pour la partie entière, en ce qui concerne les réels négatifs : a = – 1, 23456 ; D2(a) = – 1, 24 ; b = 0, 6543 ; D2(a) = 0, 65. exemple 49 (à traiter)

La partie entière est un cas particulier de développement décimal. On peut donc prévoir que l'écriture du développement décimal d'une somme, d'un produit, d'un opposé n'est pas immédiate. Illustrer ce phénomène, pour les développements à l'ordre 2, par des exemples. # réponse

Exemple 1 : D2(– 1, 2367) = – 1, 24, D2(1, 2367) = 1, 23 ≠ D2(– 1, 2367) . Exemple 2 : D2(1, 278) = 1, 27,

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D2(0, 356) = 0, 35, D2(1, 634) = 1, 63 ≠ 1, 62. Exemple 3 : D2(1, 278) = 1, 27 D2(0, 356) = 0, 35. Ici, le produit des développements décimaux n'est pas un développement décimal à l'ordre 2 : 1, 27 ∞ 0, 35 = 0, 4445. D'ailleurs : D2(0, 4445) = 0, 44 ≠ D2(1, 278 × 0, 356) = D2(0, 454968) = 0, 45. "Dans R, les intervalles sont les segments, les sections finissantes ou commençantes, et R." exemple 50

L'ensemble : E = {x ∈ R | x2 < 3}, utilisé plus haut est un intervalle. Si y et x sont des éléments de E, avec x < y, et si z est un réel vérifiant : x < z < y, alors on doit distinguer différents cas. ( ) x ≥ 0. On peut élever ces inégalités au carré membre à membre (R est un corps ordonné), d'où : x2 < z2 < y2 < 3, donc z est dans E. ( ) y ≤ 0. On obtient des inégalités équivalentes en multipliant par –1 : – x > – z > – y ≥ 0, on conclut comme dans le premier cas en élevant au carré.

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( ) x < 0 < y. On procédera de même selon la position de z par rapport à 0. Cet intervalle borné est un segment : E = ] − 3 , 3 [. exemple 51 (à traiter)

Soit F l'ensemble : F = {x ∈ R | x ≥ 0, et x2 + x ≥ 2}. Vérifier que c'est une section finissante. Déterminer min(F). # réponse

C'est un intervalle ; si x est dans F et x' > x, alors : x'2 + x' ≥ x2 + x ≥ 2, donc x' est également un élément de F. Cette partie est bornée inférieurement (par 0) et non bornée supérieurement (tout réel supérieur à 2 est dans F), c'est donc une section finissante. On voit que 1 est un élément de F, et qu'un réel strictement inférieur à 1 n'est pas dans F, puisque : 0 ≤ x < 1 ⇒ 0 ≤ x2 < 1 ⇒ x + x2 < 1. Donc 1 = min(F) et : F = [1 ,→.[ (noté le plus souvent [1 , +∞[).

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3

Pour Comprendre et Utiliser

3-1 Énoncés des exercices Majorer, minorer, chercher le plus grand (ou plus petit) élément d'un ensemble ordonné, la borne supérieure (inférieure). Savoir raisonner dans un ensemble totalement ordonné, non totalement ordonné. Utiliser la monotonie des applications. Reconnaître un intervalle, un segment. Ensembles bien ordonnés. Faire une récurrence. exercice 1

Soit E un ensemble ordonné. Dans E soient A et B des parties majorées. 1) On suppose d'abord que A et B ont un plus grand élément ( ) ainsi que A ∩ B et A ∪ B. Quelle relation y-a-t-il entre max(A ∩ B), max(A ∪ B), max(A) et max(B) ? (☺)( ) 2) Si on suppose que A et B ont une borne supérieure dans E, ainsi que A ∩ B et A ∪ B, établir des relations entre supE(A ∩ B), supE(A ∪ B), supE(A), supE(B).(☺)( ) exercice 2

Soient E et F des ensembles ordonnés. On note ≤ les relations d'ordre dans ces deux ensembles. 1) On appelle ordre produit sur E × F la relation définie par : ☺ indications pour résoudre - méthode -

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(x, y) ≤P (s, t) si (x ≤ s et y ≤ t). Démontrer que cette relation est bien une relation d'ordre. On suppose ici E et F totalement ordonnés ( ), (E × F, ≤P) est-il totalement ordonné ? (☺) Cette définition s'étend sans difficulté à un produit quelconque d'ensembles ordonnés. 2) On appelle ordre lexicographique sur E × F la relation définie par : (x, y) ≤L (s, t) si (x ≤ s et x ≠ s) ou (x = s et y ≤ t). Démontrer que cette relation est bien une relation d'ordre.(☺) Si on suppose E et F totalement ordonnés, montrer que (E × F, ≤L) est totalement ordonné.(☺) 3) Un exemple : N × N. On munit N de la relation d'ordre usuelle. On considère d'une part l'ordre lexicographique, et d'autre part l'ordre produit. Pour ces deux ordres respectivement, quelle est la section finissante fermée ( ) [(3, 4) , →[, la section commençante ( ) ]←, (3, 4)] , le segment fermé ( ) [(1, 2) , (7, 6)]. On précisera dans chaque cas si ces ensembles sont finis ou infinis. Le segment [(3, 4) , (5, 2)] est-il défini ? On note p et q les projections de N × N sur N : p(x, y) = x, q(x, y) = y. Ces applications sont-elles monotones ( ) (on distinguera le cas de ≤P de celui de ≤L.) 4) Un autre exemple : Z × Z. On munit Z de la relation d'ordre usuelle, et Z × Z de l'ordre lexicographique. Soit A = {(n, m) | n ≥ 4, m ≥ –2}. Quel est l'ensemble des minorants de A ? L'ensemble A a-t-il un plus petit élément ? ( ) L'ensemble complémentaire de A a-t-il un plus grand élément ? L'ensemble A est-il un intervalle ( ) ? ☺ indications pour résoudre - méthode -

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Un élément de (Z × Z, ≤L) a-t-il toujours un prédécesseur ? un successeur ? (☺) L'ensemble (Z × Z, ≤L) est-il bien ordonné ? ( ) ( ). Vérifier que les parties de la forme [a , →[ × Z sont des intervalles. exercice 3

Soit (E, ≤) un ensemble totalement ordonné. Examiner les conjectures ( )suivantes ( )(☺) : 1) Toute partie finie non vide de E est bornée. 2) Toute partie bornée non vide de E est finie. 3) Toute partie non vide majorée de E admet un plus grand élément. exercice 4

Sur la notion de "treillis". Un ensemble ordonné est un treillis si la propriété suivante est vraie : "toute partie à 2 éléments a une borne supérieure et une borne inférieure". Parmi les exemples d'ensembles ordonnés étudiés jusqu'ici, certains sont des treillis. Citez-les. (☺) 1) Démontrer que le produit de deux ensembles totalement ordonnés, muni de l'ordre produit, est un treillis.(☺) 2) Dans un treillis, démontrer que toute partie finie non vide a une borne supérieure et une borne inférieure.( ) 3) Définir une bijection croissante entre le treillis des parties de {1, 2, 3}, ordonné par l'inclusion, et le treillis formé du cube {0, 1}3, ordonné par l'ordre produit (l'ensemble {0, 1} étant ordonné par 0 ≤ 1). (☺) La bijection réciproque est-elle croissante ? 4) Généraliser : pour chaque entier naturel n, définir une bijection croissante φn entre P({1, 2, …, n}) et {0, 1}n. (☺) Si pri désigne la projection de {0, 1}n sur son facteur numéro i : pri : (a1, a2, …, an) → ai, ☺ indications pour résoudre - méthode -

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caractériser l'application composée pri o φ de P({1, 2, …, n}) dans {0, 1}. exercice 5

Dans cet exercice, on note En le n-cube {0, 1}n. L'ensemble {0, 1} étant ordonné par 0 ≤ 1, on ordonne En par l'ordre lexicographique. 1) On étudie d'abord le cas n = 3. On associe à chaque élément (a0, a1, a2) de E3 l'entier : b3(a0, a1, a2) = a2 + 2a1 + 4a0. Quelles sont les valeurs prises par b3 ? Vérifier que b3 est une bijection croissante de E3 sur le segment [0 , 7] de l'ensemble N. A quoi correspond la bijection réciproque ? (☺) Est-elle croissante ? 2) Généraliser : définir une application injective bn de En dans N. Déterminer quelle est son image. exercice 6

Sur la notion d'arbre. Un arbre est un ensemble ordonné fini où toute partie à 2 éléments a une borne inférieure, et aucune partie à 2 éléments non comparables n'a de majorant. On appelle "feuille" un élément de l'arbre qui n'a pas d'élément plus grand que lui. On appelle "nœud" les autres éléments. Vérifier que lorsqu'on supprime une feuille dans un arbre, l'ensemble complémentaire est encore un arbre. 1) Dessiner tous les arbres à 3, 4, 5 éléments.(☺) 2) Démontrer que, dans un arbre, toute partie non vide a une borne inférieure (☺). En particulier, l'ensemble a un plus petit élément (expliquer pourquoi ?). On l'appelle la "racine" de l'arbre.

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3) Démontrer que, dans un arbre, toute partie non vide majorée est totalement ordonnée (☺). Déduire que toute partie non vide majorée a un plus grand élément. ( ) Démontrer que, dans un arbre, tout élément, sauf le plus petit, a un prédécesseur ( ). 4) Soit a un élément de l'arbre (A, ≤). Expliquer pourquoi l'ensemble : B(a) = {x ∈ A | x ≤ a}, est un ensemble non vide totalement ordonné. Le nombre d'éléments de B(a) est appelé la "hauteur" de a, notée h(a). Démontrer que deux éléments a et b, tels que a ≠ b et h(a) = h(b) ne sont pas comparables ( ) (☺). Calculer h(pred(x)) en fonction de h(x). 5) On suppose (par commodité) que dans l'arbre A, il n'y a pas plus de 10 nœuds ou feuilles de hauteur donnée. On numérote les éléments de A de la manière suivante, par récurrence : la racine est numérotée 1. Les éléments de hauteur 1 sont numérotés 10 à 19 (au maximum). Pour les éléments de hauteur 2, on numérote de 100 à 109 ceux qui sont précédés par 10, etc. Plus précisément, 10 × u(pred(x)) + 9 ≥ u(x) ≥ 10 ×u(pred(x)). Établir la relation (☺) : 2 × 10h(x) – 1 ≥ u(x) ≥ 10h(x). Vérifier qu'on définit ainsi une bijection croissante u de A sur un ensemble totalement ordonné. On remarquera que A n'est, en général, pas totalement ordonné. Appliquer cette méthode, par exemple, aux arbres dessinés au début. exercice 7

Étudier la conjecture ( ) suivante : Soit f : (E, ≤) → (F, ≤) une bijection croissante. La bijection réciproque g de f est une application croissante (☺).

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exercice 8

Quelques propriétés élémentaires des applications monotones (croissantes pour fixer les idées). On pourra utiliser, pour tester les réponses, les trois applications suivantes : il n'est pas interdit d'imaginer d'autres applications si nécessaire. f1 : N → N, x → 2x, f2 : R+ → N, x → E(x) (partie entière), f3 : R+ → R+, x → x – 1+E(x). Soit f : (E, ≤) → (F, ≤) une application croissante entre des ensembles ordonnés. Étudier les conjectures ( ) suivantes : 1) Si A est une partie de E qui a un plus grand élément, alors f(A) a un plus grand élément et max(f(A)) = f(max(A)).( ) 2) Si A est une partie de E qui a une borne supérieure ( ) dans E, alors f(A) a une borne supérieure dans F, et supF(f(A)) = f(supE(A)) (☺)( ). 3) On suppose E totalement ordonné. Soit a ∈ E. On suppose que le successeur de a existe, ainsi que le prédécesseur. Dans ce cas, f(a) a un successeur et succ(f(a)) = f(succ(a)) (☺). De même, f(pred(a)) = pred(f(a)). 4) Supposons de plus f surjective : si E est Bien Ordonné ( ), alors F aussi. Si E est NBO ( ) alors F aussi. Calculer dans un anneau, un corps. exercice 9

Quelques propriétés élémentaires des anneaux et corps ( ) ( ) : 1) Soit (K, +, ×) un ensemble muni de deux lois internes. On suppose que (K, +) est un groupe, on note 0 son élément neutre. On suppose que (K–{0}, ×) est un groupe.

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On suppose enfin que la loi × est distributive par rapport à + à gauche et à droite. Démontrer que (K, +, ×) est un corps.( )(☺) 2) Dans un anneau ( ) (A, +, ×), on note 1 l'élément neutre de × , et –1 son opposé. Établir les égalités : (–1) × a = a × (–1), a × a = (–a) × (–a). 3) Dans un anneau commutatif, établir la "formule du binôme" : ∀a, b (a + b)n = an + Cn1 b.an–1 + … + Cnp bp.an–p + … + bn. 4) Si l'anneau n'est pas commutatif, développer (a + b)2, (a + b)3. exercice 10

Quelques propriétés des anneaux Z/nZ ( ) : 1) Soit n un naturel strictement plus grand que 1. Vérifier que la relation (dite de congruence modulo n) : x R y si x – y est divisible par n, est une relation d'équivalence sur Z. On dit que x est congru à y modulo n. On note Z/nZ l'ensemble quotient. 2) Vérifier que l'addition et la multiplication de Z sont compatibles ( ) avec la congruence modulo n. On en déduira que le quotient est un anneau commutatif. 3) Premier exemple : n = 5. Écrire la table de multiplication de Z/5Z – {0}. Rechercher les diviseurs de 0 ( ), les éléments nilpotents ( ), les éléments inversibles ( ). Cet anneau est-il un corps ? 4) Deuxième exemple : n = 6. Répondre aux mêmes questions. ☺ indications pour résoudre - méthode -

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5) Troisième exemple : n = 8. Répondre aux mêmes questions. Ces résultats seront repris en arithmétique et on verra un énoncé général. 6) Dans chacun de ces anneaux, résoudre les équations ( )(☺) : X2 = –1, X2 = 1, X2 – 4 X+ 1 = 0, Xn–1 = 1. exercice 11

Quelques exemples d'anneau obtenus par extension de Z, et de corps obtenus par extension de Q.( ) Soit t un complexe, non rationnel. On pose : Z[t] = {a + bt | a, b ∈ Z}, Q[t] = {a + b t | a, b ∈ Q}. 1) Soit x un élément de Q[t]. Démontrer qu'il s'écrit de manière unique sous la forme x = a + b t, avec a, b des rationnels.(☺) On suppose que t est solution d'une équation du second degré à coefficients entiers du type : t2 + pt + q = 0, Calculer en fonction de t, p, q les expressions de t2, t3, t4. Démontrer que Z[t] et Q[t] sont des anneaux. (☺) 2) Exemple de l'anneau Z[i], et de Q[i]. Chercher les éléments de Z[i] inversibles dans cet anneau (☺). On a vu que Q[i] est un corps (exemple 34). 3) Exemple de l'anneau Z[ 3 ], et de Q[ 3 ]. On suppose a et b rationnels. Montrer que le produit (a + b 3 )(a – b 3 ) est un rationnel et qu'il ne peut être nul que si a et b sont nuls. En déduire que Q[ 3 ] est un corps.(☺) ☺ indications pour résoudre - méthode -

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a2

b2 ,

4) Trouver des couples d'entiers (a, b), avec b ≠ 0, tels que – 3 soit égal à 1 ou –1 ( ). Déduire, dans Z[ 3 ], des exemples d'éléments inversibles ( ), non entiers. 5) On revient au cas général. Démontrer que t est inversible dans Q[t], donner l'expression de son inverse. (☺) Soit t' l'autre racine de X2 + p X + q = 0. Pourquoi est-elle différente de t ? Montrer que cette racine appartient à Z[t]. On suppose a et b rationnels. Montrer que le produit (a + bt)(a + bt') est un rationnel et qu'il ne peut être nul que si a et b sont nuls. En déduire que Q[t] est un corps.(☺) exercice 12

Endomorphismes ( ) de Q. 1) Soit f une application de Z dans lui-même. On suppose qu'elle vérifie les propriétés : f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b). Calculer f(0), f(–a), f(k.a) pour k et a entiers relatifs. Supposer f(1) = 0. Démontrer que f(x) = 0 pour tout x. Supposer f(1) ≠ 0. Démontrer que f(1) = 1, puis que f est l'identité de Z. 2) On suppose maintenant que f est un homomorphisme d'anneaux ( ) de Q dans lui-même, ayant les mêmes propriétés. Démontrer que f est l'identité de Q.(☺) exercice 13

Sur la notion de noyau ( ) d'un homomorphisme. (Le début a déjà été proposé dans le volume 1, il est repris ici comme préliminaire.)

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1) Soit h : A --. B un homomorphisme de groupes ( ). On note indifféremment e l'élément neutre de A et de B, et par un point (".") l'opération de A et de B. On appelle H l'ensemble : H = {a ∈ A | h(a) = e}. Démontrer que H est un sous-groupe de A. On l'appelle le "noyau" de h. Vérifier que si u ∈ H, pour tout g ∈ A, g.u.g–1 ∈ H. Démontrer que h est injectif ( ) si et seulement si son noyau ne contient que l'élément neutre.(☺) 2) Soit maintenant h : A → B un homomorphisme d'anneaux ( )( ). C'est en particulier un homomorphisme de groupes, et il a un noyau H, qui est un sous-groupe de (A, +). On note + et × les opérations d'anneaux. Démontrer que H a la propriété suivante (☺) : si a ∈ A et u ∈ H, alors a × u H. (On y reviendra en arithmétique.) 3) Déduire de ce qui précède qu'un homomorphisme de corps est nul ou injectif.(☺) Utiliser l'ordre dans un groupe, un anneau, un corps. exercice 14

Quelques propriétés des groupes commutatifs ordonnés.( ) Soit (G, +, ≤) un groupe commutatif ordonné. On note 0 son élément neutre, et pour tout élément x de G, – x son symétrique. Préliminaire : a- Démontrer que pour tout triplet d'éléments de G, (g, h, k), on a l'implication : si g < h alors g + k < h + k.

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b- Démontrer que pour tout quadruplet d'éléments de G, (g, h, k, j), on a l'implication : si g < h et k < j alors g + k < h + j. (c'est-à-dire que la relation x R y si x ≤ y et x ≠ y, est compatible avec +) 1) On suppose que dans G tout élément est comparable ( ) à 0. On pose : G+ = {g ∈ G | g > 0}, G– = {g ∈ G | g < 0}. Démontrer que si g est un élément de G+, alors – g est un élément de G– (☺), et réciproquement, et que G+ et G– sont des parties stables ( ) pour + (☺). En déduire que si G est un groupe fini, son ordre ( ) est impair. Démontrer que G est totalement ordonné ( ). 2) On suppose que G est un groupe fini, d'ordre strictement supérieur à 1. Démontrer que G n'est pas totalement ordonné (☺). 3) On suppose maintenant G totalement ordonné. Démontrer que dans G, aucun élément non nul n'est d'ordre fini, en particulier aucun sous-groupe non trivial ( ) n'est fini (☺). On suppose de plus G ≠ {0}. Démontrer que G n'a pas de plus grand élément, ni de plus petit élément. 4) On suppose G totalement ordonné. Donner un exemple où G+ a un plus petit élément ( ), et un exemple où G+ n'a pas de plus petit élément, mais a une borne inférieure (☺). On suppose que G+ a un plus petit élément, soit a. Démontrer que –a = max(G–). On pose : H = {g ∈ G| a > g}. Démontrer que H a un plus petit élément, qui est a + a = 2a.

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G+

On suppose que n'a pas de plus petit élément, mais a une borne inférieure. Démontrer que infG(G+) = 0. exercice 15

Quelques propriétés des anneaux commutatifs totalement ordonnés ( )( ). Soit (A, +, × , ≤) un anneau commutatif totalement ordonné. On note 0 l'élément neutre de +, 1 celui de × , –a le symétrique pour + de a, a–1 le symétrique pour × de a. (A, +, ≤) est un groupe commutatif totalement ordonné. On utilisera les résultats de l'exercice précédent qui s'y appliquent, ainsi que les notations. 1) Démontrer que 1 > 0. Plus généralement, vérifier qu'un élément idempotent ( ) est dans A+(☺). Soit (a, b, c) un triplet de A. On suppose que a > b et que c est un élément inversible supérieur à 0. Démontrer que a × c > b × c. 2) Soit a un élément inversible ( ) de A, on suppose que a est dans A+. Démontrer que a–1 est également dans A+ (☺). Soit (a, b) un couple d'éléments inversibles de A+. On suppose a > b. Démontrer b–1 > a–1. Si a > 1, démontrer que a–1 < 1, et 0 < a–1. 3) On suppose que A est un corps ordonné. Expliquer pourquoi, si min(A+) existe alors min(A+) ≤ 1. Démontrer qu'il existe un élément supérieur à 1, en déduire que 1 n'est pas le plus petit élément de A+. On veut démontrer que A+ n'a pas de plus petit élément. On fait un raisonnement par l'absurde : supposons que min(A+) existe, soit a cet élément. Déduire que A a un plus grand élément. Conclure.

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Calculer dans le corps ordonné des réels : chercher une borne supérieure (ou inférieure), majorer, minorer, utiliser les intervalles. exercice 16

Quelques relations élémentaires ( ) sur les bornes supérieures ( ) dans R. (On pourra écrire des relations analogues pour les bornes inférieures.) Par convention, les bornes supérieures sont calculées dans R. Dans cet énoncé, A et B sont des parties non vides majorées de R. 1) Discuter l'existence de sup(A ∪ B), sup(A ∩ B) et établir leurs relations avec sup(A), sup(B). 2) On désigne par A + B l'ensemble : {a + b | a ∈ A, b ∈ B}. Démontrer l'existence de sup(A + B). Cette borne supérieure est-elle égale à sup(A) + sup(B) ? (☺). 3) On suppose de plus que A et B sont des parties de R+. On désigne par A.B l'ensemble : {a.b | a ∈ A, b ∈ B}. Démontrer l'existence de sup(A.B), et comparer sa valeur avec sup(A).sup(B). exercice 17

Propriétés importantes de R. Il s'agit ici d'établir quelques propriétés "connues" de R, à partir de sa seule caractérisation c'est -à-dire d'être un corps ordonné dans lequel : Toute partie non vide majorée ( ) a une borne supérieure. 1) Préliminaire : Soit A un sous-ensemble non vide de R formé d'entiers. On suppose que A admet une borne supérieure S dans R. ☺ indications pour résoudre - méthode -

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Expliquer ( ) pourquoi il existe exactement un élément de A appartenant à: ]S – 12 , S]. Soit N cet élément. Démontrer que N = max(A), puis que S = N (☺). 2) R est archimédien ( ). Soit a un réel positif, non nul, et b un réel quelconque. Soit A le sous-ensemble de R : A = {n | n.a ≤ b}. A peut-il être vide ? Si A n'est pas vide, démontrer qu'il a une borne supérieure, puis que cette borne supérieure est un plus grand élément. Soit N = max(A). Démontrer que (N + 1).a > b. Conclure que R est archimédien (☺). 3) Déduire de la question précédente que pour tout réel x il existe (☺) un unique entier relatif n vérifiant : n ≤ x < n + 1. (Il s'agit de la partie entière, dont on prouve ainsi l'existence à partir des propriétés de base de R.) 4) Soit G un sous-groupe de (R, +). On utilise les notations et résultats de l'exercice 14. On suppose que G+ a un plus petit élément, soit a. Démontrer que G = Z.a. exercice 18

On vérifie que les propriétés de définition de R impliquent que Q est "de manière naturelle" un sous-corps de R, distinct de R. 1) On définit une application φ de Z dans R en posant : φ(n) = n.1 (défini par récurrence). Démontrer que cette application est un homomorphisme injectif de groupes additifs (☺).

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2) On définit une application ω de Q dans R en associant à une fraction p le réel φ(p).φ(q)–1. q Pourquoi φ(q) est-il inversible dans R ? Vérifier que les images de deux fractions équivalentes ( ) par ω sont bien égales. Démontrer que ω est un homomorphisme de corps injectif (☺). 3) On démontre dans cette question que la borne supérieure dans R de : {x | x2 ≤ 3, x > 0}, n'est pas un rationnel. Soit S cette borne supérieure. On veut démontrer d'abord que S2 = 3. 1 Si S2 < 3, démontrer qu'il existe (☺) un entier n tel que (S + )2 < 3. n Pourquoi est-ce contradictoire avec la définition de S ? 1 Si S2 > 3, démontrer qu'il existe un entier n tel que (S – )2 > 3. n Pourquoi est-ce contradictoire avec la définition de S ? On s'efforcera de rédiger les arguments à partir des propriétés de base de R (existence de borne supérieure) et des propriétés qui en ont été tirées dans les exercices précédents (R archimédien ( )). On sait maintenant que S2 = 3. Rappeler pourquoi ce n'est pas un rationnel. exercice 19

Quelques exemples de recherche de borne supérieure ou de borne inférieure( ). On rédigera le plus précisément possible les démonstrations. Il est conseillé de s'aider de dessins pour formuler des conjectures ( ) sur les bornes. Si une borne est un élément de l'ensemble, on le signalera.

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1) L'ensemble étudié est :

n2 + n − 1  A= 2 n ∈N .   n +2 Montrer que pour n assez grand (qu'on précisera), les éléments de A sont compris entre deux entiers naturels consécutifs (☺). En déduire que A est borné, et donner un minorant et un majorant de A ( ). Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de A (☺). 2) L'ensemble étudié est :  n + sin(n2 )  B= n ∈N .   n +1 Montrer que B est borné, et donner sa borne supérieure et sa borne inférieure (☺). 3) L'ensemble étudié est l'ensemble C des modules des nombres complexes situés dans la partie du plan définie par :

{

M = z ∈C 1 > Re(z) ≥ Im(z) }.

Représenter M. Dire quelles sont les bornes de C (au vu du dessin), puis démontrer que ces conjectures sont vraies (☺). exercice 20

Soient I et J des parties non vides de R. On suppose dans tout l'exercice que J domine I, c'est-à-dire que pour tout x de I et tout y de J, x ≤ y. On pourra prendre des exemples pour explorer cette situation et celles constituées par les hypothèses complémentaires ci-dessous. 1) Démontrer que supR(I) et infR(J) existent ( ). Quelle relation y-a-t-il entre ces deux réels ? Démontrer que I ∩ J a au plus un élément (☺). 2) Donner un exemple (☺) où supR(I) = infR(J), et un exemple (☺) où : supR(I) < infR(J). ☺ indications pour résoudre - méthode -

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3) Examiner les conjectures suivantes : (☺) si I ∩ J = Ø , alors supR(I) < infR(J), si I ∩ J ≠ Ø , alors supR(I) = infR(J) = max(I) = min(J). 4) On suppose I ∩ J ≠ Ø , et que I et J sont des intervalles. La réunion I ∪ J est-elle un intervalle ? Examiner la réciproque : si I, J, et I ∪ J sont des intervalles, alors I ∩ J ≠ Ø. (☺) 5) On suppose que I ∩ J = Ø , et I ∪ J = R. Démontrer que (☺) : supR(I) = infR(J).

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3-2 Corrigés des exercices exercice 1-C

1) Soit a = max(A) et b = max(B), c = max(A ∩ B), d = max(A ∪ B). Les éléments a et b sont des éléments de A ∪ B donc sont inférieurs au plus grand élément de cet ensemble : a ≤ d et b ≤ d. Si max(a, b) existe, on écrira : max(a, b) ≤ d. De la même façon, c est un élément de A et un élément de B, il est donc inférieur aux plus grands éléments de ces ensembles : c ≤ a et c ≤ b. Si min(a, b) existe, on écrira : c ≤ min(a, b). (QC-1) L'hypothèse faite sur A ∪ B est-elle superflue ? Autrement dit, si max(A) et max(B) existent, max(A ∪ B) existe-t-il toujours ? On cherchera des exemples (ou contre-exemples) dans un ensemble totalement ordonné (R par exemple) et dans un ensemble non totalement ordonné (N*, |) par exemple. 2) Le raisonnement est un peu différent, il faut bien savoir le faire : Soit a' = supE(A), b' = supE(B), c' = supE(A ∩ B), d' = supE(A ∪ B). L'élément a' est le plus petit des majorants ( ) de A. Comme A est une partie de A ∪ B, tout majorant de A ∪ B est un majorant de A. La borne supérieure d' est donc un majorant de A, donc d' ≥ a'. De même d' ≥ b'. Bien noter qu'on n'utilise pas a' ∈ A, qui n'est pas toujours vrai. ( ) Ici encore, si max(a', b') existe : max(a', b') ≤ d'.

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Par un raisonnement analogue, on obtient c' ≤ a' et c' ≤ b'. (QC-2) Examiner la question analogue à QC-1. exercice 2-C

1) La vérification ne pose aucun problème puisqu'il s'agit de vérifier séparément pour chaque composante. Un graphique illustre bien cette relation d'ordre (→ entre un plus petit et un plus grand).

Cette relation est à l'évidence non totale, puisqu'il faut que la comparaison soit dans le même sens pour les deux coordonnées : par exemple (1, 2) ≤ (3, 4), mais (1, 2) n'est pas comparable ( ) à (2, 1). 2) La relation ≤L est une relation d'ordre. ☺ indications pour résoudre - méthode -

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Soient x, y, z, t des éléments de l'ensemble. Réflexivité : (x, y) ≤L (x, y) car x = x et y ≤ y. Antisymétrie : si (x, y) ≤L (z, t), et (z, t) ≤L (x, y), deux cas sont à examiner : x ≠ z, alors x < z et z < x ce qui est contradictoire, x = z et y ≤ t d'une part, x = z et t ≤ y d'autre part d'où t = y, donc (x, y) = (z, t). Transitivité : (x, y) ≤L (z, t) et (z, t) ≤L (u, v). Différents cas sont à examiner : x < z, et z < u, d'où x < u et (x, y) ≤L (u, v), x < z, et z = u, t ≤ v, d'où x < u et (x, y) ≤L (u, v), x = z, y ≤ t, et z < u, d'où x < u et (x, y) ≤L (u, v), x = z, y ≤ t, et z = u, t ≤ v, d'où x = u, y ≤ v, et (x, y) ≤L (u, v). Dans ce cas par exemple (1, 2) ≤L (3, 4) et (2, 1) ≥L (1, 2) car 2 > 1. De façon générale, soit (x, y) et (u, v) des couples, comme ≤ est totale, on a l'un des cas : x≤u: si x < u alors (x, y) ≤L (u, v), si x = u alors si y ≤ v , (x, y) ≤L (u, v) et sinon (x, y) ≥L (u, v). x≥u: si x > u alors (x, y) ≥L (u, v), le cas x = u a déjà été vu. La relation d'ordre ≤L est totale.

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3) Pour l'ordre produit, la section finissante est le produit : [2 , →[× [3 , →[. C'est un ensemble infini. Dans le cas de l'ordre lexicographique, la section finissante est également un ensemble infini. Ce n'est pas un produit : {2} × [3 , →[ ∪ [3 , →.[∪ N. Pour l'ordre produit, la section commençante est le produit : [0 , 3] × [0 , 4]. C'est un ensemble fini. Pour l'ordre lexicographique, la section commençante ( ) n'est pas un ensemble fini : {3} × [0 , 4] ∪ [0 , 2] × N. Le segment [(1, 2) , (7, 6)], pour l'ordre produit est l'ensemble fini : [1 , 7] × [2 , 6]. Le segment fermé, pour l'ordre lexicographique, est un ensemble infini : {1} × [2 , →[ ∪ [2 , 6] × N ∪ {7} × [0 , 6]. Bien entendu, le segment [(3, 4) , (5, 2)] n'est pas défini dans l'ordre produit, puisque les extrémités ne sont pas comparables ( ). Dans le cas de l'ordre produit : si (x, y) ≤P (x', y') alors p(x, y) ≤ p(x', y') et q(x, y) ≤ q(x', y'). Ces deux applications sont monotones croissantes ( ). Dans le cas de l'ordre lexicographique : si (x, y) ≤L (x', y') alors p(x, y) ≤ p(x', y'), mais q(x, y) et q(x', y') peuvent être dans un ordre quelconque. L'application p est croissante, q n'est pas monotone. 4) A = {(m, n) | n ≥ 4, m ≥ –2} : Les minorants ( ) de A sont inférieurs à (–2, 4), donc de la forme (x, y) avec : x < –2 ou x = –2, y ≤ 4.

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L'élément (– 2, 4) est le plus petit élément de A : dans A les éléments (u, v) vérifient u ≥ –2, et v ≥ 4. Les minorants de (–2, 4) sont donc les minorants de A. Le complémentaire de A n'est pas majoré, puisqu'il contient des éléments d'abscisse aussi grande qu'on veut, en particulier il n'a pas de plus grand élément. Non, A n'est pas un intervalle ( ) : entre (–2, 4) et (–1, 4) il y a une infinité d'éléments qui n'appartiennent pas à A : {–1} × ]← , 4]. Un prédécesseur (

) de (a, b) est un élément (a', b') tel que : (a', b') h(a) d'où une contradiction. 5) Il faut montrer que l'application définie est strictement croissante. Soient f et f' deux éléments distincts comparables de l'arbre, par exemple f ≤ f'. La hauteur de f' est donc strictement plus grande que celle de f. Or : 10 × u(pred(x)) + 9 ≥ u(x) ≥ 10 × u(pred(x)), donc, par récurrence : 2 × 10h(x) – 1 ≥ u(x) ≥ 10h(x), donc : u(f') > u(f). On a ainsi établi une bijection croissante entre un ensemble non totalement ordonné (en général) et un ensemble totalement ordonné (partie de N). exercice 7-C

A la lumière de l'exercice précédent, on voit que cette conjecture est fausse. On a un contre-exemple avec E non totalement ordonné, et F totalement ordonné. Examiner de ce point de vue d'autres exemples vus précédemment. (QC-1) Supposer de plus E totalement ordonné. Que devient cette conjecture ? exercice 8-C

1) Soit y = f(x), un élément de f(A), x étant un élément de A. On a : x ≤ max(A), donc f(x) ≤ f(max(A)).

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volume 2 81

De plus max(A) est un élément de A donc f(max(A)) est un élément de f(A). 2) Soit y = f(x), un élément de f(A), x étant un élément de A. On a : x ≤ supE(A), donc f(x) ≤ f(supE(A)), donc : supE(A) est un majorant de f(A). Est-ce le plus petit majorant ? Soit b un majorant de f(A) … on ne voit pas bien comment enchaîner pour comparer b et f(supE(A)). Il y a deux difficultés : F n'étant pas supposé totalement ordonné, b et f(supE(A)) ne sont pas nécessairement comparables ( ) ; f n'étant pas supposée surjective ( ), on ne peut pas comparer dans E. Cherchons un contre-exemple avec les applications ci-dessus : f1 ne convient pas, c'est une situation correspondant à la question 1) f3 n'est pas surjective, soit A = [0 , 1[. On a : sup(A) = 1, f3 (1) = 1, f3(A) = [–1 , 0[, sup(f3(A)) = 0. Dans ce cas, f3(A) a bien une borne supérieure, mais ce n'est pas l'image de la borne supérieure de A. Remarquer que les ensembles sont totalement ordonnés. (QC-1) Que peut-on dire de f2 ? (QC-2) Reprendre la question en supposant f surjective et E, et F totalement ordonnés. Identifier la difficulté qui subsiste. 3) On sait que succ(a) > a, donc f(succ(a)) ≥ f(a). En l'absence d'hypothèse d'injectivité ( ) sur f, on ne sait pas si f(succ(a)) ≠ f(a). On ne peut donc conclure. On voit la même difficulté pour l'image du prédécesseur. Cherchons un contre-exemple ; pour une application croissante non injective de N dans N, on peut prendre : g : n → E(n/3). On voit que :

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g(0) = g(1) = 0, donc g(succ(0)) ≠ succ(g(0)), g(4) = g(3) = 1, donc g(pred(4)) ≠ pred(g(4)). (QC-3) reprendre la question en supposant de plus f injective. 4) Soit B une partie non vide de F. Comme f est surjective, B = f*(f*(B)). La partie non vide f*(B) de E a un plus petit élément, donc son image aussi. L'ensemble F est Bien Ordonné ( ). Soit b un élément de F. On suppose que b n'est pas min(F). Il a un antécédent, soit a. Si a est min(E), tout élément de E est supérieur à a, donc tout élément de F est supérieur à b, ce qui est faux. Donc a admet un prédécesseur, soit a' : a' < a, il n'y a pas d'élément entre a' et a. Sans hypothèse d'injectivité sur f, on ne sait pas si b' = f(a') < f(a) = b. Supposons que f est injective. S'il existe b" strictement compris entre b' et b, soit a" un antécédent de b". Comme E est totalement ordonné, a" est comparable à a : a ≤ a" est impossible car cela entraîne b ≤ b" alors que b" < b, donc : a" < a. De même, on établira que a' < a". Or a' est le prédécesseur de a, donc a" n'existe pas, et donc b" n'existe pas. Donc si f(a') ≠ f(a), f(a') est bien le prédécesseur de f(a). Si f(a') est égal à f(a), f(a) n'a pas toujours de prédécesseur : reprendre l'application : g : n → E(n/3), on voit que g(2) n'a pas de prédécesseur, puisque c'est 0, alors que 2 a un prédécesseur. Remarquer toutefois que sur cet exemple g(2) est le plus petit élément.

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volume 2 83

Si f(a') = f(a) et si ce n'est pas le plus petit élément, que peut-on en dire ? Soit A = {x ∈ E | f(x) = f(a), et x ≤ a}. Cet ensemble ne contient pas min(E), puisque par hypothèse f(a) n'est pas min(F). Soit y = min(A), et y' = pred(y) (qui existe puisque y ≠ min(E)). On a les propriétés suivantes : f(y') ≠ f(a), f(y') ≤ f(a). Comme ci-dessus, si z est un élément vérifiant : f(y') < z < f(a), alors il a un antécédent z' vérifiant : y' < z' < a, ce qui est impossible. Il en résulte finalement que f(y') est le prédécesseur de f(a) : F est NBO. exercice 9-C

1) La propriété à établir est la commutativité de la loi +. Soit 1 l'élément neutre de (K–{0}, ∞) : (1 + 1) × (a + b) = (a + b) + (a + b), = a + b + a + b, (distributivité à droite) (1 + 1) × (a + b) = (1 + 1) × a + (1 + 1) × b, = a + a + b + b, (distributivité à gauche) a + b + a + b = a + a + b + b, b + a = a + b, (simplification dans (K, +)). 2) On calcule : a + (–1) × a = 1 x a + (–1) × a, = (1 + (–1)) × a, = 0 × a, ☺ indications pour résoudre - méthode -

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= 0. De la même façon : a × (–1) + a = 0. Enfin : (–a) × (–a) = a × (–1) × (–1) × a, = a × (–(–1)) × a, = a × a. 3) Cette égalité s'établit par récurrence : Elle est évidemment vraie si n = 1. Si elle est vraie pour n, on calcule (a + b)n+1. (a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n, = (a + b)(an + …+ Cnp bpan–p + …+bn), = an+1 + ban +… +Cnpabpan–p + Cnpbp+1an–p +…+bn+1. Comme A est un anneau commutatif, abpan–p = bpan–p+1. Le coefficient de bpan–p+1 dans (a + b)n+1 est donc : Cnp + Cnp–1, soit : Cn+1p, d'après les formules usuelles, d'où la formule du binôme dans un anneau commutatif. 4) Si l'anneau n'est pas commutatif, les formules ne se simplifient pas : (a + b)2 = (a + b)(a + b), = a2 + ba + ab + b2. (a + b)3 = (a + b)2(a + b), = (a2 + ba + ab + b2)(a + b), = a3 +a2b + ba2 + bab + aba + ab2 + b2a + b3. ☺ indications pour résoudre - méthode -

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volume 2 85

exercice 10-C

1) La vérification ne pose pas de problème. Réflexivité : x – x est divisible par n. Symétrie ; s'il existe un relatif k vérifiant : (x – y) = kn, alors (y – x) = (–k)n. Transitivité ; s'il existe des relatifs k et t vérifiant : (x – y) = kn et (y – z) = tn, alors (x – z) = (k + t)n. 2) Compatibilité de l'addition : s'il existe des relatifs k et k' vérifiant : (x – y) = kn, et (x' – y') = k'n, alors : (x+x') – (y+y') = (k+k')n. Compatibilité de la multiplication : s'il existe des relatifs k et k' vérifiant : (x – y) = kn, et (x' – y') = k'n, alors : (xx') – (yy') = (x – y)x' + (x' – y')y, = knx' + k'ny, = (kx' + k'y)n. Le quotient Z/nZ est donc muni de deux lois. Pour la première (+), c'est un groupe commutatif. La seconde (.) est associative et distributive par rapport à la première. De plus il existe un élément neutre pour (.), qui est la classe de 1, et qui est différent de la classe de 0 (car n > 1). (QC-1) Que se passe-t-il si n = 1 ? n = 0 ? 3) Table de multiplication de Z/5Z – {0}. 1 2 3 4 . 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1

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volume 2 86

Il n'y a aucun diviseur de 0 (pas de 0 dans la table). Il n'y a donc pas d'élément nilpotent (ils sont diviseurs de 0). Enfin, 1 figure dans chaque ligne, donc tous les éléments non nuls sont inversibles. Il s'agit donc bien d'un corps. 4) Table de multiplication de Z/6Z – {0} : 1 2 3 4 5 . 1 1 2 3 4 5 2 2 4 0 2 4 3 3 0 3 0 3 4 4 2 0 4 2 5 5 4 3 2 1 Les classes de 2, 3, 4 sont diviseurs de 0. Les puissances de 2 sont 2, 4, 2, 4, … donc 2 n'est pas nilpotent, et 4 non plus. Les puissances de 3 sont 3, 3, … donc 3 n'est pas nilpotent. On voit enfin que la classe de 1 et celle de 5 sont inversibles (présence de 1 dans la ligne). Il n'y a donc pas d'élément nilpotent. Cet anneau n'est pas un corps. Il a des diviseurs de 0, il n'est donc pas intègre ( ). 5) Table de multiplication de Z/8Z – {0} : 1 2 3 4 5 6 7 . 1 1 2 3 4 5 6 7 2 2 4 6 0 2 4 6 3 3 6 1 4 7 2 5 4 4 0 4 1 4 0 4 5 5 2 7 4 1 6 3 6 6 4 2 0 6 4 2 7 7 6 5 4 3 2 1 Dans cet anneau, 2, 4, 6 sont diviseurs de 0. Les puissances de 2 sont 2, 4, 0, donc 2 est nilpotent ( ), ainsi que 4.

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volume 2 87

Les puissances de 6 sont 6, 4, 0, donc 6 est nilpotent ( Les éléments 1, 3, 5, 7 sont inversibles. Dans ce cas, l'anneau n'est pas intègre ( ).

).

6) On résout les deux premières équations par énumération des cas, en consultant les tables de multiplication. X2 = –1. n = 5, –1 = 4 dans cet anneau, x = 2 et x = 3 sont les solutions. n = 6, –1 = 5, il n'y a pas de solution. n = 8, –1 = 7, il n'y a pas de solution. 2 X = 1. n = 5, x = 1 et x = 4 sont les solutions. n = 6, x = 1 et x = 5 sont les solutions. n = 8, x = 1, 3, 4, 5 et x = 7 sont les solutions. X2 – 4X + 1 = 0, soit (X – 2)2 = 3. On cherche si 3 a des racines carrées. n = 5, pas de solution. n = 6, 3 est l'unique racine carrée et x = 5 est la solution. n = 8, pas de solution. Xn–1 = 1. n = 5, X4 = 1, donc X2 = 1 ou 4, donc 1, 2, 3, 4 sont solutions. n = 6, X5 = 1, donc X est inversible, c'est–à-dire 1 ou 5. x = 1 est solution, évidemment, 5 ne l'est pas. n = 8, X7 = 1, donc X est inversible, c'est-à-dire 1, 3, 5, 7. x = 1 est solution. Pour 3, 5, 7, x2 = 1, donc x6 = 1, donc x7 ≠ 1.

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(QC-2) Dans la question précédente, on observe : Dans Z/5Z, x4 = 1 est vérifiée pour x = 1 et x = 4, Dans Z/6Z, x5 = 1 est vérifiée pour x = 1 mais pas pour x = 5, Dans Z/8Z, x7 = 1 est vérifiée pour x = 1 mais pas pour x = 7. Pouvez-vous généraliser, énoncer une conjecture, la démontrer ou la réfuter.(☺) exercice 11-C

1) On écrit : x = a + bt, x = a' + b't, (b – b')t = a' – a. Si b ≠ b', alors :

a' −a . b − b' Or, par hypothèse, t n'est pas rationnel, ce résultat est donc faux. Il en résulte que b = b' et donc a = a'. Pour t2 : t2 = – pt – q. Pour t3 : t3 = t (– pt –q), = – pt2 – qt, = –p (– pt – q) – qt, 3 t = (p2 –q)t + pq. Pour t4 : t4 = (p2 – q)t2 + pqt, t=

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(p2

= – q)(– pt –q) + pqt, t4 = (– p3 + 2pq)t – q(p2 –q). On imagine bien que toute puissance de t, et par suite toute expression polynomiale en t, s'exprime comme un élément de Q[t] (ou de Z[t]) (preuve par récurrence). Z[t] et Q[t] sont des sous-ensembles de C. Les propriétés des opérations (associativité, distributivité, commutativité) sont automatiquement vérifiées. L'élément neutre de la multiplication est bien un élément de Z[t] : 1 = 1 + 0t. Seules les stabilités doivent être prouvées : si x et y sont des éléments de Z[t], x + y, x y, – x sont également des éléments de Z[t] (respectivement, de Q[t]). Toutes ces vérifications sont faciles. Pour le produit, on utilise le calcul précédent de t2, bien entendu. 2) Un élément de Z[i] est un complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont des entiers relatifs. On sait calculer l'inverse d'un complexe : x = a + bi. Pour que cet inverse soit un élément de Z[i], il faut et il suffit que les quotients : a b , 2 2 , 2 a + b a + b2 soient des relatifs. Or ces rationnels sont, en valeur absolue, au plus égaux à 1 : ce ne sont des entiers que s'ils valent –1, 0, ou 1. Les seuls éléments de Z[i] inversibles dans Z[i] sont donc –1, 1, –i, i. Dans Q[i], il n'y a aucun problème, on voit que tous les éléments non nuls sont inversibles : c'est bien un corps. ☺ indications pour résoudre - méthode -

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3) On calcule le produit : (a + b 3 )(a – b 3 ) = a2 + (ba – ab) 3 – b2 ( 3 )2= a2 – 3b2. C'est bien un rationnel. S'il est nul, l'un des facteurs est nul, donc par exemple : a + b 3 = 0, donc si b ≠ 0 : a 3 =− , b ce qui est faux, puisque 3 n'est pas rationnel (☺). Il en résulte que b = 0, donc a = 0. Soit x un élément non nul de Q[ 3 ], x = a + b 3 . On peut écrire : 1 1 a−b 3 a b = = 2 = 2 − 2 3. 2 2 x a + b 3 a − 3b a − 3b a − 3b 2 Cet inverse est bien un élément de Q[ 3 ]. 4) On procède par essais : (ici avec l'aide d'un tableur) a

axa

axa–1

axa+1

rac((axa–1)/3)

rac((axa+1)/3)

1

1

0

2

0

0, 816496581

2

4

3

5

1

1, 290994449

3

9

8

10

1, 632993162

1, 825741858

4

16

15

17

2, 236067977

2, 380476143

5

25

24

26

2, 828427125

2, 943920289

6

36

35

37

3, 415650255

3, 511884584

7

49

48

50

4

4, 082482905

8

64

63

65

4, 582575695

4, 654746681

9

81

80

82

5, 163977795

5, 228129047

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volume 2 91

10

100

99

101

5, 744562647

5, 802298395

11

121

120

122

6, 32455532

6, 377042157

12

144

143

145

6, 904105059

6, 952217872

13

169

168

170

7, 483314774

7, 527726527

14

196

195

197

8, 062257748

8, 103497187

15

225

224

226

8, 640987598

8, 679477711

16

256

255

257

9, 219544457

9, 255628918

17

289

288

290

9, 797958971

9, 831920803

18

324

323

325

10, 37625494

10, 40833

19

361

360

362

10, 95445115

10, 98483804

20

400

399

401

11, 53256259

11, 56143013

Pour les 20 premières valeurs de a, on trouve 2 solutions à l'équation : a2 – 3b2 = 1, soit : (2, 1), (7, 4). On ne trouve aucune solution à : a2 – 3b2 = – 1. (QC-1) En vous plaçant dans Z/3Z, démontrez qu'il n'y a aucune solution à cette équation. Compte tenu des formules écrites dans Q[ 3 ], on voit que les nombres suivants sont inversibles dans Z[ 3 ] : 2+ 3,7+4 3. Bien entendu, pour chacun de ces nombres a + b 3 , les nombres : –a + b 3 , a – b 3 , –a –b 3 , sont également inversibles. 5) Le réel t est solution de l'équation : X2 + pX + q = 0.

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On écrit : t (t + p) = –q. Il n'est pas possible que q soit nul, sinon t = 0 ou t = –p, or t n'est pas rationnel. D'où l'égalité : t +p 1 = . −q t L'inverse de t est bien un élément de Q[t]. La somme des racines de l'équation ci-dessus est – p, donc : t' = – p – t. La seconde racine de l'équation est un élément de Z[t], non rationnel. Elle est différente de t, sinon t = – p/2. On calcule le produit : (a + bt)(a + bt') = a2 + ab(t + t') + b2tt', = a2 – pab + qb2. Ce produit est bien un rationnel. S'il est nul, l'un des facteur est nul, par exemple : a + bt' = 0, donc si b ≠ 0 : t' = – a/b, ce qui est faux, puisque t' n'est pas rationnel. On en déduit b = 0, et a = 0. On procède alors comme dans la question 3) : si a + bt ≠ 0, 1 a + bt' a b = 2 = 2 + 2 t' . 2 2 a + bt a − pab + b q a − pab + b q a − pab + b 2 q Cet inverse est bien dans Q[t]. Tout élément non nul étant inversible dans Q[t], cet anneau est un corps.

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exercice 12-C

1) On trouve : f(0 + 0) = f(0) + f(0), f(0) = f(0) + f(0) d'où par simplification dans le groupe (Z, +) : 0 = f(0). On rappelle que c'est une propriété générale des homomorphismes de groupes. De même, pour tout homomorphisme de groupes, f(–a) = – f(a). Enfin, on a également f(k.a) = k.f(a) par récurrence. Si f(1) = 0, f(a) = f(a.1) = f(a) f(1) = 0. Si f(1) ≠ 0, soit c = f(1). Par hypothèse, f(1.1) = f(1) f(1), donc ce rationnel vérifie : c = c2 , donc, puisque c ≠ 0, nécessairement c = 1. Il en résulte que pour tout entier relatif k : f(k) = f(k.1) = k f(1) = k. 2) Si n est un entier non nul : 1 1 f(n.( )) = n f( ) = 1 , n n 1 1 donc f( ) = . n n p Pour un rationnel non nul quelconque, soit : q p 1 p f( ) = p f( ) = . q q q (QC-1) Dans les raisonnements développés ci-dessus, distinguer soigneusement le rôle de chacune des hypothèses.

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Déduire un énoncé ne comportant pas d'hypothèse sur l'image par f d'un produit, permettant de conclure que f est l'application identique. (QC-2) Plus généralement, trouver tous les endomorphismes du groupe (Q, +), puis tous les homomorphismes de groupes de (Q, +) dans (R, +), enfin tous les homomorphismes de groupes de (Q, +) dans (R+*, ∞) exercice 13-C

1) H est un sous-groupe. Il suffit de vérifier les propriétés ( ) : a ∈ H, b ∈ H ⇒ a.b–1 ∈ H, e ∈ H. Pour la première vérification : h(a.b–1) = h(a).h(b)–1 = e.e–1 = e. Pour la seconde : h(e) = e. Soit u ∈ H, et g ∈ A : h(g.u.g–1) = h(g).h(u).h(g)–1= h(g).e.h(g)–1 = e. Donc g.u.g–1 ∈ H. On dit que H est un sous-groupe "distingué" s'il a cette propriété. Si h est injectif, alors soit a ∈ H : h(a) = e = h(e), donc : a = e, donc : H = {e}. Réciproquement si H = {e}, soit a, b des éléments de A vérifiant : h(a) = h(b), d'où : h(a).h(b)–1 = e, h(a.b–1) = e, a.b–1 ∈ H, donc :

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a.b–1

= e, et a = b.

2) Soit a ∈ A, u ∈ H : h(a × u) = h(a) × h(u), = h(a) × 0, = 0, donc : a × u × H. On dit qu'un sous-groupe de (A, +) est un "idéal" de l'anneau (A, +, ×) lorsqu'il possède cette propriété. (QC-1) Dans Z, vérifier que l'ensemble des nombres pairs est un idéal. L'ensemble des nombres impairs est-il un idéal ? Et l'ensemble des multiples de 3 ? 3) Pour montrer qu'un homomorphisme est injectif, il suffit (question 1) de voir que son noyau est égal à {0}. Soit f : (K, +, ×) → (L, +, ×) un homomorphisme de corps. Soit H son noyau. Si H≠{0}, soit a un élément non nul de H. Il est inversible. 1 = a–1 × a, donc d'après 2), 1 ∈ H, or pour tout b de K, b = b × 1, donc : b ∈ H. Il en résulte que H = K donc f est l'application nulle. Si H = (0}, f est injective. exercice 14-C

Préliminaire. a- Si g < h alors g ≤ h donc, comme k ≤ k, g + k ≤ h + k. Peut-on avoir une égalité g + k = h + k ? Non puisque dans un groupe on peut simplifier, et cette égalité entraînerait g = h. Cas particulier : g < h équivaut à g – h < 0. (prendre k = – h)

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b- Conséquence, si g < h et k < j, alors g + k < h + k < h + j. On ne peut avoir d'égalité g + k = h + j puisque cela entraînerait g + k = h + k, d'où g = h, qui est faux. 1) Supposons que g est un élément de G+. Comme tout élément est comparable à 0, deux cas sont à envisager : –g > 0, –g < 0, en effet –g ne peut être 0 si g ≠ 0. Le premier cas donne (cf. préliminaire) : g + (–g) > 0, qui est faux, donc c'est le second cas qui est vrai : – g ∈ G–. La réciproque se fait de même. G+ et G– sont des parties stables ( ) pour + d'après le préliminaire. Dans cette situation, l'application de G dans G qui associe à g son symétrique –g est une bijection de G+ sur G– : c'est évidemment une bijection de G dans lui-même, qui est sa propre réciproque, et l'image de G+ est G– d'après ce qui précède. Si G est fini, G+ aussi ; soit p son cardinal ; donc G est de cardinal 2p + 1. Tout élément étant comparable à 0, soit a et b des éléments de G. L'élément a – b est comparable à 0, donc a – b ≥ 0 ou a – b ≤ 0, soit a ≥ b ou a ≤ b. Le groupe est totalement ordonné. 2) Supposons G fini, et G ≠ {0}. Soit g un élément de G, g ≠ 0. On sait que g est d'ordre fini, donc il existe n entier naturel non nul tel que n.g = 0. (rappel : n.g est défini par récurrence par : 1.g = g, 2.g = g + g, n.g = (n – 1).g + g). On a donc : (n – 1).g = – g.

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volume 2 97

Or si G est totalement ordonné, on a soit g > 0, donc (n – 1)g > 0 et – g < 0, soit g < 0, donc (n – 1).g < 0 et –g > 0, donc dans tous les cas on obtient une contradiction. Le groupe G n'est pas totalement ordonné et il existe des éléments non comparables à 0. (QC-1)Certains éléments sont-ils comparables à 0, comparables entre eux ? 3) Supposons G totalement ordonné. D'après la question précédente, aucun élément de G ne peut être d'ordre fini, sauf 0 bien entendu. On sait que dans un sous-groupe fini, tous les éléments sont d'ordre fini ( ), donc il n'existe pas d'autre sous-groupe fini que {0}. Supposons que G a un plus grand élément, soit h. Il en résulte que : h > 0, donc : h + h > h, ce qui est une contradiction. Un plus petit élément serait l'opposé d'un plus grand élément, donc il n'existe pas non plus. 4) Dans le cas de Z, min(Z+) = 1. Dans le cas de Q, min(Q+) n'existe pas, mais infQ(Q+) existe et est égal à 0. Si G+ a un plus petit élément, soit a cet élément. On sait que – a est un élément de G–. S'il existe dans G– un élément b supérieur à – a, alors – b est un élément de G+ inférieur à a. Donc – b = a, et b = – a. D'où – a = max(G–). L'élément a + a est dans H = {g ∈ G| g > a}. Supposons qu'il existe un élément a' de H inférieur à 2.a : a' > a, 2.a > a', a > a' – a > 0, on voit que cela implique l'existence dans G+ d'un élément strictement inférieur à a, ce qui est faux. Donc 2.a = min(H). ☺ indications pour résoudre - méthode -

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volume 2 98

(QC-2) On suppose de plus G archimédien. Démontrer qu'il est isomorphe à Z. Si G+ n'a pas de plus petit élément, mais admet une borne inférieure, soit s cette borne inférieure. Comme 0 est un minorant de G+, par définition, on voit que : 0 ≤ s. Il n'est pas possible que s soit strictement plus grand que 0 puisque, dans ce cas, ce serait un minorant de G+ appartenant à G+, c'est-à-dire un plus petit élément. On en déduit que infG(G+) = 0. exercice 15-C

1) On sait que dans un anneau ordonné, tout carré est supérieur à 0, or : 1 = 12 , ce raisonnement s'applique à tout élément idempotent ( ). Si a > b, alors (a – b) ≥ 0. Comme c ≥ 0, on déduit : (a – b) × c ≥ 0, a × c – b × c ≥ 0, a × c ≥ b × c. Est-il possible que : a × c = b × c. Non, car en multipliant à droite par c–1, on en déduirait a = b, qui est faux. 2) On suppose a ≥ 0. Comme A est totalement ordonné, soit a–1 > 0, soit a–1 < 0. Dans ce dernier cas, a × a–1 ≤ 0, ce qui est faux puisque 1 > 0. Donc a–1 > 0. On utilise le résultat précédent : a > b, ☺ indications pour résoudre - méthode -

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volume 2 99

a > 0, donc

a–1

× a–1

× a–1,

> 0, donc a >b soit : 1 > b × a–1 ; b > 0, donc b–1 > 0, donc b–1 > b–1 × b × a–1, soit : b–1 > a–1. On suppose maintenant a > 1. Encore une fois, comme a ≠ 1, il y a deux cas pour a–1 : D'abord, a–1 > 1, et dans ce cas, en multipliant par a inversible positif : a × a–1 > 1, 1 > 1, qui est faux ; ensuite a–1 < 1. C'est donc ce second cas qui est vrai. 3) Il est clair que, s'il existe, min(A+) ≤ 1 puisque 1 est un élément de A+. On rappelle que dans un groupe totalement ordonné il n'y a pas de plus grand élément. L'élément 1 n'est pas le plus grand donc il existe b > 1. Cet élément est non nul, donc inversible, donc : 0 < b–1 < 1, donc 1 n'est pas le plus petit élément de A+. Si a = min(A+), alors a–1 = max(A+) = max(A), or ce plus grand élément n'existe pas. On en déduit que min(A+) n'existe pas. exercice 16-C

1) Si A et B sont non vides, A ∪ B est non vide, et si M (resp.N) est un majorant de A (resp. de B), alors max(M, N) est un majorant de A ∪ B. Il en résulte que A ∪ B a bien une borne supérieure. D'après la remarque précédente, max(sup(A), sup(B)) est un majorant de A ∪ B, donc : sup(A ∪ B) ≤ max(sup(A), sup(B)).

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Pour A ∩ B, il peut arriver que cette intersection soit vide même si A et B ne le sont pas. Si A ∩ B ≠ Ø, alors, comme A ∩ B ⊂ A, A ∩ B est majoré par sup(A), donc sup(A ∩ B) existe et : sup(A ∩ B) ≤ sup(A). De même : sup(A ∩ B) ≤ sup(B). En résumé : sup(A ∩ B) ≤ min(sup(A), sup(B)). (QC-1) A partir d'exemples, voir si cette inégalité peut être stricte dans certains cas, ou si elle est toujours une égalité. 2) Pour tout a de A : a ≤ sup(A), pour tout b de B : b ≤ sup(B), donc pour tout a de A et tout b de B : a + b ≤ sup(A) + b ≤ sup(A) + sup(B). On voit que sup(A) + sup(B) est un majorant de A + B. Comme la borne supérieure est le plus petit majorant : sup(A + B) ≤ sup(A) + sup(B). Y-a-t-il égalité ? On applique la définition : un élément inférieur à sup(A) + sup(B) est-il un majorant ? Soit α un réel positif. On a l'inégalité : α < sup(A), sup(A) – 2 α donc sup(A) – n'est pas un majorant de A, donc il existe a dans A tel 2 que : α sup(A) – < a ≤ sup(A). 2 De même, il existe b dans B tel que : ☺ indications pour résoudre - méthode -

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volume 2 101

α sup(B) – < b ≤ sup(B). 2 En ajoutant membre à membre, on obtient la propriété : il existe a dans A et b dans B tels que : sup(A) + sup(B) – α < a + b ≤ sup(A) + sup(B). On voit qu'un nombre inférieur à sup(A) + sup(B) n'est pas un majorant. On conclut : sup(A + B) = sup(A) + sup(B). 3) On procède de même : Pour tout a de A : a ≤ sup(A), pour tout b de B : b ≤ sup(B), donc : pour tout a de A et tout b de B, b étant positif, ainsi que sup(A) : a.b ≤ sup(A).b ≤ sup(A).sup(B). On voit que sup(A).sup(B) est un majorant de A.B. Comme la borne supérieure est le plus petit majorant : sup(A.B) ≤ sup(A).sup(B). (QC-2) Peut-on avoir sup(A) = 0 ou sup(B) = 0 ? Dans ce cas quelle est la valeur de sup(A.B) ? On suppose maintenant sup(A) > 0 et sup(B) > 0. Expliquez pourquoi sup(A.B) > 0. exercice 17-C

1 n'est pas un 2 majorant de A. Il existe donc au moins un élément de A, dans l'intervalle 1 considéré. Comme la longueur de cet intervalle est , et que la 2

1) La borne supérieure est le plus petit majorant, donc S –

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volume 2 102

différence entre deux éléments de A est de 1 au moins, il n'y a qu'un élément de A dans l'intervalle. En particulier, tout autre élément de A est extérieur à l'intervalle, et de plus inférieur à S, donc inférieur à N, qui est donc max(A). Lorsque le plus grand élément existe, c'est la borne supérieure, donc S = N. 2) A peut être vide : si b est négatif, comme n et a sont positifs, aucun entier ne vérifie la condition. Si A n'est pas vide, on peut lui appliquer le préliminaire : c'est un b ensemble d'entiers non-vide, majoré (par ), donc qui admet une borne a supérieure dans R. Cette borne supérieure est le plus grand élément. On le note N. Il est clair que, comme N + 1 > N, N + 1 n'est pas dans A, donc : (N + 1).a > b. On en conclut que R est archimédien, puisque dans le cas où b < 0, on a : 1.a > b et dans le cas où b ≥ 0, on utilise l'entier N + 1 ci-dessus. 3) Si on applique le résultat précédent à a = 1 (on a vu que 1 > 0) et b = x, supposé positif, on obtient la partie entière comme max({m | m.1 ≤ x}). Si x < 0, on peut raisonner d'abord avec –x ; il existe un unique entier naturel N tel que : N ≤ –x < N + 1, d'où : –N – 1 < x ≤ –N. Si x n'est pas entier, cette inégalité est équivalente à : –N – 1 < x < –N. La partie entière est –N – 1. Si x est entier, il est égal à –N, et on écrira plutôt : –N ≤ x < –N + 1. La partie entière est –N.

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G+.

4) L'élément a est strictement positif. Soit b dans D'après 2), il existe n entier naturel tel que : b < n.a. Soit N le plus petit de ces entiers. On a l'encadrement : (N – 1).a ≤ b < N.a, donc : 0 ≤ b – (N – 1).a < a. Or, G étant un sous-groupe, (N – 1).a est un élément de G, ainsi que : b – (N – 1).a. Comme a est le plus petit élément positif de G, on voit que : b – (N – 1).a = 0, b = (N – 1).a. – Pour les éléments de G , on raisonne sur leur opposé, qui est dans G+. Conclusion G = Z.a. exercice 18-C

1) Cette application est un homomorphisme de groupes : φ(n + m) = (n + m).1 = n.1 + m.1 = φ(n) + φ(m). Pour montrer que φ est injective, il suffit de montrer que son noyau ( ) ne contient que 0 (cf. exercice 13). Si φ(n) = 0, alors n.1 = 0, or dans un groupe totalement ordonné il n'y a pas d'élément d'ordre fini, donc cela implique n = 0 (cf. exercice 14). 2) Dans une fraction, le dénominateur, ici q, n'est pas nul, donc, comme φ r est injective, φ(q) n'est pas nul donc inversible dans R. Si est une s p fraction égale à , c'est que p.s = r.q dans Z. Donc : q φ(p).φ(s) = φ(r).φ(q), soit : φ(p).φ(q)–1 = φ(r).φ(s)–1. ☺ indications pour résoudre - méthode -

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volume 2 104

Pour l'injectivité, on peut utiliser un résultat selon lequel un homomorphisme de corps est nul ou injectif. Comme ω(1) ≠ 0, il suffit de montrer que ω est un homomorphisme de corps, ce qui se fait sans difficulté : a c  ad + bc  ω + =ω = φ(ad + bc)φ(bd)−1 , b d  bd  −1 −1 = [φ(a)φ(d) + φ(b)φ(c)]φ(b) φ(d) , = [φ(a)φ(b)−1 + φ(c)φ(d)−1 ],

 a c a c + = ω  + ω . b d  b d a c  ac  ω x  =ω = φ(ac)φ(bd)−1 ,  b d  bd  = φ(a)φ(c)φ(b) −1 φ(d)−1 ,  a c = ω ω  .  b  d 2 1  2 3) Supposons S < 3. Calculons  S +  : n 2 1 S 1  2 S + = S + 2 + .  n n n2 Soit a = 3 – S2. C'est un nombre positif strictement. Le corps des réels est archimédien, donc il existe un entier N tel que : 4S < Na. De même, il existe un entier N' tel que : 2 < N'a < N'2 a. Si n = max (N, N'), on a les deux inégalités simultanément : ω

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S a 2 < , n 2 1 a < , n2 2 donc : 2

1 S 1 S 1  2  S + n  − 3 = S + 2 n + n 2 − 3 = 2 n + n2 − a < 0. 1 Cela signifie que S + est un élément de A, plus grand que la borne n supérieure S, ce qui n'est pas possible. 2 1  Supposons S2 > 3. Calculons S −  .  n 2 1 S 1  2  S − n = S − 2 n + n2 . En procédant comme ci-dessus, on trouve qu'il existe un entier n tel que : 2 1 S 1  2 S − − 3 = S − 2 + − 3 > 0.  n n n2 Si b = S2 – 3, il suffit de prendre n tel que : 4S < b.n. On obtiendrait ainsi un majorant de A inférieur à S, ce qui n'est pas possible. On conclut donc que S2 = 3. Ce nombre n'est pas un nombre rationnel : voir l'exemple 45. On montre ainsi l'existence d'un réel non rationnel.

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exercice 19-C

n2 + n − 1  1) A =  2 n ∈N .   n +2 On peut étudier la fonction d'une variable réelle : x2 + x − 1 xa . x2 + 2 La dérivée est : − x2 + 6x + 2 . 2 (x 2 + 2 ) Elle s'annule pour une seule valeur positive : 3 + 11. L'étude habituelle de signe montre que la fonction est croissante avant cette valeur (pour x ≥ 0), et décroissante ensuite. Il en résulte que la valeur maximale prise par un élément de A est la plus grande de celles prises pour n = 6 et n = 7, et on voit bien que les valeurs de cette fonction sont comprises entre –1 et 2, et entre 1 et 2 à partir de n = 1. Démontrons-le. L'inégalité : n2 + n − 1 ≥ 1, n2 + 2 équivaut à : 2 2 n + n − 1≥ n + 2 , soit : n ≥ 3. En résumé, pour n ≥ 3, les éléments de A sont supérieurs à 1. L'inégalité : n2 + n − 1 ≤ 2, n2 + 2 ☺ indications pour résoudre - méthode -

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équivaut à : n + n − 1≤ 2n + 4 , 2

2

soit :

n − n + 3 ≥ 0. Le trinôme du premier membre est toujours positif, puisqu'il n'a pas de racine réelle et que le coefficient du terme de plus haut degré est positif. On trouve bien que, pour n ≥ 3, les éléments de A sont compris entre 1 et 2. Les valeurs pour n < 3 sont : 2

n 0 1 2

On voit donc que A est borné :

n2 + n − 1 n2 + 2 −1 2 1 3 5 6 −1 est le plus petit élément de A, et 2 est 2

un majorant de A. Maximum : le calcul donne (arrondi à 4 décimales) : n 6 7

n2 + n − 1 n2 + 2 1,0789 1,0784

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La borne supérieure est le plus grand élément, soit

41 . 38

 n + sin(n2 )  n ∈N . 2) B =    n +1 Ici, la méthode de base consiste à remplacer l'expression "sin(n2)" par –1, pour minorer, ou 1, pour majorer. On remplace ainsi l'expression : n + sin(n 2 ) , n +1 par des expressions plus simples qui l'encadrent : n − 1 n + sin(n 2 ) n + 1 ≤ ≤ . n +1 n+1 n +1 Il en résulte clairement que B est borné, inclus dans le segment : [–1 , 1]. Soit a un réel strictement inférieur à 1, et h = 1 – a. On a la majoration suivante (elle repose encore sur l'encadrement du sinus par –1 et 1) : n + sin(n 2 ) 1 − sin(n 2 ) 2 1− = ≤ . n +1 n +1 n +1 2 Il existe un naturel n tel que soit inférieur à h puisque cela équivaut n +1 à (n + 1)h > 2. On sait que cette inéquation a une solution puisque h est positif et R archimédien. Pour une telle valeur de n, on a les inégalités : n + sin(n 2 ) a< ≤ 1. n +1 On voit ainsi que 1 est le plus petit majorant de B, 1 = supR(B). Est-ce un plus grand élément ? Il faudrait que sin(n2) prenne la valeur 1.

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Or, la fonction sin prend la valeur 1 seulement pour des valeurs de la π variable de la forme + 2kπ, k entier relatif. Comme π est irrationnel, 2 ces valeurs ne sont pas des entiers. La borne supérieure 1 n'est pas un plus grand élément. Pour la borne inférieure, calculons quelques valeurs, arrondies à 3 décimales :

0

n + sin(n 2 ) n +1 0

1

0,921

2

0,414

3

0,853

4

0,742

5

0,811

n

On voit que 0 ne semble atteinte que pour n = 0. Vérifions-le. L'équation : n + sin(n 2 ) = 0 n'a de solution que si n = 0, ou n = 1, puisque la fonction sin prend ses valeurs entre –1 et 1. Si n = 1, on obtient : 1 + sin(1) = 0, ce qui est faux, puisque sin(1) est positif. n + sin(n 2 ) Pour les valeurs de n supérieures à 1, l'expression est n +1 strictement positive. Conclusion, 0 est le plus petit élément de B. ☺ indications pour résoudre - méthode -

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{

3) M = z ∈C 1 > Re(z) ≥ Im( z) } :

On peut proposer la conjecture ( ) : min(C) = 0, supR(C) = 2. Le premier résultat est évident puisque 0 est un minorant (un module est positif ou nul) et que 0 est un élément de M. Pour le second, on doit vérifier que 2 est un majorant, et que c'est le plus petit. Soit z = x + iy un élément de M : z = x2 + y2 ≤ 2x2 ,

car |y| ≤ x, et donc z ≤ 2, puisque 0 ≤ x < 1. Soit a un réel strictement inférieur à 2. Il faut mettre en évidence dans M au moins un complexe dont le module a+ 2 est strictement plus grand que a. Posons b = . 2 π Soit t le complexe de module b et d'argument . C'est bien un élément 4 de M, puisque : b < 2,

2 (1+ i), 2 Re(t) < 1, t=b

0 ≤ Im(t) = Re(t). Par définition, b est strictement plus grand que a, donc t convient. Le réel 2 est la borne supérieure de C. Ce n'est pas un plus grand élément, car dans le calcul ci-dessus, l'inégalité z ≤ 2, est stricte, puisque x < 1.

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exercice 20-C

Des exemples : I1 =]– ∞ , 0], J1 = [2 , +∞[, I2 = [–1 , 2], J2 = [2 , 8], I3 =]–4 , 2], J3 =]2 , +∞[. 1) Comme J n'est pas vide, I est majoré ( ). Comme I n'est pas vide, il admet une borne supérieure. C'est le plus petit majorant, donc supR(I) est inférieur à tout élément de J : c'est un minorant ( ) de J. Il en résulte que J est minoré, donc admet une borne inférieure qui est le plus grand minorant. On a donc : supR(I) ≤ infR(J). Si I ∩ J n'est pas vide, soient x, y des éléments de I ∩ J. Comme x ∈ I et y ∈ J : x ≤ y. Comme y ∈ I et x ∈ J : y ≤ x. On conclut que ces éléments sont égaux. Donc si I ∩ J n'est pas vide, il a un seul élément. 2) L'exemple (I2, J2) correspond à supR(I) = infR(J), et l'exemple (I1, J1) à supR(I) < infR(J). 3) La première conjecture est fausse : le cas (I3, J3) en est un contreexemple. Si on n'a pas pensé à un tel contre-exemple, comment résoudre cette conjecture ? Par la contraposée par exemple ( ) : Si supR(I) = infR(J), alors I ∩ J ≠ Ø. On a vu que l'intersection n'a qu'un élément si elle n'est pas vide, soit a cet élément. Que représente-t-il ? C'est un élément de J, donc un majorant de I, et c'est aussi un élément de I. C'est donc max(I). Par un raisonnement analogue, a = min(J). La

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contraposée, si elle est vraie, entraîne que les ensembles I et J ont respectivement un plus grand élément et un plus petit élément. Les éventuels contre-exemples sont donc à chercher dans des cas où, par exemple, la borne supérieure de I n'est pas dans I. On peut penser alors pour I à un intervalle ouvert ]b , a[, et, de là, pour J à un intervalle ayant a comme borne inférieure, de la forme ]a , c[ par exemple. Pour la seconde conjecture : On reprend le raisonnement exposé dans la démarche ci-dessus. Il montre effectivement que si l'intersection n'est pas vide, elle est constituée d'un seul élément qui est à la fois max(I) et min(J), donc aussi supR(I) et infR(J). Cette conjecture est vraie. 4) Conservons les notations de la question 3) : I ∩ J = {a}. Soient x et y dans I ∪ J, tels que x < y, et soit z vérifiant x < z < y. Si x et y sont tous deux dans I, ou tous deux dans J, alors z est dans I, ou dans J, donc dans I ∪ J. Sinon, x est un élément de I et y un élément de J. On distingue deux cas. D'abord z < a, alors : x 0, et tout élément b il existe un entier n tel que n.a > b. Soit b un élément de G+, et a = min(G+). Soit n le plus petit entier vérifiant n.a > b. Si (n – 1).a < b, alors : 0 < b – (n – 1).a < a, ce qui est contradictoire avec a = min(G+). Donc b = (n – 1).a, et : G+ = {n.a | n entier naturel, n > 0}. Il en résulte que G– = {–n.a | n entier naturel, n > 0}, puis G = Z.a. L'application n ∞ n.a est bien un isomorphisme de Z sur G.

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exercice 16-QC

(QC-1) Pour s'orienter soit vers un contre-exemple, soit vers une démonstration générale, on peut essayer de commencer une démonstration : Soit t = min(sup(A), sup(B)), et x un réel strictement inférieur à t. Peuton montrer que x n'est pas un majorant de A ∩ B, c'est-à-dire qu'il existe z dans A ∩ B strictement inférieur à x ? x < t ≤ sup(A), donc il existe z1, dans A, tel que x < z1 ≤ t, x < t ≤ sup(B), donc il existe z2, dans B, tel que x < z2 ≤ t. Bien sûr, rien ne prouve qu'on peut choisir z1, ou z2, dans A ↔ B. Même dans le cas où ces bornes sont des maximum, il n'y a aucune raison pour que max(A) ou max(B) soit dans A ∩ B. A partir de là on peut élaborer un contre-exemple : A = [0 , 1] ∪ {2}, B = [0 , 1] ∪ {3}, max(A) = 2, max(B) = 3, A ∩ B = [0 , 1], max(A ∩ B) = 1. (QC-2) Si A est un ensemble de réels positifs, et sup(A) = 0, c'est que A = {0}. Dans ce cas, pour tout B, A.B = {0}. Il en résulte : sup(A.B) = sup(A).sup(B). Si sup(A) > 0, et sup(B) > 0, il existe dans A et dans B des éléments non nuls (par exemple dans A un élément entre sup(A)/2 et sup(A)). Leur produit est strictement positif, donc sup(A.B) est strictement positif.

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exercice 20-QC

(QC-1) On a vu que de façon générale supR(I) ≤ infR(J). Si supR(I) ≠ infR(J), il existe donc un réel, soit t, tel que : supR(I) < t < infR(J). Soit x un élément de I, et y un élément de J : x ≤ supR(I) < infR(J) ≤ y, donc x ≤ t ≤ y. Or x et y sont des éléments de I ∪ J, qui est un intervalle, donc t est également un élément de I ∪ J. Ceci est contradictoire avec supR(I) < t < infR(J). En effet, t ne peut être dans I puisqu'il est plus grand que la borne supérieure, et t ne peut être dans J puisqu'il est plus petit que la borne inférieure. Il en résulte que supR(I) = infR(J).

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4

Pour Chercher

4-1 Indications pour les exercices (☺)

exercice 1-I

1) Nommer les plus grands éléments (a = max(A)…). Utiliser la propriété : un plus grand élément est comparable à tout autre élément et est supérieur à tout autre élément. 2) La borne supérieure est le plus petit majorant. On peut la comparer aux autres majorants, et aux éléments de l'ensemble.

exercice 2-I

1) Faire un dessin, prendre des exemples. 2) Prendre des exemples pour bien comprendre cette relation : (2, 1) et (1, 2), (3, 4) et (1, 2)… Il faut distinguer des cas : pour (x, y) ≤L (s, t), d'abord (x ≤ s et x ≠ s) c'est-à-dire x < s, y et t quelconques, ensuite (x = s et y ≤ t). 4) Pour (a, b) dans Z × Z, chercher à quelle condition (a', b') ≤L (a, b), puis, en distinguant les différents cas, s'il se peut qu'il n'y ait aucun autre élément entre les deux.

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exercice 3-I

Indication générale : revenir sur les exemples et exercices déjà traités (dans cet ouvrage ou ailleurs) pour tester les conjectures. On pourra de cette façon trouver éventuellement des contre-exemples, ou se convaincre qu'un énoncé est probablement vrai. Ensuite passer à une démonstration en forme dans ce cas.

exercice 4-I

Voir les ensembles totalement ordonnés, et P({1, 2, 3}). 1) Faire des dessins, prendre des exemples. Deux cas sont à séparer, selon que les deux éléments sont comparables, ou non. 2) Récurrence, bien entendu. 3) Ce sont des ensembles finis, "petits", donc on peut les représenter facilement en schématisant d'une façon quelconque l'ordre (une flèche par exemple). Voir en quoi ils se ressemblent. 4) Formaliser la définition de la question précédente pour la généraliser.

exercice 5-I

Penser à l'écriture en base 2. Pour généraliser, on peut d'abord considérer le cas n = 4 ou n = 5.

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exercice 6-I

1) Procéder de proche en proche à partir de 3, grâce à la vérification préliminaire. 2) Récurrence. 3) Si une partie non vide est majorée, toute sous-partie, en particulier toute sous-partie à 2 éléments est majorée. 4) Si a ≠ b, a ≤ b et h(a) = h(b), comparer B(a) et B(b). 5) Récurrence.

exercice 7-I

Examinez les bijections croissantes que vous avez rencontrées.

exercice 8-I

2) Réfléchir à ce qui peut empêcher cet énoncé d'être vrai. Tester sur les applications proposées. 3) Si a < succ(a), est-on sûr que f(a) < f(succ(a)) ?

exercice 9-I

1) C'est la commutativité de l'opération ∞ qui doit être établie. 2) Calculer a + (–1) × a. 3) Récurrence.

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exercice 10-I

6) Procéder par énumération des cas. QC-2) Chercher un énoncé du type : "Dans Z/nZ, xn–1 = 1 est vérifié pour x = n – 1 si n …"

exercice 11-I

1) Supposer qu'un élément x s'écrit de deux façons comme combinaison de 1 et t, et aboutir à une contradiction si les coefficients sont distincts (raisonnement par l'absurde, utilisant l'hypothèse "t n'est pas rationnel"). 2) Utiliser le calcul de l'inverse d'un nombre complexe que vous connaissez. A quelle condition les parties réelles et imaginaires sont-elles entières ? 3) Ici encore utiliser une technique bien connue : la multiplication par la "quantité conjuguée", c'est-à-dire a–b 3 , par rapport à a+b 3 . Se rappeler que 3 n'est pas rationnel (on admettra cette propriété si nécessaire). 5) De t2 + p t + q = 0, tirer 1/t en fonction de t. Prendre toutes les précautions d'usage avant de diviser par une donnée littérale ! Penser aux formules donnant la somme et le produit des racines d'une équation du second degré en fonction des coefficients. L'expression a + b t' joue le rôle de la "quantité conjuguée" ici.

exercice 12-I

2) Dans le cas d'un homomorphisme d'anneaux, f(1) = 1.

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exercice 13-I

1) Transformer h(a) = h(b) en composant par h(b)–1. 2) Se rappeler que dans un anneau a × 0 = 0. 3) Voir que le noyau est {0} ou le corps tout entier (double inclusion ( )).

exercice 14-I

Le préliminaire permet de voir que la relation < (c'est-à-dire ≤ et ≠) est compatible avec la loi de groupe. 1) Tout élément est comparable à 0. Ensuite utiliser le préliminaire. 2) Si G est fini, tout élément est d'ordre fini. A partir de n.g = 0, voir qu'il y aurait des éléments différents de 0, à la fois plus grands que 0 et plus petit. 3) Reprendre les arguments de 2). 4) Penser à des groupes ordonnés que vous connaissez bien (Z, Q). Supposer qu'il existe a' tel que a < a' < 2a. Comparer a' – a et a.

exercice 15-I

1) Un idempotent est un carré. 2) Tout élément est comparable à 0. 3) Utiliser l'exercice précédent : dans le groupe (A, +), il n'y a pas de plus grand élément.

exercice 16-I

2) Démarche générale ( ). Prendre un réel R, inférieur à sup(A) + sup(B), c'est la somme d'un réel inférieur à sup(A) et d'un réel inférieur à sup(B).

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Déduire qu'il existe des réel a et b dans A et B respectivement dont la somme est comprise entre R et sup(A) + sup(B).

exercice 17-I

1) Entre deux entiers il y a une différence qui vaut au moins 1. 2) Utiliser le 1). Revoir ce que veut dire "archimédien". 3) Distinguer selon le signe de x.

exercice 18-I

1) Utiliser la notion de noyau (exercice 13) 2) cf. exercice 13. 3) Le corps des réels est archimédien, ce qui peut s'exprimer en disant que certaines inéquations portant sur les entiers ont une solution : (celles de la forme n.a > b, avec a > 0.) Penser aussi que n2 ≥ n si n est entier naturel.

exercice 19-I

1) C'est un problème classique de résolution d'inéquations. Une fois les éléments de A encadrés pour presque tous les n, voir les cas particulier (qui sont en petit nombre) et calculer un majorant et un minorant. Penser à l'exploration graphique. Le "tableau de variation" est également un outil puissant pour traiter les problèmes de majoration ou minoration qui portent sur des fonctions dérivables. Un calcul approché peut également être utilisé.

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2) Penser que la fonction sin prend des valeurs entre –1 et 1. 3) Utiliser le calcul habituel du module en fonction de la partie réelle et de la partie imaginaire. Pour montrer qu'un majorant est la borne supérieure, il suffit de vérifier ( ) qu'il existe au moins un élément de l'ensemble entre ce majorant et un nombre plus petit. Pour choisir cet élément, on peut prendre un cas particulier facile à traiter (s'aider de la représentation de M).

exercice 20-I

1) Propriété de base de R. Raisonnement classique sur les bornes ( ). 2) Ce sont des exemples simples. Penser à des intervalles ouverts ou non. 3) Une bonne variété d'exemple doit vous suggérer les réponses. 4) Ici encore, faites des dessins, puis les raisonnements qu'ils vous suggèrent. Se rappeler ce qu'est un intervalle ( ). 5) La contraposée est peut-être plus facile à prouver. Attention à sa formulation (négation de "et").

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4-2 Méthodes ( ) Mode d'emploi de cette partie : vous trouverez d'abord une liste de méthodes de résolution des types de questions présentées dans ce volume ; par commodité, on a précisé ensuite à propos de chaque exercice où une méthode a été indiquée par ( ) le (ou les) numéro de la méthode concernée. S'agissant d'un discours sur les mathématiques, et non d'un discours mathématique, on trouvera naturel qu'il utilise les abus de langage usuels, les raccourcis allusifs, et de façon générale qu'il se rapproche d'un discours oral qui pourrait être tenu devant les étudiants. 1- Démontrer une inclusion : A ⊂ B. Raisonner plutôt sur les éléments. Prendre un élément quelconque a de A, et vérifier qu'il est bien dans B. Généralement évident lorsque les ensembles sont définis en extension. Sinon (cas le plus fréquent) A est caractérisé par une propriété P, B aussi, soit Q. Il faut démontrer que P ≠ Q. 2- Prouver qu'une application f est injective : les méthodes sont variées. utiliser directement la définition : supposer f(x) = f(y), montrer x = y. montrer que l'équation f(x) = b a au plus une solution. si f est un homomorphisme ( ) de groupes, calculer son noyau ( ). montrer que f est strictement monotone, en particulier s'il s'agit d'une fonction dérivable, prouver que la dérivée a un signe constant. le point précédent s'étend au cas où f est la restriction à un sousensemble de R (à N par exemple) d'une fonction dérivable.

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3- Prouver qu'une application f est surjective : les méthodes sont variées également. utiliser la définition : tout élément de l'ensemble arrivée a un antécédent au moins. montrer que quel que soit b, l'équation f(x) = b a au moins une solution. Par exemple parce que c'est une équation du second degré dont le discriminant est positif, parce que c'est une équation polynomiale de degré impair qui a donc toujours une solution… si f est une fonction dérivable d'une variable réelle, on peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (voir volume sur les fonctions d'une variable réelle). dans le cas d'ensembles finis, l'injectivité peut entraîner la surjectivité (compter les éléments). cette méthode s'étend en algèbre linéaire dans le cadre de la dimension finie (voir le volume sur les espaces vectoriels). 4- Utiliser max (ou min) : On doit toujours mettre en oeuvre les deux propriétés caractéristiques de max (ou min). C'est un élément de l'ensemble. C'est un majorant. Ne pas oublier que, lorsque max existe, max = sup. Les méthodes qui s'appliquent aux bornes supérieures et inférieures s'appliquent en particulier au plus grand ou au plus petit élément. 5- Utiliser sup (ou inf) : deux caractéristiques de sup. C'est un majorant, c'est le plus petit majorant. Pour calculer sup(A), on peut souvent commencer par déterminer les majorants de A, puis voir s'il existe un plus petit majorant. Ne pas négliger, lorsque la situation le permet, l'étude des variations d'une fonction dérivable d'une variable réelle. Conséquences pratiques : sup(A) est plus grand que tout élément de A. Dans beaucoup de situations, on connaît bien A, mais pas sup(A).

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On démontre des propriétés de sup(A) en "passant par" A. Si x < sup(A), ce n'est pas un majorant donc il existe un élément a de A vérifiant x < a ≤ sup(A). Pour montrer une égalité du type T ≥ sup(A), on montre que T est un majorant de A : pour tout a de A, T ≥ a. Pour montrer une inégalité du type S ≤ sup(A), on cherche un élément de A plus grand que S : il existe a dans A tel que S ≤ a (analogue pour inf). 6- Raisonner dans un ensemble totalement ordonné : on utilise souvent la séparation des cas. Étant donnés a et b, deux cas sont possibles, a ≤ b et b ≤ a, ou parfois, a ≤ b et b < a. Les parties finies ont un max et un min. Les applications monotones bijectives sont des isomorphismes (la réciproque est monotone). 7- Calculer dans un anneau : pour les calculs algébriques de base, il faut procéder comme on le ferait dans R, ou Z. Toutefois, prendre garde à quelques points : la multiplication n'est pas nécessairement commutative (on verra l'exemple du calcul matriciel). il peut exister des diviseurs de zéro ( ), ce qui rend plus délicates les simplifications (à voir également en calcul matriciel). il se peut qu'un multiple entier d'un élément non nul soit nul (voir les exemples du type Z/kZ). 8- Calculer modulo n, c'est-à-dire dans un anneau Z/nZ : on calcule comme dans Z, pour l'essentiel, en remplaçant toutefois les multiples de n par 0. L'usage est de noter de la même manière un entier p et sa classe d'équivalence, ce qui conduit à des écritures telles que 5 = –2 (modulo 7), en principe claires dans le contexte. Lorsque n n'est pas trop grand, beaucoup de problèmes simples s'étudient par énumération des différents cas.

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9- Raisonner dans un groupe ou un anneau ordonné : l'opération compatible avec la relation d'ordre permet de "transporter" une situation par translation (loi de groupe). Si x ≤ y, alors x + z ≤ y + z. En particulier ce qui se passe en relation avec 0 s'étend en dehors de 0. Par exemple, dire que tout élément est comparable à 0 équivaut à dire que l'ordre est total. Pour utiliser de manière analogue la seconde opération d'un anneau (loi ×), il faut prendre des précautions. Elle n'est compatible avec ≤ qu'en ce qui concerne les éléments supérieurs à 0. Pour calculer dans un groupe commutatif ordonné, on peut procéder comme dans les entiers relatifs, ou dans les rationnels, ou les réels.

Les méthodes dans les exercices : ex. 1 : 4, 5 ex. 4 : 4, 5, 6 ex. 8 : 4, 5 ex. 11 : 7 ex. 15 : 6, 9 ex. 20 : 5

ex. 2 : 4, 5, 6 ex. 6 : 6 ex. 9 : 7 ex. 13 : 7 ex. 16 : 5

ex. 3 : 6 ex. 7 : 6 ex. 10 : 8 ex. 14 : 9 ex. 19 : 5

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4-3 Lexique (

)

A Anneau : soit (E, T, ×) un ensemble muni de deux lois internes ( ). On dit que c'est un anneau si (E, T) est un groupe commutatif ( ), si × est distributive ( ) par rapport à T, enfin si × admet un élément neutre ( ). Antisymétrique (relation) : c'est une relation R qui a la propriété suivante. Pour tout x et tout y, x R y et y R x entraîne x = y. Application monotone : une application est monotone si elle est croissante, ou décroissante ( ). Archimédien : un groupe commutatif ordonné (G, +, ≤) est archimédien si pour tout élément a, a > 0 (0 = élément neutre), et tout élément b, de G, il existe un entier naturel non nul n tel que n.a > b.

B Bien ordonné : un ensemble ordonné ( ) est bien ordonné si toute partie non vide a un plus petit élément ( ). Borne supérieure (respectivement inférieure) : dans un ensemble ordonné (E, ≤), la borne supérieure (resp. inférieure) d'une partie A est le plus petit (resp. grand) élément de l'ensemble des majorants (resp. minorants) de A.

C Comparable : dans un ensemble ordonné (E, ≤) ( ), on dit que deux éléments x et y sont comparables si x ≤ y ou y ≤ x. Compatible : dans un ensemble E, une loi interne × et une relation R sont compatibles si l'implication suivante est vraie : si x R y et z R t, alors x × z R y × t.

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Conjecture : énoncé mathématique correctement écrit, dont on ne sait pas s'il est vrai ou faux. Contraposée : la contraposée de l'énoncé "si P alors Q" est l'énoncé : "si non(Q) alors non(P)". Corps : un anneau ( ) (A, +, ×) est un corps si × est commutative et si tout élément de A différent de l'élément neutre ( ) de + a un symétrique ( ) pour ×. Croissante (application) : soit (E, ≤) et (F, ≤) des ensembles ordonnés ( ). Une application f de E dans F est croissante si pour tout x et tout y de E, x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y).

D Décroissante (application) : soit (E, ≤) et (F, ≤) des ensembles ordonnés ( ). Une application f de E dans F est décroissante si pour tout x et tout y de E, x ≤ y
f(x) ≥ f(y). Diviseur de zéro : dans un anneau ( ) (A, +, ×), on désigne par 0 l'élément neutre ( ) de +. Un élément a est un diviseur de 0 s'il existe un élément b non égal à 0 tel que a × b = 0.

E Endomorphisme : pour un groupe, un anneau, un corps, E, un endomorphisme est un homomorphisme ( ) de E dans lui-même.

F Fractions équivalentes : ce sont deux fractions qui représentent le même p r et sont équivalentes si et seulement si rationnel. Les fractions q s ps = qr.

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H Homomorphisme d'anneau : si (A, +, ×) et (B, +, ×) sont des anneaux, un homomorphisme d'anneaux de A dans B est un homomorphisme de groupes ( ) de (A, +) dans (B, +) qui vérifie de plus : pour tout x et tout y de A f(x × y) = f(x) × f(y), f(1) = 1 (1 désigne l'élément neutre de × dans ces deux anneaux). Homomorphisme de corps : c'est un homomorphisme d'anneaux entre des corps ( ). Homomorphisme de groupes : si (G, ×) et (H, T) sont des groupes, un homomorphisme de G dans H est une application f de G dans H, qui vérifie pour tout x et tout y de G, f(x × y) = f(x) T f(y).

I Idempotent : dans un anneau, un élément idempotent est un élément égal à son carré. Injectif : une application est injective si deux éléments distincts ont des images différentes. Intègre : un anneau ( ) est intègre s'il ne possède pas de diviseur de zéro ( ) différent de 0. Intervalle : dans un ensemble ordonné (E, ≤) ( ), un intervalle est une partie I de E qui a la propriété suivante : si x et y sont des éléments de I, alors tout élément de E compris entre x et y est un élément de I. Inversible (élément) : dans un anneau ( ) (A, +, ×), un élément a est inversible s'il existe un élément b de A tel que a ∞ b = 1 (élément neutre ( ) de ×).

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M Majorant (respectivement : minorant) : dans un ensemble ordonné ( ), un majorant (resp. minorant) d'une partie est un élément plus grand (resp. plus petit) que tout élément de cette partie. Majorée (partie) (respectivement : minorée) : une partie d'un ensemble ordonné ( ) est majorée (resp. minorée) si elle admet un majorant (resp. minorant) ( ).

N Naturellement bien ordonné (NBO) : un ensemble ordonné (E, ≤) ( ) est Naturellement Bien Ordonné, s'il est bien ordonné ( ), et si tout élément, sauf min(E), a un prédécesseur. Nilpotent (élément) : dans un anneau ( ) (A, +, ×), un élément a est nilpotent s'il existe un entier naturel n tel que an = 0. Noyau : le noyau d'un homomorphisme de groupes ( ) est l'ensemble des éléments dont l'image est l'élément neutre.

O Ordonné (ensemble) : soit E un ensemble. Si ≤ est une relation d'ordre dans E, on dit que E, muni de ≤, est un ensemble ordonné. Ordre : une relation R dans un ensemble est une relation d'ordre si elle est réflexive ( ), antisymétrique ( ), et transitive ( ). Ordre d'un élément d'un groupe : dans un groupe (G, ×) un élément g est d'ordre fini s'il existe un naturel non nul n tel que gn = e (élément neutre du groupe). L'ordre de g est alors le plus petit entier ayant cette propriété. Ordre d'un groupe : nombre d'éléments de ce groupe.

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P Plus grand (respectivement : petit) élément : encore appelé maximum (resp. minimum). Dans un ensemble ordonné, le plus grand élément d'une partie A est un élément de A qui est un majorant (resp. minorant) de A : tout élément de A lui est comparable ( ), et il est supérieur ou égal à tous les éléments de A (resp. inférieur ou égal). Prédécesseur : dans un ensemble ordonné (E, ≤) ( ), un prédécesseur d'un élément a est un élément b tel que b ≤ a, b ≠ a, et il n'existe pas d'élément c vérifiant b < c < a.

R Réflexive : soit R une relation sur E. Elle est réflexive si pour tout x de E, x R x.

S Section finissante (respectivement : commençante) : dans un ensemble ordonné (E, ≤) ( ), soit a un élément. La section finissante (resp. commençante) fermée d'origine a est l'ensemble des éléments de E supérieurs (resp. inférieurs) ou égaux à a. La section finissante (resp. commençante) ouverte est l'ensemble des éléments strictement supérieurs (resp. inférieurs) à a. Segment : dans un ensemble ordonné (E, ≤) ( ), soient a et b des éléments, un segment d'extrémités a et b est formé des éléments de E compris entre a et b. Selon que l'on précise "compris au sens strict", ou strictement supérieurs à a et inférieurs ou égaux à b, etc. on obtient le segment ]a , b[ ouvert, ]a , b] ouvert à gauche, fermé à droite, etc. Stable : une partie A d'un groupe (G, ×) est stable si pour tout x et tout y de A, x × y est un élément de A.

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Successeur : dans un ensemble ordonné (E, ≤) ( ), un successeur d'un élément a est un élément b tel que b ≥ a, b ≠ a, et il n'existe pas d'élément c vérifiant b > c > a. Surjective : une application f : E → F est surjective si tout élément de F a un antécédent. Symétrique (relation) : une relation R sur un ensemble E est symétrique si pour tout x et tout y de E on a l'implication : x R y ⇒ y R x.

T Totalement ordonné : un ensemble ordonné ( ) est totalement ordonné si tous les éléments sont comparables ( ) deux à deux. On dit encore que l'ordre est total. Transitive (relation) : une relation R sur un ensemble E est transitive si pour tout x, tout y, tout z de E, on a l'implication : x R y et y R z ⇒ x R z. Trivial : le sous-groupe trivial d'un groupe est celui qui a pour seul élément l'élément neutre du groupe.