Dalle Mixte de Plancher

FEUILLE DE CALCUL

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SX009a-FR-EU

1

Titre

Exemple: Dalle mixte de plancher

Réf. Eurocode

EN 1994-1-1, EN 1993-1-3, EN 1992-1-1 & EN 1993-1-1

Réalisé par

Jonas Gozzi

Date

Mars 2005

Vérifié par

Bernt Johansson

Date

Avril 2005

Feuille

de

12

Exemple: Dalle mixte de plancher Cet exemple montre comment concevoir et calculer une dalle mixte de plancher pour qu'elle résiste aussi bien en phase de chantier qu'après le développement de l'action mixte en phase de service. On vérifie la dalle mixte à l'état limite ultime et à l'état limite de service. Dans de nombreux cas, il peut s’avérer avantageux de ne pas étayer la dalle en phase de chantier. Dans cet exemple, on aura cependant recours à des étais pour des raisons pédagogiques. On considère que la dalle est étayée, tel qu’illustré ci-dessous.

[mm]

E 1800

E 1800

1800

E 1800

1800

1800

Les étais utilisés pendant le coulage du béton sont considérés comme des supports temporaires en phase de chantier Données relatives à la tôle :

Les caractéristiques de la tôle choisie sont les suivantes : 2

Limite d'élasticité

fyp,k = 320 N/mm

Epaisseur

ts = 0,778 mm

Section d’acier efficace

Ap = 955 mm2/m

Moment d’inertie de l’âme en acier

Ip = 33,0 × 104 mm4/m

Résistance plastique à la flexion

Mpa,Rk = 5,29 kNm/m

Résistance à la flexion positive

M a,+Rk = 3,41 kNm/m

Résistance à la flexion négative

M a,−Rk = 2,86 kNm/m

Résistance de réaction d’appui

Rw,k = 34,0 kN/m

Résistance au cisaillement horizontal

τu,Rk = 0,306 N/mm2

Ces valeurs sont obtenues à partir de la documentati on technique du producteur

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Données relatives à la dalle :

Epaisseur de la dalle

ht = 120 mm

Epaisseur moyenne de la dalle

hred = 103,5 mm

Epaisseur de la dalle au-dessus des nervures de la tôle

hc = 75 mm

Epaisseur efficace

dp = 101 mm

Béton C25/30

fck = 25 N/mm2 Ecm = 31000 N/mm2

Géométrie de la tôle et de la dalle : [mm]

dp

ht

19

30

10 45

27

50o 60

150 900

Coefficients partiels de sécurité : •

γG = 1,35

(charges permanentes)

•

γQ = 1,5

(charges variables)

•

γM0 = 1,0

EN 1993-1-1

•

γM1 = 1,0

EN 1993-1-1

•

γC = 1,5

EN 1992-1-1

•

γVS = 1,25

EN 1994-1-1

Charges :

La dalle est conçue et calculée pour résister aussi bien en phase de chantier qu’après le développement de l’action mixte. En phase de chantier, la tôle en acier fait office de coffrage et doit supporter son poids propre, le poids du béton frais et les charges de construction. Après le développement de l’action mixte, la dalle doit supporter son poids propre, le poids des revêtements de sol et les charges d’exploitation. On considérera dans cet exemple les charges suivantes :

EN 1990

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Exemple: Dalle mixte de plancher

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En phase de chantier : Poids propre de la tôle

gp = 0,09 kN/m2

Poids propre du béton frais

gc = 2,6 kN/m2

Charge répartie de construction

q1 = 0,75 kN/m2

Charge ponctuelle de construction q2 = 1,5 kN/m2 Après le développement de l’action mixte : Poids propre de la dalle

g1 = 2,5 + 0,09 = 2,6 kN/m2

Revêtements de sol

g2 = 1,2 kN/m2

Charges d’exploitation (hôtel)

q = 5,0 kN/m2

Vérification de la tôle en tant que coffrage Il est nécessaire de vérifier la résistance de la tôle en phase de chantier aussi bien à l’état limite ultime qu’à l’état limite de service, conformément à l’EN 1993-1-3. Etat limite ultime :

Moment de flexion positif maximal :

+ M Ed = γ G ⋅ M g+ + γ Q ⋅ M q+

M g+ = M g+p + M g+c = 0, 078 ⋅ 0, 09 ⋅ 1, 82 + 0, 094 ⋅ 2, 6 ⋅ 1, 82 = 0,81 kNm/m M q+ = 0, 094 ⋅ 1, 5 ⋅ 1, 82 = 0,46 kNm/m + M Ed = 1, 35 ⋅ 0, 81 + 1, 5 ⋅ 0, 46 = 1,78 kNm/m

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Moment de flexion négatif maximal : q2

q1 gc gp

3000 − M Ed = γ G ⋅ M g− + γ Q ⋅ M q− = 1, 35 ⋅ 1, 01 + 1, 5 ⋅ 0, 55 = 2,18 kNm/m

FEd = γ G ⋅ FG + γ Q ⋅ Fq = 1,35 ⋅ 5,75 + 1,5 ⋅ 3,15 = 12,5 kN/m

M g− , M q− , Fg et Fq sont calculés par ordinateur. Vérification du calcul :

Moment de flexion positif + M Rd =

+ M Rk

γ M0

=

3,41 + = 3,41 kNm/m > M Ed =1,78 kNm/m OK 1,0

Moment de flexion négatif M

− Rd

=

− M Rk

γ M0

=

2,86 − = 2,86 kNm/m > M Ed = 2,18 kNm/m OK 1,0

Réaction d’appui

RRd =

RRk

γ M1

=

34,0 = 34,0 kN/m > FEd= 12,5 kN/m 1,0

OK

Interaction, moment et réaction d’appui EN 1993-1-3 §6.1.11 (6.28)

− M Ed F + Ed ≤ 1,25 M Rd Rw,Rd

2,18 12, 5 + = 1,13 < 1, 25 2, 86 34, 0 Tous les calculs sont vérifiés à l’état limite ultime.

OK

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Etat limite de service :

La flèche, δs, qui résulte du poids du béton frais et du poids propre de la tôle ne devrait pas excéder δs,max = L/180, sauf si une indication contraire est donnée dans l’Annexe Nationale.

δs =

EN 1994-1-1 §9.6 (2)

( 2, 65 ⋅ g p + 3, 4 ⋅ g c ) ⋅ L4 384 ⋅ EI p

Vérification de l'efficacité totale de la tôle. En d’autres termes, faut-il recalculer Ip du fait d'un voilement local éventuel ? Moment positif maximal à l’état limite de service :

M sls = 0, 078 ⋅ 0, 09 ⋅ 1, 82 + 0, 094 ⋅ 2, 6 ⋅ 1,82 = 0,81 kNm/m Contraintes de compression maximales dans la semelle supérieure :

M sls 0, 81 ⋅ 106 ⋅z = ⋅ ( 45 − 19) = 63,8 N/mm2 4 Ip 33, 0 ⋅ 10

σ com = λp = ε=

fy

σ cr 235

σ com

=

=

b/t

EN 1993-1-5 § 4.4

28, 4ε kσ 235 = 1,9 63, 8

pour ψ = 1, Table 4.1 donne la valeur kσ = 4

λp =

30 / 0, 778 28, 4 ⋅ 1, 9 4, 0

EN 1993-1-5 Table 4.1

= 0,36 Æ ρ = 1, 0

Puisque le coefficient de réduction ρ = 1, 0 , la semelle supérieure est parfaitement efficace et il n’est pas nécessaire de réduire sa section. En d’autres termes, la tôle est parfaitement efficace.

( 2, 65 ⋅ 0, 09 + 3, 4 ⋅ 2, 6) ⋅ 18004 δs = = 3,6 mm 384 ⋅ 210000 ⋅ 33, 0 ⋅ 104

δ s,max =

L 1800 =10 mm > 3,6 mm = δs = 180 180

OK

La flèche, δs, est inférieure au dixième de l’épaisseur de la dalle. Il n’est donc EN 1994-1-1 pas nécessaire de prendre en compte les effets de la formation de mares. De ce §9.3.2 (2) fait, la résistance à l’état limite de service est vérifiée. La tôle peut faire office de coffrage pendant la construction.

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Vérification de la dalle mixte : Etat limite ultime :

EN 1994-1-1 §9.4.2 (5)

Pour le calcul, on considèrera la dalle comme une série de tronçons simplement appuyés. q g1+g2

M Ed = M Ed =

[γ G ⋅ ( g1 + g 2 ) + γ Q ⋅ q] ⋅ L2 8 [1, 35 ⋅ ( 2, 6 + 1, 2) + 1, 5 ⋅ 5, 0] ⋅ 3, 62 = 20,5 kNm/m 8

Calcul de la résistance à la flexion : Si l’axe neutre est situé au-dessus de la tôle, la résistance en flexion positive devrait être calculée à partir d'une distribution de contraintes, telle qu’illustrée sur la figure ci-dessous. 0,85 fcd xpl

-

dp

z + fyp,d

= Axe neutre de la tôle profilée en acier

xpl =

Ap ⋅ f yp,d

0, 85 ⋅ b ⋅ f cd

f yp,d =

f cd =

χ pl =

f yp,k

γ M0 f ck

γC

=

=

320 = 320 N/mm2 1, 0

25 = 16,7 N/mm2 1, 5

955 ⋅ 320 = 21,6 mm 0,85 ⋅ 1000 ⋅ 16,7

Nc,f

Np

Mpl,Rd

EN 1994-1-1 Figure 9.5

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Pour une connexion complète :

(

M pl,Rd = Ap ⋅ f yd ⋅ d p − xpl / 2

)

M pl,Rd = 955 ⋅ 320 ⋅ (101 − 21, 6 / 2 ) ⋅ 10−3 = 27,5 kNm/m > 20,5 = MEd

Calcul du cisaillement longitudinal en connexion partielle : Portée de cisaillement requise pour une connexion complète N c = τ u,Rd ⋅ b ⋅ Lx ≤ N cf

La distance depuis l'appui le plus proche, Lx, requise pour développer une connexion complète est déterminée par la formule : Lx =

Ap ⋅ f yd N cf = b ⋅ τ u,Rd b ⋅ τ u,Rd

τ u,Rd = Lx =

τ u,Rk 0, 306 = = 0,245 N/mm2 1, 25 γ Vs

955 ⋅ 320 = 1247 mm 1000 ⋅ 0,245

Une connexion complète est donc effective à une distance de 1247 mm de l’appui Vérification du calcul à l'aide du diagramme simplifié d’interaction partielle : Quelle que soit la section transversale le long de la portée, il faut vérifier que le moment fléchissant de calcul, MEd, est toujours inférieur ou au maximum égal à la résistance en flexion de calcul, MRd. Sur la figure, x est la distance entre la section considérée et l’appui.

EN 1994-1-1 §9.7.3 (8)

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MRd, MEd

[kNm/m] 30

Mpl,Rd MRd 20

10

M Ed =

[γ G ⋅ ( g1 + g 2 ) + γ Q ⋅ q ] ⋅ x

2

Mpa

⋅ ( L − x)

x [m]

0 0

0.4

0.8

1.2

Lx

1.6

2

M Ed ≤ M Rd pour toutes les sections transversales

Cisaillement vertical : VEd = VEd =

[γ G ⋅ ( g1 + g 2 ) + γ Q ⋅ q ] ⋅ L

2 [1, 35 ⋅ ( 2, 6 + 1, 2) + 1, 5 ⋅ 5, 0] ⋅ 3, 6 = 22,7 kN/m 2

Calcul de la résistance au cisaillement vertical : Vv,Rd = ⎡⎣CRd,c ⋅ k ⋅ (100 ⋅ ρ I ⋅ f ck )1 / 3 + k1 ⋅ σ cp ⎤⎦ ⋅ bw ⋅ d p

EN 1992-1-1 §6.2.2

avec un minimum de Vv,Rd,min = ( vmin + k1 ⋅ σ cp ) ⋅ bw ⋅ d p

CRd,c = k = 1+

0,18

γC

=

0,18 = 0,12 1, 5

200 200 = 1+ = 2, 4 dp 101

Voir la remarque du §6.2.2 de l’EN 1992-11

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ρl =

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Asl ≤ 0,02 bw ⋅ d p

Asl correspond à la section des armatures tendues, en [mm²], c’est-àdire Asl = Ap bw = 400 mm/m, est la plus petite largeur, en [mm], de la section dans la zone tendue.

ρl =

955 = 0,024 > 0,02 Æ ρl = 0,02 400 ⋅101

N Ed = 0 , puisque NEd = 0, car il n’y a pas d’effort axial ou de Voir la Ac remarque du précontrainte. §6.2.2 de l’EN 1992-1k1 = 0,15 1 Vv,Rd = ⎡⎣0,12 ⋅ 2, 4 ⋅ (100 ⋅ 0, 02 ⋅ 25)1 / 3 + 0,15 ⋅ 0 ⎤⎦ ⋅ 400 ⋅ 101

σ cp =

Vv,Rd = 42,8 kN/m

Valeur minimale

vmin = 0, 035 ⋅ k 3 / 2 ⋅ f ck1/2 = 0, 035 ⋅ 2, 43 / 2 ⋅ 251 / 2 = 0,65 Vv,Rd,min = ( 0, 65 + 0,15 ⋅ 0) ⋅ 400 ⋅ 101 = 26,3 kN/m

Vv,Rd = 42,8 kN/m > 22,7 kNm/m = VEd

OK

Toutes les vérifications de résistance de la dalle mixte à l’état limite ultime sont satisfaisantes. Etat limite de service :

Fissuration du béton : Etant donné que la dalle est conçue comme étant simplement appuyée, seules EN 1994-1-1 des armatures anti-fissuration sont nécessaires. La section transversale des §9.8.1 (2) armatures situées au-dessus des nervures ne devrait pas être inférieure à 0,4 % de la section transversale du béton situé au-dessus des nervures. min As = 0, 004 ⋅ b ⋅ hc = 0, 004 ⋅ 1000 ⋅ 75 = 300 mm2/m Dans ce but, des armatures φ8 /160 mm devraient suffire.

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Flèche : Pour le calcul de la flèche de la dalle, on considère que cette dernière est continue. On fait les approximations suivantes : •

le moment d’inertie peut être pris comme étant égal à la moyenne des moments d’inertie de la section fissurée et de la section non fissurée.

•

Pour le béton, une valeur moyenne du coefficient d'équivalence, n, peut être utilisée aussi bien pour les effets à long qu’à court terme. Ep

n=

' cm

E

=

Ep E ⎞ 1 ⎛ ⋅ ⎜ Ecm + cm ⎟ 2 ⎝ 3 ⎠

=

210000 ≈ 10 2 ⋅ 31000 3

Moment d’inertie de la section fissurée I bc =

∑ Ai ⋅ zi

xc =

xc =

b ⋅ xc3 + Ap ⋅ ( d p − xc )2 + I p 3⋅ n

∑ Ai

=

⎞ n ⋅ Ap ⎛ 2 ⋅ b ⋅ dp ⋅⎜ 1+ − 1⎟ ⎟ b ⎜ n ⋅ Ap ⎝ ⎠

10 ⋅ 955 ⎛ 2 ⋅ 1000 ⋅ 101 ⎞ ⋅⎜ 1+ − 1⎟ = 35,4 mm ⎟ 1000 ⎜⎝ 10 ⋅ 955 ⎠

I bc =

1000 ⋅ 35, 43 + 955 ⋅ (101 − 35, 4)2 + 33, 0 ⋅ 104 = 5, 92 ⋅ 106 mm4/m 3 ⋅ 10

Moment d’inertie de la section non fissurée I bu

b ⋅ hc3 b ⋅ hc = + 12 ⋅ n n

Ap ⋅ ( d p − xu )2 + I p

b⋅ xu =

2

2 3 hp ⎞ hc ⎞ b0 ⋅ hp b0 ⋅ hp ⎛ ⎛ ⋅ ⎜ xu − ⎟ + + ⋅ ⎜ ht − xu − ⎟ + 2⎠ 12 ⋅ n n ⎝ 2⎠ ⎝

h ⎞ ⎛ hc2 + b0 ⋅ hp ⋅ ⎜ ht − p ⎟ + n ⋅ Ap ⋅ d p 2 2⎠ ⎝ b ⋅ hc + b0 ⋅ hp + n ⋅ Ap

EN1994-1-1 §9.8.2 (5)

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1000 ⋅ xu =

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752 45 ⎞ ⎛ + 650 ⋅ 45 ⋅ ⎜ 120 − ⎟ + 10 ⋅ 955 ⋅ 101 2 2 ⎠ ⎝ = 58,3 mm 1000 ⋅ 75 + 650 ⋅ 45 + 10 ⋅ 955 2

I bu

1000 ⋅ 753 1000 ⋅ 75 ⎛ 75 ⎞ 610 ⋅ 453 + = + ⋅ ⎜ 58, 3 − ⎟ + 12 ⋅ 10 10 2 ⎠ 12 ⋅ 10 ⎝ 2

610 ⋅ 45 ⎛ 45 ⎞ ⋅ ⎜120 − 58, 3 − ⎟ + 955 ⋅ (101 − 58, 3)2 + 10 2 ⎠ ⎝ 33, 0 ⋅ 104 = 13, 5 ⋅ 106 mm 4 /m Moyenne Ib des moments d’inertie de la section fissurée et de la section non fissurée

Ib =

I bc + I bu 5, 92 + 13, 5 = ⋅ 106 = 9, 7 ⋅ 106 mm 4 /m 2 2

Flèches EN1992-1-1 §7.4.1 (4)

La flèche totale ne devrait pas dépasser L/250 dans le cas de charge le plus défavorable. Poids des revêtements de sol :

δ c,g

2

0, 0068 ⋅ g 2 ⋅ L4 0, 0068 ⋅ 1, 2 ⋅ 36004 = = = 0,67 mm E ⋅ Ib 210000 ⋅ 9, 7 ⋅ 106

Charge d’exploitation, cas de charge le plus défavorable :

δ c,q

q

q

0, 0099 ⋅ψ 1 ⋅ q ⋅ L4 0, 0099 ⋅ 0, 7 ⋅ 5, 0 ⋅ 36004 = = = 2,86 mm E ⋅ Ib 210000 ⋅ 9, 7 ⋅ 106

Retrait des étais : G 1'

G 1'

G 1'

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G1′ = g1 ⋅

δ c,G ′ = 1

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L 3, 6 = 4,68 kN/m = 2, 6 ⋅ 2 2

0, 01146 ⋅ G1′ ⋅ L3 0, 01146 ⋅ 4680 ⋅ 36003 = = 1,23 mm E ⋅ Ib 210000 ⋅ 9, 7 ⋅ 106

Flèche totale :

δ c = δ c,G ′ + δ c,g + δ c,q = 1, 23 + 0, 67 + 2, 86 = 4,76 mm 1

2

δ c = 4,76 mm <

L 3600 = = 14,4 mm 250 250

OK

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Enregistrement de la qualité TITRE DE LA RESSOURCE

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Référence(s) DOCUMENT ORIGINAL Nom

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Créé par

Jonas Gozzi

SBI

10/03/2005

Contenu technique vérifié par

Bernt Johansson

SBI

08/04/2005

1. Royaume-Uni

G W Owens

SCI

7/7/05

2. France

A Bureau

CTICM

17/8/05

3. Suède

A Olsson

SBI

8/8/05

4. Allemagne

C Mueller

RWTH

10/8/05

5. Espagne

J Chica

Labein

12/8/05

G W Owens

SCI

06/7/06

Traduction réalisée et vérifiée par :

eTeams International Ltd.

26/02/06

Ressource traduite approuvée par :

CTICM

15/02/06

Contenu rédactionnel vérifié par Contenu technique approuvé par les partenaires STEEL :

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