Dalla Chiara s. Logica

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.", 26-27. 11 PLAT6N, Crati/o, 385 b y EI SO/isla, 263, a, b.

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del significado, tras la rigurosa version maternatica que Ie diera en nuestro siglo el logico polaco Alfred Tarski. Establecida una definicion Iogica adecuada para el con-

teoria moderna

cepto de verdad, en el marco de Ia argumentacion

cientlfica,

los filosofos griegos sometieron a un analisis muy fino deter-

rninadas caracteristicas de tal nocion. Por ejemplo, plantearon 10 que los rnodernos denominarian «problema de la validez»: l.cuantos son los posibles estados de verdad de una proposicion? De otra forma, l.una proposicion es siempre definida-

mente verdadera 0 definidamente falsa, 0 caben tal vez otros posibles casos alternativos? La cuestion se estudiaba en el De Interpretatione de Aristoteles. EI ejemplo, discutido por el Estagirita, considera el problema de los Ilamados «futuros

contingentes». l,Tiene sentido, se pregunta Aristoteles, afirmar que una proposicion del tipo «manana aqui se librara una

proposiciones

no sean ni definidamente

verdaderas ni defini-

damente falsas. Desde un punto de vista filologico resultaria InUY aventurado atribuir al propio Arist6teles Ia consciencia de una propuesta semejante; incluso si fuera solo porque, segun es sabido, Aristotelcs no tenia una teorfa de las conectivas y por ende no podia distinguir netamente el principio

del tercio excluso (a 0 no-a) de la afirmacion metateorica del principio de la bivalencia (a es verdadera 0 bien a es falsa). Otra importante contribucion semantica por parte de los griegos fue la propuesta, avanzada por la escuela estoica, de una teoria del significado en el que quedan claramente distinguidos los dos aspectos del mismo que los modernos denominarian extension e intension. Como se desprende del testimonio del propio Sexto Ernpirico=:

batalla naval» es verdadera 0 falsa? Este pasaje del De Interpretatione origino una celebre polcmica historicgrafica, incoada en los alios veinte por el logico polaco Jan Lukasiewicz. En opinion de Lukasiewicz, Aristoteles es el padre de las modernas lcgicas polivalentes, por cuanto parece sugerir la posibilidad de un tercer valor de

«los estoicos sostienen que son tres las cosas que van conexas: 10 que cs significado, Io que significa y, por ultimo, el objeto. Lo que significa cs un discurso, por ejemplo, «Dion»; 10 que es significado es aquello que viene expresado y que nosotros comprendemos con nuestro pensamiento, pero no los barbaros, por mas que cyen la misma paiabra. Por ultimo, el objeto es aqueUo que existe externamente, en este caso el mismo Di6n. De estos tres elementos, hay dos que son corporeos: el discurso y el objeto, en tanto que la cosa significada, es decir, ct ·AE:x't'6v· ... es i ncorporea».

«violentaba» la posicion del filosofo griego en nombre de la logica moderna. A otros, ese ejemplo les sirvio de punto de apoyo para poner en tela de juicio la legitimidad del uso de ins-

Obviamente, el objeto corresponde a lo que hoy llamamos extension en el sentido de referenda concreta de un complejo de signos; en tanto que el «AEX"t'OV» corresponde a la in ten-

caracter filologico, Actualmente la polemica ha perdido hierro,

Por 10 que se refiere a nuestra tercera clase de problemas,

verdad junto a verdadero y a falso. Algunos comentaristas de Aristoteles juzgaron que la interpretacion de Lukasiewicz

trumentos

logicos

reconociendose

formales

en el estudio

que Aristoteles

de cuestiones

por 10 menos planteo

de

el pro-

blema de la polivalencia. Dentro de ciertos limites, puede

sostenerse incluso que el texto aristotelico sugiere una «situacion logics» bastante interesante, objeto de estudio unicamente en nuestros dias en el ambito de las denominadas logicas non standard. A saber, una situacion en la que, mientras por un lado vige el principio del tercio excluso (a 0 no-a),

al mismo tiempo se admite la posibilidad de que determinadas 20

sion, es decir, al concepto

que el discurso expresa.

es bien sabido que los griegos descubrieron numerosas para-

dojas Iogicas. La mas significativa de las cuales, por las profundas e imprevisibles consecuencias

que tUYOen el desarrollo

de la historia de la Iogica, la denominada «paradoja del mentiroso»:

Ia persona que afirma «miento»

provoca

una con-

tradiccion al mentir si y solo si dice la verdad. Atribuida a 11 SEXTO EMPIRICO, Adversus

Mathematicos,

viii. 11. 12.

21

Eubulides de Mileto (perteneciente a Ja escuela megarica), la

I

paradoja en cuesti6n tuvo una historia harto curiosa; durante sigJos fue objeto de analisis y discusiones de todo genero. Sin embargo, al parecer, una solucion definitiva s610 se propondria en nuestro siglo a traves de la formalizacion de los lenguajes: mediante una rigurosa distincion entre los diversos niveles linguisticos (el lenguaje-objeto y el metalenguajey parece posible en primera instancia refutar por «mal construidas» (y por tanto como «inexistentesi en el ambito de los lenguajes

formales) las expresiones que impliquen ciertas form as de autorreferencia; estas formas son caracteristicas de la paradoja \ del mentiroso y otras analogas, No obstante, como se vera en los capitulos segundo y tercero, la evolucion de la logica demostrara de un modo imprevisible como, a determinado nivel muy fino de forrnalizacion, se reproducen inevitablemente form as fuertes de autorreferencia sumamente parecidas a la situacion logica manifestada por la antinomia del mentiroso. A diferencia del caso intuitivo, observaremos aqui que ya no se obtendran contraindicaciones puras y simples, sino informaciones

positivas

que poseeran

la forma de teore-

mas limitativos. F"_En 10 que concierne ala cuarta clase de problemas, limitemonos a recordar el caso tal vez mas significative, representado por el concepto de «infinite». Los griegos plantearon con

meridiana claridad una contraposicion

entre dos concepciones

opuestas de infinito, destin ada a desempefiar un papel-cJave en la problematica moderna en torno a los fundamentos de Ja matematica: se trata de la concepcion potencial y actual de infinito. Con sus famosas paradojas Zenon de Elea puso en evidencia las profundas dificultades de una concepcion actual de infinito, que entiende 10 infinito como un todo constituido por una multiplicidad de elementos ultimos distintos. Los argumentos de Zenon contra la pluralidad impugnan la posibilidad de que un ente geometrico, tal un segmento, se halle constituido por infinitos elementos ultimos. En efecto, supuesto que los elementos ultimos carecen de magnitud, el 22

scgmento en su integridad deberia resultar nulo; por contra, si los elementos tuvieran una magnitud no nula, el segmento en su integridad deberia resultar infinitamente grande. Los argnmentos contra el movimiento (por ejemplo, la «c1icotomia» y «Aquiles y la tortuga») originan una situacion l6gica que, con la perspectiva de la modern a filosofia de la matematica,

pudiera interpretarse asl:

si el infinito es actual, entonees el movimiento es imposible. En efecto (nos hallamos en el argumento de la dicotomia):

supongamos que queremos recorrer cierto segmento; antes de

haberlo recorrido todo, deberemos haber recorrido su mitad,

y, por consiguiente,

la mitad de la mitad, y as! en adelante.

Para llegar al final necesitariamos un tiempo infinitamente largo. La propuesta de una concepcion potencial del infinito, avanzada por Aristoteles como resolutiva frente a las paradojas de Zenon, puede entenderse como obtenida par contraposicion en el enunciado de arriba: el movimiento es posible, luego el infinito no es actual. La concepcion aristotelica de infinito, en el sentido de «indefinida posibilidad de dividir» constituira el fundamento del calculo infinitesimal moderno destinado, entre otras cosas, a representar el instrumento matematico de la cinematica clasica. En tal contexto teorico se hara posible no ya demostrar que Aquiles puede veneer a la tortuga, sino, tambien, calcular el instante exacto en que la supera, conocidas las velocidades respectivas de los dos concurrentes. Las dificultades sacadas a la luz por Zenon volveran a cscena cuando (segun veremos en el capitulo 4) en la segnnda rnitad del siglo XIX replantee Georg Cantor una concepcion actual del infinito matematico: se propondra entonces el problema de si las paradojas de Zenon se recomponen 0 no dentro de la teoria de conjuntos cantoriana. No habra mayor dificultad en reconoeer que, en el nuevo contexto, los argumentos contra el movimiento no originan contradicciones.

En 23

efecto, un principio caracteristico de la teoria de conjuntos explicita que un conjunto infinito (a diferencia de 10 que ocurre can los conjuntos finitos) puede ponerse siempre en correspondencia biunivoca con cualquiera de sus partes propias, En consecuencia, un intervalo de tiempo dado, entendido como infinidad actual de instantes, puede ponerse en correspondencia biunivoca 10 mismo con un segmento del recorrido, entendido como infinidad actual de puntos, como can una parte propia suya. De ahi que sea posible, inclusive en el mismo ambito de una concepcion actual del infinite, que en el intervalo de tiempo que dura por ejemplo un minuto, Aquiles recorra 10 metros, en tanto que en el mismo lapso Ia tortuga solo alcance medio metro. Mas critico aparece, por contra, el caso de los argumentos «de tipo metrico», contra la pluralidad. Se trata de justificar Ia compatibilidad entre las condiciones siguientes: I) un segmento esta constituido por una infinidad (actual) de puntos ; 2) todo intervalo degenerado (constituido por un solo punto) del segmento tiene longitud nula ; 3) la reunion (tal como se entiende en teoria general de conjuntos) de todos los interval os degenerados del segmenta coincide can el segmento; 4) el segmento cs un intervalo de longitud no nula. Si acordamos que una operacion de suma aritmetica se defina en el conjunto (infinite) de las longitudes (todas nulas) de los intervalos degenerados, obtendremos una contradiccion: efectivamente, nuestro segmento habria de tener a un tiempo longitud nula y no nula. Una po sible via de solucion viene representada por la hipotesis de que las sumas infinitas de este tipo sean simplemente indefinidas. Tratase, sin embargo, de una cuestion harte delicada que involucra a la moderna teoria maternatica de la medida y que, incluso en nuestros dias, no puede decirse que se halle definitivamente resuelta. 24

En cierto sentido resulta verdad que las paradojas constituyen todavia fuente de problemas".

2. L a I 6 g i cam

de Zenon

e die val

Caracteristica peculiar de la logica medieval es su prolunda dependencia de una estructura lingiiistica particular, la de la lengua latina, amen de la metaffsica y la teologia. Por cuya razon se Ia ha aproximado a una sintaxis y sernantica de un lenguaje natural determinado, el latin, mas que a una logica al uso en nuestros dias. En el ambito de este plantearniento fundamental, los medievales elaboraron, no obstante, Iinfsimos analisis logicos, cuyo interes escuetamente cientifico ha sido par largo tiempo infravalorado, y solo recientemente ha salido a luz gracias a la historiografia abierta a la cultura logicomatematica-s. Por 10 que se refiere a la problernatica de la inferencia, los medievales consiguieron armonizar las dos tradiciones aristotelica y megarico-estoica, reconstruyendo la logica proposicional que se presupone en la teoria del silogismo. El resultado global es una forma de logica que comprende una parte substancial de la moderna logica sentencial y la logica de los predicados monadicos". Junto a un analisis veritativo-funcional de las conectivas (que vim os se encontraba ya en la kigica megarico-estoica), 13 Para una dlscusion de las paradojas de Zenon a la Iuz de la ciencia modema vease A. GRUENBAUM, Modern Science and Zeno's Paradoxes, Middletown, Connecticut. 1967. II De los filosofos medievales que S0 significaron dcsde un punta de vista 16gico hay que recordar: Pedro Abelardo (1079-1142); Guillermo de Shyreswood (1200/1210-1266/1271); Ramon Llull (1235-1315); Juan Duns Scoto (1266-1308); c\ an6nimo autor de In Universam Logicam Quaestiones, quien, habiendo sido confundido en un principia con Duns Scoto, se Ie llam6 peslcriormente «Pseudo Scoto»: Guillermo de Ockham (1295-1349). 1~ Algunas leyes logico-proposicionales serlan mAs tarde redescubiertas ell eI siglc XIX, asociandoselas hoy a autores modernos: tal es el ejemplo de las famosas leyes denominadas «de Morgan», conocidas ya por el Pseudo Scoto'fyTOckham.

25

los medievales plantearon tambien una teorla elaborada de la cuantiflcacion.

Esta teorfa se presenta, en perfecta coherencia

con el planteamiento medieval, como un estudio del comportamiento logico de determinados pronombres latinos (omnis, quidam, nemo, etc.). En el marco de ese lenguaje se describen algunas leyes fundamentales relativas a los cuantificadores: por ejemplo, las relaciones de interdefinibilidad entre el cuantificador existencial y el cuantificador universal ( ..., TeorT(x/Y)]' Razonando sobre las caracT teristicas de esta f6rmula y, se demuestra que si y fuera un teorema del sistema T entonces T seria incoherente. Por 10 dernas, intuitivamente incluso, ella resulta justificable: y afirma la propia indemostrabilidad; si acaso fuera demostrable se originaria

representa la version en T de la afirrnacion «si T es coherente, entonees y es indemostrable», afirmaci6n que, como se

vio, es demostrable, de la metateoria de T. Y si la metateoria ha sido «traducidas de modo natural en la teoria, tal demostraci6n metate6rica resulta reproducible en la misma teoria. En conclusi6n, los resultados que hemos descrito pueden

resumirse en los enunciados de los tres teoremas siguientes, que reciben en la Iiteratura 16gica las denominaciones respectivas de teorema de Tarski, primer teorema de Giidel y segundo teorema de Godel.

con toda una contradicci6n.

Resulta que no s610 y sino tambien su negacion ..., y es indemostrable. Por consiguiente, y es sintacticamente indecible en T y el sistema T es, por ende, incompleto. En realidad, para demostrar que _, y no es un teorema de T, es necesario emplear una hipotesis mas fuerte que la mera coherencia de T. Se trata de una hip6tesis de _w-col1!.c_ rencia: T es w-coherente cuando es incapaz de demostrar que: 3, . .. gozan de una propiedad determinada y que al \ propio tiempo existe un numero natural que goza de la negaci6n de dicha propiedad. A la hip6tesis de w-coherencia se puede renunciar (como demostr6 Rosser en 1936) con perdida, sin embargo, de algunos requisitos importantes que, desde un punto de vista intuitivo, contemplan la «naturalidad» de la traduccion de la metateoria en la teoria-objeto. Adoptan do una teoria «innaturab (0 como tambien se dice «no can6nica») puede construirse una proposicion que afirma de modo «no natural» la propia indemostrabilidad y que resulta indecidible bajo la mera hip6tesis de la coherencia de T. Dado el caso que se adopte una traducci6n «natural», la proposici6n y resulta particularmente interesante por su contenido, por cuanto afirma no s610 la pro pia indemostrabilidad, sino tambien la coherencia del sistema. Con otras palabras, la equivalencia entre y y Coher- es un teorema de T (f- Y +-> CoherT)' En efecto, la implicaci6n y -> Coher.; es una T ejemplificacion, expresada en T, del principio de Duns Scoto (si una proposici6n es indemostrable, el sistema es entonces coherente). La implicaci6n inversa Coher.; -+ y, por contra,

Teorema

Tarski

Un sistema suficientemente potente y coherente no puede expresar una f6rmula flex) para la que valga: 'T a T es realizable; a es verdadera en T => a es demostrable en T). Las dos implicaciones inversas (T es realizable => T es coherente; a es demostrable en T => a es verdadera en T) son, por contra, probables en forma bastante trivial. La implicaci6n de izquierda a de-

1) por la riqueza contiene nombres en correspondencia con toda su afirmaci6n existencial ; 2) por la completud su concepto de demostrabilidad goza del principio del tercio excluso, y, como tal, puede «representar» a tad os los efectos un concepto de verdad. Construyamos entonces la realizaci6n canonica C de T' usando los mismos ingredientes linguisticos que T'.

,., I {~\

90

recha (de lode II) se denomina tambien teorema de adecuacion (adeguatezza) 0 de completud semantica de la 16gjca-elemental, por cuanto afirma justamente la adecuaci6n del sistema de reglas de deduccion clasicas, que son capaces de demostrar todas las verdades en cualquier teoria. Este teorema fue demostrado por vez primera por Godel en 1930. La implicaci6n inversa se llama tam bien teorema de correccion 0 de validez de la 16gica elemental, por cuanto afirma justamente la correccion de las reglas de deduccion, que permiten demostrar s610 verda des en una teo ria. \: La formulaci6n J) del teorema de adecuaci6n puede demostrarse construyendo para una teoria cualquiera coherente T un modelo suyo de particular interes que recibe tambien el nombre de modelo canonico de T. A tal fin se aprovechan los dos teoremas sintacticos sobre extensiones ricas y completas, que hemos enunciado en el capitulo anterior. Si T es coherente, utilizando los teoremas de Henkin-Hasenjaeger y de Lindenbaum se puede demostrar que existe una extension T' de T que es coherente, rica y compieta. Resu1ta pues que las cornponentes puramente sintacticas de T' son suficientes para determinar de modo natural un modelo. En efecto T' goza de dos caracteristicas importantes:

a) como universo de C tomemos el conjunto de las constantes individuales de T'; b) los significados que asociamos en C a las constantes individuales son las mismas constantes individuales: v(a,) = a,

91

(en otros terrninos, toda constante llega a desernpefiar el doble papel de nombre del lenguaje y objeto del universo). Los signifi.cados que asignamos en C a los predicados, son relaciones que se comportan exactamente como postula la parte deductiva de T'. A saber: v(P~,) subsiste entre los objetos an, ... , a.. si y solo si Ia proposicion P;/an ... Gin es un teorema de T'. Sacandole partido a las propiedades de coherencia, riqueza y completud de T' se demuestra facilmente que la realizacion canonica C es un modelo de T'. Y, por tanto, a fortiori, al ser T' una extension de T, es un modele tarnbien de T. EI teorema de adecuacion, l,es caracteristico de Ia logica (elemental) clasica 0 bien puede extenderse tarnbien al caso de las logicas fundamentales mas debiles (intuicionista y minimal)? En el proximo capitulo veremos como resulta factibJe elaborar una descripcion sernantica adecuada para las lcgicas intuicionista y minimal, respecto a las cualcs el teorema fundamental resulta extensible. No obstante, sera caracteristica de esta descripcion semantica el realizarse en el ambito de la logica clasica, es decir, para el logico que procure «pensar» intuicionfsticamente (0 minimalmente) no solo en la teoriaobjeto, sino tam bien en la metateoria, tales demostraciones, en consecuencia, careceran de significado. EI teorema fundamental de la logica clasica tiene consecuencias muy importantes. La primera que hemos de recordar , 1 aqui viene representada por el llamado teorema de compacidad I (0 finitud sernantica) segun el cual una teoria es realizable si y solo si toda su subteoria can sistema de axiomas finito es realizable (0 de forma equivalente: una proposicion es conse. cuencia logica de cierto conjunto de hipotesis si y solo si es 1 consecuencia logica de un subconjunto fin ito suyo). En efecto, por definicion, los conceptos sintacticos poseen determinadas propiedades de finitud: una teoria incoherente debe contener una subteoria con numero finite de axiomas que es ya incoherente, por cuanto la demostracion de una contradiccion puede comprometer s610 un numero finito de axiomas; por igual 92

razon, una proposici6n es demostrable a partir de un conjunto dado de hipotesis, solo cuando ya es demostrable a partir de un subconjunto suyo finito. Ahora bien, el haber \ reducido, mediante el teorema fundamental, los conceptos semanticos a los conceptos sintacticos correspondientes, permite transferir esta propiedad de finitud al propio ejemplo semantico (en donde nunca pareciera de suyo natural poseer tales propiedades). La demostraci6n del teorema de adecuacion, escuetamente descrito mas arriba, nos posibilita tambien una informacion ulterior muy importante, referente a la cardinalidad (es decir, al mimero de los elementos) del modelo canonico. Puesto que toda teorla contiene siempre un numero finito de teoremas existenciales y, por ende, toda teoria rica contiene un numero infinito de constantes individualcs, nuestro modelo canonico debe con tener, por construccion, un numero infinito numerable de elementos. Pudiera suceder, sin embargo, que dos constantes individuales at y a, sean linguisticamente distintas y que, no obstante, la teoria T' demuestre su igualdad (situaciones de este tipo se verifican tam bien en los lenguajes no formales cuando se disponga de dos nombres para un mismo objeto y se hagan, por ejempio, afirrnaciones como la siguiente: «la estrclla de la manana es igual a la estrella de la tarde»), En cuyo caso tendriamos: 1)

IT'

a, ~ a, y pOI' tanto

1= a, ~ a,; c

pero: 2) y(a,) ,;, ,'(a,), es decir, a, ,;, a,. Contrariamente a la primcra impresion que puede someter a prueba at no experto, no se trata de una paradoja: la relacion que es el significado del predicado de identidad no es aqui Ia «vcrdadera identidad», sino sola mente una relacion «suficienternente semejante», que satisfaga las dos reglas logi93

cas sobre la identidad. Con otras palabras, aunque no del to do identicas, at Y a, son empero mutuamente substituibles salva veritate, y ella basta para ponernos a salvo de situaciones paradojicas, No obstante, se demuestra que siempre es posible con traer (contrarre) el modele canonico, de forma que se eviten las repeticiones inutiles: los elementos para los que resulta verdad que son iguales, se hacen asi realmente identicos. Por supuesto, esta contracci6n puede tener, en determinados casas, el efecto de rebajar la cardinalidad de la realizacion canonica y transformarla en una realizaci6n fin ita. Los razonamientos esgrimidos, unidos al teorema de correccion (que afirma que toda teoria realizable es coherente) justifican en este momento el siguiente teorema: Teorema

II

de

Lbwenheim-Skolem

Una teoria realizable admite siempre un modele que es finito 0 infinito numerable. En otros terminos, sus elementos no son «mas» que los numeros naturales. Historicamente, el teorema de Li:iwenheim-Skolem se demostro algunos afios antes del teorema de adecuacion, mediante el empleo de nociones semanticas informales. E1 primer nucleo del teorema serfa demostrado por Lowenheim en 1915, generalizandolo mas tarde el noruego Skolem. Sobre esta base se habla hoy de un teo rem a de Li:iwenheim-Skolem «hacia arriba» (una teoria realizable por 10 menos en una cardinalidad transfinita es realizable en toda cardinalidad transfinita. mayor); y de un teorema de Li:iwenheim-Skolem «bacia abajoi (una teoria realizable por 10 menos en una cardinalidad transfinita es realizable en toda cardinalidad transfinita menor)", Los teoremas de Lowenheirn-Skolem admiten asimisma intercsantes gencralizaciones del caso de lenguajes con alfabetos infinitos mas que numerables. 2

94

\,.'

Desde un pun to de vista intuitivo, los teoremas de Lowen- \ heim-Skolem demuestran como Jas teorias elementales, que adrniten por 10 menos un modele infinito, no consiguen caracterizar la cardinalidad de su universo, es deeir, el numero de cosas de que .hablan, Naturalmente, esto es particularmente grave en el easo de teorias que hablan de nurneros, por ejemplo, en el caso de muchas teorias maternaticas, Resulta pues una eonseeuencia de los teoremas de Lowenheim-Skolem Ia inevitable no categoricidad de toda teoria realizable en el transfinito. La no categoricidad representa para una teo ria un «fracaso descriptivo», En efecto, una teorla es categorica cuando describe solo model as isomorfos entre si, es decir, identicos desde el punto de vista estructural (modelos isomorfos pueden diferenciarse al maximo por los individuos contenidos en sus respectivos universos, perc Ia estructura de las realizaciones deben ser iguales). En la tabla 6 se da la I definicion rigurosa de isomorfismo. Ahora bien, las teorias matematicas tienen en muchos)! casos un modelo intuitivo privilegiado, que representa el uni- j verso de las cosas que el maternatico intenta real mente des-I cribir, cuando acomete la axiomatizacion de Ia teoria. Por ejemplo, en el caso de la aritmetica formal P, el modelo intuitivo contendra los numeros 0, 1,2,3,4, . ,. (que concebimos intuitivamente) y ninguno atro. Los resultados de no categoricidad, a que hemos hecho referencia recientemente, vienen ahora a confirmar la inevitable existencia de model os de P, los cuales contienen tambien «otras cosas» que de ningun modo "podemos representarnos como «verdadcros numeros». Modelos de este tipo son los llamados patologicos 0 tarnbien model os no estdndar de la aritmetica (en tanto que el modelo intuitivo se reconoce por estandari'. En primera instancia, la existencia de modelos patolcgicos representa una ruina para la formalizacion : los sistemas for3 Puede demostrarse que Ia aritmetica formal es no categories ya en la cardinalidad numerable. Con otras paiabras, P admite modelos numerubles que no son isomorfos can el modelo intuitive.

95

males «no aciertan» a describir fielmente 10 que intuitivarnente quisierarnos que hicieran. Sin embargo, este tipo de fracaso aparente se ve transformado pronto en un analisis positive que ha conducido a informaciones muy interesantes. En la decada de los sesenta, Abraham Robinson elaboro una idea que se revelo de suma fecundidad: la de aprovechar positivamente ciertos model os patol6gicos de la teo ria de los mimeros reales, tratando como numeros «infinitesimos» los elementos no estandar de los modelos en cuestion, Como es sabido, la nocion intuitiva de «cantidad infinitesima» conocio un gran desarrollo decisivo en la obra de los fundadores del calculo infinitesimal, particularmente en los trabajos de Leibniz. Pero mas tarde habria de ser desechada de la sisternatizacion rigurosa de la misma teo ria (ocurrida en el siglo XIX): los infinitesimos no tuvieron una existencia maternatica parecida a la de los numeros verdaderos; era solo una «rayon de parler» imprecisa. La leo ria constituida por Robinson y lIamada, por obvios motivos, analisis no estdndar devolvi6 1a legitirnidad 16gica a esa antigua idea de los fundadores del analisis, idea que se halla profundamente enraizada en el pensamiento matematico intuitivo. Tengase presente que el anal isis no est dndar no representa una teo ria alternativa respecto al analisis clasico, pues no permite demostrar teoremas nuevos que no resuitan ya demostrables en el analisis clasico, Sus ventajas son, sobre todo, de tres tipos: a) notable simplificacion en la demostracion demostrados can medios clasicos ;

de teoremas ya

b) posibilidad de demostrar, en una situacion conceptual intuitivamente mas simple, teo rem as que en ellenguaje clasico resultarIan diffcilmente concebibles; c) mayor adecuaci6n respecto al usa que el cientffico empi rico bace de los conceptos analfticos, en las aplicaciones.

Desde un punto de vista filosofico, puede sorprender la circunstancia por la que solo un desarrollo logico y formal extremadamente refinado baya consentido la recuperacion de una dimension intuitiva profundamente enraizada en el pensamiento matematico y en el uso que, de la maternatica, hace el cientifico empirico,

2.4. El problema de la autoiundamentacion de las teorias En el capitulo 1 se via como las teorias suficientemente potentes y coberentes no pueden expresar un razonable predicado de verdad y, por tanto, no pueden expresar de forma completa su metateoria. En este capitulo bemos desarrollado la semantica para cualquier tipo de teoria elemental. iCon que instrumentos conceptuales? Resulta facilmente comprensible que los instrumentos empleados pertenecen todos a una teoria matematica particular: 1a teoria de conjuntos. iQue es la teoria de conjuntos? Se trata de una teoria que, a pesar de su relativa sencillez y naturalidad, desde un punto de vista intuitive, es, al mismo tiempo, y segun se vera en el capitulo 4, extremadamente potente desde un punto de vista " matematico. Con cierta simplificacion podriamos decir que, ) intuitivamente, la teorfa de conjuntos representa 1a «teoria : C extensional de los conceptos». Normalmente, una teoria comun no pretende tratar sus universales como objetos propios: por ejemplo, la aritmetica no pretende tratar el concepto de «numero primo» como un objeto propio, es decir, como un numero natural particular. Caracteristica de la teoria de conjuntos es, por contra, la aspiracion a transformar posiblemente todo su universal en un objeto propio-, Esta aspiraci6n se encuentra i sintetizada en dos principios que son el fundamento de la teoria creada por Georg Cantor a partir de 1872: el principio de comprension y el principio de extensionalidad.

I

I

1

~ Para un desarrollo

96

de esta idea, vcasc CASARI, 1969.

97 7.

Dalla Chiara.

hipotesis, segun la eual todo concepto es representable como

J) Principia de comprension

Todo concepto puede representarse como un objeto que este en relacion con todos y solo con todos los objetos que disfruten de tal concepto. La relacion subsistente entre un objeto que representa un concepto y los objetos que gozan de tal concepto es la copula, que indicamos por@ II) Principio de extensionalidad

Los conceptos-objeto estan completamente determinados por los objetos que gozan de ellos. Mientras el principio J) representa la afirmacion de la posibilidad de «objetivar» siempre los conceptos, el principia II) afirma el caracter

extensional

de los conceptos,

es

decir, el hecho de que un concepto esta determinado por los individuos que gozan de ella. Podemos expresar en un lenguaje elemental los dos principios de comprension y de extensionalidad de la forma siguiente: J)

II)

3YVy[xEy

a

!_ambien cardinalidad del numerable e indicado con letra hebrea subindicada ~o). Con otras palabras: ~ seria el siguiente inmediato transfinito de ~o. Este es el contenido de la celebre «hipotesis del continuo» .9.ue Cantor intento en vano dernostrar.

En 1938, Godel demostro la coherencia relativa de la hipotesis cantoriana del continuo respecto a las teorias axiomaticas usuales de los eonjuntos (por ejemplo, la teoria de Zermelo-Fraenkel): si ZF, con la suma de la hipotesis del

continuo

fuera incoherente,

entonees

seria incoherente

la

misma ZF. Por supuesto, ello 110 significa haber demostrado la hipotesis del continuo. Nuestra hipotesis se hace demostrable, sin embargo, cuando se afiada a ZF un nuevo axioma (llamado por Godel axioma de constructibilidady, que afirma que todo eonjunto es construible, es decir, definible linguisticamente mediante una definicion en la que se haga referencia

I

solo a eonjuntos eonstituidos anterionnente en la jerarquia de , los tipos ideada por Russell, Intuitivamente, podemos ilustrar la situacion de la forma siguiente. Segun una idea avanzada por primera vez por Russell, el universo natural de la teoria de conjuntos es una jerarquia estratifieada en tipos (0 inveles), que podemos

visualizar como un cono invertido y sin base:

,,

,,

,

I

I

primer nivel contiene todos los posibles subconjuntos del conjunto vacio, el segundo todos los subconjuntos del primer nivel, y asi tantas veces cuantos sean los rnimeros

un nuevo nivel CUYDS elementos son todos los conjuntos cons-I . tituidos anteriormente, y por tanto se vuelve a empezar por

ese proceso?

I

130

cuantos

sean los

mimeros

naturales \

niveles siguientes, ni mucho menos a toda la jerarquia

COID-

pleta!). La idea godeliana de constructibilidad representa un desarrollo conjuntista-abstracto de los principios filosoficos que orientaron un importante sector del constructivismo maternatico moderno:

el sector predicativista,

avanzado por vez pri-

mera por Henri Poincare. Como se recordo en la «Introduccion», para los predicativistas solo tienen existencia matematica definicion predicativa;

a saber, una definicion en la que no se

haga referencia a la totalidad de los entes a que el ente sujeto de definicion perteneee (ejemplo de definicion no predicativa es el siguiente «el numero real menor cuyo cuadrado sea mayor 0 igual a 2», que hace referencia a la totalidad de los numeros reales, totalidad a la que pertenece el ente que quiere definirse (es decir, el numero V2, pertenece).

EI vertice del eono representa el conjunto vacio. Los dis-

; tintos planos representan los distintos niveles de jerarquia:

Tantas

(finitos y transfinitos) cuya existencia se demuestra en la teorfa de conjuntos. Ahora, ~l axioma de constructibilidad afirma ..... que to do conjunto de esta jerarquia puede describirse mediante-una definicion en la que se haga referencia unicamente a niveles de la jerarquia constituidos anteriormente (jnunca a

aquellos entes abstractos que sean definibles mediante una

I

el

I

el principio constituyendo en el nivel siguiente todos los subconjuntos del nivel precedente. i,Cuimtas veces hay que iterar,

En realidad,

'I

naturales.

Una vez agotados todos los numeros naturales, se constituye

reconocer

existencia

maternatica,

a todo el

cono de los conjuntos construibles, es mucho mas de lo que los predicativistas tradicionales estarian dispuestos a conceder. Nada asegura efectivamente que aquellos mimeros transfinitos que se han usado esencialmente

en la construccion

de nuestro

131

cono sean, a su vez, definibles predicativamente. Supongamos, no obstante, que se quiere «liberalizar» un famoso juicio del matematico constructivista Leopold Kronecker, que decia: «Dios cre6 los mimeros naturales y 10 dernas lo hicieron los hombres», e imaginemos un Padre eterno que nos haya dado no s610 los numeros finitos, sino tambien todos los numeros transfinitos. En tal caso, todo el cono de los conjuntos construibles serian «obra del hombre» y, como tal, aceptable tambien por un matematico constructivista. Desde un punto de vista filosofico se trataria de una forma de «constructivismo debil», que pasaria a depender de una hip6tesis extraordinaria (y no justificable segun los principios del constructivismo tradicional) de existencia de los numeros transfinitos. Mientras Godel demostraria que dicha forma de construetivismo debil permitiria resolver el problema cantoriano del continuo (sin tener que afirmar la validez), Cohen demostraria como fuera posible falsificar no s610 esta forma de constructivismo (descrita por el axioma de constructibilidad) sino tambien la misma hip6tesis cantoriana del continuo. De : consuno, los dos resultados de Godel y Cohen vendrian consiguientemente a afirmar la indecidibilidad de la hip6tesis del continuo en las teorias elementales de conjuntos; es decir, la I incapacidad de estas teorias de resolver el problema «icuantos son los numeros reales ?». EI resultado de Cohen puede obtenerse a traves de la construcci6n de un modelo para ZF, muy parecido al cono de los construibles, en el que no obstante se insertan en un momento determinado conjuntos de tipo especial, los llamados conjuntos genericos. La inmisi6n de estos conjuntos en el cono de los construibles tiene un efecto un tanto perturbador: no se llega a poder contar el continuo como se hacia antes (10 que permite falsificar la hip6tesis del continuo); al mismo tiempo, 103 conjuntos genericos no resultan definibles mediante una definicion predicativa (10 que permite falsificar el axioma de constructibilidad). Intuitivamente, las caracteristicas de un conjunto generico pueden describirse del siguiente modo: se trata de un conjunto infi-

'I

132

nito, tal que la verdad 0 falsedad de toda proposici6n que lo contemple depende siempre s610 de un conocimiento finito de su composici6n. Por ejemplo, el conjunto de todos los mimeros naturales (l1amado tambien w) no es un conjunto generico : hay que conocer toda la composici6n de w para poder decidir la verdad de muchas proposiciones sobre os, En el caso de un conjunto generico, por contra, para toda proposicion a existe una informacion finita que constriiie a a o ...,a a ser verdadera. Justamente por no ser nunca relevante el conocimiento completo de su composici6n para decidir cuales sean las propiedades de que disfrutan, los conjuntos genericos resultan poseer s6lo la propiedad de que gozan casi todos los conjuntos. Lo que explica el origen de su nombre. La idea que subyace en el concepto de conjunto generico es de origen intuicionista. A los matematicos intuicionistas se debe, efectivamente, el desarrollo sistematico de una teoria de las «totalidades ill fieri», contrapuesta a las teorias de las «totalidades en acto», que constituia el fundamento del en- . foque cantoriano. La contraposicion nacia de la espinosa cuesti6n relativa al caracter actual 0 potencial del infinito matematico: asi como para Cantor y para los 16gicos el CODcepto de infinito actual es una idea necesaria, que no solo legitima, para fundamentar 16gicamente el cuerpo de la matematica clasica ; para los intuicionistas se trata s610 de una incorrecta extrapolaci6n del mundo del fin ito, carente de un sentido maternatico preciso. Usando la idea de «totalidad in ! fieri» (frente a «totalidad en acto») y al mismo tiempo la 16gica intuicionista (antes que la 16gica clasica), los intuicionistas crearon una teoria de los numeros reales alternativa i . respecto a la clasica: el analisis clasico y el analisis intuicionista resultan no com parables desde el punto de vista de la !\c inclusi6n teoretica, en el sentido de que ninguna de los dos es subsistema del otro. EI concepto fundamental del analisis intuicionista es de la sucesi6n de mimeros naturales tal que toda propiedad de

.1

133

la sucesion depend a exclusivamente de un segmento inicial finito de la sucesi6n (sucesiones de este tipo reciben el nombre de «Selecciones libres»). Salta inmediatamente a la vista que existe una clara conexi6n entre esta idea intuicionista de «sucesion de selecciones libres» y el concepto de Cohen de conjunto generico. La conexi6n se hace mas honda cuando se refleja sobre la siguiente circunstancia: el metoda del forcing que entra en la definicion de «conjunto genericoi implica la misma relaci6n de afirmaci6n (0 cons/ricci6n) de la que se hizo uso cuando se describi6 la semantica kripkiana para la 16gica intuicionista. Las razones profundas por las que se verifican conexiones como las mencionadas permanecen todavia en la obscuridad. Desde un punto de vista historico, se tiene la impresi6n de haber asistido a una significativa «vendetta» de Brouwer frente al sistema de Cantor. Todavia en 1925, el logicista Ramsey hablaba de los intuicionistas como de una «amenaza bolchevique». A posteriori, hoy se tendria que afirmar que, en el fondo, Ramsey tenia razon: aunque, por supuesto, nunca se hubiera imaginado el que justamente desde el intuicionismo llegarla un instrumento tan «revolucionario» como el forcing, capaz de ofrecer, en el terreno clasico, una solucion relativa a un gran problema irresoluto de Cantor. Sobre el empleo de semanticas polivalentes se fundamenta un metoda alternativo al forcing, el cual permite construir modelos para la teoria de conjuntos, modelos capaces de falsear el axioma de constructibilidad y la hip6tesis del continuo. De este tipo fueron los propuestos por vez primera por ei norteamericano Dana Scott y recibieron el nombre usual de «modelos de Boole de la teoria de conjuntos». Elforcing y la aplicaci6n de metodos polivalentes representaron el ingreso en la teoria clasica de conjuntos de una suerte de «conocimiento aproximado», que le era esencialmente extrafio. Y resulta significativo que este tipo de aproximaci6n pueda ser indiferentemente interpretado como expresi6n de un punto de vista intuicionista (con el forcing) 0 probabilistico (con los modelos de Boole). Intuitivamente, en ambos casos

l

134

se trata de una situacion kigica en que es necesario transformar un tipo de conocirniento incierto en un tipo de conocimiento cierto. Como se ha visto, en el caso del forcing se las ha de haber con determinados conjuntos (los conjuntos genericos) en relacion a los cuales se tiene siempre una informacion finita y limitada (si bien extensible indefinidamente). En virtud de esa situacion, no obstante, toda proposicion sobre estos conjuntos esta constreiiida a ser verdadera 0 falsa por una de estas informaciones. Es como si, sin conocerlo todo, [pretendieramos decidirlo todo! En el caso de los model os booIeanos, par contra, sucede que, en un momenta dado de la construccion, se llega a contraer en un unico valor de verdad cierto todo un sistema de valores de probabilidad. [Cual si pretendieramos conocer con certeza 10 que en realidad co nocernos solo aproximativamente! Esta aplicaci6n a gran escala de metodos no clasicos sobre el terreno clasico i,tiene un significado desde un punto de vista fundacional? 1.0 bien se trata s610 de una mera cuesti6n de selecci6n de medios tecnicos ? En el fondo, la teoria de conjuntos se encuentra en una situaci6n extrafia: desde el exterior, sigue representando (segun el espfritu de la 6ptica cantoriana) la teoria de la totalidad en acto (0, si se quiere, la teoria de los conceptos objetivos), caracterizada por dos componentes: I) objetividad de los conceptos, en el sentido de independencia de nuestro conocimiento (en virtud del principio de extensionalidad, las totalidades estan determinadas por sus elementos); 2) determinismo, que procede del recurso a la 16gica clasica: no se admiten situaciones de pertenencia incierta 0 difusa. Aparentemente, todo contexto de tipo indeterminista, intensional 0 conceptualista, deberia resultar incompatible con los principios-base de la teoria de conjuntos. Sucede justamente~ lo contrario: no s6lo la teoria de conjuntos hace uso de principios antagonistas para la construcci6n de sus propios mo135

-}

delos, sino que, adernas, se revela con capacidad de funda// men tar en su interior esos mismos principios antagonicos. Piensese, por ejemplo, en la teoria «semiextensional» de la intension, 0 en Ia descripcion kripkiana de la logica intuicionista, 0 en la fundamentacion conjuntista de las logicas polivalentes 0 de la misma teoria de las probabilidades. i,Significa todo ella unicamente maxima generalidad y grandisimo poder fundacional de la teo ria de conjuntos? Es una conclusion po sible. No obstante, sabemos que los «juegos no se han hecho» para la teo ria de conjuntos; por incapacidad \ de la teoria para resolver algunos de sus problemas fundaI mentales (por ejemplo, el del continuo) hoy los conjuntistas manifiestan no saber todavia con exactitud «en que consiste un conjunto». Con toda probabilidad este revoltillo de conceptos y metod os, antipodas en apariencia, depende tambien de la situacion de incertidumbre general que respira la teoria. Sin duda, el status de las investigaciones fundacionales de estos ultimos quince afios da la impresi6n de una especie de fecunda confusi6n. Esta situacion recuerda, en ciertos aspectos, la del Analisis en 1700: gran libertad en la aplicacion de metodos aun cuando no se hayan apoderado totalmente estes ni se conozcan exhaustivamente. El trueque increible de metodos e instrumentos conceptuales entre enfoques fundacionales distintos, a los que estamos asistiendo hoy, significa obviamente el final de toda forma de «ideologismo», Si no algo mas: la imposibilidad de describir las distintas vias fundacionales como el desarrollo coherente y sistematico de un unico punto de vista general. En otros terrninos, una com pIejidad mayor de las tcorias respecto a los puntos de partida filosoficos. En el fondo, la filosofia de la matematica de comienzos '\del siglo xx se debatio prevalentemente en torno a un unico gran tema: la version moderna del viejo problema de los \ universales. Se encontraban en liza, fundamentalmente, tres concepciones antagonistas: una concepcion descriptiva de Ia rnatematica (a la que se adscribian los logicistas y la ma-

yoria de los conjuntistas) segun la cualla actividad matematica describe un tipo de realidad que, des de un pun to de vista puramente logico, no es muy distinto de la realidad de la que " se ocupan las ciencias empiricas. Una concepcion constitutiva de la matematica (elaboradas por las distintas form as de constructivismo: intuicionista, predicativista, etc.) segun Ia cual la actividad matematica crea los entes y las estructuras de que ( trata. Y, por ultimo, una concepci6nJormalista, segun Ia cual ! la actividad matemaii;;-~ puede identificarse con la elaboracion de un conjunto de sistemas formales. Esta triparticion filoso fica rigida parece hoy, segun vimos, superada en muchos casas por investigaciones concretas sobre los fundamentos de la matematica, Todo ello no significa necesariamente decadencia 0 regreso de la filosofia de la matematica a una condici6n de mera «prehistoria» respecto a los resultados tecnicos. Como sucede tambien con otras ciencias, se tiene hoy Ia impresion de cierta discrepancia entre las categorias filosoficas de que se hace usa y las cuestiones concretas que surgen en el interior de las investigaciones fundacionales. Con toda probabilidad, el problema estriba en encontrar nuevas y mas adecuadas categorlas generales en que poder encuadrar los nuevos resut't:ados.

II

t

136

137

,..--.

5. LOGICA Y CIENCIAS EMPIRICAS

5.1.

Semdntica de las teorias empiricas

EI analisis logico (sintactico y semantico) que se estudio en los capitulos 1-3 no se apliea necesariamente a una clase

privilegiada de teorias; segun se via en repetidas ocasiones tal analisis interesa, por 10 menos en linea de principia, a todo discurso racional con la condicion de que sea suficientemente sistematico y riguroso. Sin embargo, y en muchas circunstancias, se apunto la sospecha de que este tipo de tratamientd tuviera el maximo significado en el caso de teorias abstractas, matematicas sabre todo; mientras, inexorable y paulatinamente va perdiendo interes, aunque no correccion,

a medida que se aleja del caso de las ciencias abstractas.

Para las mismas teorias ffsicas, cuya estructura formal es muy proxima a la de las teorias maternaticas, se ha planteado varias veces el valor y la utili dad del mismo metodo axiomatico, Para algunos antares, axiomatizar una teorfa fisica es una actividad cuando menos imitil (un puro ejercicio

formal); para otros, se trata, adem as, de una peligrosa defor-

maci6n de los caracteres peculiares de las teorias en juego. Algunos sectores, por contra, sostuvieron la unicidad del

tipo de analisis lcgico en el estudio de las teorias cientificas (aunque no neeesariamente la unicidad de fa logics): y en particular, la oportunidad de aplicar los metodos de la teoria 139

de modelos incluso extramuros del estrecho marco de las teorias matematicas, En especial, es a Patrick Suppes, a Joseph Sneed y a Marian Przelecki a quienes debemos un desarrollo sistematico de una sernantica de las teorias flsicas, en el cuadro conceptual de Ia teoria abstracta de modelos. Discutiremos brevemente este tipo de perspectiva. Como sabemos ya, en el ambito de la teoria de modelos (en virtud del teorema fundamental de la logica) una teoria esta determinada por la familia de las realizaciones (0 estructuras) que son sus modelos. Axiomatizar una teoria equivale, pues, a determinar una clase particular de estructuras. Mas tam bien una teoria fisica pueda describirse oportunamente de este modo, mediante una familia particular de estructuras. Pero l,que es una estructura fisica? l,En que difiere de una estructura matematica ? La propuesta avanzada estriba en COTIcebir una estructura fisica como un particular enriquecimiento estructural de una estructura maternatica estandar. En general ella tendra entonces la siguiente forma: ..., ..., a 6) ..., ..., ..., a

(doble negacion -> ..., a

9) a V (3 10) a

-+ (

a -e- ..., (3)

-rt

-r-t

(ley de contraposicion del «tollendo tollens»)

(3)

(primera gan)

1\ ..., (3)

-+ ..., ( ..., a

TABLA

(ley de Brouwer)

7) (a -+ (3) -+ ( ...,(3 -+ ..., a)

8) a 1\ (3 -+ ..., ( ...,a V

debil) debil

ley debil de De Mor-

debil de Duns Scoto)

II) vxa -e- 3xa 12) vxa-+..., 13) 3xa

3x ..., a

-+ ..., 'Ix

14) 3yvxa(X,

Y)

VX3ya(x, y)

15) a _,_ (

-t-t

a

->

(3)

-+

(a

(ley fuerte -+

f3)

de Duns

Scoto)

(ley debil de Filon de Megara)

Leyes clasicas 17) a

V ..., a

18) a+-->..., 19) (a

H

f3)

(ley de la doble negacion fuerte)

...,

a V f3

(ley fuerte de Filon de Megara)

20) (..., a -e- f3) --+ ( _,f3 __,. a) 21) a 1\ f3

1) es una variable 0 una constante individual; 2) tiene la forma fi(t" ... , tn) donde f; es un simbolo funcional de n argumentos y 11, ... , tn son terrninos.

(ley del tercio excluso) ..., a

(ley de contraposicion fuerte del «tollendo ponens»)

0

a V ..., (3)

(primera ley fuerte de De Morgan)

22) a V (3 e-e- ..., ( ..., a 1\ ..., (3)

(segunda ley fuerte de De Morgan)

H

..., ( ...,

23) [(a ___,_ (3) --+ a 1 -+ a 24) vxa ..., 3x""

a

25) 3xa ..., 3x ..., a 156

CON S[MBOLOS FUNCIONALES

donde el Indice superior 0 exponente indica el numero de argumentos de la funci6n, en tanto que el subfndice 0 Indice inferior permiten distinguir simbolos funcionales distintos y que posean el mismo numero de argumentos. Un termino de un lenguaje (con simbolos funcionales) es una palabra que posee una de las formas siguientes:

Leyes intuicionistas 16) ..., a V f3

ELEMENTALES

fLf~,...,fi,f~,...,f~,f~, ...

...,a

-+

LENGUAJES

Una funcion de n argumentos es una operacion que a todo n-pla ordenado de individuos, pertenecientes a un conjunto dado (el dominio sobre el que se halla definida la funcion), asocia como valor uno y s610 un individuo. Son ejemplos de funcion de un argumento: «padre natural de», «raiz cuadrada positiva de». Son ejemplos de funcion de dos argumentos: «distancia entre ... y ...», «sum a de ... y ... », etc. Un lenguaje elemental con simbolos para funciones contiene un determinado numero de letras:

0

(segunda ley debil de De Morgan)

(principio

4.

TABLA

\

(ley de Peirce)

, '-...____ ~

,

/

5.

SISTEMA

FORMAL

(ELEMENTAL)

DE LA ARTTMETlCA

EI lenguaje de este sistema formal que indicaremos con P (inicial de Peano) contiene las siguientes constantes descriptivas: 'Iuna constante individual a1 que llamamos «cero». Un simbolo funcional de un argumento Ii que llamamos «suceson 0 «siguiente». Dos simbolos funcionales de dos argumentos fi y f~ que llamamos, respectivamente, «suma» y «producto», Por

I

157

2) La representaci6n cp «conserva Ia estructura». Es decir, para cada constante individual a., cp(v(a,)) ~ v'(a,). Asimismo, para cada predicado P;', la relacion v(P;) subsiste entre los elementos UiI' ... , u.; de U si y solo si la relacion V'(P;I) subsiste entre los elementos cp(u,,), ... , cp(u