curve in math

CIRCUNFERENCIA

2

2

  y  a

Coord .car  ca r .

 x

Coord . po  p o l .

r   a

2

ELIPSE

Coord . cart .

 x 2  y 2 2



2

1

a b Coord . pol .  x  a cos 

 y  b sen

ASTROIDE

Coord . cart .  x 2 / 3   y 2 / 3



a2 / 3

Coord . par .  x  a cos3 t   y  a sen3t 

CARDIOIDE

Coord . cart .

( x 2   y 2

Coord . pol   po l .

r   2a (1  cos )

 2ax)

2



4a 2 ( x 2

  y

2

)

CICLOIDE

Coord . par .

 x a (t   sent ) 



 y a (1 cos t ) 



CONCOIDE DE NICOMEDES

2

2

Coord . cart .

( x  b) ( x

  y

Coord . pol .

r   a  b sec 

2

2 2

)  a  x

0

CARACOL DE PASCAL

Coord . pol .

r  a cos   b

FOLIUM DE DESCARTES

Coord . pol .

r  

Coord . cart .

 x

3

3 sen cos   sen3  cos3  3

  y  3axy

TRIFOLIUM

Coord . pol .

r  a cos 3

RODONACEA

Coord . polares   a sen(b)

TRICUSPIDE

Coord . cart . ( x 2



 y 2



12ax  9a 2 ) 2  4a(3 x  3a)3

TRIDENTE DE NEWTON

Coord . cart .

 xy  ax

3



bx

2



cx  d 

LEMNISCATA DE BERNOULLI

Coord . cart .

( x 2

Coord . pol .

r 2  a 2 cos(2)

  y

2 2

)

a

2

( x 2

  y

2

)

CUARTICA PERIFORME

Coord . cart .

b 2 y 2



 x3 (a   x)

ESPIRAL DE ARQUIMEDES

Coord . polares

r  a 

ESPIRAL LOGARITMICA

Coord . polares

r  a eb

  r     ln  b  a  1

CLOTOIDE O ESPIRAL DE CORNU

t 

Coord . cart .

   2   x   cos t   dt   2   0

Coord . pol .

 s r  a 2

t 

   2   y   sen  t   dt   2   0

Espiral de Arquímedes (Espiral uniforme ) (287-212 AC) -225 AC

r   a 

ESPIRALES EN LA NATURALEZA

ESPIRITROMPA DE MARIPOSAS

Espiral Logarítmica o Equiangular

b

r  ae 

1 b

ln( r  / a)

u  arctan(1 / b)

Curvas derivadas de una curva plana •

1- Evoluta y Evoluta exterior

•

2- Podaria

•

3- Radial

•

4- Cáustica

•

5- Inversa

•

6- Envoltura

Evoluta y Evoluta exterior de la Espiral Logarítmica

Podaria de la Espiral Logaritmica

Radial de la Espiral Logaritmica

Curvas derivadas de la Espiral Logarítmica •

La Espiral Logarítmica es la única curva para la cual su evoluta, su involuta, su podaria, su radial, …. etc, son también espirales logarítmicas. La curva se mantiene invariable frente a todas estas transformaciones.

Espiral Logarítmica o Equiangular René Descartes (1596-1650) –  1638

Espiral Logarítmica o Equiangular Jakob (Jacques) Bernoulli (1654  –   1705) –  Spira Mirabilis  –  (Espiral Maravillosa)

 Eadem Mutata Resurgo (Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo)

ESPIRALES EN LA NATURALEZA

ESPIRALES EN LA NATURALEZA

Espirales (y Fibonacci) en la Naturaleza

Espirales (y Fibonacci) en la Naturaleza

Espirales (y Fibonacci) en la naturaleza

Fósiles de Ammonites

Fósiles de Ammonites

NAUTILUS • Molusco marino cefalópodo “cabeza con pies”, único con caparazón externa y 4 branquias. • 450 millones de años - Océanos Pacífico e Indico (Australia y Filipinas)

OTROS CEFALÓPODOS

NAUTILUS • 16-30 cm diametro. – Hasta 20 años –  60-90 tentáculos • 1 vuelta = 16-18 cámaras –  Adulto hasta 30 cámaras

• Cámaras aumentan tamaño siempre en la misma proporción (autosemejanza)

N A U T I L U S – Generación del caparazón • Rotar círculos curvatura y desplazar centros –  Perpendiculares al plano de la curva

NAUTILUS Madurez: 5 –  10 años

Hembras ponen huevos 1 vez al año y tardan 1 año en eclosionar

N A U T I L U S - Morfología

NAUTILUS

N A U T I L U S - Sección transversal

Espiral Logaritmica del Nautilus

NAUTILUS – Sección transversal

NAUTILUS

NAUTILUS

NAUTILUS

NAUTILUS • Acuario de Berlín- Foto de J. Baecker

Fotografia “Nautilus” • Fotógrafo Edward Weston (1886-1958) –  1927 • Subastada en U$S 1.082.500 (2010) por la firma Sotheby’s  –  NewYork (9º más cara de la historia)

CASA NAUTILUS • Arq. Javier Senosiain (Bioarquitectura) –  DF México 2006-

CASA NAUTILUS

CASA NAUTILUS

CASA NAUTILUS

CASA NAUTILUS

CASA NAUTILUS

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