Curvas y superficies de nivel

Curvas y superficies de nivel Oscar Del Moral April 10, 2011

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Objetivos did´ acticos 1. Definir curvas y superficies de nivel 2. Encontrar un mapa de contornos para funciones de varias variables

2 2.1

Curvas y superficies de nivel Curvas de nivel

Definici´ on 1. Una curva de nivel es un campo escalar en el que se asigna el punto (x, y) el escalar z = f (x, y). Los mapas de contornos suelen utilizarse para representar regiones de la superficie terrestre, con las curvas de nivel correspondiendo a lineas de alturas constantes sobre el nivel del mar. Los mapas de este tipo se llaman mapas topogr´ aficos. p Ejemplo 1. Dada la funci´ on f (x, y) = 64 − x2 − y 2 , dibujar un mapa de contorno para esta superficie utilizando curvas de nivel correspondientes a c = 0, 1, 2, . . . , 8. Soluci´ on. Para cada valor de c, la ecuaci´on f (x, y) = c representa un circulo o un punto. As´ı para c1 = 0 la curva de nivel x2 + y 2 = 64

circunferencia de radio 8

es una circunferencia de radio 8. La figura de abajo muestra las nueves curvas de nivel para este hemisferio.

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2.2

Superficies de nivel

Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se a˜ nade una dimensi´ on. De all´ı la siguiente definici´on Definici´ on 2. Si f es una funci´ on de tres variables y c es una constante, la gr´ afica de la ecuaci´ on f (x, y, z) = c es una superficie de nivel de la funci´ on f Ejemplo 2. Describir las superficies de nivel de la funci´ on f (x, y, z) = 4x2 + y 2 + z 2 Soluci´ on. Cada superficie de nivel tiene una ecuaci´on de la forma 4x2 + y 2 + z 2 = c Ecuaci´on de una superficie de nivel Por lo tanto, las superficies de nivel son elipsoides (cuyas secciones paralelas al plano yz son circunferencias). Al crecer c, los radios de las secciones circulares crecen con la ra´ız cuadrada de c. As´ı, las superficies de nivel correspondientes a c = 0, c = 4 y c = 16 son 4x2 + y 2 + z 2 = 0 2

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Superficie de nivel para c = 0 (un punto)

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x y z + + = 1 Superficie de nivel para c = 4 (elipsoide) 1 4 4 y2 z2 x2 + + = 1 Superficie de nivel para c = 16 (elipsoide) 4 16 16

Nota. Si la funci´ on del ejemplo representa la temperatura en el punto (x, y, z), las superficies de nivel de la figura anterior se llaman isotermas. 

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