Curvas Tonelaje - Ley

Ayudantía n°3: Curvas Tonelaje/Ley Cristóbal Cisternas Gaete Omar Riquelme Peña

Definiciones • Curva tonelaje ley: Es la relación gráfica que existe entre un nivel de reservas, recursos, material, etc. (T), asociado a una ley característica y la ley límite correspondiente.

• a) b) c)

Ley limite: Éstas pueden ser… Ley de corte: paga la extracción más un cierto beneficio adicional. Ley marginal: (equilibrio) Img = Cmg, también llamada ley critica. Ley de corte condicional: Existe bajo condiciones técnico-económicas específicas para un determinado sector del depósito.

•

Ley media: Ley media ponderada para cierto tonelaje (T) con leyes superiores a una ley mínima (ley limite).

Economía Minera

23 0, 78 0 37 54 0, 400 3 51 8 0 5 0, 162 64 8 0, 6 78 31 0, 247 7 91 1 1, 862 3 05 5 4 5 1, 779 19 8 1, 0 32 93 1, 708 4 46 8 1, 324 3 59 2 1, 93 6 73 96 1, 555 8 87 1 17 1 05 3

0,

Fino Acum (t)

3500000 3000000 2500000 2000000 1500000 1000000 500000 0 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

Ley de corte (%)

Economía Minera Ley media (%)

Definiciones Ejemplos

Fino - Mineral

Ley de Corte

Ley media

Metodología • Para generar las curvas tonelaje-ley, se requiere de los siguientes datos de entrada: • Leyes ( ya sea de Cu, Au, etc.) • Tonelaje de bloques (ya sea de forma directa o indirecta) ▫ Directa. ▫ Indirectamente: Cuando se proporcionan las cotas del modelo de bloques y la densidad por bloque, entonces: Ton. = Volumen* Densidad

Economía Minera

Metodología

Media

0,45

• Primer paso

Error típico Mediana

0,28

• Generar la estadística descriptiva (1 variable) de las leyes.

Moda

0,23

Desviación estándar

0,37

Varianza de la muestra

• Confeccionar un histograma, para lo cuál se requiere determinar el tamaño de los intervalos. Para este caso se utiliza el criterio de Sturges

Max  Min 1  3,32 * log( n)

0,142

Curtosis

1,82

Coeficiente de asimetría

1,68

Rango

1,84

Mínimo

0,10

Máximo

1,94

Suma

Economía Minera

0,0048

2718,29

Cuenta

6000

Sturges

0,13

• Segundo paso • Una vez realizado los cálculos, se debe utilizar el histograma (función de excel) para determinar el numero de datos por intervalo. ai

mc

bi

Clase

Frecuencia

% Acum

%

0

0,11892713

0,23785426

0,23785426

1784

29,7333333

29,7333333

0,23785426

0,30593138

0,37400851

0,37400851

2349

68,8833333

39,15

0,37400851

0,44208564

0,51016277

0,51016277

401

75,5666667

6,68333333

0,51016277

0,57823989

0,64631702

0,64631702

169

78,3833333

2,81666667

0,64631702

0,71439415

0,78247128

0,78247128

175

81,3

2,91666667

0,78247128

0,8505484

0,91862553

0,91862553

242

85,3333333

4,03333333

0,91862553

0,98670266

1,05477979

1,05477979

224

89,0666667

3,73333333

1,05477979

1,12285691

1,19093404

1,19093404

182

92,1

3,03333333

1,19093404

1,25901117

1,3270883

1,3270883

164

94,8333333

2,73333333

1,3270883

1,39516542

1,46324255

1,46324255

134

97,0666667

2,23333333

1,46324255

1,53131968

1,59939681

1,59939681

89

98,55

1,48333333

1,59939681

1,66747393

1,73555106

1,73555106

63

99,6

1,05

1,73555106

1,80362819

1,87170532

1,87170532

18

99,9

0,3

1,87170532

1,93978244

2,00785957

2,00785957

6

100

0,1

Se calculan antes de utilizar la función histograma.

Datos de salida histograma.

Economía Minera

Metodología • Donde ai: Min del intervalo bi: ai + Sturges mc: marca de clase, valor medio del intervalo, es decir (ai + bi)/2 • El histograma requiere mc y los datos a analizar, en este caso las leyes.

• Tercer paso • Con el histograma confeccionado se puede determinar el tonelaje que existe por intervalo, es decir nº de bloques*tonbloque • Además se debe determinar el fino • Fino bloque = tonbloque*mc (representa la ley media del bloque). • Fino intervalo = Fino bloque*nº de bloques Economía Minera

Metodología • Junto con todos estos cálculos, se deben determinar los tonelajes y finos acumulados.

• Con estos datos es posible determinar el tonelaje y fino acumulado por sobre una determinada ley.

Fino Acum

Ton Acum

Tonelaje Acum sobre ley

278404,219

278404,219

260107200

874800000

942989,983

1221394,2

602591400

614692800

232622,014

1454016,22

661057200

272208600

128231,519

1582247,74

685697400

213742800

18211,3764

1600459,11

711212400

189102600

270093,687

1870552,8

746496000

163587600

290024,275

2160577,07

779155200

128304000

268161,137

2428738,21

805690800

95644800

270940,211

2699678,42

829602000

69109200

245318,633

2944997,06

849139200

45198000

178836,394

3123833,45

862115400

25660800

137847,736

3261681,18

871300800

12684600

42600,9764

3304282,16

873925200

3499200

15272,2951

3319554,46

874800000

874800

Fino

Economía Minera

Metodología • Estos 2 conceptos son muy importantes, ya que en base ellos se fabrican las curvas tonelaje-ley • Estos parámetros indican el tonelaje que existe por sobre la ley de corte, por lo tanto, su determinación se fundamenta en el hecho de que si se tiene la ley de corte mínima (considerada por nosotros), entonces se tiene el 100% de los bloques, es decir, el tonelaje total del modelo de bloques. • Cada vez que sube la ley de corte, se debe restar el tonelaje que está bajo esa ley. • Una vez determinadas estas cantidades, es posible obtener la ley media: Ley media = (fino acum sobre la ley )/(ton acum sobre la ley) Ley de corte = ai

Economía Minera

Ton acum sobre ley 18064,92986 985,6791687 243,6637295 115,3748037 60,34619171 33,16539243 19,12105307 11,70979219 7,151866748 4,446756527 2,61246946 1,667533698 1,167273588 0,852295001 0,537316414 0,389091196 0,222337826 0,16675337 0,092640761 0,055584457 0,037056304

Fino acum sobre ley 3723,801883 701,2657604 307,31959 193,8023405 125,6329698 82,34099273 55,00110752 37,95056745 25,8512419 17,71288797 11,545183 8,033427532 5,997199574 4,603645819 3,098607763 2,337891359 1,423064306 1,098448254 0,639395253 0,396752952 0,268873901

Ley media 0,21 0,52 1,26 1,68 2,08 2,48 2,88 3,24 3,61 3,98 4,42 4,82 5,14 5,40 5,77 6,01 6,40 6,59 6,90 7,14 7,26

Ley de corte 0,00 0,38 0,77 1,15 1,54 1,92 2,31 2,69 3,08 3,46 3,85 4,23 4,62 5,00 5,39 5,77 6,16 6,54 6,92 7,31 7,69

• Cuarto paso • Graficar ley media vs tonelaje y ley de corte vs tonelaje. Economía Minera

Aplicación

Base de datos

Economía Minera

Aplicación

Base de datos

1.- Datos 2.- Análisis de datos 3.- Estadística descriptiva

Economía Minera

Aplicación

Base de datos

1.- Datos 2.- Análisis de datos 3.- Estadística descriptiva

Economía Minera

Aplicación

Max  Min Base de datos 1  3,32 * log( n)

Max  Min 1.- Datos 14 2.- Análisis de datos 3.- Estadística descriptiva

Economía Minera

Aplicación

Max  Min Base de datos 1  3,32 * log( n)

Max  Min 1.- Datos 14 2.- Análisis de datos 3.- Estadística descriptiva

Economía Minera

Aplicación

fi *100 Porcentaje  n Economía Minera

Aplicación

fi *100 Porcentaje acum. Porcentaje  descendente n

Economía Minera

Aplicación

Ley media ponderada

Economía Minera

Ley de corte = min.

Aplicación

Ley media ponderada

Tonelaje  fi *Vol .bloque * bloqueLey de corte = min. Economía Minera

Aplicación

Ley media ponderada Tonelaje  fiTonelaje *Vol .acum.

Ley de corte = min. *  bloque bloque

Economía Minera

Aplicación

Economía Minera

Aplicación

Economía Minera

Aplicación

Tonelaje (kt)

Curva tonelaje-ley 500.000 450.000 400.000 350.000 300.000 250.000 200.000 150.000 100.000 50.000 0

1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00

0,00

0,50

1,00

1,50

Ley de corte (%) Economía Minera

2,00

Tonelaje Ley media