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Problemas de curvas parametrizadas

Problema 1 Encontrar todos los valores de t para los cuales la curva α(t) = (2t3 − 3t2 , t − 2 arctan(t)) : (i) Tiene tangente horizontal. (ii) Tiene tangente vertical. (iii) No es regular.

Solución:

Ã

!

t2 − 1 El vector tangente a la curva α(t) = (x(t), y(t)) es α (t) = (x (t), y (t)) = 6t(t − 1), 2 , t +1 y 0 (t) cuya pendiente es m(t) = 0 . x (t) 0

0

0

(i) Para que la tangente sea horizontal, ésta tiene que existir, es decir, α0 (t) 6= ~0 y además y 0 (t) = 0. Por tanto, t = 0. (ii) Para que la tangente sea vertical, ésta tiene que existir, es decir, α0 (t) 6= ~0 y además x0 (t) = 0. Por tanto, t = −1. (iii) Para que la curva sea no regular x0 = y 0 = 0, es decir, t = 1.

Problema 2 Llamamos evoluta de una curva parametrizada regular α con curvatura no nula al lugar geométrico de los centros de curvatura. Denotamos la evoluta de α por β . (i) Dar una parametrización de β . µ

(ii) Hallar la evoluta de la parábola α(t) = evoluta. (iii) Dada la curva α(s) =

Ã√

√ √ ! 2 2 2 cos(s), sen(s), s , hallar su evoluta. 2 2 2 •

Solución:

¶

1 t, t2 , t ∈ IR, y dibujar juntas la curva y su 2

(i) Si α(t) es la curva, entonces el lugar geométrico de los centros de curvatura está dado por

β(t) = α(t) +

1 n(t). κ(t)

(ii) Calculamos en primer lugar la curvatura de la parábola. µ

¶

√ 1 1 α(t) = t, t2 , α0 (t) = (1, t), α00 (t) = (0, 1), |α0 (t)| = 1 + t2 , n = √ (−t, 1). 2 1 + t2 1 κ(t) = . (1 + t2 )3/2 Por tanto, µ µ ¶ ¶ 1 3 2 (1 + t2 )3/2 3 β(t) = t, t2 + √ (−t, 1) = −t , 1 + t . 2 2 1 + t2

7 6 5 4 3 2 1 0 -8

-4

0

4

8

Figura 1: Parábola y su evoluta (iii) Calculamos los vectores y funciones que intervienen. √ √ ! Ã √ 2 2 2 0 resulta que |α0 (s)| = 1 y por tanto, ~t(s) = α0 (s). α (s) = − sen(s), cos(s), 2 2 2 Por otra parte, √ Ã √ ! 2 2 0 00 t (s) = α (s) = − cos(s), − sen(s), 0 , 2 2 √ 2 0 . Por otro lado, α0 ∧ α00 = de donde n(s) = (− cos(s), − sen(s), 0), ya que ||t (s)|| = 2 √ µ ¶ 1 1 1 2 sen(s), − cos(s), . Finalmente, κ(s) = y 2 2 2 2 √ √ ! Ã √ 2 2 2 cos(s), − sen(s), s . β(s) = − 2 2 2

Problema 3 Dar una parametrización de las siguientes curvas y calcular en cada caso el vector

tangente unitario ~t, el vector normal ~n y la curvatura κ.

(i) y = x2 + 3x (iii) x2 −

(ii) x2 + y 2 + 2y = 0

y2 = 1 (iv) x2 + 3y 2 = 1 4 •

Solución: (i) Como se trata de una parábola que es una curva dada en forma explícita podemos parametrizarla utilizando la variable independiente, es decir x, como parámetro.

α(t) = (t, t2 + 3t). Calculamos el vector tangente.

α0 (t) = (1, 2t + 3), ||α0 (t)|| =

√

4t2 + 12t + 10, ~t =

α0 (t) 1 (1, 2t + 3). =√ 2 0 ||α (t)|| 4t + 12t + 10

Para calcular el vector normal tenemos en cuenta que es un vector ortogonal al tangente y unitario. 1 ~n = √ 2 (−2t − 3, 1). 4t + 12t + 10 La fórmula de la curvatura de una curva plana es κ(t) =

(0, 2). Por tanto,

det(α0 , α00 ) . En nuestro caso α00 (t) = 0 3 ||α (t)||

2 κ(t) = √ 2 . ( 4t + 12t + 10)3

(ii) La ecuación dada representa una circunferencia de centro el (0, −1) y radio r = 1, ya que x2 + y 2 + 2y = x2 + (y + 1)2 − 1. Por tanto, una parametrización es

α(t) = (cos(t), −1 + sen(t)). Calculamos el vector tangente.

α0 (t) = (− sen(t), cos(t)), ||α0 (t)|| = 1, ~t =

α0 (t) = (− sen(t), cos(t)). ||α0 (t)||

Para calcular el vector normal tenemos en cuenta que es un vector ortogonal al tangente y unitario. ~n = (− cos(t), − sen(t)).

det(α0 , α00 ) . En nuestro caso α00 (t) = ||α0 (t)||3

La fórmula de la curvatura de una curva plana es κ(t) =

(− cos(t), − sen(t)). Por tanto, κ(t) = 1.

(iii) La ecuación dada representa una hipérbola de semieje a = 1 y b = 2. Por tanto, una parametrización es α(t) = (cosh(t), 2 senh(t)). Calculamos el vector tangente.

α0 (t) = (senh(t), 2 cosh(t)), ||α0 (t)|| = ~t =

q

senh2 (t) + 4 cosh2 (t),

α0 (t) 1 q (senh(t), 2 cosh(t)). = ||α0 (t)|| senh2 (t) + 4 cosh2 (t)

Para calcular el vector normal tenemos en cuenta que es un vector ortogonal al tangente y unitario. 1 ~n = q (−2 cosh(t), senh(t)). senh2 (t) + 4 cosh2 (t) La fórmula de la curvatura de una curva plana es κ(t) =

(cosh(t), 2 senh(t)). Por tanto,

det(α0 , α00 ) . En nuestro caso α00 (t) = ||α0 (t)||3

−2

κ(t) = q

3.

senh2 (t) + 4 cosh2 (t)

1 (iv) La ecuación dada representa una elipse de centro el (0, 0) y semiejes a = 1 y b = √ . 3 Por tanto, una parametrización es 1 α(t) = (cos(t), √ sen(t)). 3 Calculamos el vector tangente.

√ q 3 1 α0 (t) = (− sen(t), √ cos(t)), ||α0 (t)|| = 2 sen2 (t) + 1, 3 3 √ 1 α0 (t) 3 ~t = =q (− sen(t), √ cos(t)). 0 ||α (t)|| 3 2 sen2 (t) + 1

Para calcular el vector normal tenemos en cuenta que es un vector ortogonal al tangente y unitario. √ 3 1 ~n = q (− √ cos(t), − sen(t)). 3 2 sen2 (t) + 1

La fórmula de la curvatura de una curva plana es κ(t) =

1 (− cos(t), − √ sen(t)). Por tanto, 3 3

κ(t) = q

2 sen2 (t) + 1

det(α0 , α00 ) . En nuestro caso α00 (t) = ||α0 (t)||3

.