Curvas. Generalidades

2. CURVAS (1). GENERALIDADES

Tema 2: CURVAS (1). GENERALIDA GENERALIDADES DES 1.

2.

3.

4.

Líneas a)

Definición

b)

Generación

c)

Tipos

Conceptos elementales a)

Elemento rectilíneo. Orden de contacto

b)

Tangencia

c)

Ortogonalidad

d)

Curvatura

e)

Puntos singulares

Trazados aproximados a)

Por poligonales

b)

Por arcos circulares

Curvas planas de aplicación técnica a)

Envolventes e involturas

b)

Envolventes y evolutas

c)

Otras: cíclicas, espirales, etc.

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LÍNEAS Definición La línea se puede definir como la trayectoria de un punto que se mueve o como el lugar geométrico de las posiciones sucesivas de un punto móvil. Si la ley del movimiento es continua y determinada, la línea se llama geométrica, y si es arbitrario o indeterminada, gráfica.

Generación Para un fácil trazado de líneas curvas complejas es necesario conocer las dos líneas básicas: la línea recta y el arco de circunferencia. Trazado: • Línea recta: empleo de regla, escuadra y cartabón. • Arco de circunferencia empleo del compás o de plantillas.

La gran importancia de estas curvas es su fácil trazado y que además cualquier otra curva plan compleja la podemos trazar de forma aproximada mediante arcos de circunferencias y segmentos rectilíneos tan pequeños como permitan las herramientas.

Tipos • Línea recta: una recta queda perfectamente definida mediante dos puntos de ella. Para determinar un segmento basta indicar su recta soporte, su origen y su longitud, o simplemente dos puntos

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característicos (orden y extremo). El paralelismo y la ortogonalidad entre rectas y segmentos tienen un fácil trazado mediante el empleo de la escuadra y el cartabón. • Arco de circunferencia: un arco de circunferencia queda definido dando el centro de la circunferencia y que lo contiene, el radio y la longitud de su cuerda (recta que pasa por los extremos del arco). La mediatriz de la cuerda de un arco pasa por el centro de la circunferencia que lo contiene y corta al arco en su punto medio y la tangente a la circunferencia en este punto es paralela a la cuerda correspondiente.

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CONCEPTOS ELEMENTALES Elemento rectilíneo. Orden de contacto Se define el círculo osculador en el punto N como la circunferencia c determinada por tres puntos infinitamente próximos M, N y P de una curva γ  . Su centro O es la intersección de las mediatrices a y b de los elementos MN y NP; ρ = ON , su radio, y t n la tangente en N. La tangente t n a la curva en un punto N es normal al radio ρ del círculo osculador en N, y el valor 1 es la curvatura de la curva en dicho punto. El círculo osculador tiene con la curva un contacto de segundo orden por tener comunes dos elementos (tres puntos sucesivos). A cada punto de la curva le corresponde un círculo osculador y una Curvatura

Circulo osculador 

curvatura distinta.

Orden de una curva plana es el número máximo de puntos en que puede ser cortada por cualquier secante rectilínea, y clase, el número máximo de tangentes que pueden trazársele desde un punto exterior.

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Una curva se llama convexa si la tangente en cualquiera de sus puntos deja toda la curva a un mismo lado de ella, y cóncava en caso contrario.

Contactos de línea tangentes En general, se dice que dos líneas tangentes tienen un contacto de primero, segundo,…, n-ésimo orden, si tienen uno, dos, …,n elementos comunes, o dicho de otro modo, si tienen dos, tres, …, n+1 puntos comunes confundidos con el de contacto. Los diversos órdenes de contacto y los puntos donde existen se determinan por cálculo diferencial, por tratarse de magnitudes infinitamente pequeñas, imposibles de apreciar gráficamente. Según esto, la tangente ordinaria a una curva tiene con ella un contacto de primer orden. Elementos tangente

y 

Dos curvas son tangentes en un punto T si pasan por T y admiten la misma

tangente.

Tangencia Tangente a una curva en un punto T  es la posición límite de una secante que gira alrededor de él hasta que su segundo punto de intersección con la curva se confunda con T . Si T es impropio, la tangente se llama asíndota. La tangente así definida se llama tangente ordinaria, principal o de primera especie. Existe otra, denominada de segunda especie, que podemos definir como la posición límite de una secante que se mueve de cualquier modo, aproximando entre sí dos de sus puntos de intersección con la curva, hasta que ambos se confunden con T . Tangentes de primera y segunda especie Teoría de Dibujo TécnicoErasmo Iglesias Carro

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En general, por un punto de una curva puede trazársele una tangente ordinaria solamente, y ninguna o infinitas de segunda especie.

Tangente en una dirección dada y normal a una curva

Ortogonalidad Normal a una curva en un punto P es la perpendicular n a la tangente t a la curva en dicho punto.

Curvatura Se llama curvatura absoluta de un arco AB, al ángulo de flexión que forma con las tangentes en sus extremos.

Curvatura media CAB de un arco AB es la relación

entre la curvatura absoluta y su longitud. El límite de esta relación cuando el arco AB tiende a cero (B se confunde con A), se llama curvatura en el punto A y la representaremos por CA. α

AB

La curvatura de todos los puntos de una circunferencia es constante e igual a la inversa del radio.

Puntos singulares Teoría de Dibujo TécnicoErasmo Iglesias Carro

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•Punto de inflexión: aquel punto en el que el punto generador avanza sobre la tangente mientras esta cambia del sentido de giro. Este punto se caracteriza por estar alineado con sus dos punto contiguos C y E. La tangente en este punto coincide con los dos elementos (tangente-curva) por lo que hay un contacto de segundo orden y el centro de curvatura está en el infinito, pues las normales

Puntos ordinarios y de inflexión a los dos elementos son paralelas. Todas las rectas que pasan por el punto de inflexión son secantes a la curva. •Punto de retroceso: el punto generador retrocede sobre la tangente mientras esta no varía su sentido de giro (punto de retroceso de primera especie). Si la tangente cambia de sentido de giro, entonces el punto de retroceso es de segunda especie.

Esto sucede cuando las ramas de la cuerva están, respectivamente, a distinto o al mismo lado de la tangente común.

Puntos de inflexión En el punto de retroceso, las dos ramas de la curva tiene común el elemento PQ, que coincide con t P, entonces la tangente a las dos ramas en P (punto de retroceso) es común. Las rectas que pasan por un punto de retroceso de primera especie son todas tangentes de segunda especie que no cortan a la curva, y una tangente de primera especie que si al corta. En le punto de retroceso de segunda especie, todas las rectas que pasan por él son tangentes de segunda especie, excepto la tangente principal, y ninguna de ellas corta a la curva. Teoría de Dibujo TécnicoErasmo Iglesias Carro

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•Punto anguloso: aquel en el que el punto generador se para sobre la tangente al tiempo que la tangente gira en el mismo sentido (anguloso de primera especie) o lo camia se sentido (ángulos de segunda especie).

Eso sucede cuando las tangentes en el punto P son distintas

Punto de retroceso, anguloso y de parada para cada rama. Si las dos ramas están dentro (o las dos fuera) del ángulo formado por las tangentes en P, entonces es de primera especie; si una está dentro y otra fuera, es de segunda especie.

Otros tipos de puntos: 1.

Punto de ruptura o de parada: aquel en que se interrumpe una curva. En las curvas geométricas continuas no existen puntos de parada, pero si pueden aparecer en sus proyecciones.

2.

Punto múltiple: aquel por el que pasa varias veces el punto generador. Puede ser doble, triple,… según pase una, dos, tres,… veces.

3.

Punto de tangente múltiple: aquel en el que la recta generadora el haz de tangentes coincide dos o más veces con alguna de las tangentes de primera especie de dicho punto.

4.

Punto de máxima o mínima curvatura: aquel en que la curvatura pasa por un máximo o un mínimo, correspondiendo al radio de curvatura un mínimo o un máximo respectivamente. Estos puntos se denomina vértices de la curva.

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TRAZADOS APROXIMADOS Mediante trazados aproximados de rectas y arcos de circunferencia, se puede aproximar cualquier superficie de un objeto por compleja que sea.

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CURVAS PLANAS DE APLICACIÓN TÉCNICA Envolventes e involutas Sea c una curva, (indeformable o no) que se mueve por un plano siguiendo cualquier ley de movimiento. Al conjunto de las posiciones c1, c2,… de la curva generadora se le denomina familia. A la curva γ  tangente a todas ellas se le denomina envolvente y a las curvas, involutas. Si la familia está compuesta por rectas r 1, r 2,..., estas serán las involutas y la tangente a todas ellas será la envolvente. Según esto, toda curva es la envolvente de sus tangentes (haz de tangentes). Si la familia está compuesta por circunferencias iguales su envolvente son dos curvas paralelas a la trayectoria descrita por el centro de la circunferencia generatriz. Si esta es recta o circular, las envolventes serán rectas o arcos circulares respectivamente.

Envolvente e involuta

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Envolventes y evolutas Sea γ  una curva arbitraria y sean nA’ , nB’ ,…,nN’  las normales en distintos puntos de ella, y δ la envolvente de todas ellas. Entonces, se llama evoluta de una curva a la envolvente de todas las normales. Se llama evolvente a la curva a partir de la cual se construyó la evoluta. Las propiedades más importantes de la evolutas son: 1.

Es el lugar geométrico de los centros de curvatura de la curva dada. La evoluta es tangente a las sucesivas normales, es decir, es la envolvente de las normales y por tanto la evoluta de γ  . Cualquier tangente a la evoluta es normal a la curva en el punto de intersección con ella, y su punto de contacto con δ , el centro de curvatura de la curva dada en el punto.

2.

La longitud de un arco de evoluta es la diferencia de los radios de curvatura de la evolvente tangente a aquella en los extremos del arco.

3.

Una curva sólo tiene una evoluta, pero esta tiene infinitas envolventes “paralelas” entre sí (las paralelas son las tangentes a cada uno de los puntos de cada una de las evolventes correspondientes).

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Evolvente y evoluta

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Otras: cíclicas, espirales, etc. Se llama curva de rodadura a la descrita por un punto P ligado invariablemente a una curva (ruleta), la cual rueda sin deslizarse sobre otra curva fija (base) tangente a ella. Si la base y la ruleta son circunferencias, las curvas de rodadura se llaman cíclicas, incluyéndose en esta denominación el caso en que una de ellas sea recta (curva de radio infinito).

Cicloide Se obtiene por la rodadura de una circunferencia α , tangente a una base rectilínea β . Si el punto generador pertenece a la circunferencia se denomina cicloide normal, si el punto es interior cicloide acortada y si es exterior cicloide alargada.

Construcción de la cicloide 1.

Llevar el perímetro de la ruleta sobre la base a partir del punto PO. Para llevar la longitud de la circunferencia sobre la base basta con llevar una longitud igual a tres veces el diámetro más un séptimo de éste.

2.

Dividir esta longitud y la circunferencia en el mismo número de partes iguales, normalmente un número par, a partir de PO.

3.

Trazar perpendiculares a la base por dichos puntos obteniéndose los respectivos centros O1, O2,...,On.

4.

El punto P1 se obtiene en la intersección de la recta paralela a la base por el punto 1 de la ruleta y la circunferencia de centro O1 y radio r , y así para el resto de los puntos.

Epicicloide o pericicloide La epicicloide es una curva engendrada circulares, tangentes exteriores al círculo base. Teoría de Dibujo TécnicoErasmo Iglesias Carro

por

ruletas

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Hay tres tipos de epicicloides: normal, acortada, y alargada, según que el punto generador sea incidente, interior o exterior a la circunferencia respectivamente.

Cicloides normal, acortada y alargada Hipocicloides Se engendran por el rodamiento de una ruleta circular tangente interior al círculo base. También se diferencia la hipocicloide normal, acortada y alargada.

Espiral Es la curva engendrada por un punto móvil A que se desplaza en un determinado sentido sobre una recta r , al mismo tiempo que esta gira alrededor de un punto fijo O de ella denominado polo.

Espiral logarítmica e hiperbólica Teoría de Dibujo TécnicoErasmo Iglesias Carro

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