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CAPITULO 5 CURVAS DE DECLINACION DE LA PRODUCCION, 1.00 INTRODUCCION, Una de las tareas de la Ingeniería de Yacimientos, es la revisión y cálculo de las reservas de hidrocarburos de los yacimientos, con el fin de poder determinar el volumen total recuperable hasta alcanzar un límite económico. Los descubrimientos de nuevos yacimientos, terminaciones, reparaciones, abandono de pozos, cambios en los métodos de operación y condiciones mecánicas de los pozos, hacen que el trabajo sea constante y en muchas ocasiones, se complica por falta de datos, acerca de sus características y parámetros físicos; sin embargo, se pueden hacer estimaciones cercanas a la realidad a través de la extrapolación de curvas de declinación de la producción obtenidas en el pasado o sea de la historia de explotación. Las curvas de declinación de la producción son ampliamente utilizadas en la industria petrolera, para evaluar el comportamiento de los yacimientos y hacer las predicciones de comportamiento de los mismos. Cuando las estimaciones se basan en el análisis matemático o la técnica de analizar las curvas de declinación de la producción, deberá recordarse siempre que este análisis es simplemente por conveniencia, y es un método que está sujeto a tratamiento matemático o gráfico y "no tiene bases en las leyes físicas que gobiernan el flujo de aceite y gas en la formación". Tales curvas pueden dibujarse para pozos individuales, para un grupo de pozos dentro del mismo yacimiento, o para todos los pozos juntos en el yacimiento. Puesto que es obvio graficar la producción contra el tiempo figura 5-1a, este fue el primer método utilizado. Se basa en el hecho de que después de un período durante el cual la producción fue estable (en o cerca de lo que los pozos permitan o el mercado demande), llegará un momento en el cual los pozos ya no puedan mantener la producción pedida y en consecuencia, ésta disminuirá gradualmente o sea que declinará conforme transcurra el tiempo. La figura 5-1a, representa una curva tipica de qo vs. t, sobre la cual, se ha trazado una línea punteada. Evidentemente al ajustar una ecuación a la línea punteada, se puede extrapolar y hacer predicciones, es decir, determinar lo que el pozo o pozos pudieran producir en el futuro. 2.00 CURVAS TIPICAS OBTENIDAS DE LA HISTORIA DE PRODUCCION, Los datos de la historia de producción de un yacimiento, pueden graficarse de diversas formas, los tipos más comunes son: a. - Ritmo de producción contra tiempo, qo vs. t. b. - Ritmo de producción contra producción acumulativa, qo vs. Np. c. - Porcentaje de agua en la producción contra producción acumulativa, WOR vs. Np (WOR = Razón agua-aceite).

d.- Presión contra producción acumulativa, P vs. Np. e.- Profundidad del contacto agua-aceite contra producción acumulativa, D VS N p f. - Producción acumulativa de gas contra producción acumulativa de aceite, Gp vs. Np.

Las gráficas de qo vs. t., figura 5-la y qo vs. Np, figura 5-1b, son las que se utilizan con mayor frecuencia para fines de interpretación de la declinación de la producción. Las gráficas que relacionan el porcentaje de agua con la producción y la producción acumulativa, son empleadas en yacimientos donde la última producción se fija por el porcentaje de agua, más que por la misma declinación de la producción de tal forma, que los datos puedan extrapolarse hasta el porcentaje de agua que represente el límite económico. Las gráficas de presión contra producción acumulativa, permiten tener idea del tipo de energía predominante en el yacimiento; así, cuando se trata de un yacimiento con empuje hidráulico, la presión se mantendrá casi constante figura 5-2b, mientras que en los yacimientos con empuje volumétrico, la presión tenderá a declinar más rápidamente, figura 5-2a.

3.00 OBTENCION DEL GASTO LIMITE ECONOMICO. La extrapolación gráfica o analítica, deberá llevarse hasta un momento en el que el valor de la producción sea equivalente a los gastos de producción, ya que de continuar con la explotación, serían mayores las erogaciones que los ingresos. Para esto se determina el valor de la producción que sufrague los costos de operación y mantenimiento de equipos y personal empleado, pago de regalías, etc., valor que se conoce con el nombre* de "LIMITE ECONOMICO". Para su obtención se hace uso de la siguiente expresión:

q L. E . . =

C (m 3 año) ......(5-l) O−S

donde:

q L. E C O S

= Gasto límite económico, (m3/año). = Costo estimado de operación al límite económico , ($/año) = Precio del aceite por metro cúbico, ($/m3). = Monto de regalías, impuestos, etc. ($/m3).

A modo de ilustración se presentará el siguiente ejemplo: EJEMPLO: 5-1. Obtener el

q L. E

considerando los siguientes datos ficticios:

Relación de ingresos y egresos: Costo diario de operación y mantenimiento del equipo de producción por pozo ................................. $ 150.00

Costo diario para el yacimiento (se suponen 10 pozos). ..... Costo anual por 10 pozos (C) ........... $ 547 500.00 Monto de regalias por m3(S)........,.........$ 20.00 3 Precio del aceite por m (actual) (O). .. ..... $ 775.00 Utilizando la expresión (5-1)

q L. E = 547 500 775- 20 q L. E =

725 (m3/año)

q L. E = 1.99 (m3/día/yac.) q L. E = 0. 199 (m3/día/pozo) El valor del gasto límite económico está sujeto a la variación de los factores considerados anteriormente, sin embargo, el factor preponderante es el precio del aceite por unidad de volumen, en el mercado. Actualmente, debido a la crisis de energéticos, el precio del aceite aumentó a cifras inesperadas, dando lugar ésto a gastos límites muy bajos. 4.00 CLASIFICACION Y METODOS DE EXTRAPOLACION DE LAS CURVAS DE DECLINACION Las curvas de declinación de la producción, de acuerdo con el "tipo"de declinación, se clasifican en los tres siguientes grupos: a. - Exponencial. b. - Hiperbólica. c. - Armónica. Se dice que una curva, ritmo de producción-tiempo o ritmo de producción acumulativa muestra una declinación de tipo "exponencial", cuando al ser graficados los datos en papel semilogarítmico, éstos muestran una tendencia lineal. Si se observa una tendencia lineal cuando los datos son graficados en papel doble logarítmico, entonces se podrá decir que la declinación es de tipo "hiperbólica". La declinación "armónica" es un caso particular de la declinación hiperbólica. Existen tres métodos para el análisis de las curvas de declinación, a saber: 1.- Método empírico de extrapolación. 2. - Método estadístico (relación de pérdida).

3.- Método gráfico. Los métodos citados contemplan las siguientes similitudes. a) El concepto del que se parte es el mismo. “El comportamiento futuro del yacimiento está gobernado por alguna tendencia o relación matemática que se basa en su comportamiento pasado". b) Para poder aplicar cualquiera de estos métodos es necesario relacionar los datos de producción-tiempo con una ley matemática. c) Se definen ecuaciones para determinar la reserva, el comportamiento futuro de la producción y el tiempo de vida útil. d) La laboriosidad de los cálculos y el tiempo requerido para efectuarlos es variable según el método que se aplique. e) Los resultado.; que se obtienen son semejantes y todos tienen el carácter de aproximados. f) El método empírico de extrapolación requiere del uso de logarítmicos y de poco tiempo para su cálculo. g) El método estadístico involucra operaciones sencillas, pero como son bastantes, hacen que sea un método tardado. h) El método gráfico aporta resultados menos precisos, pero es el más rápido. De los tres métodos mencionados anteriormente, únicamente se desarrollara el método “empírico" de extrapolación, ya que el desarrollo de los dos restantes se salen del alcance de este trabajo. Para una información más abundante sobre este tema, se recomienda ver referencias al final. 4.10 METODO EMPIRICO DE EXTRAPOLACION 4.110 DECLINACION EXPONENCIAL. La declinación exponencial, también llamada geométrica, semilogarítmica o de porcentaje constante, se caracteriza, por el hecho de que la caída en el ritmo de producción por unidad de tiempo, es proporcional al ritmo de producción; esto es:

dg = − bq ......(5-2) dt

Donde: b = Constante de proporcionalidad. dq = Diferencial de producción dt = Diferencial de tiempo Reagrupando términos e integrando la expresión (5-2) se tiene:

−

1 dq = dt b∫ q ∫

−

1 Inq = t + c b

A fin de valuar "c", se toman limites: cuando t = 0, q = qo lnq0 Sustituyendo en la expresión (5-3), se obtiene: q = qo l − bt …… (5-4)

Como q0, es un valor conocido (valor inicial de la producción), se puede hacer: q0 = a Finalmente se llega a la siguiente expresión:

q = a l − bt (5-5) La ecuación (5-5) de tipo exponencial, representa la expresión matemática de las curvas de declinación exponencial. 4.111 DEFINICION DE LA TENDENCIA LINEAL Si se grafica los valores de ritmo de producción contra tiempo en un papel semilogaritmico en la forma que se indica en la figura (5-3) se observa que tienen una tendencia lineal, luego se puede ajustar una ecuación.

Para poder ajustar la ecuación a la recta y obtener los valores de las constantes (a) y (b) se pueden utilizar cualquiera de los siguientes métodos: selección de puntos, promedios o mínimos cuadrados. Según el método de promedios los valores de las constantes (a) y (b), se puede encontrar utilizando las siguientes expresiones: i=n

2

i= n

2

∑ log qi = n 2 log a + b log l ∑ ti i =1

i =1

i=n

i= n

2

log qi = n log a + b log l ∑ 2 i =1

2

∑ ti

..... (5-6)

..... (5-7)

i =1

donde: n = Número de datos disponibles. Cabe aclarar que de los datos graficados, los únicos que se toman en cuenta son los que muestran un alineamiento rectilíneo. Conocidos (a) y (b), se tiene definida la ecuación:

q = qo l −bt …… (5-5) Que Corresponde a la recta ajustada a los puntos graficados de producción contratiempo. 4.112 DECLINACION DE LA PRODUCCION (d) La velocidad con que la producción varía con el tiempo, queda representado matemáticamente por la expresión: dq dt

......(5-8)

Por las condiciones del problema, esta velocidad de variación puede expresarse bajo la forma siguiente; dg = f (q, t) ......(5-9) dt La producción "q" puede hallarse como una función del tiempo, resolviendo esta ecuación diferencial. Tomando en consideración la expresión (5-8) y partiendo de que "qo" es la producción inicial, que declinará hasta "qf" después de un cierto tiempo, entonces la velocidad de abatimiento será: dg…… (5-10) dt Si esta cantidad es proporcional a "q", se tiene que: dg = -Kq .....(5-11) dt donde: K = Factor de proporcionalidad. Despejando K de la ecuación (5-11), queda: K=

dg dt..... (5-12) q

Y expresando en forma de incrementos finitos, resulta: ∆q K = ∆t ….. (5-13) q Haciendo ∆ t = 1, se tiene un periodo de tiempo unitario en el cual la producción inicial es q1 y la final q2, por lo que ∆ q = q1 q2, valores que sustituidos en la expresión (5-13), conducen a la siguiente relación: K = q1 – q2 = q2 – q1 ....(5-14) q1 q1 La ecuación (5-14) resulta ser una expresión de suma importancia para el análisis de curvas de declinación de la producción donde(K), representa precisamente la declinación (d),

Cambiando "K" por "d", la expresión (5-14) queda finalmente: d = q2 – q1 ....(5-15) q1 Para un periodo de tiempo mensual, la declinación se puede definir como: “declinación mensual" y es la relación en valor absoluto, de la caida de producción de un mes a otro, con respecto al valor que ha sufrido el abatimiento. La necesidad de obtener declinaciones para intervalos de tiempos mayores lleva a determinar una expresión más general, tal como se verá posteriormente. La pendiente (m) de la gráfica (fig. 5-3), se puede determinar en la forma siguiente: m = log q1 – log q2 = log q2 – log q1 …… (5-16) t2 – t1 t1 – t2 haciendo: ∆t y = t2 – t1 y reordenando la ec. (5-16), se tiene : m ∆t = log q2 – log q1 …… (5-17) tomando antilogaritmicos de ésta ecuación, queda: 10m∆t = q2......... (5-18) q1 Ecuación que es del tipo exponencial. Aplicando la ecuación (5-18) a dos valores consecutivos de q se tiene que ∆t = 1, y sustituyéndola éste último en la ecuación anterior queda: q2 q1 = 10m.........(5-19) restando la unidad a ambos miembros y reduciendo a un común denominador el primero, se tiene que: q2 - q1 = (10m - 1)...... (5-20) q1 Como la expresión (5-2 0) es equivalente a la expresión (5-16), finalmente queda: d= ( 10m - 1)........(5-21)

Por tanto, la declinación para un intervalo de tiempo cualquiera (anual, semestral, mensual, etc.), es el valor absoluto de la diferencia entre una potencia del número diez y la unidad. La ecuación (5-16) puede expresarse también para los valores de q0, t0 y qf , tf, conforme a la figura (5-3) y siguiendo el mismo procedimiento: qf m= log qf – log qo = log qo .... (5-22) ∆t tf - to Cambiando (∆ t) por (n) (número de períodos de tiempo) se obtiene: m = 1 log qf ...... (5-23) n qo tomando antilogarítmos, queda: 10 m = n

qf qo

..... (5-24)

tomando do s valores no consecutivos: q2 y q1 10 m = n

q2 ..... (5-25) q1

Restando la unidad a ambos miembros se llega a: (10 m − 1) = ( n

q2 − 1) …… (2-26) q1

Expresión equivalente a la ecuación (5 -21), por tanto:

d = (10 m − 1) = ( n

q2 − 1) ….. (5-27) q1

Donde (n), es el numero de período de tiempo comprendido entre q2 y q1. Se tienen de esta forma dos expresiones para calcular la “declinación " de la producción, cuando su variación es exponencial. Si las producciones se toman anuales y se considera el número de períodos transcurridos entre los gastos q2 y q1, la declinación que se obtiene es anual; si por el contrario se toman los períodos de un mes y sus producciones respectivas entonces la declinación obtenida es mensual.

4.113 CALCULO DE LA RESERVA (R) Al aplicar la ecuación deducida anteriormente:

d = (n

qf qo

− 1) …… (5-28)

Para dos períodos cualesquiera (consecutivos o no consecutivos) se obtiene el valor de la declinación en fracción y este valor resulta constante cuando la variación es “exponencial”. De la ecuación de la recta ajustada a los datos de producción contra tiempo figura 5-4, podemos ver que el ritmo de producción después de un año, si el tiempo (t) esta en años, estará dado por: q1 = q o l − b

El ritmo de producción después de dos años estará dado por:

q 2 = q o l −2b = q o l −b l −b = q1 l −b

entonces:

q q1 q = 2 = 3 = ........... = l −b …… (5-29) qo q1 q2 Lo cual implica que "el ritmo de producción al final de cualquier año en relación al del principio del mismo año es siempre el mismo". Por otro lado, de la ecuación (5-16) se tiene que: d = (q2/q1 - 1); debido a la declinación de la producción q2 < q1, luego se puede hacer: d = (1 - q2/q1) o también:

q2 = (1 − d ) …… (5-30) q1

donde: d = Declinación anual del ritmo de producción. De las expresiones (5-29) y (5-30) se puede ver que la ecuación que relaciona las declinaciones anual y continua es:

l − b = (1 − + d ) ……(5-31) En consecuencia, siendo qo, el gasto inicial en un período de tiempo, las producciones posteriores estarán definidas por: q1= qo (1-d) q2 = qo (1- d) ( 1 -d) = qo (1 -d)2 q3 = q0 (1 - d) (1 - d) (1 - d) = qo (1- d)3 …………………………………………………………….. qn = q0 (1- d) (1-d) …… (1- d) = qo (1- d)n haciendo: r = ( 1 - d) y sustituyendo, se tiene que: q1 = qor q2 = qor2 qn = qorn Sumando estos gastos con el inicial (qo) definido anteriormente se tiene: i =n

∑q i1

i=

q o + q o r + qo r 2 + .....qo r n

El segundo miembro de la expresión (5-32), es una progresión geométrica en la que "n" corresponde al número de términos de la progresión menos uno, o sea: n=N-1 Sustituyendo en la expresión (5-32) y haciendo:

S=

i = ( N −1)

∑q i =1

i

= qo + qo + qo r 2 + ..... + qo r n−1 ..... (5-32)

Multiplicando ambos miembros de la ecuación (5-34) por (r), se tiene: rS = qor + qor2 + qor3 + ….. qorn …… (5-34) Restando la expresión (5-33) de la ecuación (5-34), se tiene: S(r- 1) = qo rN - qo ……. (5-35) si qf = qo r(N - 1) y "qf " es valor del gasto límite económico, entonces: qo rN = qfr ...........(5-36) Donde (S), es el valor de la suma de las producciones futuras, hasta alcanzar el límite económico, más el valor de (qo), por lo que la reserva será: R = S - qo ... (5-37)

luego:

R=

q f r − qo r −1

− qo =

q f r − qo + (r − 1) qo r −1

...... (5-38)

Desarrollando esta expresión y sustituyendo a "r" por "(1 - d)", se tiene finalmente que: R=

(1 − d ) (q f − qo ) −d

…… (5-39)

Ecuación que define el valor de la reserva, cuando el yacimiento presenta una declinación constante. 4.114 GASTOS FUTUROS Y TIEMPO DE VIDA UTIL. Los regímenes de producción futuros se calculan a partir de la ecuación exponencial ya determinada: q = a ℓ-bt......(5-5) donde "q", es el ritmo de producción correspondiente a un tiempo “t".

El tiempo de vida útil del yacimiento se puede calcular a partir de la expresión que se indica a continuación: qL.E. = qon ℓ-bt........(5-40) donde: qL.E. = Gasto límite económico. qon = Gasto correspondiente al último dato de producción conocido. 4.120 DECLINACION HIPERBOLICA. Las curvas de declinación "hiperbólica" a diferencia de las curvas de declinación exponencial, muestran una declinación "variable". La expresión matemática que representa a este tipo de curvas está dado por: d = atb.........(5-41) La expresión (5 - 41) es una ecuación de tipo hiperbólico. 4.121 DEFINICION DE LA TENDENCIA LINEAL. Al graficar los valores de ritmo de producción contra tiempo en un papel doble logarítmico, en la forma que se Indica en la figura (5-5), se observa que tienen una tendencia lineal y es posible ajustar una recta que puede ser representada por la ecuación (5-42).

Para poder ajustar la recta y obtener los valores de las constantes “a" y “b” se usará el mismo método que para la declinación exponencial, es decir el de promedios: n

n

2

2

log qi = n log a + b ∑ log ti …… (5-42) ∑ 2 i =1 i =1 i =n

∑

i = ( n + 1) 2

log qi = n log a + b 2

i =n

∑ log ti

i =( n

…… (5-43)

2 + 1)

donde: n = Número de período. Conocidas (a) y (b), queda definida la ecuación: q = atb …..(5-41) que corresponde a la recta que se ajusta a los puntos graficados de producción contra tiempo en un sistema log- log. 4.122 DECLINACION DE LA PRODUCCION (d). Para establecer la variación de la producción con el tiempo se hacen las mismas consideraciones que se hicieron con anterioridad para llegar a la expresión siguiente: dg = − Kq …… (5-44) dt donde (K) es un factor de proporcionalidad instantáneo, con lo cual se llega nuevamente a la expresión: q −q d = 2 1 …… (5-45) q1 Con la diferenciar de que esta declinación es "variable". La pendiente (m) de la gráfica (figura 5-5), se puede determinar en la forma siguiente: log q1 − log q 2 log q 2 − log q1 …… (5-46) m= = log t1 − log t 2 log t 2 − log t1 ecuación que puede representarse como sigue: t q2 …… (5-47) m log 2 = log t1 q1

tomando antilogaritmos: (t2)m = q2 ….. (5-48) (t1)m q1 La ecuación (5-46) se puede expresar en forma más general. Haciendo q.) igual al gasto correspondiente a un tiempo t = l y (qf) para un valor cualquiera del tiempo (t), el valor de (m) será:

m=

log qi − log q f log l − log t

…… (5-49)

o lo que es lo mismo:

tm =

qf qi

…… (5-50)

La ecuación (5-50) es del tipo hiperbólico, nombre que se le da a la declinación de aquellos yacimientos cuyas producciones varían conforme a esta ecuación. En este caso por la naturaleza de la ecuación, la declinación "no" presenta un valor "constante" sino "variable", por lo que será necesario calcular los valores de la declinación conforme se vaya cambiando de período. Sustituyendo el valor de q2/q1 de la ecuación (5-48) en la ecuación (5-15), se obtiene: d = ( (t2/t1)m - 1) = ((t + 1*/ t)m – 1) …… 5-51) siendo (m), el valor de la pendiente de la recta ajustada y "d", el valor de la declinación que será diferente para cada período de tiempo que se considere. 4.123 METODO PARA DETERMINAR LA RESERVA Para el cálculo de la reserva se suman simplemente los gastos determina dos, para cada período de tiempo, así: R = qo (1 - d1) + qo (1 – d1) (1 - d2) +... + qo (1 - d1). ..(1 - dn) . ..(5-52) o también: i =n

i =n

i =1

i =1

R = ∑ qi = ∑ a t i b ...... (5-53) donde el sub-índice "n" corresponde al gasto límite económico. 4.124 GASTOS FUTUROS Y TIEMPO DE VIDA UTIL Los gastos futuros y el tiempo se puede determinar de la ecuación (5-41).

Conocidas las constantes "a" y "b" y el tiempo "t" al cual se requiere conocer el gasto, simplemente se sustituyen estos valores en la ecuación (5-41) y se calcula el gasto. El tiempo de vida útil se determina a partir de la ecuación (5-41), sustituyendo para tal fin el valor del gasto límite económico y resolviendo la ecuación para "t1”. 5.00 APLICACIONES PRACTICAS. 5.10 APLICACIONES PARA UN YACIMIENTO CON DECLINACION EXPONENCIAL. Los valores de producción-tiempo; tabla 5-1 del campo Alazán, se graficaron en un sistema semi-logarítmico y se les ajustó una recta, a los puntos que mostraron tal tendencia. * Se considero “un” periodo unitario. La ecuación ajustada es del tipo

q = a l −bt Para encontrar los valores de las constantes se aplica el método de los promedios tal como se indicó en la sección (4.111).

Tomando los datos de la tabla 5-I y sustituyéndolos en las ecuaciones (5-6) y (5-7), se tiene: 26.6962 = 6 log a + 0.4343 x 21 x b 25.7545 = 6 log a + 0.4343 x 57 x b de donde:

b = 0.06023 a = 34747

obteniéndose la ecuación: - 0.06023 (t) q = 34747 ℓ A partir de la expresión anterior se pueden conocer los gastos de aceite para cualquier tiempo "t', así: para:

t = 1 (años) t = 10 (años) t = 12 (años)

qo1 = 32 751 (m3) qo10 = 19 025 (m3) qo12 = 16 866 (m3)

Tomando dos valores cualesquiera, se puede determinar la pendiente (m) de la recta ajustada con la expresión (5-16).

q0 10 19025 log q0 1 32751 = − 0.235899 = 0.02621 m= = t10 − t1 10 − 1 9 log

A partir de este valor, se puede determinar la (declinación anual) "d" porque el tiempo esta tomado en años, mediante la expresión (5-21).

d = (10 m −1) = (10 −0.02624 − 1) = 0.05857 d = 0.05857 CALCULO DE LA RESERVA. Conocido el valor de la declinación anual "d", se puede calcular la reserva de aceite por la expresión (5-39).

R=

(1 − d ) (q f − qo ) −d

donde: qf = qL.E. Para esta zona, el qL.E, se calculó de acuerdo con la forma indicada en la sección (3.00) y resulto ser de: qL.E = 300 m3/año/pozo. El número promedio de pozos para este campo, es de once, luego: qL.E. = 300 x 11 = 3 300 m3/año qo = 34 747 (m3/año), para t = 0 Sustituyendo estos dos valores de producción en la expresión (5-39), se puede calcular la Reserva Original, esto es: Reserva original = (1 - 0.05857) (3 300 – 34 747) = 505 466 m3 - 0.05857 Reserva original = 505 466 (m3) La Reserva actual será igual a la Reserva original menos el volumen de aceite producido acumulado, esto es:

Reserva actual = Reserva original - Np Donde:

n =12

Np = ∑ qoi = 287 945 (m 3 ) i =l

luego:

Reserva actual = 505 466 - 287 945 = 217 521 m3.

Para determinar el tiempo de vida útil, se sustituye el valor de qL.E. en la ecuacion determinada; esto es: -0. 06023 t 3 300 = 34 747 ℓ despejando (t) y efectuando operaciones, se tiene que: t-39

años.

Como el campo ya estuvo en producción 12 años, el tiempo de vida útil será: t = 39 -12 = 27 años. Los valores anteriormente obtenidos se ilustran en la figura siguiente.

5. 21) APLICACIONES PARA UN YACIMIENTO CON DECLINACION HIPERBOLICA. Para mostrar un ejemplo de este método, se tomaron los datos del campo ARBUCKLE LIME, expuesto en la tabla 5-II. Como los datos graficados en el sistema log - log no seguía una tendencia lineal, se sumó a la variable tiempo una constante igual a catorce meses. Al graficar nuevamente se definió una recta de ecuación igual a: q = atb …… (5-41) Expresión que corresponde al tipo de declinación hiperbólica. Para encontrar los valores de las constantes (a) y (b) se aplica el método de promedios, desarrollado en la sección (4.121).

Tomando los datos de la tabla (5-II) y sustituyendo en las ecuaciones (5-42) y (5-43), respectivamente, se tiene: 23.7828 = 6 log a + 8.8835 b 22.7234 = 7 log a +12.9144 b Efectuando operaciones, se encontró que: B = -1.9696 a = 7582800

Como para este caso (b), es igual a la pendiente “m” de la recta, se está en condiciones de poder hacer uso de la expresión: d = ( (t + 1/ t)m -1) = ( (t2/ t1)m -1)......(5-51) En la relacion (t + 1/ t)m, la unidad significa precisamente un período de tiempo. Aplicando la ecuación (5-51):

M = - 1.9696 t = 89 meses (a partir del último dato de producción). 1 (periodo de tiempo) = 6 meses. -1.9696 -1 ) = (0.87943 -1) = 0.12057 d1 = ( ( 89 + 6 / 89 ) d1 = 0.12057 - 1.9696 -1) = (0.88641 - 1) = 0.11359 d2 = ((95+6/95) d2 = 0.11359 Y así en esta forma se puede seguir calculando hasta alcanzar el tiempo de vida útil del yacimiento, que se obtiene de la ecuación (5-41) qL.E. = a tb si

qL.E = 398 m3/año,

a = 7 582 800, b = - 1.9696 -1.9696

398 = 7 582 800 t despejando y efectuando operaciones, resulta que t = 149 meses. El yacimiento estuvo produciendo durante 89 meses (corregido), luego el tiempo de vida útil será igual a: t = 149 - 89 = 60 meses. En consecuencia la "declinación semestral" (d), se deberá calcular hasta alcanzar los 60 meses contados a partir del tiempo correspondiente a la última producción.

d3 = 0.10749, d4 = 0.10198, d5 = 0.09687, d6 = 0.09231, d7 = 0.08826, d8 = 0.08443, d9 = 0.08097, d10 = 0.07766. -1.9696 d10 = ((143 + 6/143)

- 1) = (0.92234 - 1)

d10 = 0.07766 CALCULO DE LA RESERVA Podemos calcular la reserva, utilizando la expresión (5-52). R = qo (1-d1) + qo (1-d1) (1-d2) + …. + qo (1-d1) ... (1-dn) Calculando la reserva a partir de la última producción conocida (q = 99 m3/mes) y las declinaciones correspondientes hasta obtener el gasto límite económico, lo obtenido será precisamente la "reserva actual", esto es: t1 = 89+6 = 95 meses, q1 = qo (1 - d1) = 1099 (1 - 0.12057) = 966 m3/mes q2 = qo (1- d1) (1 - d2) = q1(1 - d2) = 966(1 - 0.11359) t2 = 95 + 6 = 101 meses, q2 = 856 m3/mes. t3 = 101 + 6 = 107 meses, q3 = q2 (1 - d3) = 856 x (1 - 0.10749) = 764 m3/mes. Calculando de esta forma para los demás gastos se obtuvieron: t4 = 107+ 6= 113 meses, q4 = 686 m3/mes. t5 = 113+ 6 = 119 meses, q5 = 620 m3/mes t6 = 119 + 6 = 125 meses, q6 = 563 m3/mes. t7 = 125 + 6 = 131 meses, q7 = 513 m3/mes. t8 = 131 + 6 = 137 meses, q8 = 470 m3/mes. t9 = 137 + 6 = 143 meses, q9 = 432 m3/mes. t10= 143 + 6 = 149 meses, q10=398 m3/mes. de donde la reserva actual será:

Reserva actual =

i =10

∑ q x∆ t i =1

i =10

∑ q x∆ t i =1

i

i

, donde:

∆ t = 6 meses

= 966 x 6 + 856 x 6 + 764 x 6 + 686 x 6 + 620 x 6 + 563 x 6

+ 5l3 x 6 + 470 x 6 + 432 x 6 + 398 x 6. Reserve actual = 37 608 m3 La reserva original será igual a: Reserva original = Reserva actual + Np Np =

∑ ∆Np = 505 932 m

3

Reserva original = 37 608 + 505 932 = 543 540 m3 Reserva original = 543 540 m3. Los valores obtenidos anteriormente se ilustran en la siguiente figura.